ejercicios resueltos

1. StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.
Solucionario 11
Cálculo (Universidad Privada del Norte)
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lOMoARcPSD|8345252

2. FACULTAD DE INGENIERIA
Curso: Cálculo 1
1
SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N°11
Semana N°11: Antiderivada de una función. Integral indefinida
I. En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas
1.
5
3
x
dx

Solución:
5 5 1 6 6
5
1 1 1
3 3 3 5 1 3 6 18
x x x x
dx x dx C

 
    
 

 
 
2.  
3
3 2 5
x x dx
 

Solución:
 
4 2
3 2
4
2
3 2 5 3 2 5 3 2 5
4 2
3
5
4
x x
x x dx x dx x dx dx x C
x
x x C
        
   
   
3.  
2 4
2
y y dy
 

Solución:
 
3 5
2 4
2 2
3 5
y y
y y dy y C
     

4.
2 5
2
x
dx
x



Solución:
   
2 2 2 2
2 5 2 4 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1
2 2 ln 2
2
x x
x x
dx dx dx dx dx
x x x x x x
dx dx x x C
x
 
 
  
    
 
     
 
     

    
 
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3. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
2
5.
2
3 2
2
x x
dx
x
 
 
 

 

Solución:
  
 
2
2
1 2
3 2
1 1
2 2
2
x x
x x
dx dx x dx xdx dx
x x
x
x C
 
 
 
    
 
 
 
  
    
6.  
2
3 5 2
x x dx
 

Solución:
 
2 2
1 3
1
3 2 2
3
3 5 2 3 5 2
3 5 2 2 5 2
1
3 3
1
2
x x dx x dx xdx dx
x x x
x C x x C

    
       

   
7.
4 2
3
10 25
5
z z
dx
z z
 


Solución:
 
 
2
2
4 2 2 2
3 2
2
5
10 25 5 5 5
5 5
5ln
2
z
z z z z
dz dz dz dz zdz dz
z z z z z z
z z
z
z C

     
  
     
     
 
     
  
     
8.
2
1 5
3
x
e dx
x x

 
 
 
 

Solución:
2 2 1 2 2
1 5 1 5 1
ln 10 2
3 3 3
x x x
e dx dx dx e dx x x e C
x x
x x
  
 
        
 
 
   
9.  
2
1
y
e dy


Solución:
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4. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
3
   
2 2 2 2
1
1 2 1 2 2
2
y y y y y y y
e dy e e dy e dy e dy dy e e y C
          
    
10.
3
2 ( )
3
x
e
sen x dx
 

 
 

Solución:
3 3 3
3
1 1
2 ( ) 2 ( ) 2cos( ) 2cos( )
3 3 3 3 9
x x x
x
e e e
sen x dx e dx sen x dx x C x C
 
        
 
 
  
11.  
0.02 0.13
4
t t
e e dt
 


Solución:
   
0.15 0.02
0.02 0.13 0.15 0.02 0.15 0.02
0.15 0.02
4 4 4 4
0.15 0.02
20
200
3
t t
t t t t t t
t t
e e
e e dt e e dt e dt e dt C
e e C
 
     
 
       
 
   
   
12.  
2
tan ( ) 3cos( )
x x dx


Solución:
 
2 2
2
2 2
2
2
( ) 1 cos ( )
tan ( ) 3cos( ) 3 cos( ) 3 cos( )
cos ( ) cos ( )
1
1 3 cos( ) sec ( ) 3 ( ) tan( ) 3 ( )
cos ( )
sen x x
x x dx dx x dx dx x dx
x x
dx dx x dx x dx x sen x C x x sen x C
x

     
          
    
   
13.
2
2 (2 )
sen x dx
x
 

 
 

Solución:
2 2
2 (2 ) 2 (2 ) 2ln cos(2 )
sen x dx dx sen x dx x x C
x x
 
     
 
 
  
