1) La historia de los sistemas de ecuaciones lineales se remonta a civilizaciones antiguas como Egipto, Mesopotamia y China, donde se resolvían problemas que conducían a ecuaciones lineales de forma rudimentaria. 2) Posteriormente, matemáticos griegos como Diofanto introdujeron notaciones más simbólicas y métodos más sofisticados para resolver sistemas de ecuaciones. 3) Los matemáticos árabes, especialmente Al-Juarismi, desarrollaron el álgebra como campo independiente y
1. Historia de los sistemas de
ecuaciones lineales y
ecuaciones lineales
Por: Cequeira Celia
2. Egipto
Papiro de Ahmes/ Rhind
Ahmes (1650 a. de C.)
Imotep (2000-1800 a. de C.)
Problemas aritméticos y algebraicos
Resolución ecuaciones lineales de la
forma: x + ax = b o x +ax + bx = c,;
A la incógnita se le llama “aha o
montón”
3. Método de la falsa posición: el mismo consiste en darle un valor a la
incógnita, que puede ser correcto o no, se resuelven las
operaciones en el primer miembro, luego se compara lo alcanzado
con el resultado que se debería haber obtenido y después con el
uso de proporciones se obtiene el resultado correcto
Método de la falsa posición: el mismo consiste en darle un valor a la
incógnita, que puede ser correcto o no, se resuelven las
operaciones en el primer miembro, luego se compara lo alcanzado
con el resultado que se debería haber obtenido y después con el
uso de proporciones se obtiene el resultado correcto
4. Mesopotamia
Las consideraban muy elementales
“Se pide el peso x de una piedra si (x + x/7) +1/11(x + x/7) es igual a
una mina; la respuesta se da diciendo simplemente que x es 48; 7,30
gin, donde 60 gin hacen una mina.
“el primer anillo de plata” y “el segundo anillo de plata”; si llamamos x
e y a estas dos incógnitas, las ecuaciones en notación moderna son:
x/7 + y/11 = 1 6x/7 = 10y/11
Y la solución viene expresada lacónicamente por medio de la regla”
x/7= 11/(7+11) +1/72
Las consideraban muy elementales
“Se pide el peso x de una piedra si (x + x/7) +1/11(x + x/7) es igual a
una mina; la respuesta se da diciendo simplemente que x es 48; 7,30
gin, donde 60 gin hacen una mina.
“el primer anillo de plata” y “el segundo anillo de plata”; si llamamos x
e y a estas dos incógnitas, las ecuaciones en notación moderna son:
x/7 + y/11 = 1 6x/7 = 10y/11
Y la solución viene expresada lacónicamente por medio de la regla”
x/7= 11/(7+11) +1/72
5. ¼ anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Si cada mano = 5 dedo ¼ anchura + longitud =35dedos
longitud + anchura = 50 dedos
• Método: método equivalente al de eliminación por
medio de una combinación lineal, se determina que
una anchura de 20 dedos y una longitud de 30 dedos
satisfacen las ecuaciones del sistema.
6. “Edad de Plata” (matemática griega)
Siglo III a de C.
Algebre geométrica
Diofanto de Alejandría
“Dios le concedió ser un muchacho durante una sexta parte de
su vida, y añadiendo una doceava parte, El pobló de bello sus
mejillas; le iluminó con la luz del matrimonio después de una
séptima parte, y cinco años después de su matrimonio, le
concedió un hijo . Pero ¡Ay! infeliz niño nacido tarde; después
de alcanzar la mitad de la vida de su padre, el frío destino se
lo llevó. Después de consolar sus penas con la ciencia de los
números durante cuatro años más, finalizó su vida”
7. Tres grandes etapas en el
desarrollo histórico del Álgebra:
• 1) la etapa retórica o primitiva, en la que todo
se escribía con palabras del lenguaje
ordinario;
• 2) una etapa sincopada o intermedia en las
que se adoptaron algunas abreviaturas, y
• 3) una etapa simbólica o final que corresponde
a la moderna simbolización completa en un
lenguaje formal artificial
8. La Arithmética: colección de problemas
• Uso sistemático de abreviaturas para
potencias de números y para relaciones y
operaciones entre ellos.
• Incógnita- símbolo para potencias-coeficiente
• Incógnita “S” (aritmo“s”)
• Soluciones positivas
• Ningún desarrollo axiomático, ni método
general
9. • “Diofanto resuelve problemas con varias incógnitas
expresando hábilmente todas las cantidades
desconocidas en términos de una sola de ellas,
siempre que sea posible”. Por ejemplo: dos números
tales que su suma sea 20 y la suma de sus cuadrados
208.
