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Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
297
11
11.1 DEFINICIÓN
11.2 DOMINIO
11.3 RANGO
11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
11.7 TEOREMA DEL FACTOR
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
11.9 MULTIPLICIDAD
Los polinomios presentan propiedades importantes y pueden ser expresiones
algebraicas que conforman reglas de correspondencia de funciones de variable real, por lo
tanto le dedicamos este capítulo para su estudio. Aunque no lo vamos a terminar
completamente, pero sí vamos a dar nociones básicas que con ayudada del cálculo
diferencial se logrará un análisis completo.
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
298
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice a la función polinomial.
 Aplique el teorema del residuo, el teorema de factor y el teorema fundamental del álgebra.
 Obtenga los ceros de una función polinomial.
 Aplique el procedimiento de división sintética para obtener de ser posible las raíces de un polinomio.
11.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de variable real. Entonces
f es una FUNCIÓN POLINOMIAL, si y sólo
si tiene como regla de correspondencia un
polinomio de grado "n ", es decir:
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxf n
n
n
n
n
n +++++= −
−
−
− 
donde { }00,,,, 0121 ∪∈∧≠∧∈−− NnaIRaaaaa nnnn 
En este grupo entrarían las funciones lineales ( bmxy += ), las
funciones cuadráticas ( cbxaxy ++= 2
) y la función cúbica ( 3
xy = ), que ya
estudiamos anteriormente.
Ejemplos
1
1)( += xxf
1x
148)( 2
+−= xxxf
33)( 23
+−−= xxxxf
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
299
Por ahora, sólo podríamos justificar la gráfica de una función
polinómica de hasta grado 2 ( 2≤n ). Para funciones polinómicas de
grado mayor a 2 ( 3≥n ), se requieren otros criterios; los cuales se los
tratará en cursos posteriores.
Sin embargo, podemos desde ya ir estableciendo preliminares
útiles para funciones polinomiales.
11.2 DOMINIO
El mayor posible dominio para una función polinomial f , es
todos los números reales, es decir: IRfDom =
11.3 RANGO
 Si n es IMPAR, entonces el rango de una función polinomial f ,
es todos los números reales, es decir: IRfrg = .
 En cambio, si n es par, entonces el rango de una función
polinomial f , es un intervalo de la forma [ )∞= ,bfrg o de la forma
( ]bfrg ,∞−=
11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
Los interceptos de la gráfica de una función polinomial f con el
eje “ x ”, son las raíces reales de la ecuación 0)( =xf
Ahora veamos ciertas nociones que nos permitirá fundamentar
temas en torno a lo anterior.
Recuerde que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir
polinomios. Pero, en especial la división de polinomios nos ofrece
resultados interesantes.
11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
300
Suponga que dividimos el polinomio 53:)( 23
++− xxxxf entre el
polinomio 2:)( −xxg , entonces tenemos:
Es decir:
( ) 2
3
1
2
53 2
23
−
+−−=
−
++−
x
xx
x
xxx
En general, se podría precisar que:
)(
)(
)(
)(
xg
r
xc
xg
xf
+=
O lo que es lo mismo: rxgxcxf += )()()(
Que para el ejemplo sería:
53 23
++− xxx 3)2)(1( 2
+−−−= xxx
"Si el residuo es igual a cero, se dice entonces
que )(xf es divisible para )(xg "
)(xg puede ser cualquier polinomio de grado menor o igual al de
)(xf para poder expresar la división como de la forma anterior.
Cuando )(xg es un polinomio lineal de la forma " ax − ", surgen
algunas particularidades muy singulares.
El residuo se lo puede calcular rápidamente empleando el
siguiente teorema.
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
Residuo: r
Divisor: )(xg
3//
2
5//
52
5//
12
253
2
2
223
23
−
+−
+−
++−
−−+−
−++−
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Cociente: )(xC
Dividendo: )(xf
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
301
Si un polinomio )(xf se divide entre " ax − ",
entonces el residuo es )(af . Es decir )(afr = .
DEMOSTRACIÓN:
Se acabó de mencionar que la división de un polinomio )(xf entre otro polinomio
)(xg se la puede expresar de la forma: rxgxcxf += )()()( . Supongamos que
axxg −=)( , entonces [ ] raxxcxf +−= )()( .
Calculemos ahora )(af . Entonces [ ] rrraaacaf =+=+−= 0)()(
Por lo tanto )(afr = . L.q.q.d.
Ejemplo
Para el ejercicio anterior:
3
52128
52)2(3)2()2( 23
=
++−=
++−== pr
Por otro lado, si quisiéramos saber a que es igual el residuo al
dividirlo ahora para 1+x , bastaría con calcular )1(−f . Es decir,
051315)1()1(3)1()1( 23
=+−−−=+−+−−−=−= fr .
