Examen bimestral 3 segundo solución final

MATEMATICA
SEGUNDO DE SECUNDARIA ________________________________
EXAMEN BIMESTRAL III FIRMA DEL PADRE O APODERADO
07 de Octubre del 2016 NOMBRE:………………………………………………
INSTRUCCIONES: El examen consta de 100 preguntas para desarrollar. El procedimiento que
realice tiene que ser lógico, LAS RESPUESTAS SIN PROCEDIMIENTO TIENEN PUNTOS EN
CONTRA. No habrá reclamos sobre escrituras hechas a lápiz ni borrones. Realiza el examen
con ORDEN Y LIMPIEZA. DEBERÁS ESCRIBIR LAS RESPUESTAS CON LAPICERO EN EL
CUADRILÁTERO INDICADO.
PROYECTO Nº 1. Luego de obtener la fracción generatriz del número decimal: 1,41212… se nota que el
numerador excede al denominador en:
Solución
412 4 990 408 1398 233
1
990 990 990 165
233 165 68
 
   
  
PROYECTO Nº 2. Hallar el valor de: 4552 
Solución
2 5 5 4 5 2 4 5 2       
PROYECTO Nº 3. Hallar el conjunto solución de: 3(x + 1) - 1 = 7
Solución
3 3 1 7
3 2 7 3 2 7 3 2 7
5
3
3
5
. 3,
3
x
x x x
x x
C S
  
        
   
 
  
 
PROYECTO Nº 4. Luego de efectuar:
084
81
27


Solución
084
14
1
4
81
81
81
1
3
27
27
27
27
1
3











68Rpta
2Rpta
C.S={-3,5/3}Rpta
1/3Rpta

PROYECTO Nº 5. Calcular el valor de: 5.02
21
81
25
2
3
5
3
2
9


























Solución
1 2
2 0.5
9 3
2 5
3 25
2 81
2 25 27
9 9 9 3
4 5 9
9 9 9
 

   
   
   
   
   
   

  

PROYECTO Nº 6. Resolver:
)3(3
)3(12)3(4
1
3



n
nn
Solución
 
 
3
1
3
4(3 ) 12(3 )
3(3 )
4 3 3 3
3
4 24 96
n n
n
n
n



 

 
PROYECTO Nº 7. Dados los conjuntos A = {x/xN / 5 < x + 3 < 9}, B= {x/x es divisor de 6}. Calcular el
número de elementos (a; b) de AB, tal que a  b.
Solución
 
 
        
3,4,5
1,2,3,6
3,3 , 3,6 , 4,6 , 5,6
A
B
R


 
Rpta: 4
PROYECTO Nº 8. Si:
1
2
)(



x
x
xF ; calcular el valor de    2FFF
Solución
   
  
 
2
2 2
2 1
4
4 2
4 1
2
4
F F F
F F
F F
F
F
   
     

 
  
 


3Rpta
96Rpta
4Rpta
4Rpta

PROYECTO Nº 9. Si A = {2; 4; 6}, B = {1; 3; 5} Hallar el número de elementos de:
R = {(a; b)  A x B/ a x b  12}
Solución
        4,3 , 4,5 , 6,3 , 6,5R 
Rpta: 4 elementos
PROYECTO Nº 10. Resolver (a-b) si: GA(Q) = 21 y el GR(y) = 9, siendo: Q(x;y) = 5a
xa+2b
y2a+b
.
Solución
2 2 21
7
2 9
2 7 9
2
5
3
a b a b
a b
a b
a a
a
b
a b
   
  
 
   


   
PROYECTO Nº 11. Calcular el grado absoluto del polinomio. nnnn
yx yyxyxP 
 5
3
2
),(
2
4
Solución
 
 
   
0
9 2
3
1,3
2 3
, 4
. max 2,10,2 10
n
n
n n
P x y xy x y y
G A P
  
   
  
 
PROYECTO Nº 12. Dado el monomio: M(x, y) = (a + b)x2a-2
y3b
Donde: Coef (M) = GR(x); GA(M) = 27
Determinar: “ab”
Solución
 
