trabaj de Unidad 1 : Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación Kimbery Medina ci. 25.834.691

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular de Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo-Lara
Expresiones Algebraicas,
Factorización y Radicación
Integrante:
Medina D. Kimberly E.
CI. 25.834.691
Matemática inicial
Barquisimeto 2022

2. Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de
expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de
expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números.
Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general,
una o dos letras. Un ejemplo de expresión algebraica con una única letra es:
3x2+4x−2−x2+7x
Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es simplificarla, utilizando
las propiedades de las expresiones, que son equivalentes a las propiedades de los
números. En el caso del ejemplo, deben agruparse los términos con las mismas
letras. Por un lado, debemos sumar 3x2 y −x2 y, por el otro, se tienen que
sumar 4x y 7x:
3x2−x2=2x2
4x+7x=11x
Así pues, la expresión de segundo grado 3x2+4x−2−x2+7x es igual a 2x2+11x−2.
El valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo la letra por un
número de terminado. Por ejemplo, el valor numérico de 2x2+11x−2 cuando x=3 es
igual a 2·32+11·3−2=18+33−2=49.
El grado de una expresión algebraica con una única letra es el exponente máximo
de esta letra en la expresión. Por ejemplo, el grado de 2x2+11x−2 es 2.
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas. Por ejemplo,
3x+5=8x3x+5=8x
Es una ecuación.
Las letras de una ecuación se denominan incógnitas.
Resolver una ecuación consiste en buscar aquellos números que, sustituidos por
las incógnitas, convierten la igualdad resultante en correcta. Al número (o números)
que resuelve la ecuación se le denomina una solución de la ecuación.
El grado de una ecuación es el grado máximo de las expresiones que contiene. Así,
la ecuación del ejemplo es de grado 1, puesto que el grado máximo de las
expresiones que contiene es 1.
La resolución de ecuaciones de grado 1 (o primer grado) y de grado 2 (o segundo
grado) es relativamente sencilla. Existen fórmulas para resolver ecuaciones de
grado 3 (o tercer grado), e incluso de grado 4 y 5. Aun así, en general, salvo que
sea muy sencillo encontrar las soluciones (por ejemplo, la ecuación x4−16=0x4-
16=0 tiene dos soluciones evidentes, que son 22 y −2−2), las ecuaciones de grado
mayor que 2 se resuelven de manera aproximada mediante métodos numéricos que
no se contemplan en este curso.
Si no se dice explícitamente, de ahora en adelante se considerarán únicamente
aquellas ecuaciones que tengan una única incógnita.