14.  
2 3
1
1
3
x x dx



Solución:
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5. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
4
 
1 2
1 1
3 3
2 3 1 3 2 3
4 1
3 3
1 1 1 1 1
1
1 2
3 3 3 3 3
1 1
3 3
1
4
x x
x x dx x dx x dx C
x x C

 
 
      

 
 
 
15.  
1 2 2
2
t t t dt

 

Solución:
 
3 1 1
1 1 1 5 3 1
2 2 2
1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2
5 3
2 2 2 4
3 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
t t t
t t t dt t dt t dt t dt C t t t C

  
 
            

  
   
16.  
3 2 1
2 5
x x dx
x
 
 
 
 

Solución:
   
3 2 3 2 3 2
4 3
2
1
2 5 5 11 2 5 11 2
5 11
4 3
x x dx x x x dx x dx x dx x dx
x
x x
x C
 
         
 
 
   
    
17. 3 1
2
2
x dx
x
 
 
 
 

Solución:
 
1 2
3 3 2 3 2 1 2
3 1
1 1
2 2
5 2 1 2
1 1
2 2 2
2 2
2
1 2
2 2
3 1
2 5
1 1
2 2
x
x dx x dx x dx x dx dx
x
x x
C x x x C


  
 
 
        
 
 
   
       
 
  
 
 
    
18.
  
2 1
2 3
x
dx
x x x

 

Solución:
El número de factores que existen en el denominador indicará el
número de fracciones que deberá separarse, así
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6. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
5
  
2 1
2 3 2 3
x A B C
x x x x x x

  
   
Resolviendo tenemos:
  
      
  
2 3 3 2
2 1
2 3 2 3
A x x Bx x Cx x
x
x x x x x x
     


   
Entonces:
      
2 1 2 3 3 2
x A x x Bx x Cx x
       
Si: x=0, entonces
  
1 1 2 1 3
1 ( 6)
1
6
A
A
A
     
  

Si x=2, entonces:
  
3 2 2 3
3 (10)
3
10
B
B
B
 


Si x=-3, entonces:
  
7 3 3 2
1 (15)
7
15
C
C
C
    
 
 
Entonces:
  
2 2
2 1 1 6 3 10 7 15
2 3 2 3
1 1 3 1 7 1
6 10 2 15 3
1 3 7
ln ln 2 ln 3
6 10 15
x
dx a b
x x x x x x
dx dx dx
x x x
x x x C
 
 
   
 
   
 
  
 
     
 
  
Haciendo: ln
C K
 , obtenemos:
  
 
 
3 10
1 6
7 15
2
2 1
ln
2 3 3
kx x
x
dx
x x x x



  

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7. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
6
II. Resuelve los siguientes problemas:
1. INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q
unidades de cierto artículo es
2
'( ) 4 1.2
R q q q
  dólares por unidad. Si el ingreso
derivado de la producción de 20 unidades es de $ 30 000, ¿Cuál será el ingreso
esperado por la producción de 40 unidades?
Solución:
Como sabemos el ingreso marginal es la derivada del ingreso, entonces si
encontramos la Antiderivada del ingreso marginal estaremos encontrando el
ingreso de la producción, es decir:
   
 
 
 
  C
q
q
q
R
C
q
q
q
R
dq
q
dq
q
q
R
dq
q
dq
q
q
R
dq
q
q
dq
q
R






















3
2
1
2
1
1
2
2
2
4
,
0
2
1
2
2
,
1
1
1
4
2
,
1
4
2
,
1
4
2
,
1
4
'
Para alguna constante “C”.
Por dato del problema tenemos que cuando se produce 20 unidades los ingresos
son 30 000 dólares, es decir:   000
30
20 

q
R
Entonces:
      C
q
R 



 3
2
20
4
,
0
20
2
20
000
30
C


 3200
800
000
30
C

400
32
Por lo tanto la función de ingresos R(q) seria:
  400
32
4
,
0
2 3
2


 q
q
q
R
Finalmente, entonces los ingresos esperados por 40 unidades serán.
      400
32
40
4
,
0
40
2
40 3
2