(10+x) y (10 – x) en vez de “x” e y”.
se verifica que: (10 + x)2
+ (10 – x)2
= 208
• Luego, x = 2 y los números que satisfacen el sistema
son 8 y 12.
10. Civilización China
“Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático”
246 problemas sobre agrimensura, agricultura,
impuestos, resoluciones de ecuaciones, etc.
Algunos problemas conducen a sistemas de ecuaciones
lineales, utilizando números positivos y negativos
“Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático”
246 problemas sobre agrimensura, agricultura,
impuestos, resoluciones de ecuaciones, etc.
Algunos problemas conducen a sistemas de ecuaciones
lineales, utilizando números positivos y negativos
los chinos eran aficionados a los
diseños armónicos, aritméticos o
geométricos, por ejemplo: los
cuadrados mágicos.
los chinos eran aficionados a los
diseños armónicos, aritméticos o
geométricos, por ejemplo: los
cuadrados mágicos.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
4 9 2
3 5 7
8 1 6
11. El interés por este tipo de modelos
fue sin dudas lo que le llevó al autor
de los Nueve Capítulos a resolver el
sistema de ecuaciones lineales
3x + 2y + z =39
2x + 3y + z =34
x + 2y + 3z =26
El interés por este tipo de modelos
fue sin dudas lo que le llevó al autor
de los Nueve Capítulos a resolver el
sistema de ecuaciones lineales
3x + 2y + z =39
2x + 3y + z =34
x + 2y + 3z =26
mediante operaciones sobre las
columnas de la matriz
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
mediante operaciones sobre las
columnas de la matriz
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
para reducirla a la forma
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
para reducirla a la forma
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
donde esta segunda forma representa
el sistema de ecuaciones
36z = 99
5y + z =24
3x + 2y + z =39
del cual pueden extraerse fácilmente,
y de una manera sucesiva, los valores
de x, y z”.
donde esta segunda forma representa
el sistema de ecuaciones
36z = 99
5y + z =24
3x + 2y + z =39
del cual pueden extraerse fácilmente,
y de una manera sucesiva, los valores
de x, y z”.
12. Liu HuiLiu Hui
Nueva difusión de los
“Nueve Capítulos”
Nueva difusión de los
“Nueve Capítulos”
para resolver ecuaciones lineales se utiliza el
método de la falsa posición
la resolución por medio de un esquema
matricial de un esquema diofántico en el que
aparece un sistema de cuatro ecuaciones con
cinco incógnitas
para resolver ecuaciones lineales se utiliza el
método de la falsa posición
la resolución por medio de un esquema
matricial de un esquema diofántico en el que
aparece un sistema de cuatro ecuaciones con
cinco incógnitas
13. Chu Shih-chieh (1280 – 1333)
“introducción a los estudios matemáticos”
“Espejo precioso de los cuatro elementos”
“El cielo, la tierra, el hombre y la materia,
representan las cuatro incógnitas de una
ecuación”.
Este libro marca la cota más alta que alcanzó
el desarrollo del álgebra china, y en él se
estudian tanto sistemas de ecuaciones
simultáneas como ecuaciones individuales de
grados tan altos como 14”.
14. India
• Brahmagupta
• solución general de la ecuación
diofántica lineal ax + by = c, con a, b y c enteros.
• sabía que si a y b son primos entre sí,
entonces todas las soluciones de la ecuación
vienen dadas por las fórmulas:
• x= p + mb,
• y= q- ma, donde m es un entero arbitrario.
• Todas las soluciones enteras de una ecuación
indeterminada.
15. Matemática árabe (segunda mitad del siglo VIII):
• Bagdad - Nueva Alejandría
• Al-Mamun (809- 833): decidió traducir al
árabe todas las obras griegas ( Almagesto,
“Los elementos”)
• Fundó la “casa de la sabiduría”
Al-Khowarizmi
Aritmética
Álgebra
16. Exposición completa del sistema de numeración hindú
(Algoritmo)
Al-jabr wa´l muqābalah, (Álgebra) :
Exposición directa y elemental de la
resolución de ecuaciones
Introducción de la notación posicional para
los números.
La solución de los 6 tipos de ecuaciones que
resultan al considerar simultáneamente en
presencia los tres posibles tipos de
cantidades: cuadrados, raíces, números, estos
6 casos agotan todas las posibilidades de
ecuaciones lineales y cuadráticas que tengan
una raíz positiva.
