Este documento presenta información sobre la idea de la demostración en la historia de las matemáticas. Brevemente describe qué son las matemáticas y los matemáticos, y explica que las demostraciones son importantes para resolver problemas, demostrar teoremas y aplicar ideas matemáticas. Luego resume los principales períodos históricos del desarrollo de las demostraciones, incluidos los períodos jónico, ateniense y helenístico de la antigua Grecia.

1. VI SIMPOSIO DE
MATEMÁTICAS Y
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
V CONGRESO
INTERNACIONAL DE
MATEMATICA ASISTIDA
POR COMPUTADOR

2. LA IDEA DE LA
DEMOSTRACION EN LA
HISTORIA DE LA
MATEMATICA
Juan E. Nápoles Valdes
UNNE-FaCENA
UTN-FRRE
ARGENTINA

3. ¿Qué es la Matemática?
Matemática es la ciencia que trata con magnitudes
(variables y constantes, cualitativas y
cuantitativas), formas (abstractas y concretas),
patrones y reglas, que usa métodos generales y
técnicas propias para estudiar, comprender y
modificar sistemas y fenómenos sociales,
naturales y humanos. La Matemática es una
actividad colectiva de la comunidad matemática,
consolidada gradualmente en el tiempo.

4. ¿Qué es un matemático?
Un matemático es una persona que no solo estudia
Matemática, sino que también investiga en
Matemática. Algunos matemáticos investigan y
enseñan Matemática.
La Matemática es el lenguaje de los matemáticos, y
la demostración es un método para comunicar una
verdad a otra persona que también “habla” el mismo
idioma.

5. ¿Para qué sirve?

6. 1. Resolver problemas.
2. Demostrar teoremas o refutar conjeturas.
3. Aplicar, en sentido amplio, las ideas, métodos,
algoritmos, etc. obtenidos en los pasos
precedentes.
Una demostración de un teorema matemático es
una sucesión de pasos que conducen a la
conclusión deseada; proceso que puede ser
verificado por cualquiera que conozca el lenguaje.

7. • Precisión y rigurosidad.
• No debe contener ambigüedades.
• Debe ser correcta.
• Belleza.
• Elegancia.
• Utilidad.
• etc.

8. GRECIA
El paso del Mito al Logos

9. Período Jónico (básicamente hasta mediados del Siglo V
A.C.)
Período Ateniense (desde el 450 A.C. hasta 320/300 A.C.)
Período Helenístico (que duró aproximadamente dos
siglos y medio, hasta el 30 A.C.)
Período Greco-latino o de la Decadencia
(temporalmente entre el 30 A.C. hasta el 640 D.C.)

10. • La organización deductiva.
• La orientación geométrica.
• El ideal de ciencia desinteresada.
• Matemáticas y Filosofía.

12. • Un círculo es bisecado por un diámetro.
• Los ángulos bases de un triángulo isósceles son iguales.
• Los ángulos opuestos entre dos rectas interceptadas son
iguales.
• Dos triángulos son congruentes, si ellos tienen dos
ángulos y un lado iguales.
• Un ángulo inscrito en un semicírculo es recto.
Hipócrates de
Quios (470 A.C.-
410 A.C.)

20. Números Primos
Un número primo es un numero natural que
tiene únicamente dos divisores naturales
distintos: él mismo y el 1.
Estos son los veinticinco números primos
menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43 ,47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89 y 97.

21. ¿Por qué el número 1 no es primo?
Por definición, un número primo es “Un
número entero mayor que 1 que sólo tiene
como divisores positivos (factores) a sí mismo
y a la unidad”. Por esta razón, el 1 queda
automáticamente excluido.

22. ¿Cuál es el número primo mas
grande que existe?
Existen infinitos números primos.
Euclides realizó la primera
demostración alrededor del año 300
a.C.
El número primo más grande conocido
cuenta con 9.808.358 dígitos.

23. Proposición 20 (Libro IX). Hay más números
primos que cualquier cantidad propuesta de
números primos.
Ojo. La demostración de
Euclides es geométrica,
presentaremos la demostración
más aceptada actualmente.

24. Supóngase, por el contrario, que sólo hay una
cantidad finita de números primos y supóngase que
se denotan como a, b, c, ... , d. Este conjunto puede
contener 400 ó 400.000 números primos, pero
suponemos que los contiene todos.
Multiplíquense estos números primos unos por otros
y sumemósle 1 al producto para obtener un nuevo
número N = (a · b · c ·...· d) + 1.
N es mayor que cualquiera de los números primos
individuales a, b, c, ... , d, y por tanto N es diferente
de todos ellos. Puesto que estos números son los
únicos números primos existentes, concluimos que
N no es un número primo.