q
R
  400
32
25600
3200
40 


R
  000
10
40 
R
Respuesta: Cuando se vendan 40 unidades se tendrá un ingreso de 10 000
dólares.
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8. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
7
2. COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q
unidades de cierto bien es
2
'( ) 3 24 48
C q q q
   dólares por unidad. Si el costo de
producción de 10 unidades es de $5 000, ¿cuál es el costo de producción de 30
unidades?
Solución:
Como sabemos el costo marginal es la derivada del costo total, entonces si
encontramos la Antiderivada del costo marginal estaremos encontrando fa función
de costo total, es decir:
   
 
 
 
  K
q
q
q
q
C
K
q
q
q
q
C
dq
dq
q
dq
q
q
C
dq
dq
q
dq
q
q
C
dq
q
q
dq
q
C













































48
12
48
1
1
24
1
2
3
48
24
3
48
24
3
48
24
3
'
2
3
1
1
1
2
2
2
2
Para alguna constante “K”. Aquí empleamos la constante “K” para evitar confusión
con la función del costo C.
Por dato del problema tenemos que cuando se produce 10 unidades los costos de
producción son 5 000 dólares, es decir:   000
5
10 

q
C
Entonces:
        K
q
C 




 10
48
10
12
10
10
000
5
2
3
K

720
4
Por lo tanto la función de ingresos seria:
  720
4
48
12 2
3



 q
q
q
q
C
Finalmente, entonces los costos de producción por 30 unidades será de:
      720
4
)
30
(
48
30
12
30
30
2
3





q
C
  720
4
1440
10800
27000
30 



C
  360
22
30 
C
Respuesta: Cuando se vendan 30 unidades se tendrá un ingreso de 22 360
dólares.
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9. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
8
3. UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será
1 2
'( ) 200
R q q
 dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q
unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q
dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $ 2 000 cuando el
nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando
el nivel de producción sea de 36 unidades?
Solución:
Recordemos que:
Marginal
Costo
-
Marginal
Ingreso
Marginal
Utilidad 
Además:
Marginal
Utilidad
(q)
U' 
Marginal
Ingreso
(q)
I' 
Marginal
Costo
C(q) 
Entonces: q
q 4
.
0
200
(q)
C'
-
(q)
I'
(q)
U' 2
1


 
También recordemos que la utilidad marginal es la derivada de la utilidad U(q) .
Entonces:
q
q
dq
dU
4
.
0
200 2
1

 
Por lo tanto, U(q) es la antideriva-da de
dq
dU
, asi:
   
 
 
 
  K
q
q
q
U
K
q
q
q
U
dq
q
dq
q
q
U
dq
q
dq
q
q
U
dq
q
dq
q
U















































2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
.
0
400
1
1
4
.
0
1
2
1
200
4
.
0
200
4
.
0
200
4
.
0
200
'
Para alguna constante “K”. Aquí empleamos la constante “K” para evitar confusión
con la función del costo C.
Por dato del problema tenemos que cuando se producen y se venden 10 unidades
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10. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
9
se tiene una utilidad de 2000 dólares, es decir:   000
2
25 

q
U
Entonces:
      K
q
U 




2
2
1
25
2
.
0
25
400
25
000
2
K

1875
720
4
K

125
Por lo tanto la función de Utilidad seria:
  125
2
.
0
400 2
2
1


 q
q
q
U
Finalmente, entonces la utilidad de producir y vender 36 unidades será de:
      125
36
2
.
0
36
400
36
2
2
1




q
U
  8
.
265
2
36 

q
U
Respuesta: Cuando se produzcan y vendan 36 unidades se tendrá una utilidad de
2 265.8 dólares.
4. CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol
crece de tal forma que su altura ( )
h t después de t años cambia a una razón de
2 3
'( ) 0.2 /
h t t t pies año
  si cuando se plantó un árbol este tenía una altura de
2 pies, ¿Cuál será su altura dentro de 27 años?
Solución:
Hallemos la altura )
(t
h del árbol en cualquier tiempo “t”.
 