Lo cual se puede comprobar realizando la división:
Por el resultado anterior, decimos que “ 53 23
++− xxx ” es divisible
para “ 1+x ”.
Esto último nos sugiere presentar ahora el siguiente teorema:
////
55
55//
44
54//
54
153
2
2
223
23
−−
+
+
++−
+−−−
+++−
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
302
11.7 TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio )(xf tiene un factor “ ax − ” si y sólo
si, 0)( =af .
Ejemplo
Como el residuo de la división de 53 23
++− xxx entre 1+x , es igual a cero,
entonces decimos que 1+x es un factor del polimonio 53 23
++− xxx .
Además, esto quiere decir que 53 23
++− xxx puede ser expresado
de la forma factorada siguiente: )54)(1(53 223
+−+=++− xxxxxx
Revise el método de división sintética para factorizar un polinomio
de grado mayor o igual a 3 y asegúrese de que los resultados anteriores
coincidan.
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
Toda ecuación polinomial 0)( =xf de grado "n" tiene
exactamente "n" raíces reales y complejas.
O sea:
0)())((
0)(
21
01
2
2
1
1
=−−−=
=+++++= −
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
xxxxxx
axaxaxaxaxf


Entonces nxxx ,...,, 21 son las raíces de la ecuación polinómica
0)( =xf , no necesariamente diferentes; es decir, que pueden ser
diferentes o iguales.
11.9. MULTIPLICIDAD.
Si un factor “ ax − ” está presente “k ” veces
en la forma factorada de un polinomio, se dice
que “a ” es una raíz de multiplicidad “k ”.
Las raíces reales indican los ceros de la función.
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
303
RESUMEN:
Sea )(xf un polinomio. En la operación
ax
xf
−
)(
1. El residuo )(afr =
2. Si 0=r entonces decimos que:
 )(xf es divisible para " ax − ".
 " ax − " es un factor de )(xf .
 " a " es una raíz de )(xf 0= ,
 El polinomio se anula cuando ax = , es decir 0)( =af
Ejercicio Resuelto 1
El valor de "k", tal que al dividir el polinomio 32)( 23
−−+= xkxxxP para 1−x
se obtenga como residuo -1, es:
a) 2 b) 1 c) -1 d) 0 e) -5
SOLUCION:
Aplicando el teorema del residuo, tenemos:
1
12
1312
13)1()1()1(2
1)1(
23
=
−=+−
−=−−+
−=−−+
−==
k
k
k
k
presiduo
RESPUESTA: Opción “b”.
Ejercicio Resuelto 2
Para que el polinomio: ( ) ( ) mxmmxxmxxP +−−+−−= 15232)( 234
sea
divisible para ( ),2−x entonces "m" debe ser igual a:
a) 2 b) -2 c) 10 d) -10 e)0
Solución:
Divisibilidad, en este caso, significa que el residuo 0=r es decir 0)2( == rp .
Entonces:
10
505
0505
02220162432
022208)23(32
02)1()2(5)2)(23()2(2
02)1()2(5)2)(23()2(2)2(
234
234
=
−=−
=+−
=++−++−
=+−−+−−
=+−−+−−
=+−−+−−=
m
m
m
mmmm
mmmm
mmmm
mmmmp
RESPUESTA: Opción “c”
Ejercicio Resuelto 3
El polinomio de grado 5, que tiene como raíces a 1 con multiplicidad 2; a 3 con
multiplicidad 2; y, a 0 , es:
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
304
a) 924228 234
+−+− xxxx b) xxxxx 924228 2345
+−+−
c)( ) ( ) xxx 22
25 −− d)( ) ( ) xxx 13
31 −− e)( )( )xxx 31 −−
SOLUCIÓN:
Recuerde que multiplicidad, significa la cantidad de veces que está presente una raíz, entonces:
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxx
xxxxx
xxxxp
924228
)924228(
)961812296(
)96)(12(
)0()3()1()(
2345
234
223234
22
22
+−+−=
+−+−=
+−+−+−+−=
+−+−=
−−−=
RESPUESTA: Opción “b”
Aquí podemos mencionar una aplicación. Piense que si
quisiéramos obtener los ceros de la función polinomial
xxxxxxf 924228)( 2345
+−+−=
habría que plantearse la situación: 0)( =xf , y de allí, encontrar las
raíces reales de la ecuación polinómica
0924228 2345
=+−+− xxxxx .
Una opción sería que por inspección primero determinemos de ser
posible, un valor de “ x ” para el cual se anule el polinomio, para
establecer un factor “ ax − ” del polinomio. Luego realizamos la división
para este factor.
Ahora trabajamos con el cociente. Inspeccionamos para
determinar el valor para el cual se anule y luego realizamos la división
respectiva.
Y así sucesivamente, hasta lograr establecer todos factores del
polinomio.