2 2 2
2 2 3 27 2 3 29
2 2 3 29
5 25
5
7
35
a b a a b
a b a b
b b
b
b
a
ab
     
     
  



 
4Rpta
-3Rpta
10Rpta
35Rpta

PROYECTO Nº 13. Calcular el valor de “a” si el siguiente monomio:
 
 
2
42
4
2
3232
)(














xx
xxx
xM
a
aa
es de segundo grado.
Solución
 
  
 
 
232 2 3 4
22 4
23 6 2 3 4
22 4
25 9 4
22 4
10 18 4
4 8
10 14
4 8
6 22
( )
6 22 2
4
a a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
x x x
M x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
a
a
 
 


 




    

   

   



  

PROYECTO Nº 14. Hallar A+B+C, en la identidad: (2A + B)x
2
– Cx + B  8x
2
+ 5x – 4
Solución
 
4
5 5
2 8 2 8 12 6
6 4 5 3
B
C C
A B A B A
A B C
 
    
       
       
PROYECTO Nº 15. Si x + y = 5, y además xy = 3, halla el valor de M: x3
– x2
+ y3
– y2
Solución
 
 
 
 
  
 
2
2 2
2 2
2 2
3
3 3
3 3
3 3
3 3 2 2
25
2 25
25 2 3
19
125
3 125
3 3 5 125
80
80 19 61
x y
x xy y
x y
x y
x y
x y xy x y
x y
x y
M x y x y
 
  
  
 
 
   
  
 
    
  
4Rpta
-3Rpta
61Rpta

PROYECTO Nº 16. Efectuar: R = (x + n)(x - n)(x2
+ n2
)(x4
+ n4
)(x8
+ n8
) + n16
Solución
     
    
   
  
2 2 4 4 8 8 16
2 2 2 2 4 4 8 8 16
4 4 4 4 8 8 16
8 8 8 8 16
16 16 16
16
R x n x n x n x n x n n
x n x n x n x n n
x n x n x n n
x n x n n
x n n
x
      
     
    
   
  

PROYECTO Nº 17. Reducir:      222
131514  xxxS
Solución
     
    
  
2 2 2
2
2
4 1 5 1 3 1
4 1 5 1 4 1 5 1 3 1
2 9 9 6 1
24 1
S x x x
x x x x x
x x x x
x
     
        
    
 
PROYECTO Nº 18. Si: R(x) es el resto de dividir
: 3
)1()2()3(
2
3224282


x
xxxx
Hallar: R(0)
Solución
 
 
2 2
2 8 2 4 2 2 2
8 4 2
3 0 3
R ( 3) ( 2) ( 1) .
(3 3) (3 2) (3 1) 3
1 4 3 3 5
0 5
x x
x x x x x x
x
x x
R
   
      
      
    

PROYECTO Nº 19. Si al polinomio xxx 363 35
 se divide entre x + 1 se obtiene un cociente de grado
“m”, término constante “b” y residuo “a”. Hallar m+b+a.
Solución
 
 
4 3 2
1 3 0 6 0 3 0
1 3 3 9 9 6
3 3 9 9 6 6
3 3 9 9 6
6
4; 6; 6
4
Q x x x x x
R x
m b a
m b a

   
  
    
 
    
   
Rpta
24x+1Rpta
5Rpta
4Rpta

PROYECTO Nº 20. Hallar el resto de dividir 13P(x) 2
 xx entre 2x – 4.
Solución
 
2
2 4 0 2
3 2 2 1 15
x x
R
   
   
PROYECTO Nº 21. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable: 93
604
yx
yx nn

 
Solución
4 60
3 9
3 4 60
60
n n
n n
n


 

N° de términos 20
3
n

PROYECTO Nº 22. Factorizar: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) – 15
Solución
    
  
  
  
  
2 2
2
2
2
2 2
1 4 2 3 15
5 4 5 6 15
4 6 15; 5
10 24 15
10 9
9 1
5 9 5 1
x x x x
x x x x
u u u x x
u u
u u
u u
x x x x
    
     
     
   
  
  
    