C
t
t
t
h
C
t
t
t
h
dt
t
t
dt
t
h






































2
3
2
5
1
2
1
1
3
2
3
2
3
2
2
.
0
)
(
1
2
1
1
3
2
2
.
0
)
(
23
.
0
)
(
'
Como la altura del árbol es h = 2 pies cuando t = 0, se tiene: h(0) = 2. Entonces el
valor de N seria:
   
C
C
h





2
0
3
2
0
2
.
0
)
0
(
2
2
3
2
5
Asi, tenemos la altura )
(t
h del árbol en cualquier momento "
"t
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11. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
10
2
3
2
12
.
0
)
( 2
3
3
5


 t
t
t
h
Finalmente, entonces la altura dentro de 27 años será:
   
m
t
h
t
h
69
.
124
)
27
(
2
27
3
2
27
12
.
0
)
27
(
2
3
3
5






Respuesta: La altura del árbol dentro de 27 años será de 124,69m.
5. CRECIMIENTO DE LA POBLACION. Se ha determinado que la población ( )
P t de
una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene una
razón de cambio
0.1 0.03
200 150
t t
dP
e e
dt

 
Si la población era de 200 000 bacterias cuando inicio la observación, ¿Cuál será
la población 12 horas después?
Solución:
Hallemos la población )
(t
P en cualquier tiempo “t”.
 
C
e
e
t
P
C
e
e
t
P
dt
e
e
dt
t
P
t
t
t
t
t
t














03
.
0
1
.
0
03
.
0
1
.
0
03
.
0
1
.
0
5000
2000
)
(
03
.
0
150
1
.
0
200
)
(
250
200
)
(
'
Como la población es de 200 000 cuando t = 0, se tiene que:
   
C
C
e
e
t
P






000
203
5000
2000
)
0
(
000
200 0
0
Asi, tenemos que la población )
(t
P en cualquier tiempo "
"t es:
203000
5000
2000
)
( 03
.
0
1
.
0


  t
t
e
e
t
P
Entonces, después de 12 horas, la población es:
206151
)
(
203000
5000
2000
)
( )
12
(
03
.
0
)
12
(
1
.
0



 
t
P
e
e
t
P
Respuesta: La población después de 12 horas será de 20 6151 bacterias.
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12. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
11
6. APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el
tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )
M t el número de
aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina
como :
2
'( ) 0.4 0.005
M t t t
 
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos?
b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10
minutos (del tiempo t=10 al t=20)?
Solución:
Hallemos el número de aspectos )
(t
M que puede memorizar Tony:
 
C
t
t
t
M
C
t
t
t
M
dt
t
t
dt
t
M


























 

2
3
2
3
2
2
.
0
3
005
.
0
)
(
2
4
.
0
3
005
,
0
)
(
4
.
0
005
.
0
)
(
'
Como M(t) es 0 cuando t = 0 (Pues al inicio de la prueba aun no memorizaba
ningún aspecto de la lista dada), se tiene:
   
C
C
t
M







0
0
2
.
0
0
3
005
.
0
)
0
(
0 2
3
Asi, tenemos que el número de aspectos que puede memorizar después de “t”
minutos
2
3
2
.
0
3
005
.
0
)
( t
t
t
M 


a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha
memorizado es:
    33
.
18
10
2
.
0
10
3
005
.
0
)
10
(
2
3





t
M
Respuesta: Tony después de los 10 minutos ha logrado memorizar 18
aspectos.
b) El número de aspectos adicionales que pueden memorizar en los siguientes 10
minutos es:
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13. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
12
   