18. Periodo medieval (529- 1436)
Epoca de muchas traducciones y principalmente la
propagación de los numerales hindu-arabigos.
Epoca de muchas traducciones y principalmente la
propagación de los numerales hindu-arabigos.
En la Nueva era, los matemáticos ya escribían en
latín y vivían en la Europa cristiana
En la Nueva era, los matemáticos ya escribían en
latín y vivían en la Europa cristiana
Durante esta época la mayoría de los matemáticos
destacados escribieron en árabe y vivieron en el Asia
y el África islámicas.
Durante esta época la mayoría de los matemáticos
destacados escribieron en árabe y vivieron en el Asia
y el África islámicas.
19. Renacimiento (1453 en adelante)
Johann Widman: introducción del + y – (1489),
desplazando a m y q
Johann Widman: introducción del + y – (1489),
desplazando a m y q
Robert Recorde: designa el símbolo = para la
igualdad por primera vez.
Robert Recorde: designa el símbolo = para la
igualdad por primera vez.
Se impuso el uso de la palabra alemana “coss” para designar a
la incógnita
Se impuso el uso de la palabra alemana “coss” para designar a
la incógnita
Figura principal de transición del Renacimiento al
mundo moderno a, Francois Viéte (1540-1603)
Figura principal de transición del Renacimiento al
mundo moderno a, Francois Viéte (1540-1603)
20. 1° en utilizar una vocal para representar una
cantidad que se supone en álgebra desconocida o
indeterminada, y una consonante para
representar una magnitud o un número que se
supone conocido.
1° en utilizar una vocal para representar una
cantidad que se supone en álgebra desconocida o
indeterminada, y una consonante para
representar una magnitud o un número que se
supone conocido.
1° Distinción clara entre el concepto de
parámetro y la idea de incógnita, trabajo que
luego se consolida con Descartes (1596-1650)
1° Distinción clara entre el concepto de
parámetro y la idea de incógnita, trabajo que
luego se consolida con Descartes (1596-1650)
Él uso las primeras letras del alfabeto para los parámetros constantes, y de
las últimas para las incógnitas o variables.
Él uso las primeras letras del alfabeto para los parámetros constantes, y de
las últimas para las incógnitas o variables.
La Geometrie: 1° texto matemático que un estudiante de algebra actual
puede leer sin encontrarse con dificultades de notación.
La Geometrie: 1° texto matemático que un estudiante de algebra actual
puede leer sin encontrarse con dificultades de notación.
21. Representación gráfica de las soluciones de ecuaciones indeterminadas.Representación gráfica de las soluciones de ecuaciones indeterminadas.
El caso más sencillo de una ecuación lineal Dx=By , cuya representación es una
semirrecta con origen en el origen de coordenadas, dado que Fermat, lo mismo
que descartes, no utilizaba abscisas negativas
El caso más sencillo de una ecuación lineal Dx=By , cuya representación es una
semirrecta con origen en el origen de coordenadas, dado que Fermat, lo mismo
que descartes, no utilizaba abscisas negativas
“La ecuación más general ax + by = C2,
viene representada por un segmento
rectilíneo en el primer cuadrante”
“La ecuación más general ax + by = C2,
viene representada por un segmento
rectilíneo en el primer cuadrante”
Pierre Fermat(1601-
1665)
Pierre Fermat(1601-
1665)
Reconstrucción de los “lugares planos” de Apolonio, apoyándose en
las referencias contenidas en la “colección matemática” de Pappus.
Reconstrucción de los “lugares planos” de Apolonio, apoyándose en
las referencias contenidas en la “colección matemática” de Pappus.
22. •se le atribuye la primera referencia al método de
los determinantes.
•Introdujo: el punto para la multiplicación
• los dos puntos para las proporciones (a: b= c: d),
•los símbolos ∼ “semejante a” y ≅ “congruente
con”.
•que el signo = haya triunfado sobre el de
Descartes.
•se le atribuye la primera referencia al método de
los determinantes.
•Introdujo: el punto para la multiplicación
• los dos puntos para las proporciones (a: b= c: d),
•los símbolos ∼ “semejante a” y ≅ “congruente
con”.
•que el signo = haya triunfado sobre el de
Descartes.
