El documento presenta conceptos básicos sobre polinomios, incluyendo su definición, clasificación, grado, orden, términos semejantes, evaluación y diferentes métodos de factorización como el máximo común factor, agrupación, fórmulas especiales para diferencia y suma de cuadrados y cubos perfectos, y factorización de trinomios.

1. POLINOMIOS
Matemática Intermedia
Profesora Mónica Castro

2. Objetivos
 Definir y repasar los conceptos básicos de
polinomios.
 Discutir los distintos métodos de factorización de
polinomios.
 Establecer distintas técnicas de enseñanza para
factorizar polinomios.
 Sintetizar las técnicas de factorización de
polinomios mediante la construcción de mapa de
conceptos u otras técnicas de assessment.

3. Definición
 Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica
formada solamente por la suma de términos de la
forma axn , donde a es cualquier número y n es un número
entero no negativo.
 Ejemplos:
1) 3x - 2
2) x4 + 5
3) 2n2 - 5n + 3
4) 5y3 + 4y2 - 3y + 1
5) 23

4. Definición
 Las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios:
 ¿Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos
que son polinomios y estos dos que no lo son?
Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no
toda expresión algebraica es un polinomio.

5. Componentes de un polinomio
 Término: Un término es una parte de una expresión
algebraica. Los términos se separan entre sí por los
signos de suma (+) o resta (-).
 Coeficiente numérico: es el factor numérico del mismo.
 Término constante: es el coeficiente numérico que no
contiene variable.

6. Clasificación de los polinomios
 Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de
términos.
 Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio.
 Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio
 Si tiene tres términos se llama trinomio
 Los polinomios formados por más de tres términos no reciben
ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la
cantidad de términos que contiene.

7. Grado de un polinomio
 Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está
determinado por el término que contiene el mayor exponente.
 Si tiene más de una variable, se suman los exponentes de cada
término y la suma más alta determina el grado del polinomio.
Polinomios Grado
Es de grado cuatro
Es de grado tres
Es de grado dos
5x – 1 Es de grado uno
8 Es de grado cero
3x3y5 + 5x2y4 – 7xy2 +
6
Es de grado ocho

8. Orden de un polinomio
 Los polinomios se ordenan escribiendo los
exponentes en orden
 descendente, es decir, de mayor a menor
 ascendente, es decir, de menor a mayor.
Polinomio Orden
3x2 – 5x + 8 Orden descendente
8 – 5x + 3x2 Orden ascendente

9. Términos Semejantes
 Dos términos son semejantes cuando ambos son
numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus
exponentes son respectivamente iguales.
Semajentes No semejantes
6 ; -11 6 ; -11x
x ; 3x x ; 3x2
-3x ; 11x -3x ; 11xy

10. Evaluación de polinomios
 Para evaluar un polinomio hacemos lo mismo que
evaluar una expresión algebraica.
 Simplemente sustituimos el valor asignado a la variable
y efectuamos las operaciones indicadas en el
polinomio.
Evalua cada polinomio para los valores asignados:
1) 2x4 – 3x3 + 6x – 8 cuando x = -2
2) x2 +5x – 6 cuando x = -3
3) 3xy –xy +4 cuando x = 1 y y = -2

11. Ejercicio
Considera el siguiente polinomio 2a + 4a3 - 9 y contesta:
1. ¿Cuáles son los coeficientes?
2. ¿Cuál es el término constante?
3. ¿Cuántos términos tiene?
4. ¿Cuál es su clasificación de acuerdo al número de términos que tiene?
5. Expresa el polinomio dado en orden ascendente.
6. Expresa el polinomio dado en orden descendente.
7. ¿Cuál es el grado del polinomio?
8. ¿Contiene términos semejantes?
9. Evalua el polinomio para cuando a = -1.

12. Factorización de polinomios
 Es expresar un polinomio como producto de
factores, que, al multiplicarlos todos, resulta el
polinomio original.
 Proceso inverso a la propiedad distributiva

13. Máximo Común Factor
 Factor común mayor
 Se buscan los factores de cada término
 Se agrupan a la izquierda los factores en común en cada término,
luego se coloca en paréntesis los factores restantes de cada
término.
2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
3x(2z - 5z) + x (2z – 5z)
= 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z)
= (2z – 5z) (3x + x)

14. Agrupación
 Se unen los factores que se parezcan, es decir, los que
tengan un factor común, utilizando paréntesis
 Ejemplos:
))((
)()(
)()(
yxba
baybax
byaybxax
byaybxax