       
33
.
48
33
.
18
66
.
66
10
2
.
0
10
3
005
.
0
20
2
.
0
20
3
005
.
0
10
20
2
3
2
3























 M
M
M
Respuesta: Tony logro memorizar 48 aspectos en los siguientes 10 minutos.
7. DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el
mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la
temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una
tasa de
0.35
'( ) 7 /
t
T t e C h

 
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas.
b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?
c) Suponga que la carne está descongelado cuando su temperatura llega a
10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne
Solución:
La temperatura )
(t
T de la carne en cualquier tiempo “t”, será:
C
e
t
T
C
e
t
T
dt
e
dt
t
T
t
t
t





















35
.
0
35
.
0
35
.
0
20
)
(
35
.
0
7
)
(
7
)
(
'
Como la temperatura de la carne es T = - 4 ºC cuando t = 0, se tiene:
 
C
C
e
t
T






 
16
20
)
0
(
4 )
0
(
35
.
0
Asi,
a) La fórmula para la temperatura de la carne es:
16
20
)
( 35
.
0


  t
e
t
T
b) La temperatura de la carne después de 2 horas es:
  068
.
6
16
20
)
2
( 2
35
.
0




 
e
t
T
c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se
descongele, resolvamos la siguiente ecuación:
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14. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
13
16
20
)
(
10 35
.
0



  t
e
t
T
 
t
e 35
.
0
20
6 



t
e 35
.
0
10
3 

Tomando logaritmo y usando las propiedades:
t
e t
35
.
0
ln
)
10
/
3
ln( 35
.
0


 
t

 35
.
0
)
10
/
3
ln(
Entonces: 4399
.
3

t
Respuesta: Deberá transcurrir aproximadamente 3.44 horas (3h 26’ 24’’)
8. La velocidad de un objeto está dada por
2
( ) m/ min
2
t t
v t

 . Encuentra su
ecuación de posición y considera que x (1) = 4 m.
Solución:
Si integramos a la ecuacion de la velocidad, nos dará la ecuacion de posición.
Recordar que en la materia de física, la velocidad se considera como:
tiempo
distancia
velocidad 
Es decir si a la velocidad la integramos con respecto al tiempo, obtenemos la
función de posición.
 
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
v 



  C
t
t
C
t
t
dt
t
dt
t
dt
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
x 


















 




 4
6
2
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
'
2
3
2
3
2
2
2
C
t
t
t
x 


4
6
)
(
2
3
   
C
C
C
C
t
x













24
2
4
24
2
4
4
1
6
1
4
4
1
6
1
)
1
(
2
3
Ecuación de Posición
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15. Antiderivada de una función. Integral indefinida Cálculo 1
14
C
C



12
49
12
1
4
Respuesta:
12
49
4
6
)
(
2
3



t
t
t
x
9. Si el costo marginal mensual de un producto es 2
'( ) 100 2800
C x x x
   .
Encuentre la función del costo total, si el fijo es de $ 5 000.
Solución:
Como sabemos el costo marginal es la derivada del costo total, entonces si
encontramos la Antiderivada del costo marginal estaremos encontrando fa función
de costo total, es decir:
   
 
 
 
  K
x
x
x
x
C
K
q
x
x
x
C
dq
dq
x
dq
x
x
C
dq
dq
x
dq
x
x
C
dq
x
x
dq
x
C













































2800
2
100
3
2800
1
1
100
1
2
2800
100
2800
100
2800
100
'
2
3
1
1
1
2
2
2
2
Para alguna constante “K”. Aquí empleamos la constante “K” para evitar confusión
con la función del costo C.
Por dato del problema tenemos que el costo fijo es de 5 000 dólares, es decir:
  000
5
0 

x
C
Entonces:
        k
x
C 




 0
2800
2
0
100
3
0
0
000
5
2
3
K

000
5
Respuesta: Por lo tanto la función de ingresos seria:
  000
5
2800
2
100
3
2
3



 x
x
x
x
C
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