Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de errores en topografía. Explica que siempre hay errores al medir y que el valor exacto de una medición es desconocido. Define errores sistemáticos y accidentales, y los métodos para eliminar mediciones erróneas como la exclusión provisional y el criterio de Chauvenet. Finalmente, proporciona un ejemplo práctico para aplicar estos conceptos.

1. UNIVERSIDAD CATOLICA ARGENTINA
TOPOGRAFIA Y GEODESIA
PROFESORA: AGRIM. MIRTA S. VAZQUEZ DE LAGHI

2. TOPOGRAFIA
CAPITULO 2

3. TEORIA DE ERRORES
SIEMPRE QUE SE MIDE SE COMETEN ERRORES,
POR LO TANTO EL VALOR EXACTO DE UNA
MEDICION SE CONSIDERA DESCONOCIDO.
EN TOPOGRAFIA SE CONSIDERA QUE EL VALOR
ES “EXACTO” SI SU PRECISION ES DEL ORDEN DE
1/20.000 Y EN GEODESIA 1/1.000.000.
LA PALABRA “ERROR” ES SINONIMO DE
INDETERMINACION, SI HABLAMOS DE
EQUIVOCACIÓN SE LLAMA “ERROR GROSERO”.

4. CAUSA DE LOS ERRORES
SON MUCHAS PODEMOS CITAR LAS MAS
IMPORTANTES:
1) FALTA DE DEFINICION: DE LOS EXTREMOS DE
LO QUE MEDIMOS. POR EJ. MEDIR EL ANCHO DE
UNA VEREDA ENTRE LA LINEA DE EDIFICACIÓN Y
EL CORDÓN, SU VALOR ESTARÁ AFECTADO POR
EL REVOQUE DE LAS PAREDES, ESCALONES,
ENTRADAS AL EDIFICIO O CASAS INTERIORES,
PUERTAS, ETC.
2) LIMITACIONES DE NUESTROS SENTIDOS:
PRINCIPALMENTE EL DE LA VISTA COMO YA
VIMOS ESTA EN EL ORDEN DE 0,1 mm A 0,2 mm.

5. 3) LIMITACION CONSTRUCTIVA DEL
INSTRUMENTO DE MEDICION: POR EJEMPLO UNA
CINTA MÉTRICA TIENE ERRORES DE
GRADUACION.
4) VARIACION CONTINUA DE LAS CONDICIONES
AMBIENTALES: POR EJEMPLO TEMPERATURA,
HUMEDAD, VIENTO, ETC. HACEN PERDER
ESTABILIDAD DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN.

6. TIPOS DE ERRORES
• SISTEMATICOS
• ACCIDENTALES
TODOS LOS ERRORES TIENEN UNA PARTE
CONTROLABLE QUE ES LA SISTEMÁTICA Y
OTRA QUE ES LA ACCIDENTAL.

7. Sistemáticos: Son los que responden a una ley
matemática y/o física. Su magnitud puede ser
constante o variable, dependiendo de las condiciones.
Los errores sistemáticos, pueden calcularse y
eliminarse aplicando correcciones. En condiciones de
trabajo fijas en el campo son constantes y del mismo
signo y por tanto son acumulativos, mientras las
condiciones permanezcan invariables siempre tendrán
la misma magnitud y el mismo signo algebraico por
ejemplo: en medidas de ángulos, en aparatos mal
graduados, cintas mal graduadas, el cambio de
longitud de una cinta de acero resulta de una
diferencia dada de temperaturas. En este tipo de
errores es posible hacer correcciones.

8. •Accidentales: Son ocasionados por factores
que quedan fuera de control del observador,
obedecen las leyes del azar, son debidos a un
sin número de causas que no alcanzan a
controlar el observador por lo que no es posible
hacer correcciones para cada observación,
estos se dan indiferentemente en un sentido o
en otro y por tanto puede ser que tengan signo
positivo o negativo Estos errores están
presentes en todas las mediciones topográficas,
y para su análisis se utilizan las leyes de la
probabilidad. Por ejemplo: invertir un número
en una lectura.

9. Comparación entre errores sistemáticos y errores
accidentales.
Sistemáticos:
1. Según la ley fisicomatemática determinada.
2. Se conocen en signos y magnitud. (+) ó (-).
3. Son corregibles.
4. Son de cuantía.
5. Varían proporcionalmente al nº de observaciones.
Accidentales:
1. Según la ley de las probabilidades.
2. No se conoce su magnitud ni su signo.
3. No se pueden corregir pero pueden disminuirse
siguiendo determinado procedimiento.
4. No Son de cuantía.
5. Varían proporcionalmente a la del nº de observaciones
realizados.