Las operaciones anteriores para el polinomio
xxxxx 924228 2345
+−+− , serían:
//
//99
9399//
93//1515
12492415//
9154//77
)1)(3(343924227//
39157
1924228
)924228(
2
22
223
22323
2334
234
234
+
+−+−
−+−
−+−
−+−−
−−=+−+−+−+−
−−+−+−
−+−+−
+−+−
x
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
305
Otra opción sería la siguiente. Primero sacamos factor común:
)924228(924228 2342345
+−+−=+−+− xxxxxxxxxx
para el segundo factor, por división sintética, tenemos:
El último factor es un trinomio que ya puede ser factorizado por el
método convencional y por tanto, nos queda:
0)3()1()1)(3)(3)(1()( 22
=−−=−−−−= xxxxxxxxxf
Entonces las raíces serán 01 =x con multiplicidad 1, 12 =x con
multiplicidad 2 ; y, 33 =x con multiplicidad 2.
Ejercicio Resuelto 4
Para que el polinomio ( ) 633: 2
−+ xxxq sea un factor del polinomio
( ) ( ) ( ) ( )xnxnmnxxmxp 1221: 234
++−+−− , los valores de m y n son:
a)
2
1
− y 1− b) 2− y 1− c)
2
1
y 1−
d)
2
1
− y 1 e)
2
1
y 1
SOLUCIÓN:
Observe que: )1)(2(3)2(3633:)( 22
−+=−+=−+ xxxxxxxq
Entonces, decir que el polinomio )(xp es divisible para ( ) 633: 2
−+ xxxq es lo mismo decir
que es divisible tanto para 2+x como para 1−x
Lo anterior, quiere decir que 0)1(0)2( =∧=− pp
02
01221
0)1)(12()1)(()1(2)1)(1()1(
09410
018820
02444161616
0)2)(12()2)(()2(2)2)(1()2(
234
234
=−
=++−+−−
=++−+−−=
=−+
=−+
=−−−++−
=−++−−+−−−−=−
nm
nnmnm
nnmnmp
nm
nm
nnmnm
nnmnmp
Las dos condiciones



=−
=+
02
9410
nm
nm
deben ser consideradas simultáneamente
)34)(3)(1()9157)(1(
0341
9123
3091571
91571
19242281
223
+−−−=−+−−
−
−
−−
−−
−−
xxxxxxxxxx
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
306
En la segunda ecuación se obtiene mn 2= ; reemplazándola en la primera,
tenemos:
2
1
918
9)2(410
=
=
=+
m
m
mm
Por tanto 1=n .
RESPUESTA: Opción “e”
Ejercicio Resuelto 5
Si 321 ,, rrr son raíces de ( )00 332
2
1
3
≠=−+− aaxaxax . Entonces
321 rrr ++ es igual a:
a) 0 b) 321 aaa ++ c) 3213 aaa d) 1a e)
321 aaa −+−
SOLUCION:
El polinomio dado puede ser expresado en términos de sus raíces, de la siguiente forma:
))()(( 32131
2
1
3
rxrxrxaxaxax −−−=−+−
Desarrollando el miembro de la derecha, tenemos:
321213132
2
123
3
31
2
1
3
3212131
2
132
2
2
2
3
3
32112
2
32132
2
1
3
)()(
))((
))()((
rrrxrrrrrrxrrrxaxaxax
rrrxrrxrrxrxrrxrxrx
rxrrxrxrx
rxrxrxaxaxax
−+++++−=−+−
−++−+−−=
−+−−=
−−−=−+−
Empleando el
criterio de que si los polinomios son iguales, los coeficientes, respectivamente deben ser iguales,
entonces:
1231
1231 )(
rrra
rrra
++=
++−=−
.
RESPUESTA: Opción “d”.