En unas cartas de 1693 dirigidas a L’Hospital, explica Leibniz que solía usar
números para indicar las filas y las columnas en un sistema de ecuaciones lineales,
escribiendo:
10 + 11x +12y =0 10 + 11x +12y =0
20 + 21x + 22y = 0 o bien 20 + 21x 22y ∼ 0
30 + 31x + 32y = 0 30 +21x + 32y = 0
para lo que nosotros escribimos a1 + b1x + c1y = 0
a2 + b2x + c2y = 0
a3 + b3x + c3y = 0
Si el sistema de ecuaciones es compatible, entonces
10 .21.32+10.22.31
11.22.30 = 11.20.32
11 .20.31 +11.21.30
Lo que es equivalente en términos modernos, a
En unas cartas de 1693 dirigidas a L’Hospital, explica Leibniz que solía usar
números para indicar las filas y las columnas en un sistema de ecuaciones lineales,
escribiendo:
10 + 11x +12y =0 10 + 11x +12y =0
20 + 21x + 22y = 0 o bien 20 + 21x 22y ∼ 0
30 + 31x + 32y = 0 30 +21x + 32y = 0
para lo que nosotros escribimos a1 + b1x + c1y = 0
a2 + b2x + c2y = 0
a3 + b3x + c3y = 0
Si el sistema de ecuaciones es compatible, entonces
10 .21.32+10.22.31
11.22.30 = 11.20.32
11 .20.31 +11.21.30
Lo que es equivalente en términos modernos, a
Gottfried
Wilhelm
Leibniz
(1646-1716)
Gottfried
Wilhelm
Leibniz
(1646-1716)
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
23. “”El Treatise of Álgebra”,
se publicó en 1748en él aparece la regla para resolver sistemas de ecuaciones
lineales simultáneas por medio de determinantes, dos años antes que en la
“Introduction á l’analyse des lignes courbes algebriques” de Cramer.
“”El Treatise of Álgebra”,
se publicó en 1748en él aparece la regla para resolver sistemas de ecuaciones
lineales simultáneas por medio de determinantes, dos años antes que en la
“Introduction á l’analyse des lignes courbes algebriques” de Cramer.
La regla fue publicada por Gabriel Cramer (1704-
1752) en 1750
La solución y del sistema ax +by = c
dx + ey = f
viene dada como
Y= (a.f – c.d)/ ( a.e – b.d)
X = (c.e – b.f)/ ( a.e – b.d)
La regla fue publicada por Gabriel Cramer (1704-
1752) en 1750
La solución y del sistema ax +by = c
dx + ey = f
viene dada como
Y= (a.f – c.d)/ ( a.e – b.d)
X = (c.e – b.f)/ ( a.e – b.d)
Colin Maclaurin (1698-
1746)
Colin Maclaurin (1698-
1746)
24. Louis Cauchy
(1789-1857)
Louis Cauchy
(1789-1857)
Carl Friedrich
Gauss(1777-1855)
Carl Friedrich
Gauss(1777-1855)
Utilización de la teoría de determinantesUtilización de la teoría de determinantes
Su teoría de método de resolución denominada
“Gaussiana”,
Su teoría de método de resolución denominada
“Gaussiana”,
25. En 1779, dió un sistema de reglas para resolver sistemas de n
ecuaciones lineales con n incógnitas, parecido al de Cramer.
En 1779, dió un sistema de reglas para resolver sistemas de n
ecuaciones lineales con n incógnitas, parecido al de Cramer.
Ejemplo: podríamos preguntarnos por una condición necesaria para que el sistema
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
tenga una solución. Una condición necesaria es la de que el eliminante
que es aquí un caso especial del Beuzouniano,
sea igual a cero
Ejemplo: podríamos preguntarnos por una condición necesaria para que el sistema
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
tenga una solución. Una condición necesaria es la de que el eliminante
que es aquí un caso especial del Beuzouniano,
sea igual a cero
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
Étienne Bézout
(1730-1783)
Étienne Bézout
(1730-1783)
Generalización de un sistema de ecuaciones con una o más
incógnitas, en el que se busca una condición sobre los
coeficientes, necesaria para que el sistema tenga al menos una
solución.
Generalización de un sistema de ecuaciones con una o más
incógnitas, en el que se busca una condición sobre los
coeficientes, necesaria para que el sistema tenga al menos una
solución.
26. Bibliografía
• Carl B. Boyer. (1968). Historia de la
Matemática. Ed. Alianza. Madrid
• http://www.emis.de/journals/DM/v14-
2/art6.pdf (08/07/02015).