PROYECTO Nº 23. Factorizar: P(x) = (x + 1)4
– 5(x + 1)2
+ 4;
Solución
     
   
    
   
2 2
2 22
1 4 1 1
1 2 1 1
1 2 1 2 1 1 1 1
3 1 2
P x x x
x x
x x x x
x x x x
       
   
       
   
        
   
PROYECTO Nº 24. Resolver )7)(3(1186)53)(14()2)(1(  xxxxxxx
Solución
   2 2 2
2 2
( 1)( 2) (4 1)(3 5) 6 8 11( 3)( 7)
x 2 12 17 5 6 8 11 4 21
11 18 3 11 36 231
18 234
13
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x
x
         
         
      


15Rpta
20Rpta
Rpta
Rpta
13Rpta

PROYECTO Nº 25. Resolver 2 2
5 22 11 5
0
6 9 3
x
xx x x x

  
  
Solución
   
 
2 2
2
2
5 22 11 5
0
6 9 3
5 22 11 5
33
5 22
3
x
xx x x x
x
x x xx
x
x

  
  

 



 
 
11 5 3
3
x
x x
 


    
 
2 2
5 22 3 5 4
5 22 5 19 12
3 12
4
. 4
x x x x
x x x x
x
x
C S
   
   
 
 
 
PROYECTO Nº 26. Resolver
3
0,5( 5) 1,6
3
x
x

  
Solución
3
0,5( 5) 1,6
3
5 8 3
2 5 3
5 24 5 15
2 15
15 75 10 18
5 93
93
5
x
x
x x
x x
x x
x
x

  
 
 
  

  


PROYECTO Nº 27. Resolver 21832  xx
Solución
32 18 2
4 2 3 2 2
2 2
2
2
2
x x
x x
x
x
 
 

 
C.S = {-4}Rpta
93/3Rpta
Rpta

PROYECTO Nº 28. Si:









4
957
4
1153
yx
yx halla 2x + 3y
Solución
   
3 5 11
4
7 5 9
4
10
5 2
5 11 6 11 6
4 2 4 4
5 5
4
4
2 3 2 2 3 4 4 12 16
x y
x y
x
x
y x
y
y
x y

 


  

  
   
  
      






2725
2523
nm
nm
Solución
3 2 5 2
5 2 7 2
2 2 2 2
1 2 2
m n
m n
m
m n
  

 
  
  





32
723
yx
yx
Solución
3 2 7
2 3
4 4 1
7 3
2
2
x y
x y
x x
x
y
 

  
  

 
16Rpta
Rpta
2Rpta

PROYECTO Nº 31. Si se divide un número entre otro se obtiene 5 de cociente y 3 de residuo. Halla dichos
números sabiendo que la diferencia del mayor con el doble del menor es 15
Solución
Sea a b
5 3
2 15 5 3 2 15
3 12
4 23
a b
a b b b
b
b a
 

     

  
PROYECTO Nº 32. El denominador de una fracción excede al doble de su numerador en 1. Si al numerador
se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la suma de los elementos de la fracción.
Solución
2 1
4 1
2 1 3
3 12 2 1
13
13
13 27 40
27
a
F
a
a
a
a a
a
F





  

    








30
30
180
zy
yx
zyx
Solución
180
30
30 30
30 60
180
60 30 180
90 3 180
3 90
30; 60; 90
x y z
x y
y z y z
x y z
x y z
z z z
z
z
z y x
  

 
     
   
   
    
 

  
a = 23 y b = 4Rpta
40Rpta
x = 90; y = 60; z = 30Rpta

PROYECTO Nº 34. Resuelve :
xxx
6
1
3
1
4




Solución
   
  
   
2
2
2 2
2
4 1 3 1 6
1 1
4 4 3 3 6
1
7 6 1
7 6 6
0 5 7 6
5 3
2
3
. ,2
5
x x
x x x
x x
xx
x x x
x x x
x x
x
x
C S
  

 
  


  
  
  


 
  
 
10
3
25
2

xx
Solución
2
2
2
3
5 2 10
2 5 3
2 5 3 0
2 1
3
1
. ,3
2
x x
x x
x x
x
x
C S
 
 
  


