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Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Tecnológica Andrés Eloy Blanco
UPTAEB
Plano Numérico
Cordero Fénix
Seccion:AD0401-C
Tutor: Erasmo Mata
Plano Numérico o
Cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o
sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado
origen o punto cero.
El plano cartesiano también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.
La finalidad del plano
cartesiano es describir la
posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de
coordenadas.
Distancia entre dos
puntos
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del
segmento de recta que los une, expresado numéricamente.
Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera
A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B),
como la longitud del segmento que los separa.
Punto Medio
Es el punto que se encuentra a la misma
distancia de dos elementos geométricos, ya
sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Punto Medio de un
Segmento
El punto medio de un segmento es un punto que está sobre el segmento y se
ubica a la distancia igual de los puntos extremos. En los problemas
geométricas son frecuentes los casos cuando es necesario hallar el punto
medio de un segmento dado expresado con dos puntos de sus extremos, por
ejemplo, en los problemas sobre la mediana, la línea media.
Cada una de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la
semisuma de las coordenadas respectivas de sus extremos.
Fórmulas para hallar el punto medio de un segmento:
Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con
extremos A(xa, ya) y B(xb, yb) en plano:
xc =
xa + xb
yc =
ya + yb
2 2
Ecuaciones y trazado de
circunferencias
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Determinación de
una Circunferencia
Una circunferencia queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del
centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
También podemos decir que la
circunferencia es la línea formada por
todos los puntos que están a la misma
distancia de otro punto, llamado centro
Entonces entrando en el terreno de la
Geometría Analítica,(dentro del plano
cartesiano)diremos que para
cualquier punto (x, y),de una
circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r la
ecuación ordinaria es:
(x-a) 2 + (y-b)2= r2
Parábolas
• Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje
focal (llamado también eje de simetría ).
• Eje focal (o de simetría): Línea recta que divide
simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el
vértice
• Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la
parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los
brazos de la misma y a una distancia p del vértice
• Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal
que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de
los brazos de la parábola.
• Distancia focal (p) : Parámetro que indica la
magnitud de la distancia entre vértice y foco , así
como entre vértice y directriz (ambas distancias son
iguales).
• Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Es una forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una
serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
• Cuerda focal : Cuerda que pasa
por el foco.
• Lado recto (LR) : Cuerda focal
que es perpendicular al eje
focal.
Ecuaciones Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el
que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es
siempre constante.
Hipérbola
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la
distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola
siempre se cumple que:
d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al
foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Representar gráficamente las
ecuaciones de las cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si
dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y
circunferencia.
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono:
Parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3)
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y
la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden
obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
β = 180° : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el
plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se
cortan en el vértice.
Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a
medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0)
Bibliografía
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/
analitica/conica/conicas.html
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-
general
http://biblio.colmex.mx/curso_investigacion_documental/
tutorial/PDF/Gu%C3%ADa%20de%20fuentes.pdf
https://www.significados.com/plano-
cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20c
artesiano,
https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3
%B3nica

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  • 1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad Politécnica Tecnológica Andrés Eloy Blanco UPTAEB Plano Numérico Cordero Fénix Seccion:AD0401-C Tutor: Erasmo Mata
  • 2. Plano Numérico o Cartesiano Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
  • 3. Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
  • 4. Punto Medio Es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Punto Medio de un Segmento El punto medio de un segmento es un punto que está sobre el segmento y se ubica a la distancia igual de los puntos extremos. En los problemas geométricas son frecuentes los casos cuando es necesario hallar el punto medio de un segmento dado expresado con dos puntos de sus extremos, por ejemplo, en los problemas sobre la mediana, la línea media. Cada una de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la semisuma de las coordenadas respectivas de sus extremos. Fórmulas para hallar el punto medio de un segmento: Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos A(xa, ya) y B(xb, yb) en plano: xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2
  • 5. Ecuaciones y trazado de circunferencias La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro Determinación de una Circunferencia Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro Entonces entrando en el terreno de la Geometría Analítica,(dentro del plano cartesiano)diremos que para cualquier punto (x, y),de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r la ecuación ordinaria es: (x-a) 2 + (y-b)2= r2
  • 6. Parábolas • Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ). • Eje focal (o de simetría): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice • Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice • Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. • Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). • Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. Es una forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: • Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco. • Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
  • 7. Ecuaciones Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • 8. Hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante. Hipérbola Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante. Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
  • 9. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: Parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3)
  • 10. Tipos En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azul) β > α : Elipse (verde) β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) β = 180° : Triangular Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0)