3. Existen algunas propiedades algebraicas que resultan ser las mismas que las
aritméticas, es decir, cumple igualmente en el álgebra elemental, me refiero a las
propiedades de adición y multiplicación que se las presento en estos momentos:
 Propiedad conmutativa:
a+b=b+ca+b=b+c, ab=baab=ba
 Propiedad asociativa:
a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c
 Propiedad distributiva: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
 Elemento neutro: a+0=aa+0=a, a⋅1=aa⋅1=a
 Elemento opuesto: a+(−a)=0a+(−a)=0, a⋅1a=1a⋅1a=1
Estas son solo algunas propiedades de los números reales, aunque hay más
propiedades, pero estas son las más fundamentales. Estas propiedades aplican a
la parte literal, es decir, las variables, con base en esto te mostramos los siguientes
ejemplos de una expresión algebraica.
Ejemplos
Las siguientes expresiones son expresiones algebraicas y cumple las propiedades
de los números reales.
o 2x2. 3√y7
o 3x2 y3z-5
Entre otras podemos citar los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
también conocidas como ecuaciones simultáneas de primer grado. Pero
obviamente también existen ecuaciones más completas tales como las ecuaciones
logarítmicas, las ecuaciones exponenciales, las ecuaciones fraccionarias, las
ecuaciones polinómicas etc.
Pero si me pides una definición sencilla para las ecuaciones algebraicas te diría que
las ecuaciones representan igualdades no evidentes, es decir una “declaración” de
igualdad, que a simple vista no es tan sencillo percibir.
Tengamos en cuenta que puede haber una o más variables en una ecuación. Y por
otra parte, en algunos tipos de ecuaciones, resolverlas significa encontrar todos los
posibles valores de una o más variables contenidas en ellas.
Todo esto lo estudiaremos paso a paso, pero vale aclarar que las ecuaciones se
pueden resolver en forma algebraica o en forma gráfica. Por este motivo, queda
claro que existen diversos métodos algebraicos que pueden ser utilizados con el fin
de conseguir la solución de una ecuación, pero también los hay gráficos. La
elección de estos métodos sin duda va a depender los tipos de ecuación a que nos
toque enfrentarnos.
Como comentario general, puedo decirte que para encontrar los valores de todas
las variables en juego en una ecuación, necesitarás tantas ecuaciones como
variables tengas.
Por ejemplo, una ecuación 2 x + y = 10 necesita una ecuación más del mismo tipo
(como x + 2y = 18), ya que tiene dos variables x y y.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. Factorización
La factorización es un método a través del cual un polinomio se expresa en forma
de multiplicación de factores, que pueden ser números, letras o ambos. Para
factorizar se agrupan los factores que son comunes a los términos, y de esa forma
se va descomponiendo el polinomio en varios polinomios.
Así, cuando los factores se multiplican entre sí el resultado es el polinomio
original. La factorización es un método muy útil cuando se tienen expresiones
algebraicas, porque se puede convertir en la multiplicación de varios términos
sencillos; por ejemplo: 2a2 + 2ab=2a * (a + b).
Existen casos en los que un polinomio no puede ser factorizado porque no hay un
factor común entre sus términos; así, esas expresiones algebraicas son divisibles
solamente entre ellas mismas y por 1. Por ejemplo: x + y + z.
En una expresión algebraica el factor común es el máximo común divisor de los
términos que la componen.
Métodos de factorización
Hay varios métodos de factorización, que son aplicados dependiendo el caso.
Algunos de estos son los siguientes:
Factorización por factor común
En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos
que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad
distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.
En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada
término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo
común divisor para expresar la factorización.
Ejemplo 1
Factorizar (b2x) + (b2y).
MONOMIOS(1 TERMNO)
POLINOMIOS
BINOMIOS(2 TERMINOS)
TRINOMIOS(3TERMINOS)
POLINOMIOS
(MAS DE 2 TERMINOS)
GRADO DE UN
POLINOMIO
OPERACIONES
CON
POLINOMIOS
RELATIVO
SUMA
RESTA
MULTIPLICACION
DIVICION
POTENCIACION
RADICACION
ABSOLUTO

5. Solución
Primero se encuentra el factor común de cada término, que en este caso es b2, y
luego se dividen los términos entre el factor común de la siguiente manera:
(b2x) / b2 = x
(b2y) / b2 = y.
Se expresa la factorización, multiplicando el factor común por los términos
resultantes:
(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).
Ejemplo 2
Factorizar (2a2b3) + (3ab2).
Solución
En este caso tenemos dos factores que se repiten en cada término que son “a” y
“b”, y que se encuentran elevados a una potencia. Para factorizarlos primero se
descomponen los dos términos en su forma larga:
2*a*a*b*b*b + 3a*b*b
Puede observarse que el factor “a” se repite una sola vez en el segundo término, y
el factor “b” se repite dos veces en este; así que en el primer término solo queda el
2, un factor “a” y uno “b”; mientras que en el segundo término solo queda el 3.
Por lo tanto, se escribe las veces que “a” y “b” se repiten y se multiplica por los
factores que sobran de cada término, como se observa en la imagen:
Factorización por agrupamiento
Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra
claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el
polinomio y así factorizar.
Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos,
para luego usar el método del factor común.
Ejemplo 1