Ejercicios Propuestos 11.1
1. Dado el polinomio: ( ) ( )( )11622324 −+++−+− kkkxxkxkkx ; IRk ∈ . Un valor de "k", para
que el polinomio sea divisible para ( )2−x es:
a) 17/3 b) 34/3 c) 51/3 d) 68/3 e) 11/3
2. El valor de IRk ∈ para que el polinomio ( ) 1022334: −+++ xkxxxxp sea divisible
para el binomio 2+x , es:
a) 10 b) -5 c) 0 d) -10 e) 5
3. El valor de k para que el polinomio ( ) ( ) xxkxkxxp 321324: −−+− sea divisible para el binomio
1+x , siendo IRk ∈ , es:
a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 3
4. Dada la función polinómica: ( ) IRxaxaxmaxxp ∈+−+ ,435224: , el valor de m para que el valor
de a sea una raíz de la ecuación ( ) 0=xp , es:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4
5. Dado el polinomio: ( ) kxxxxp −+− 3452: . El valor de k para que una de las raíces de la ecuación:
( ) 0=xp sea igual a 2 es:
a) 55 b) 39 c) 48 d) 53 e) 54
6. Si ( )3−x es un factor del polinomio ( ) 3221132: +++− kkxxxxp , entonces el valor de k es:
a) 2 b) -3 c) 6 d)4 e) -6
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
307
7. Para que el polinomio ( ) ( )( )11622324 −+++−+− kkkxxkxkkx sea divisible para
2−x , hay dos valores para "k". La SUMA de estos valores es:
a) 1 b)
3
20
c) 1− d)
3
17
e) 20
8. Sea el polinomio ( ) 532746: −+− xxxxp , entonces es verdad que:
a) Si 1≥x , entonces ( ) 0>xp c) ( ) ( ) 021 >+ pp e) ( ) ( ) 02.1 >pp
b) ( ) 292 −=p d) ( ) ( ) 3212 =− pp
9. Los valores de p y q que hacen al polinomio: qpxx ++ 24 divisible para el polinomio 562 +− xx ;
son respectivamente:
a) 26 y -25 b) 10 y 15 c) -26 y 25 d) 20 y 10 e) -10 y -15
10. La suma 21 kk + para que el polinomio ( ) 21
22354: kxkxxxxp +++− sea divisible para el
trinomio ( ) 652: +− xxxq , es igual a:
a) -2 b) -1 c) -5 d) -3 e) -4
11. Sea la función polinomial xxxxxf 22324)( +−−= , entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a) f(x) es divisible para el polinomio xx −3
b) Una de las raíces de la ecuación 0)( =xf es 0.
c) f tiene una raíz de multiplicidad 2.
d) f tiene 4 raíces reales.
e) Una de las raíces de la ecuación 0)( =xf es 2.
12. Una de las siguientes ecuaciones polinomiales tiene raíz 2 de multiplicidad 3 identifíquela:
a) ( ) 0152234: =−+− xxxxp d) ( ) 02234564: =−+− xxxxp
b) ( ) 013324655: =−+−+ xxxxxp e) ( ) 08426354: =−++− xxxxxp
c) ( ) 0652232: =−−+ xxxxp
Misceláneos
1. El VALOR de n para que " a " sea una raíz del polinomio 43224
5)( axaxnaxxp +−+=
es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
2. Los interceptos de la función ( ) ( ) ( )32
252)( ++++= xxxxxxf con el eje x , son:
a)–2 y –5 b)2 y 5 c)0, -2 y
2
7
d) 0, 2 y 5 e) 0, -2 y
2
7
−
3. IDENTIFIQUE la ecuación polinómica que contiene a “3” como raíz con multiplicidad dos.
a) 0125 23
=−+− xxx
b) 0935 23
=++− xxx
c) 095 23
=−−− xxx
d) 015 23
=+++ xxx
e) 03323
=+++ xxx
4. Sea el polinomio baxxxp 2)( 34
+−= . Determine los valores de " a " y " b " tal que 1−=x sea una
raíz del polinomio y al dividir el polinomio para )1( −x el residuo sea igual a 1.
a)
4
1
−=b y
2
1
−=a
b)
2
1
−=b y
4
1
−=a
Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales
308
c)
4
1
=b y
2
1
=a
d)
4
1
=b y
2
1
−=a
e) No existen valores para a y b que cumplan tales condiciones
5. Dado el polinomio 1249:)( 24
++− xxxxp , es verdad que:
a) El polinomio es divisible para 342
−+ xx .
b) El polinomio tiene una raíz 2 de multiplicidad 2 .
c) El polinomio no tiene raíces reales.
d) Una de las raíces del polinomio es 3.
e) El polinomio es divisible para )1( −x .
6. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide el polinomio 67:)( 2
+− xxxp para 4−x ; el residuo es –6.
b) La ecuación ( ) 01
42
=−x tiene como raíz a 1 con multiplicidad 4.
c) Si se divide el polinomio 239:)( 24
+−− aaaap entre 2+a ; el residuo es 2− .
d) Si se divide el polinomio xxxxp +− 23
2:)( para x el residuo es 0.
e) Un factor del polinomio xxxxp +− 23
2:)( es 1−x .
7. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide 672
+− xx para 4−x se obtiene como residuo 6− .
b) El polinomio ( ) ( ) 011)( 22
=+−= xxxp tiene raíz a "1" de multiplicidad 4.
c) Si se divide 239 24
+−− aaa para 2−a se obtiene como residuo -24.
d) El polinomio ( ) xxxp 3
0)( −= es de grado 4.
e) El polinomio 02)( 23
=+−= xxxxp tiene a "0" como una raíz.