 
  
 
2
47
1
85





x
x
x
x
Solución
     
2 2
2
5 8 7 4
1 2
5 8 2 7 4 1
5 2 16 7 11 4
0 2 13 20
2 5
4
5
. 4,
2
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
C S
 

 
    
    
  


 
  
 
C.S = {-3/5; 2}Rpta
C.S = {-1/2; 3}Rpta
C.S = {5/2; 4}Rpta

1
1
2
1
2
3




 xxx
Solución
   
  
  
      
 
 
2
2
2
2 2
2
2
3 1 1
2 2 1
3 2 2 1
2 2 1
3 6 2 1
14
2 8 1
14
2 8 1 4
2 6 8 4
6 4 0
1
6
4
6 6 4 1 4
2 1
6 36 16
2
6 52
2
3 13
. 3 13,3 13
x x x
x x
x x x
x x
xx
x
xx
x x x
x x x
x x
a
b
c
x
x
x
x
C S
 
  
  

  
  





   
   
  

 
 
     

 



 
  
3
15
10
133
4
15 



 xxx
Solución
   
5 1 3 13 5 1
4 10 3
25 5 6 26 5 1
20 3
3 19 21 20 5 1
57 63 100 20
43 43
1
. ,1
x x x
x x x
x x
x x
x
x
C S
  
 
   

  
  


 
C.S =Rpta
Rpta

PROYECTO Nº 39. Resolver: 5
2
3
4
5



 xx
Solución
5 3
5
4 2
5 2 6
5
4
3 1 20
7
. 7,
x x
x x
x
x
C S
 
 
  

 

 
PROYECTO Nº 40. El número de piñas que compré excede en 3 al número de soles que me costó cada una.
Si en total pagué S/.88, ¿cuántos soles menos pagaría por 3 piñas menos?
Solución
#piñas = 3x 
#soles = x
   3 88 8 8 3
8
x x
x
   
 
Tres piñas cuestan 3(8) = 24. Pagaría 24 soles menos
PROYECTO Nº 41. Un terreno rectangular es tal que su largo es el triple de su ancho. Si el largo aumentara
en 20 metros y el ancho en 8 metros, el área resultaría triplicada. ¿Cuál es el área del terreno?
Solución
  
 
2
1
2 1
2 2
2
2
2
1
3
3
3 20 8 3
3 44 160 9
0 6 44 160
0 3 22 80
3 8
10
10 3 10 300
Largo x
Ancho x
A x
A x x A
x x x
x x
x x
x
x
x A



   
  
  
  


    
PROYECTO Nº 42. Las raíces de la ecuación: mx2
– 4x + m – 3 = 0 suman 1/2.
Calcular el producto de dichas raíces
Solución
4
3
4 1
8
2
3 8 3 5
8 8
a m
b
c m
S m
m
m
P
m

 
 

    
 
  
Rpta
S/ 24 menosRpta
300Rpta
5/8Rpta

PROYECTO Nº 43. Resolver la inecuación: x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)
Solución
 
 
2
2
2
8 8 4 4
4 4 0
2 0
. 2
x x x
x x
x
C S
   
  
 
 
PROYECTO Nº 44. La solución de la inecuación: -x2
+ 8x – 7 > 0
Solución
  
2
8 7 0
7 1 0
1 7
. 1,7
x x
x x
C S
  
  
  
            

PROYECTO Nº 45. Si :
5
2

n
m y m+n = 56 Hallar: “m”
Solución
 
2
5
2 5 56
7 56
8
2 8 16
m k
n k
k k
k
k
m

 


  
PROYECTO Nº 46. Si : a + b + c = 26 k
c
b
a

20
6
8
a , b , c  Z+
Hallar “ c “
Solución
2
6
8 20 26
6
28 26
14 13 3 0
7 3
2 1
1
20 20 10
2
k k
k
k
k
k k
k
k
c k
  
 
  


 
   