6. Factorizar ac + bc + ad + bd.
Solución
Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es “c” y en el
segundo es “d”. De esa manera se agrupan y separan los dos términos:
(ac + bc) + (ad + bd).
Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su
factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes,
así:
(ac + bc) / c = a + b
(ad + bd) / d = a + b
c(a + b) + d(a + b).
Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo
se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:
ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b).
Factorización por inspección
Este método se usa para factorizar polinomios cuadráticos, también llamados
trinomios; es decir, aquellos que se estructuran como ax2 ± bx + c, donde el valor
de “a” es diferente de 1. Este método también se usa cuando el trinomio tiene la
forma x2 ± bx + c y el valor del “a” = 1.
Ejemplo 1
Factorizar x2 + 5x + 6.
Solución
Se tiene un trinomio cuadrático de la forma x2 ± bx + c. Para factorizarlo primero se
deben encontrar dos números que, al multiplicarse, den como resultado el valor de
“c” (es decir, 6) y que su suma sea igual al coeficiente “b”, que es 5. Esos números
son 2 y 3:
2 * 3 = 6
2 + 3 = 5.
De esa forma, la expresión se simplifica así:
(x2 + 2x) + (3x + 6)
Se factoriza cada término:
 Para (x2 + 2x) se saca el término común: x (x + 2)
 Para (3x + 6) = 3(x + 2)
Así, la expresión queda:
x(x +2) + 3(x +2).
Como se tiene un binomio en común, para reducir la expresión se multiplica este
por los términos sobrantes y se tiene que:
x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).
Ejemplo 2
Factorizar 4a2 + 12a +9=0.

7. Solución
Se tiene un trinomio cuadrático de la forma ax2 ± bx + c y para factorizarlo se
multiplica toda la expresión por el coeficiente de x2; en este caso, 4.
4a2 + 12a +9 = 0
4a2 (4) + 12a(4) + 9(4)=0 (4)
16 a2 + 12a(4) + 36 = 0
42 a2 + 12a(4) + 36 = 0
Ahora se deben hallar dos números que, cuando se multipliquen entre sí, den como
resultado el valor de “c” (que es 36) y que al sumarse den como resultado el
coeficiente del término “a”, que es 6.
6 * 6 = 36
6 + 6 = 12.
De esa manera se rescribe la expresión, teniendo en cuenta de que 42 a2 = 4a * 4a.
Por lo tanto, se aplica la propiedad distributiva para cada término:
(4a + 6) * (4a + 6).
Por último, se divide la expresión por el coeficiente de a2; es decir, 4:
(4a + 6) * (4a + 6) / 4 = ((4a + 6)/ 2) * ((4a + 6)/ 2).
La expresión queda de la siguiente manera:
4a2 + 12a +9 = (2a +3) * (2a + 3).
Factorización con productos notables
Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los
métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.
Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de
los productos notables y así el proceso se hace más simple. Entre los productos
notables más usados están:
 Diferencia de dos cuadrados: (a2 – b2) = (a – b) * (a + b)
 Cuadrado perfecto de una suma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
 Cuadrado perfecto de una diferencia: a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 Diferencia de dos cubos: a3 – b3 = (a-b)*(a2 + ab + b2)
 Suma de dos cubos: a3 – b3 = (a + b) * (a2 – ab + b2)
Ejemplo 1
Factorizar (52 – x2)
Solución
En este caso se tiene una diferencia de dos cuadrados; por lo tanto, se aplica la
fórmula del producto notable:
(a2 – b2) = (a – b) * (a + b)
(52 – x2) = (5 – x) * (5 + x)

8. Ejemplo 2
Factorizar 16x2 + 40x + 252
Solución
En este caso se tiene un cuadrado perfecto de una suma, porque se pueden
identificar dos términos elevados al cuadrado, y el término que sobra es el resultado
de multiplicar dos por la raíz cuadrada del primer término, por la raíz cuadrada del
segundo término.
a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
Para factorizar solo se calculan las raíces cuadradas del primer y tercer término:
√(16x2)= 4x
√(252) = 5.
Luego se expresan los dos términos resultantes separados por el signo de la
operación, y se eleva todo el polinomio al cuadrado:
16x2 + 40x + 252 = (4x + 5)2.
Ejemplo 3
Factorizar 27a3 – b3
Solución
La expresión representa una resta en la que dos factores están elevados al cubo.
Para factorizarlos se aplica la fórmula del producto notable de la diferencia de cubos,
que es:
a3 – b3 = (a-b)*(a2 + ab + b2)
Así, para factorizar se saca la raíz cúbica de cada término del binomio y se multiplica
por el cuadrado del primer término, más el producto del primer por el segundo
término, más el segundo término al cuadrado.
27a3 – b3
³√(27a3)= 3a
³√(-b3)= -b
27a3 – b3 = (3a – b) * [ (3a)2 + 3ab + b2) ]
27a3 – b3 = (3a – b) * (9a2 + 3ab + b2)
Factorización con la regla de Ruffini
Este método es usado cuando se tiene un polinomio de grado mayor a dos, para
así simplificar la expresión a varios polinomios de menor grado.
Ejemplo 1
Factorice Q(x) = x4 – 9x2 + 4x + 12