25. Esto significa que N debe ser un número
compuesto, y por tanto N tiene un divisor primo.
Supongamos que N es un múltiplo de c.
Claramente, el producto a · b · c ·...· d es también
un múltiplo de c.
Pero la diferencia entre N y a · b · c ·...· d es
también un múltiplo de c.
Por tanto, 1 es múltiplo de c (o de cualquier otro
número primo que es un factor de N).
Esta contradicción,demuestra el teorema.

26. Hilbert, nos presenta una variante (¿sutil?) en su
“Grundlagen der Geometrie”: Existen infinitos
números primos.

27. Teorema de Pitágoras (Proposición 47, Libro I).
En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado
que subtiende el ángulo recto es igual a los
cuadrados de los lados que comprenden el ángulo
recto.

29. Un cuadrado de lado b+c se divide en dos
cuadrados de lados b y c y en cuatro triángulos
rectángulos de catetos b y c e hipotenusa a.

30. ROMPECABEZAS DE PERIGAL
A partir de un triángulo rectángulo
de catetos b y c e hipotenusa a,
se hace una partición del
cuadrado de lado b de la
siguiente forma: por el centro del
cuadrado se trazan dos
segmentos, uno paralelo a la
hipotenusa y el otro perpendicular
a ella. Obteniéndose así, cuatro
piezas que junto al cuadrado de
lado c encajan perfectamente en
el cuadrado de lado a.

31. DEMOSTRACIÓN DE BHÂSKARA (1114-1185)
El matemático hindú Bhâskara reconstruyó la demostración
del Teorema de Pitágoras que aparece en un diagrama de
la Aritmética Clásica China, en el que se representa la más
antigua demostración del teorema, admirada por su
elegancia. Bhâskara expuso esta demostración en su libro
“Vijaganita” sin añadir más comentarios que el de
“observe”.
A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e
hipotenusa a se ha hecho una partición en cinco partes:
cuatro de estas partes son triángulos rectángulos iguales al
de partida y la otra es un cuadrado de lado (b-c).

33. ROMPECABEZAS DE OZANAM
Las cinco piezas que componen
este rompecabezas se obtienen
de cortar los dos cuadrados
construidos sobre los catetos.
Se colocan los cuadrados de
lados b y c. Se consideran dos
cuadrados equivalentes al de
lado c situados inferiormente
como muestra la figura anexa.
Se trazan dos segmentos de
medida a y perpendiculares por
P.

34. Estos segmentos al
cortar a los lados
de los cuadrados
determinan las
cinco piezas que
encajan para
formar el cuadrado
construido sobre la
hipotenusa.

35. ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS
En cada uno de los
cuadrados construidos sobre
los catetos se traza una
diagonal y por los otros dos
vértices del cuadrado se
trazan segmentos paralelos
a la hipotenusa,
determinándose así cuatro
partes en cada uno de los
cuadrados, que agrupadas
convenientemente forman el
cuadrado sobre la
hipotenusa.

36. ¿Alguna más?
Si quitamos los triángulos de los cuadrados grandes, nos
queda la misma superficie en el cuadrado azul que en el
cuadrado rojo.

37. El Problema del V Postulado
"Si una recta corta a dos rectas
(en un mismo plano) los ángulos
interiores del mismo lado son
menores a dos rectos. Esas
rectas, prolongadas
indefinidamente, se encuentran
del lado en que los ángulos son
menores que dos ángulos rectos"

39. Los Tres Problemas Clásicos
LA DUPLICACIÓN DEL CUBO
LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO
LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

41. )(2
500
360
5.7
EarthofRadius
miles
o
o
π
=
milesREarth 3820
5.72
500360
=
×
×
=
π
%5.3
3950
aboutError
milesradiusActual =

45. 1°. La distinción expresa entre una demostración
estrictamente concluyente y cualquier otro tipo de
argumentación o de prueba más o menos eficaz y
convincente.
2°. La reflexión metadiscursiva sobre los supuestos y
las condiciones que distinguen tal demostración, así
como el análisis de sus aspectos lógicos,
epistemológicos y metodológicos.
3°. La proyección de sus virtudes sistemáticas con
miras a la organización de un conjunto de resultados
demostrados, bien al calor de un filosofía de la
"ciencia demostrativa" o bien en el curso efectivo de
construcción de ciertos cuerpos deductivos,
"axiomatiformes", de conocimientos matemáticos.