8. En valor de m , para que la ecuación ( ) ( ) 031212 2
=+−+− mxmxm tenga una raíz igual a 1− , es:
a)
3
7 b)
7
3 c)
7
6 d)
7
2 e)
7
1

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Cap11 polinomiales

  • 1. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 297 11 11.1 DEFINICIÓN 11.2 DOMINIO 11.3 RANGO 11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN 11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. 11.6 TEOREMA DEL RESIDUO 11.7 TEOREMA DEL FACTOR 11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA 11.9 MULTIPLICIDAD Los polinomios presentan propiedades importantes y pueden ser expresiones algebraicas que conforman reglas de correspondencia de funciones de variable real, por lo tanto le dedicamos este capítulo para su estudio. Aunque no lo vamos a terminar completamente, pero sí vamos a dar nociones básicas que con ayudada del cálculo diferencial se logrará un análisis completo.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 298 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina y caracterice a la función polinomial.  Aplique el teorema del residuo, el teorema de factor y el teorema fundamental del álgebra.  Obtenga los ceros de una función polinomial.  Aplique el procedimiento de división sintética para obtener de ser posible las raíces de un polinomio. 11.1 DEFINICIÓN Sea f una función de variable real. Entonces f es una FUNCIÓN POLINOMIAL, si y sólo si tiene como regla de correspondencia un polinomio de grado "n ", es decir: 01 2 2 1 1)( axaxaxaxaxf n n n n n n +++++= − − − −  donde { }00,,,, 0121 ∪∈∧≠∧∈−− NnaIRaaaaa nnnn  En este grupo entrarían las funciones lineales ( bmxy += ), las funciones cuadráticas ( cbxaxy ++= 2 ) y la función cúbica ( 3 xy = ), que ya estudiamos anteriormente. Ejemplos 1 1)( += xxf 1x 148)( 2 +−= xxxf 33)( 23 +−−= xxxxf
  • 3. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 299 Por ahora, sólo podríamos justificar la gráfica de una función polinómica de hasta grado 2 ( 2≤n ). Para funciones polinómicas de grado mayor a 2 ( 3≥n ), se requieren otros criterios; los cuales se los tratará en cursos posteriores. Sin embargo, podemos desde ya ir estableciendo preliminares útiles para funciones polinomiales. 11.2 DOMINIO El mayor posible dominio para una función polinomial f , es todos los números reales, es decir: IRfDom = 11.3 RANGO  Si n es IMPAR, entonces el rango de una función polinomial f , es todos los números reales, es decir: IRfrg = .  En cambio, si n es par, entonces el rango de una función polinomial f , es un intervalo de la forma [ )∞= ,bfrg o de la forma ( ]bfrg ,∞−= 11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN Los interceptos de la gráfica de una función polinomial f con el eje “ x ”, son las raíces reales de la ecuación 0)( =xf Ahora veamos ciertas nociones que nos permitirá fundamentar temas en torno a lo anterior. Recuerde que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. Pero, en especial la división de polinomios nos ofrece resultados interesantes. 11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
  • 4. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 300 Suponga que dividimos el polinomio 53:)( 23 ++− xxxxf entre el polinomio 2:)( −xxg , entonces tenemos: Es decir: ( ) 2 3 1 2 53 2 23 − +−−= − ++− x xx x xxx En general, se podría precisar que: )( )( )( )( xg r xc xg xf += O lo que es lo mismo: rxgxcxf += )()()( Que para el ejemplo sería: 53 23 ++− xxx 3)2)(1( 2 +−−−= xxx "Si el residuo es igual a cero, se dice entonces que )(xf es divisible para )(xg " )(xg puede ser cualquier polinomio de grado menor o igual al de )(xf para poder expresar la división como de la forma anterior. Cuando )(xg es un polinomio lineal de la forma " ax − ", surgen algunas particularidades muy singulares. El residuo se lo puede calcular rápidamente empleando el siguiente teorema. 11.6 TEOREMA DEL RESIDUO Residuo: r Divisor: )(xg 3// 2 5// 52 5// 12 253 2 2 223 23 − +− +− ++− −−+− −++− x x xx xx xxxx xxxx Cociente: )(xC Dividendo: )(xf