 
Rpta
Rpta
16Rpta
10Rpta

PROYECTO Nº 47. La suma de 3 números es 400 el primero es al segundo como 7 es a 3 y su diferencia es
128. Hallar el tercer término.
Solución
 
1
2
1 2
1 2 3
3
3
7
3
128
7 3 4 128 32
400
10 400
400 10 32 80
x k
x k
x x
k k k k
x x x
k x
x

 
    
  
 
  
PROYECTO Nº 48. Se divide "N" en tres partes directamente proporcionales a 5, 6 y 3; inversamente
proporcionales a 2, 3 y 4; y directamente proporcionales a 6, 8 y 9. Si las dos mayores partes se diferencian en
1 440. Hallar "N".
Solución
     
 
2 3 4
5 6 6 8 3 9
4
4
15 16 27
60
64
27
64 60 1440
4 1440
360
151 360 54360
A B C
A B C
k
A k
B k
C k
k k
k
k
N A B C
 
  



  


    
PROYECTO Nº 49. Tres números suman 8360 y son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de
72, 162 y 450 e inversamente proporcionales a las raíces cúbicas de 1/8, 1/27 y 1/125. El número menor es:
Solución
3 3 3
1 1 1
8 27 12572 162 450
1 1 1
2 3 56 2 9 2 15 2
12 27 75
12 27 75 8360
114 8360
220
3
220
# 12 880
3
A B C
A B C
A B C
k
k k k
k
k
Menor
     
           
     
     
      
     
  
  


 
  
 
80Rpta
54 360Rpta
880Rpta

PROYECTO Nº 50. Repartir 7700 en partes que sean inversamente proporcionales a 2, 3, 4 y 5. Dar como
respuesta la parte mayor.
Solución
 
2 3 4 5 60
30 20 15 12 7700
77 7700
100
30 100 3000
A B C D k
k k k k
k
k
Parte mayor
   
   


 
PROYECTO Nº 51. Factoriza:
4 4 4 4
x a x y z a z y  
Solución
   
  
   
    
4 4 4 4
4 4
4 4
2 2 2 2
2 2
x a x y z a z y
x a y z a y
a y x z
a y x z x z
a y x z x z x z
  
   
  
   
    
PROYECTO Nº 52. Factoriza:
3 2 2 2
x xz x y y z  
Solución
   
  
3 2 2 2
2 2 2
2 2
x xz x y y z
x x z y x z
x z x y
  
   
  
PROYECTO Nº 53. Factoriza
4
4a  , proporcionar luego la suma de los coeficientes de un factor primo
Solución
   
  
4
4 2 2
2 2
4
4 4 4
2 2
2 2 2 2
a
a a a
a a
a a a a

   
  
    
Suma de coeficientes, 5 o 1
Rpta:
Rpta:
5 o 1Rpta:
3 000Rpta

PROYECTO Nº 54. ¿Cuál factor primo se repite en       2 2 2
1 2 3 1 4 1x x x x x x        ?
Solución
      
    
  
   
   
2 2 2
2
2
2
2
1 2 3 1 4 1
1 2 3 4 1
1 1 5 6 3
1 1 6 9
1 1 3
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
       
        
        
    
   
Se repite 3x 
PROYECTO Nº 55. Factoriza  
22 2 2 2 2
4a b a b c  
Solución
 
  
  
     
    
    
22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 2
4
2 2
2 2
a b a b c
ab a b c ab a b c
a ab b c a ab b c
a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
b c a a b c a b c a b c
  
      
       
     
         
        
Se repite x+3Rpta:
Rpta:

PROYECTO Nº 56. Factoriza  
24 3 2 4
1F x x x x x      ; Indicar la suma de coeficientes de uno de sus
factores primos.
Solución
 
  
  
       
    
     
     
24 3 2 4
4 3 2 2 4 3 2 2
4 3 4 3 2 2
3 2 2 2
3 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
F x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
     
          
        
        
     
       
      
4 4
4x y
Solución
   
  
4 4
4 2 2 4 2 2
2 22 2
2 2 2 2
4
4 4 4
2 2
2 2 2 2
x y
x x y y x y
x y xy
x xy y x xy y