10. UN EJEMPLO PARA VER LA NATURALEZA
SISTEMÁTICA Y ACCIDENTAL ES EL DEL TIRO AL
BLANCO.
QUEREMOS EVALUAR LA PUNTERIA DE DOS
TIRADORES AL BLANCO PARA ELLO SUPONGAMOS
QUE USAN EL MISMO FÚSIL EN CONDICIONES
IDEALES, SIN VIENTO Y RECIÉN AL FINAL DE LA
EXPERIENCIA VEN SUS IMPACTOS PARA PODER
EVITAR LA INFLUENCIA DE LOS TIROS
ANTERIORES.

11. SE OBSERVA:
1) HAY UNA DESVIACIÓN DEL FÚSIL HACIA EL
ANGULO SUPERIOR IZQUIERDO.
2) EL TIRADOR “A” ES SUPERIOR AL “B” PUES HAY
MENOS DISPERSIÓN DE SUS DISPAROS.
SI CALIBRAMOS EL FUSIL LOS TIROS SERÍAN CASI
PERFECTOS (ERROR SISTEMATICO) PODRIAMOS
DECIR QUE EL TIRADOR A TIENE MAYOR
PRECISION.
EL OBJETO DE LA TEORIA DE ERRORES ES
ELIMINAR LOS SISTEMATICOS Y TRABAJAR CON
LOS ACCIDENTALES.

12. PROBABILIDAD DE LOS ERRORES
La teoría de errores fue estudiada y desarrollada por el
matemático FEDERICO GAUSS (1777-1855).
Esta Teoría se basó en analizar una gran cantidad de
observaciones de igual precisión a una misma
magnitud.
La interpretación de la Curva de Gauss es de
fundamental importancia en el análisis de series de
observaciones.
Gauss estableció 4 premisas sobre las cuales
estructuró su teoría:

13. 1) LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO ES EL
VALOR MAS PROBABLE.
2) SON IGUALMENTE PROBABLES LOS ERRORES
POSITIVOS (+) COMO LOS NEGATIVOS (-).
3) SON MAS FRECUENTES LOS ERRORES
PEQUEÑOS QUE LOS GRANDES.
4) SIEMPRE EXISTE LA POSIBILIDAD DE
COMETER UN ERROR COMPRENDIDO ENTRE
MAS INFINITO Y MENOS INFINITO
Principios de GAUSS

14. La teoría de errores es una ciencia fundamental para
todas las materias donde se manejan y analizan
grandes volúmenes de datos provenientes de
observaciones directas o mediciones realizadas en
laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se
desarrollan en topografía, geodesia, física, química y
sobre todo estadística.
LAS MEDICIONES TOPOGRÁFICAS SIGUEN LAS
LEYES DE GAUSS Y SON DISTRIBUCIONES
NORMALES O DISTRIBUCIÓNES GAUSSIANAS.

15. Como se deduce de este gráfico, no existe una única
distribución normal, sino una familia de distribuciones con una
forma común,diferenciadas por los valores de su media.
LA ALTURA DE LA CURVA NOS INDICA EL MODULO DE
PRECISION.
Si hacemos varias mediciones obtenemos un gráfico
de este tipo:

16. Es objetivo de la teoría de errores es hallar el valor
mas cercano posible al verdadero de la magnitud que
medimos y el error que hemos cometido durante el
trabajo de campo.
Para ello se efectúa una serie de “n” mediciones de la
magnitud a medir.
Estas “n” mediciones, en general, nos proporcionan
magnitudes que difieren entre si por valores muy
pequeños ya que los errores cometidos son,
generalmente, pequeños y pasarían desapercibidos
sino fueran objeto de observación.

17. En el lenguaje técnico utilizado el término << error >>
es sinónimo de vacilación o indeterminación, no de
equivocación.
Al estudiar estos pequeños errores podemos, por
medio de artificios matemáticos llegar a un valor tan
aproximado al verdadero de la magnitud.
El valor exacto de una magnitud no se llega a
conocer nunca.
Para conocer el valor más probable de una medición
necesitamos una muestra.