  • 5. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 301 Si un polinomio )(xf se divide entre " ax − ", entonces el residuo es )(af . Es decir )(afr = . DEMOSTRACIÓN: Se acabó de mencionar que la división de un polinomio )(xf entre otro polinomio )(xg se la puede expresar de la forma: rxgxcxf += )()()( . Supongamos que axxg −=)( , entonces [ ] raxxcxf +−= )()( . Calculemos ahora )(af . Entonces [ ] rrraaacaf =+=+−= 0)()( Por lo tanto )(afr = . L.q.q.d. Ejemplo Para el ejercicio anterior: 3 52128 52)2(3)2()2( 23 = ++−= ++−== pr Por otro lado, si quisiéramos saber a que es igual el residuo al dividirlo ahora para 1+x , bastaría con calcular )1(−f . Es decir, 051315)1()1(3)1()1( 23 =+−−−=+−+−−−=−= fr . Lo cual se puede comprobar realizando la división: Por el resultado anterior, decimos que “ 53 23 ++− xxx ” es divisible para “ 1+x ”. Esto último nos sugiere presentar ahora el siguiente teorema: //// 55 55// 44 54// 54 153 2 2 223 23 −− + + ++− +−−− +++− x x xx xx xxxx xxxx
  • 6. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 302 11.7 TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio )(xf tiene un factor “ ax − ” si y sólo si, 0)( =af . Ejemplo Como el residuo de la división de 53 23 ++− xxx entre 1+x , es igual a cero, entonces decimos que 1+x es un factor del polimonio 53 23 ++− xxx . Además, esto quiere decir que 53 23 ++− xxx puede ser expresado de la forma factorada siguiente: )54)(1(53 223 +−+=++− xxxxxx Revise el método de división sintética para factorizar un polinomio de grado mayor o igual a 3 y asegúrese de que los resultados anteriores coincidan. 11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. Toda ecuación polinomial 0)( =xf de grado "n" tiene exactamente "n" raíces reales y complejas. O sea: 0)())(( 0)( 21 01 2 2 1 1 =−−−= =+++++= − − − − n n n n n n n xxxxxx axaxaxaxaxf   Entonces nxxx ,...,, 21 son las raíces de la ecuación polinómica 0)( =xf , no necesariamente diferentes; es decir, que pueden ser diferentes o iguales. 11.9. MULTIPLICIDAD. Si un factor “ ax − ” está presente “k ” veces en la forma factorada de un polinomio, se dice que “a ” es una raíz de multiplicidad “k ”. Las raíces reales indican los ceros de la función.
  • 7. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 303 RESUMEN: Sea )(xf un polinomio. En la operación ax xf − )( 1. El residuo )(afr = 2. Si 0=r entonces decimos que:  )(xf es divisible para " ax − ".  " ax − " es un factor de )(xf .  " a " es una raíz de )(xf 0= ,  El polinomio se anula cuando ax = , es decir 0)( =af Ejercicio Resuelto 1 El valor de "k", tal que al dividir el polinomio 32)( 23 −−+= xkxxxP para 1−x se obtenga como residuo -1, es: a) 2 b) 1 c) -1 d) 0 e) -5 SOLUCION: Aplicando el teorema del residuo, tenemos: 1 12 1312 13)1()1()1(2 1)1( 23 = −=+− −=−−+ −=−−+ −== k k k k presiduo RESPUESTA: Opción “b”. Ejercicio Resuelto 2 Para que el polinomio: ( ) ( ) mxmmxxmxxP +−−+−−= 15232)( 234 sea divisible para ( ),2−x entonces "m" debe ser igual a: a) 2 b) -2 c) 10 d) -10 e)0 Solución: Divisibilidad, en este caso, significa que el residuo 0=r es decir 0)2( == rp . Entonces: 10 505 0505 02220162432 022208)23(32 02)1()2(5)2)(23()2(2 02)1()2(5)2)(23()2(2)2( 234 234 = −=− =+− =++−++− =+−−+−− =+−−+−− =+−−+−−= m m m mmmm mmmm mmmm mmmmp RESPUESTA: Opción “c” Ejercicio Resuelto 3 El polinomio de grado 5, que tiene como raíces a 1 con multiplicidad 2; a 3 con multiplicidad 2; y, a 0 , es:
