Para representar gráficamente una ecuación en el sistema de coordenadas polares, hay que trazar una curva en torno a un punto fijo llamado polo. Considérese una región limitada por una curva y por los rayos que pasan por los extremos de un intervalo de la curva. Para aproximar el área de tales regiones se usan sectores circulares. En este trabajo, se verá cómo puede emplearse el proceso de límite para encontrar esta área.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”.
Barcelona
Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y
Coordenadas Polares

2. PARABOLA
Una parábola es una curva en la que los puntos están a la
misma distancia de:
• Un punto fijo (el foco)
• Una línea fija (la directriz)
Además cuenta con una serie de elementos o parámetros
que son básicos para su descripción, y son:
• Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje de
simetría.
• Distancia focal: Parámetro que indica la magnitud de la distancia
entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas
distancias son iguales).
• Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,
pertenecientes a la parábola.
• Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal

3. La ecuación de una parábola de eje paralelo al eje x, con vértice en ( h, k ) y foco
F( h + a, k) es:
En vista que: (y - k)2 = 4 a(x - h) ≥ 0
Los signos de “a” y “x-h” son siempre iguales. Por consiguiente: la parábola se
abre hacia la derecha, si a > 0 y x ≥ h; y se abre a la izquierda si a < 0 y x ≤ h
Siendo sus elementos:
• Vértice: V( h, k)
• Foco: F(h + a, k)
• Directriz: x = h-a
• Eje de la parábola: y = k
• Longitud del lado recto: l 4a l
• Extremos del lado recto: (h + a, k ± 2a)
(y - k) 𝟐
= 𝟒 a(x - h)
Teorema

4. Ejemplo
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz

5. Elipse
Una elipse es el conjunto de todos
los punto de un plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos es una
constante.
Así que, no importa dónde estés en
la elipse, puedes sumar las distancias al
punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo
mismo.
(Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de
la elipse)
El área de una elipse es π × r × s

6. • Focos: Son los puntos fijos F y F'
• Eje focal: Es la recta q pasa por lo focos
• Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'
• Centro: es el punto de intersección de los ejes
• Radio vectores: Son los segmentos q van desde un punto de la
elipse a los focos: PF PF'
• Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal.
• Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes:
A, A',B, B'.
• Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del
semieje mayor.
• Eje Menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del
semieje menor.
• Ejes de simetría: Son las rectas q contienen al eje mayor o al eje
menor.
• Centro de simetría: Coinciden con el centro de la elipse, que es el
punto de intersección de los ejes de simetría.
Elementos de la Elipse

7. Teorema
La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y
longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a>b,
es:
El eje mayor es horizontal.
o
El eje mayor es vertical.
Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con
c²= a²- b²

8. Ejemplo
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vértices y la excentricidad de las siguiente elipse:

9. Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de
distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).
La hipérbola también se puede
definir como una cónica, siendo la
intersección del cono con un plano
que no pase por su vértice y que
forme un ángulo con el eje del cono
menor que el ángulo que forma con
el eje generatriz g del cono.

10. Elementos de la hipérbola
• Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la
intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
• Eje real: es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2.
• Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones
que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las
regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada
tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las
proyecciones de un foco sobre las tangentes.
• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia
a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la
circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

11. Ecuación de la Hipérbola
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:
Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la
hipérbola:
siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los
coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

12. Teorema
Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las
asíntotas son:
Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas
son:

13. Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0)

14. Curvas planas y ecuaciones paramétricas
Curva plana: Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las
ecuaciones x = f(t) y y = g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y se dice que t es el
parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I
se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la
gráfica, juntas, se le llama una curva plana, que se denota por C.

15. Trazado de una curva
Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones
paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla
Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad
de f y de g se obtiene la curva C

16. x=t²-4
y=t/2
t=2y
x=(2y)²-4
x=4y²-4
Ecuaciones
paramétricas
Despejar t de una
de las ecuaciones
Sustituir en la
otra ecuación
Ecuación
rectangular
Eliminación del parámetro
Al encontrar la ecuación rectangular que representa
la gráfica de un conjunto de ecuaciones
paramétricas se le llama eliminación del parámetro.
Por ejemplo, el parámetro del conjunto de
ecuaciones paramétricas del ejemplo anterior
(trazado de una curve) se puede eliminar así:
Una vez eliminado el parámetro, se ve que la
ecuación x=4y²-4 representa una parábola con
un eje horizontal y vértice en (-4,0)

17. Ajuste del dominio después de la
Eliminación del parámetro
El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma
rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que
su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas.
Dibujar la curva representada por las ecuaciones
eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.
Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede
despejar t de la primera ecuación.
Ecuación paramétrica para x.
Elevar al cuadrado cada lado.
Despejar t

18. Continuación
Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene
Ecuación paramétrica para x.
Elevar al cuadrado cada lado.
Despejar t

19. Emplear trigonometría para
eliminar un parámetro
Dibujar la curva representada por
al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.
Para empezar se despejan cos θ y sen θ de las ecuaciones dadas.
A continuación, se hace uso de la identidad sen²θ + cos² θ =1 para formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y.
Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que θ va de 0 a 2π
En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una
elipse centrada en (0,0) con vértices en (0,4) y (0,-4) y eje menor
de longitud 2b=6
Identidad trigonométrica.
Sustituir.
Ecuación rectangular.

20. Ecuaciones paramétricas para una
gráfica dada
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y=1-x²
usando cada uno de los parámetros siguientes:
a) t=x b) La pendiente m =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
en el punto (x, y)
• Haciendo x=t se obtienen las ecuaciones paramétricas
x=t y y=1-x²=1-t²
• Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder así:
m=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=-2x Derivada de y=1-x²
x= -
m
2
Despejar x
Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación
paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por –m/2

21. Continuación
y=1-x² Escribir la ecuación rectangular original
y=1- ( -
𝒎
𝟐
)² Sustitución de x por –m/2
y= 1-
𝒎²
𝟒
Simplificación
Por tanto, las ecuaciones paramétricas son:
x= -
𝒎
𝟐
y y= 1-
𝒎²
𝟒

22. Curva suave
Una curva C representada por x=f(t) y y=(t) en un intervalo I se dice que es
suave si f' y g' son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto
posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si
es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.