18. A esa muestra le vamos a calcular:
• MEDIA ARITMETICA
Σ Xi. = Es la sumatoria de todas las medidas realizadas u observaciones.
n: número de observaciones.
•MEDIA DE ERRORES
donde,

20. •ERROR PROBABLE:
• ERROR MAXIMO:

21. m: ES EL ERROR MEDIO CUADRATICO DE UNA
OBSERVACION AISLADA O ERROR MEDIO NOS
INDICA LA PRECISION.
3m: ERROR MAXIMO INDICA QUE LOS VALORES
SUPERIORES A ESTE NUMERO TIENEN POCA
PROBABILIDAD DE APARECER Y EN EL CASO DE
QUE APARECIERAN SE LOS PUEDE CONSIDERAR
COMO ERRORES GROSEROS.
SE CORRESPONDE AL 90% DEL AREA DE LA
CURVA DE DISTRIBUCION NORMAL, ES DECIR EL
ERROR MÁXIMO DE LA MEDICION.

22. Ep: ERROR PROBABLE, ES UN VALOR
SIMETRICO (+) Ó (-) DIVIDE A LA CURVA DE
GAUSS EN DOS PARTES DE IGUAL SUPERFICIE,
PODEMOS ESTABLECER LOS LIMITES DE
RANGO DENTRO DE LOS CUALES HAN DE CAER
EL 50% DE LAS VECES LAS MEDICIONES.
M: ERROR MEDIO CUADRATICO DEL PROMEDIO
ES EL VALOR MAS PROBABLE DE LA MAGNITUD
MEDIDA.

23. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
ERROR ABSOLUTO: ES EL ERROR MEDIO
CUADRATICO DE UNA OBSERVACION AISLADA (m).
• Puede ser positivo o negativo, según si la medida es
superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa).
• Las unidades son las mismas que las de la medida.
• Es igual a la imprecisión o incertidunbre que
acompaña a la medida.
El error absoluto nos indica el grado de aproximación y
da un indicio de la calidad de la medida.

24. ERROR RELATIVO: ES EL COCIENTE (LA DIVISION)
ENTRE EL ERROR ABSOLUTO Y LA MAGNITUD MEDIDA.
Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de
error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o
negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
POR EJEMPLO:
m= 50 cm
L= 5023,40 m
Er= m = 0,5 m = 1
L 5023,40m 10000
EL ERROR RELATIVO ES SINONIMO DE CALIDAD Y SE
ACOSTUMBRA A EXPRESAR EN FORMA DE FRACCION
CON LA UNIDAD EN EL NUMERADOR.

25. El error relativo tiene la misión de servir de indicador
de la calidad de una medida.
Para entender este concepto utilizaremos otro
ejemplo. Imagina que se comete un error absoluto de
1 metro al medir una finca de 200 metros y otra de
3000. Si calculamos los errores relativos en ambas
mediciones tenemos que son 1/200 y 1/3000. Dado
que en la segunda medición el error relativo es más
pequeño quiere decir que la calidad de la medida es
mucho mejor que la de la primera.
Cuando se realizan una medición se considera que
su calidad es mucho mayor cuanto más pequeño es
el error relativo que se comete.

26. CUANDO HACEMOS MEDICIONES TOPOGRAFICAS
SOLO REALIZAMOS ENTRE 4 Y 10 MEDICIONES,
NO HACEMOS MAS POR SER ANTIECONOMICO.
GAUSS EN SU TEORIA DE QUE EL ERROR MAXIMO
ERA 3m TOMÓ UN NÚMERO MINIMO DE 1000
MEDICIONES POR LO TANTO SI TENEMOS UNA
SERIE DE OBSERVACIONES Y QUEREMOS
ELIMINAR LAS EQUIVOCACIONES EN
TOPOGRAFÍA SE UTILIZAN DOS METODOS:
• EL METODO DE EXCLUSION PROVISORIA
• EL METODO DE CHAUVENET

27. METODO EXCLUSION PROVISORIA
ESTE METODO CONSISTE EN EXCLUIR
PROVISORIAMENTE LA OBSERVACION QUE SE
SUPONE COMO ERROR GROSERO Y TRABAJAR
CON LAS MEDICIONES DE LA SERIE RESTANTE,
COMO SI ESTA NO EXISTIERA.
PARA ELLO SE CALCULA EL PROMEDIO (Xm), EL
ERROR MEDIO (m) Y EL ERROR MAXIMO (Emax).
LUEGO SE COMPARA ESTE Emax CON LA
DIFERENCIA “λ” ENTRE EL VALOR EXCLUIDO Y EL
PROMEDIO HALLADO.
SI EL ERROR MAXIMO ES MENOR QUE DELTA SE
ELIMINA LA OBSERVACION EXCLUIDA
PROVISORIAMENTE, EN CASO CONTRARIO DEBE
INTEGRAR LA SERIE.