  • 8. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 304 a) 924228 234 +−+− xxxx b) xxxxx 924228 2345 +−+− c)( ) ( ) xxx 22 25 −− d)( ) ( ) xxx 13 31 −− e)( )( )xxx 31 −− SOLUCIÓN: Recuerde que multiplicidad, significa la cantidad de veces que está presente una raíz, entonces: xxxxx xxxxx xxxxxxxxx xxxxx xxxxp 924228 )924228( )961812296( )96)(12( )0()3()1()( 2345 234 223234 22 22 +−+−= +−+−= +−+−+−+−= +−+−= −−−= RESPUESTA: Opción “b” Aquí podemos mencionar una aplicación. Piense que si quisiéramos obtener los ceros de la función polinomial xxxxxxf 924228)( 2345 +−+−= habría que plantearse la situación: 0)( =xf , y de allí, encontrar las raíces reales de la ecuación polinómica 0924228 2345 =+−+− xxxxx . Una opción sería que por inspección primero determinemos de ser posible, un valor de “ x ” para el cual se anule el polinomio, para establecer un factor “ ax − ” del polinomio. Luego realizamos la división para este factor. Ahora trabajamos con el cociente. Inspeccionamos para determinar el valor para el cual se anule y luego realizamos la división respectiva. Y así sucesivamente, hasta lograr establecer todos factores del polinomio. Las operaciones anteriores para el polinomio xxxxx 924228 2345 +−+− , serían: // //99 9399// 93//1515 12492415// 9154//77 )1)(3(343924227// 39157 1924228 )924228( 2 22 223 22323 2334 234 234 + +−+− −+− −+− −+−− −−=+−+−+−+− −−+−+− −+−+− +−+− x xx xxx xxxx xxxx xxxxxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxx
  • 9. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 305 Otra opción sería la siguiente. Primero sacamos factor común: )924228(924228 2342345 +−+−=+−+− xxxxxxxxxx para el segundo factor, por división sintética, tenemos: El último factor es un trinomio que ya puede ser factorizado por el método convencional y por tanto, nos queda: 0)3()1()1)(3)(3)(1()( 22 =−−=−−−−= xxxxxxxxxf Entonces las raíces serán 01 =x con multiplicidad 1, 12 =x con multiplicidad 2 ; y, 33 =x con multiplicidad 2. Ejercicio Resuelto 4 Para que el polinomio ( ) 633: 2 −+ xxxq sea un factor del polinomio ( ) ( ) ( ) ( )xnxnmnxxmxp 1221: 234 ++−+−− , los valores de m y n son: a) 2 1 − y 1− b) 2− y 1− c) 2 1 y 1− d) 2 1 − y 1 e) 2 1 y 1 SOLUCIÓN: Observe que: )1)(2(3)2(3633:)( 22 −+=−+=−+ xxxxxxxq Entonces, decir que el polinomio )(xp es divisible para ( ) 633: 2 −+ xxxq es lo mismo decir que es divisible tanto para 2+x como para 1−x Lo anterior, quiere decir que 0)1(0)2( =∧=− pp 02 01221 0)1)(12()1)(()1(2)1)(1()1( 09410 018820 02444161616 0)2)(12()2)(()2(2)2)(1()2( 234 234 =− =++−+−− =++−+−−= =−+ =−+ =−−−++− =−++−−+−−−−=− nm nnmnm nnmnmp nm nm nnmnm nnmnmp Las dos condiciones    =− =+ 02 9410 nm nm deben ser consideradas simultáneamente )34)(3)(1()9157)(1( 0341 9123 3091571 91571 19242281 223 +−−−=−+−− − − −− −− −− xxxxxxxxxx
  • 10. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 306 En la segunda ecuación se obtiene mn 2= ; reemplazándola en la primera, tenemos: 2 1 918 9)2(410 = = =+ m m mm Por tanto 1=n . RESPUESTA: Opción “e” Ejercicio Resuelto 5 Si 321 ,, rrr son raíces de ( )00 332 2 1 3 ≠=−+− aaxaxax . Entonces 321 rrr ++ es igual a: a) 0 b) 321 aaa ++ c) 3213 aaa d) 1a e) 321 aaa −+− SOLUCION: El polinomio dado puede ser expresado en términos de sus raíces, de la siguiente forma: ))()(( 32131 2 1 3 rxrxrxaxaxax −−−=−+− Desarrollando el miembro de la derecha, tenemos: 321213132 2 123 3 31 2 1 3 3212131 2 132 2 2 2 3 3 32112 2 32132 2 1 3 )()( ))(( ))()(( rrrxrrrrrrxrrrxaxaxax rrrxrrxrrxrxrrxrxrx rxrrxrxrx rxrxrxaxaxax −+++++−=−+− −++−+−−= −+−−= −−−=−+− Empleando el criterio de que si los polinomios son iguales, los coeficientes, respectivamente deben ser iguales, entonces: 1231 1231 )( rrra rrra ++= ++−=− . RESPUESTA: Opción “d”. Ejercicios Propuestos 11.1 1. Dado el polinomio: ( ) ( )( )11622324 −+++−+− kkkxxkxkkx ; IRk ∈ . Un valor de "k", para que el polinomio sea divisible para ( )2−x es: a) 17/3 b) 34/3 c) 51/3 d) 68/3 e) 11/3 2. El valor de IRk ∈ para que el polinomio ( ) 1022334: −+++ xkxxxxp sea divisible para el binomio 2+x , es: a) 10 b) -5 c) 0 d) -10 e) 5 3. El valor de k para que el polinomio ( ) ( ) xxkxkxxp 321324: −−+− sea divisible para el binomio 1+x , siendo IRk ∈ , es: a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 3 4. Dada la función polinómica: ( ) IRxaxaxmaxxp ∈+−+ ,435224: , el valor de m para que el valor de a sea una raíz de la ecuación ( ) 0=xp , es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4 5. Dado el polinomio: ( ) kxxxxp −+− 3452: . El valor de k para que una de las raíces de la ecuación: ( ) 0=xp sea igual a 2 es: a) 55 b) 39 c) 48 d) 53 e) 54 6. Si ( )3−x es un factor del polinomio ( ) 3221132: +++− kkxxxxp , entonces el valor de k es: a) 2 b) -3 c) 6 d)4 e) -6