9. Solución
Primero se buscan los números que sean divisores de 12, que es el término
independiente; estos son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12.
Luego se sustituye la x por estos valores, de menor a mayor, y así se determina con
cuál de los valores la división será exacta; es decir, que el resto debe ser 0:
x = -1
Q (-1) = (-1)4 – 9(-1)2 + 4(-1) + 12 = 0.
x = 1
Q (1) = 14 – 9(1)2 + 4(1) + 12 = 8 ≠ 0.
x = 2
Q (2) = 24 – 9(2)2 + 4(2) + 12 = 0.
Y así sucesivamente para cada divisor. En este caso, los factores encontrados son
para x = -1 y x = 2.
Ahora se aplica el método de Ruffini, según el cual los coeficientes de la expresión
serán divididos entre los factores encontrados para que la división sea exacta. Los
términos de polinomio son ordenados de mayor a menor exponente; en el caso que
falte un término con el grado que sigue en la secuencia, se coloca un 0 en su lugar.
Los coeficientes se ubican en un esquema como se observa en la siguiente imagen.
Se baja el primer coeficiente y se multiplica por el divisor. En este caso, el primer
divisor es -1, y el resultado se coloca en la siguiente columna. Luego se suma en
vertical el valor del coeficiente con ese resultado que se obtuvo y el resultado se
coloca debajo. De esa manera se repite el proceso hasta la última columna.

10. Luego se repite nuevamente el mismo procedimiento, pero con el segundo divisor
(que es 2) porque aún se puede simplificar la expresión.
Así, para cada raíz conseguida el polinomio tendrá un término (x – a), donde “a” es
el valor de la raíz:
(x – (-1)) * (x – 2) = (x + 1) * (x – 2)
Por otra parte, se deben multiplicar estos términos por el resto que quedó de la regla
de Ruffini 1: 1 y -6, que son factores que representan un grado. De esa forma la
expresión que se forma es: (x2 + x – 6).

11. La obtención del resultado de la factorización del polinomio por el método de Ruffini
es:
x4 – 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x – 2) * (x2 + x – 6)
Para terminar, el polinomio de grado 2 que aparece en la expresión anterior se
puede reescribir como (x+3)(x-2). Por lo tanto, la factorización final es:
x4 – 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x – 2)*(x+3)*(x-2).
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan
un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número
b de veces nos da el número a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese
número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama
índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En
efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo
modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es
a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las
raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la
operación de potenciación.
La radicación se define como la operación inversa de la potenciación. La
potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados:
base a y exponente n. Se escribe de la siguiente forma:

12. Se lee como, “a elevado a n”
Para comprender mejor la definición de radicación, supongamos que nos dan un
número a y nos piden calcular otro, de forma tal que, multiplicado por si mismo un
número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo si queremos averiguar qué
número multiplicado por si mismo 2 veces da 196, obtenemos como resultado, 14.
Se llama raíz cuadrada de un número (algunas veces se abrevia como raíz a secas)
a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al
primero. En la radicación El número que está dentro de la raíz se denomina
radicando (a), el grado de una raíz se denomina índice del radical (n) el resultado
se denomina coeficiente (k). La expresión algebraica a = n√b se lee como “raíz
enésima de b”, donde el símbolo √ se le llama radical (usado para representar la
raíz de un número), n es el índice de la raíz y b la parte subradical. El índice de la
raíz indica el grado del radical, así, √x es un radical de segundo grado, ∛x es un
radical de tercer grado.
En general, las expresiones radicales son expresiones algebraicas que incluyen un
radical. Es decir, son combinaciones de letras (generalmente desconocidas),
números, signos de operaciones (+, -, ×, ÷) y radicales.
OPERACIONES CON EXPRESIONES RADICALES
SUMA Y RESTA
Para sumar y restar expresiones radicales debemos considerar los siguientes
pasos:
1. Simplificar los radicales; debemos recordar que simplificar una expresión
radical es reducirlo a su más simple expresión, es decir, cuando la
cantidad subradical es entera y del menor grado posible.