28. METODO EXCLUSION PROVISORIA
1) EXCLUYO EL VALOR.
2) CALCULO EL PROMEDIO.
3)CALCULO EL ERROR MEDIO CUADRATICO DE
UNA OBSERVACION AISLADA.
4) CALCULO EL ERROR MAXIMO.
5) CALCULO DELTA= VALOR EXCLUIDO MENOS
PROMEDIO HALLADO.
6) SI EL ERROR MAXIMO ES MENOR QUE DELTA
SE ELIMINA.
7) ASI SUCESIVAMENTE HASTA QUE EL ERROR
MAXIMO SEA MAYOR QUE DELTA.

29. Criterio de CHAUVENET
PERMITE SU APLICACION TAXATIVAMENTE, SIN
DEPENDER, COMO EN EL CASO ANTERIOR DE
LA IMPRESIÓN SUBJETIVA DEL CALCULISTA, NO
REQUIERE NINGUNA EXCLUSIÓN PROVISORIA
PREVIA.
CONSISTE EN ELIMINAR DIRECTAMENTE
AQUELLAS OBSERVACIONES QUE TENGAN UNA
PROBABILIDAD DE APARECER INFERIORES A
1/2n (SIENDO n EL NÚMERO DE
OBSERVACIONES).
SI SUPERAN EL ERROR MAXIMO DE
CHAUVENET SE ELIMINAN.

30. PRIMERO: SE BUSCA EN LA TABLA EL COEFICIENTE
INGRESANDO LA CANTIDAD DE MEDICIONES

31. SEGUNDO: SE CALCULA EL ERROR MAXIMO
DE CHAUVENET.
E máx.= COEF. x m
POR EJEMPLO SI TENEMOS 10 MEDICIONES:
E máx. = 1,96 x m
Si m = 4,32
E máx. = 1.96 x 4,32 = 8,46
SE ELIMINAN TODOS LOS Vi > E máx

32. TRABAJO PRÁCTICO N° 2

33. EJERCICIOS
1)DADA LA SIGUIENTE SERIE DE OBSERVACIONES:
1320.62 m
1320.64 m
1320.66 m
1320.65 m
1320.68 m
1320.63 m
1320.61 m
1320.58 m
1320.60 m
1320.73 m
CALCULAR:
A) LA MEDIA ARITMETICA
B) MEDIA DE ERRORES
C) EL ERROR MEDIO CUADRATICO DE UNA OBSERVACION AISLADA
D) EL ERROR MEDIO CUADRATICO DEL PROMEDIO
E) EL ERROR PROBABLE
F) EL ERROR MAXIMO
G) ELIMINAR LAS EQUIVOCACIONES POR EL METODO DE EXCLUSIÓN
PROVISORIA
H) ELIMINAR LAS EQUIVOCACIONES CON EL CRITERIO DE CHAUVENET.

34. 2) IDEM EJERCICIO ANTERIOR PARA LA SIGUIENTE SERIE:
850.15 m
850.14 m
850.13 m
850,16 m
850,17 m
850,25 m
850,18 m
850,12 m
850,11 m
850,15 m
CALCULAR:
A) LA MEDIA ARITMETICA
B) MEDIA DE ERRORES
C) EL ERROR MEDIO CUADRATICO DE UNA OBSERVACION AISLADA
D) EL ERROR MEDIO CUADRATICO DEL PROMEDIO
E) EL ERROR PROBABLE
F) EL ERROR MAXIMO
G) ELIMINAR LAS EQUIVOCACIONES POR EL METODO DE
EXCLUSIÓN PROVISORIA
H) ELIMINAR LAS EQUIVOCACIONES CON EL CRITERIO DE

35. RESPUESTAS
Ejercicio 1 Ejercicio 2
a) 64 cm a) 15,6 cm
b) 3,2 cm b) 2,72 cm
c) 4,32 cm c) 3,94 cm
d) 1,36 cm d) 1,24 cm
e) 3,24 cm e) 2,9 5 cm
f) 12,96 cm f) 11,85 cm
g) Elimino 1320,73 m g) elimino 850,25 m
h) ídem g

36. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
Apuntes de Topografía: autores Agrimensores
Mingo, Darín, Zenobi – CEI UBA
Topografía General y Aplicada: autor Dominguez
García Tejero. – Editorial DOSSAT.

37. GRACIAS