   
  
    
2 2
2a ab b ac bc   
Solución
   
  
2 2
2
2a ab b ac bc
a b c a b
a b a b c
   
   
   
Rpta:
Rpta:
Rpta:

PROYECTO Nº 59. Factoriza    
2 2
3 1x x  
Solución
   
  
 
 
2 2
3 1
3 1 3 1
2 2 4
4 2
x x
x x x x
x
x
  
      
 
 
PROYECTO Nº 60. Aplica la factorización en H e indica uno de los factores
2 3
2 50 2 50H n an a n    
Solución
   
  
  
   
2 3
2 3
2
2
2
2 50 2 50
2 2 50 50
2 50
50 2
2 25 1
2 5 1 5 1
H n an a n
H n a an n
H n a n n a
H n a n
H n a n
H n a n n
    
    
    
  
  
   
PROYECTO Nº 61. Añadiendo el primero de dos números a la mitad del segundo o añadiendo el
segundo al tercio del primero, la suma da 10 en ambos casos. Halla uno de los números
Solución
 
10
2
10
3
2 20
3 30.... 2
2 20
2 6 60
5 40 8 30 3 30 24 6
y
x
x
y
x y
x y
x y
x y
y y x y

 

  

 

  
 

 
          
4(x+2)
Rpta:
(a+n) o (5n+1) o (5n-1)Rpta:
6 u 8Rpta:

PROYECTO Nº 62. Si la mitad del número menor se resta del mayor de dos números, el resultado es
65. Halla los números si difieren en 35
Solución
Sea x y .
A la mitad del número menor se resta del mayor de dos números, el resultado es 65
65
2
y
x  
65
2
y
x  
Los números difieren en 65.
35x y 
35x y 
Entonces,
65 35
2
65 35
2
30
2
60
y
y
y
y
y
y
  
  


Luego, 35 60 35 95x y    
PROYECTO Nº 63. Un padre reparte entre sus dos hijos S/ 1 200. Si el doble de lo que recibe uno de
ellos excede en S/ 300 a lo que recibe el otro, ¿cuánto recibe cada uno?
Solución
1200 1200
2 300 2 1200 300
3 1500
500
1200 500 700
x y y x
x y x x
x
x
y
    
     


  
PROYECTO Nº 64. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple
de la menor de 2 como cociente y 40 de resto. Halla una de las partes
Solución
Sea x y . Entonces
   
260 260
2 2 3 40 2 260 6 40
520 2 6 40
480 8
60
260 60 200
x y x y
x y y y
y y
y
y
x
    
     
  


   
95
Rpta:
60 o 200
Rpta:
500 y 700Rpta:

PROYECTO Nº 65. Determina dos números tales que el mayor exceda al menor en 1 y el doble del
mayor exceda al menor en 23. Dé como respuesta la suma de ellos
Solución
 
1
2 23 2 1 23
2 2 23
21
1 22
x y
x y y y
y y
y
x y
 
     
  

   
PROYECTO Nº 66. Javier tiene una cierta suma de dinero, gastó S/ 200 y prestó los 2/3 de lo que le
quedaba. Si ahora tiene S/ 100, ¿cuánto tuvo al principio?
Solución
Sea x la cantidad inicial de dinero.
Gasta S/ 200, le queda 200x  . De estos presta los 2/3, le queda entonces 1/3. Finalmente,
 
1
200 100
3
x  
Resolviendo,
200 300
500
x
x
 

PROYECTO Nº 67. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que
de hombres y mujeres juntos. ¿cuántos hombres son, si en total hay 156 personas?
Solución
   
2
3 3 2 9
156
2 9 156
12 156
13
26
117
M H
N M H H H H
H M N
H H H
H
H
M
N

    
  
  




43Rpta:
500
Rpta:
13Rpta:

PROYECTO Nº 68. Al invertir el orden de cifras de un número de dos cifras el número queda
disminuido en 36 unidades. Sabiendo que dichas cifras suman 12, hallar el número
Solución
Sea ab el número.
36 10 10 36
9 9 36
4
12 4 12
2 16
8 4
84
ba ab b a a b
b a
b a
a b a a
a
a b
ab
      