13. 2. Se suman y/o restan los radicales semejantes, es decir aquellos radicales
del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical, los radicales
no semejantes se escriben con su propio signo.
Ejemplo: Realizar las siguientes operaciones: √45 + √27 – √20 y ∛54 – ∛24 – ∛16
 √45 + √27 – √20
Simplificando cada radical tenemos:
√45 = √(32∙5) = 3√5
√27 = √(33) = 3√3
√20 = √(22∙5) = 2√5
Sumamos los radicales semejantes y no semejantes
√45 + √27 – √20 = 3√5 + 3√3 – 2√5 = (3√5 – 2√5) + 3√3 = √5 + 3√3
 ∛54 – ∛24 – ∛16
Simplificando cada radical tenemos:
∛54 = ∛(2∙33) = 3∛(2∙3) = 3∛6
∛24 = ∛(23∙3) = 2∛(2∙3) = 2∛6
∛16 = ∛(24) = 22 = 4
Sumamos los radicales semejantes y no semejantes
∛54 – ∛24 – ∛16 = 3∛6 – 2∛6 – 4 = ∛6 – 4
MULTIPLICACIÓN
Para la multiplicación de expresiones radicales procedemos de la misma manera
que para la multiplicación de dos polinomios:
1. Multiplicamos cada término por cada uno de los términos del otro
polinomio.
2. Se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo: Realizar la siguiente operación: (7√5 + 11√7) × (5√5 – 8√7).

14. (7√5 + 11√7) × (5√5 – 8√7) = (7×5)[√(5×5)] +[7×(-8)][√(5×7)] + (11×5)[√(7×5)] +
[11×(-8)][√(7×7)] =
= 35√(52) – 56√35 + 55√35 – 88√(72) = (35∙5)- 56√35 + 55√35 -(88∙7) = 175 – √35 –
616 = – (√35 – 441)
DIVISIÓN
Para la división de expresiones radicales nos basamos en la racionalización de
denominadores de una fracción:
Cuando el denominador de una fracción está formado por un monomio o binomio
de radicales, se hacen las trasformaciones necesarias para que dichos radicales
desaparezcan. A este proceso se le denomina racionalización de denominadores.
Cuando el denominador es un binomio, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del
denominador.
2. Se simplifican los resultados.
Ejemplo 1: Realizar la siguiente operación: (3√2) ÷ (7√2 – 6√3)
(3√2) ÷ (7√2 – 6√3) = (3√2) / (7√2 – 6√3)
Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador:
(3√2) / (7√2 – 6√3) = [3√2∙(7√2 + 6√3)] / [(7√2 – 6√(3)∙(7√2 + 6√3)]
Simplificamos los resultados:
(3√2) / (7√2 – 6√3) = (21√4 + 18√5) / [(7√2)2 – (6√3)2] = (21√4 + 18√5) / [(7)2∙2 –
(6)2∙3 ] =
= (21√4 + 18√5) / (-10)
Ejemplo 2: Realizar la siguiente operación: (√2 – 3√5) ÷ (2√2 + √5)
(√2 – 3√5) ÷ (2√2 + √5) = (√2 – 3√5) / (2√2 + √5)
Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador:

15. (√2 – 3√5) / (2√2 + √5) = [(√2 – 3√5)∙(2√2 – √5)] /[(2√2 + √5)∙(2√2 – √5)]
Simplificamos los resultados:
(√2 – 3√5) / (2√2 + √5) = (2√4 – √10 – 6√10 + 3√25)/ [(2√2)2 – (√5)2] = (4 – 7√10 +
15) / [(2)2∙2 -5] =
= (19 – 7√10)/ 3
BOBIOGRAFIA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS (página 266) Colegio Nacional de Matemáticas
Matemáticas simplificadas
2ª Edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-607-442-348-8 Área:
Matemáticas 2.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS (página 14) Algebra Edime Organización Gráfica,
S. A. España, 1976 ISBN: 84-399-0259
Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica.
Pearson Educación.
J, V. (2014). How to Teach Kids About Factoring a Polynomial.
Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Matemática Básica Con Aplicaciones.
Roelse, P. L. (1997). Linear methods for polynomial factorization over finite fields:
theory and implementations. Universität Essen.
Sharpe, D. (1987). Rings and Factorization