15. Fórmulas Especiales
 Diferencia de cuadrados perfectos
 x2 – y2 = (x – y) (x + y)
 Suma de cubos
 a3 + b3=(a + b) (a2 - ab + b2)
 Diferencia de cubos
 a3 – b3 =(a - b) (a2 + ab +b2)
 Cuadrado perfecto
 a2 + 2ab + c =(a + b) 2
 a2 – 2ab + c = (a - b) 2

16. Trinomios
De la forma x2 ± bx ± c
 Siempre se factoriza de la siguiente manera
(x ± #) (x ± #)
 El trinomio nos da unas claves para resolver estos ejercicios de una
forma más rápida:
 El segundo signo nos indica si los signos en los paréntesis son iguales o
diferentes,
 El primer signo indica donde va colocado el factor mayor.
 La primera pregunta que usted se debe hacer que factores de c
sumados (si el segundo signo es +) o restados (si el segundo signo es
negativo) me dan b (en valor absoluto).

17. Trinomios
De la forma x2 ± bx ± c
Polinomio Factorización Explicación
x2 + bx + c
(x + #) ( x + #)
Factores de c que sumados me den b
Como el segundo signo es positivo ambos
paréntesis llevan el mismo signo y como el
primero es positivo el signo que se utiliza es
positivo.
x2 - bx + c
(x - #) ( x - #)
Factores de c que sumados me den b
Como el segundo signo es positivo ambos
paréntesis llevan el mismo signo y como el
primero es negativo el signo que se utiliza
es negativo.
x2 + bx - c
(x + factor mayor) ( x - #)
Factores de c que restados me den b
Como el segundo signo es negativo, los
paréntesis llevan el signos diferentes. Como
el primer signo es positivo, el factor mayor
va a ir en el paréntesis con el signo de +.
x2 - bx - c
(x + #) ( x – factor mayor)
Factores de c que restados me den b
Como el segundo signo es negativo, los
paréntesis llevan el signos diferentes. Como
el primer signo es negativo, el factor mayor
va a ir en el paréntesis con el signo de -.

18. Trinomios
De la forma ax2 + bx + c
 Método común es el Ensayo y error
 Otro método
 Pasos a seguir
1. Multiplica los términos de los extremos de tu trinomio c(ax2 )
2. Basándote en el coeficiente del segundo termino (b) y en el resultado del
primer paso, se buscan dos números que sumados me den c y multiplicados
me den c(ax2 )
3. Agrupa dentro de un paréntesis el primer término de tu trinomio sumado con
el primer factor encontrado
4. Agrupa el segundo factor encontrado sumado con el tercer término de tu
trinomio
5. Suma los dos paréntesis y luego resuelve por el método de agrupación.

19. Factoriza 6x² - x – 2
 Paso 1: -2(6x²) = -12x²
 Paso 2: Buscar factores que multiplicados me den -12x² pero sumados me
den –x
 Paso 3: (6x² + 3x)
 Paso 4: (-4x – 2)
 Paso 5: (6x² + 3x) + (-4x – 2)
= 3x(2x + 1) + -2(2x + 1)
= (2x + 1) (3x – 2)
Factor 1 -x x -2x 2x -3x 3x
Factor 2 12x -12x 6x -6x 4x -4x
Suma 11x -11x 4x -4x x -x

20. Ejercicio de Assessment
 Construye un mapa de concepto donde se
presenten los distintos métodos de factorización y
cómo se aplican

21. Mapa de concepto de factorización
Factorización
Factor común
mayor
Binomio
Diferencia de
cuadrados
perfectos
Suma de
cubos
perfectos
Diferencia de
cubos
perfectos
Trinomio
Cuadrado
perfecto
A2 ± 2AB ± C
De la forma
x2 + bx + c ax2 + bx + c
Polinomio de
4 términos
Agrupación

22. Factoriza completamente
14) 25 - 4a2 =
15) 16m2n2 - 9p2 =
16) x2 - 4x + 3 =
17) x2 - 2x - 15 =
18) x2 - 7xy - 18y2 =
19) 12 - 4x - x2 =
20) 5x2 - 11x + 2 =
21) 6x2 - 7x - 5 =
22) 12x2 + 17x - 5 =
23) 7u4 - 7u2v2 =
24) kx3 + 2kx2 - 63kx =
25) 5x3 - 55x2 + 140x =
26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 =
1) a2b - ab2 =
2) 6p2q + 24pq2 =
3) 12x3y - 48x2y2 =
4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=
5) ¼ ma + ¼ mb + ¼ mc
6) a/5 + b/25 + c/ 40
7) x2 - 8x + 16 =
8) 16y2 + 24y + 9 =
9) 36a2 - 12a + 1 =
10) 4x2 + 20xy + 25y2 =
11) 16x2 - 25y2 =
12) 144 - x2y2 =
13) 36 - 25a2 =