  • 11. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 307 7. Para que el polinomio ( ) ( )( )11622324 −+++−+− kkkxxkxkkx sea divisible para 2−x , hay dos valores para "k". La SUMA de estos valores es: a) 1 b) 3 20 c) 1− d) 3 17 e) 20 8. Sea el polinomio ( ) 532746: −+− xxxxp , entonces es verdad que: a) Si 1≥x , entonces ( ) 0>xp c) ( ) ( ) 021 >+ pp e) ( ) ( ) 02.1 >pp b) ( ) 292 −=p d) ( ) ( ) 3212 =− pp 9. Los valores de p y q que hacen al polinomio: qpxx ++ 24 divisible para el polinomio 562 +− xx ; son respectivamente: a) 26 y -25 b) 10 y 15 c) -26 y 25 d) 20 y 10 e) -10 y -15 10. La suma 21 kk + para que el polinomio ( ) 21 22354: kxkxxxxp +++− sea divisible para el trinomio ( ) 652: +− xxxq , es igual a: a) -2 b) -1 c) -5 d) -3 e) -4 11. Sea la función polinomial xxxxxf 22324)( +−−= , entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) f(x) es divisible para el polinomio xx −3 b) Una de las raíces de la ecuación 0)( =xf es 0. c) f tiene una raíz de multiplicidad 2. d) f tiene 4 raíces reales. e) Una de las raíces de la ecuación 0)( =xf es 2. 12. Una de las siguientes ecuaciones polinomiales tiene raíz 2 de multiplicidad 3 identifíquela: a) ( ) 0152234: =−+− xxxxp d) ( ) 02234564: =−+− xxxxp b) ( ) 013324655: =−+−+ xxxxxp e) ( ) 08426354: =−++− xxxxxp c) ( ) 0652232: =−−+ xxxxp Misceláneos 1. El VALOR de n para que " a " sea una raíz del polinomio 43224 5)( axaxnaxxp +−+= es: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 2. Los interceptos de la función ( ) ( ) ( )32 252)( ++++= xxxxxxf con el eje x , son: a)–2 y –5 b)2 y 5 c)0, -2 y 2 7 d) 0, 2 y 5 e) 0, -2 y 2 7 − 3. IDENTIFIQUE la ecuación polinómica que contiene a “3” como raíz con multiplicidad dos. a) 0125 23 =−+− xxx b) 0935 23 =++− xxx c) 095 23 =−−− xxx d) 015 23 =+++ xxx e) 03323 =+++ xxx 4. Sea el polinomio baxxxp 2)( 34 +−= . Determine los valores de " a " y " b " tal que 1−=x sea una raíz del polinomio y al dividir el polinomio para )1( −x el residuo sea igual a 1. a) 4 1 −=b y 2 1 −=a b) 2 1 −=b y 4 1 −=a
  • 12. Moisés Villena Muñoz Funciones Polinomiales 308 c) 4 1 =b y 2 1 =a d) 4 1 =b y 2 1 −=a e) No existen valores para a y b que cumplan tales condiciones 5. Dado el polinomio 1249:)( 24 ++− xxxxp , es verdad que: a) El polinomio es divisible para 342 −+ xx . b) El polinomio tiene una raíz 2 de multiplicidad 2 . c) El polinomio no tiene raíces reales. d) Una de las raíces del polinomio es 3. e) El polinomio es divisible para )1( −x . 6. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) Si se divide el polinomio 67:)( 2 +− xxxp para 4−x ; el residuo es –6. b) La ecuación ( ) 01 42 =−x tiene como raíz a 1 con multiplicidad 4. c) Si se divide el polinomio 239:)( 24 +−− aaaap entre 2+a ; el residuo es 2− . d) Si se divide el polinomio xxxxp +− 23 2:)( para x el residuo es 0. e) Un factor del polinomio xxxxp +− 23 2:)( es 1−x . 7. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) Si se divide 672 +− xx para 4−x se obtiene como residuo 6− . b) El polinomio ( ) ( ) 011)( 22 =+−= xxxp tiene raíz a "1" de multiplicidad 4. c) Si se divide 239 24 +−− aaa para 2−a se obtiene como residuo -24. d) El polinomio ( ) xxxp 3 0)( −= es de grado 4. e) El polinomio 02)( 23 =+−= xxxxp tiene a "0" como una raíz. 8. En valor de m , para que la ecuación ( ) ( ) 031212 2 =+−+− mxmxm tenga una raíz igual a 1− , es: a) 3 7 b) 7 3 c) 7 6 d) 7 2 e) 7 1