 
 
     

  

PROYECTO Nº 69. Determina una fracción, sabiendo que se hace igual a 1 si se disminuye en 5
unidades al numerador y se aumenta 8 unidades al denominador; y se hace igual a 3 si al denominador
se disminuye en 7.
Solución
Sea
a
N
b
 la fracción.
5
1 5 8 13
8
3 3 21
7
13 3 21
34 2
17
13 17 13 30
30
17
a
a b a b
b
a
a b
b
b b
b
b
a b
N

       

   

   


    
 
PROYECTO Nº 70. Dos jugadores se ponen a jugar con una misma cantidad de dinero. El primero
pierde 400 nuevos soles y el segundo 220 nuevos soles; finalmente la cantidad que le queda al primero
es la mitad de lo que le queda al segundo. ¿Con cuánto se pusieron a jugar?
Solución
Sea x la cantidad de dinero que inicialmente tenía cada jugador.
220
400
2
2 800 220
800 220
580
x
x
x x
x
x

 
  
 

580Rpta:
84Rpta:
30/17Rpta:

Resuelve las siguientes ecuaciones empleando la fórmula general (Pgtas. 71, 72, 73 y 74)
PROYECTO Nº 71.
1 1 1
2 4x x
 

Solución
 
 
 
   
      
 
 
2
2
2
1
2
1 1 1
2 4
2 1
2 4
2 1
2 4
4 2 2
0 2 8
1
2
8
4
2
2 2 4 1 8
2 1
2 4 32
2
2 36
2
2 6
2
2 6 2
2 62
4
2
. 2,4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S
 

 


 


 
  

 
 
  

     

 




   
  
  

 
C.S = {-2;4}
Rpta:

PROYECTO Nº 72.  
2
2 2 6x x   
Solución
 
      
 
 
2
2
2
2
2
1
2
2 2 6
0 4 4 6 2
0 3 4
1
3
4
4
2
3 3 4 1 4
2 1
3 9 16
2
3 25
2
3 5
4
3 5 2
3 52
1
2
. 4,1
x x
x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S
   
     
  


 
  

   

  

 

 
    
  
   

 
C.S = {-4;1}Rpta:

PROYECTO Nº 73.
8 24
2
8 4
x
x x

 
 
Solución
 
    
      
 
 
2
2
2
2
1
2
8 24
2
8 4
8 2 8 24
8 4
4 24 24 8
24 96 4 24 192
0 4 96
1
4
96
4
2
4 4 4 1 96
2 1
4 16 384
2
4 400
2
4 20
12
4 20 2
4 202
8
2
. 8,12
x
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S

 
 
  

 
   
    
  

 
 
  

     

 




  
  
   

 
PROYECTO Nº 74.
3 1
2
2 1 1
x x
x x x

  
  
Solución
  
   
3 1
2
2 1 1
3 1 2
2 1
x x
x x x
x x x
x x

  
  
   
 
 2 1
1
x x
x
 


  
  
 
2
2 2
2
2
1,2
3 3 2 2 3 2
5 1 3 4 4
0 2 9 5
2
9
5
9 81 4 2 54 9 81 40 9 11
2 2 2 4 4
1
. ,5
2
x x x x x x
x x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
C S
       
    
  

 
 
       
   
 
  
 
C.S = {-1/2;5}
Rpta:
C.S = {-8; 12}Rpta:

Halla sin resolver, la suma S y el producto P de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas
(Pgtas. 75, 76, y 77)
PROYECTO Nº 75.   2 2
1 5x x x x   
Solución
  2 2
2
2
1 5
5
5 0
1; 1; 5
1
5
x x x x
x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
   
 
  
   
   
  
PROYECTO Nº 76.    
2 2
2 1 1x x x    
Solución
   
2 2
2 2
2
2 1 1
4 4 2 1 1
2 5 4 0
2; 5; 4
5
2
2
x x x
x x x x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
    
      
  
  
   
 
PROYECTO Nº 77.  16 8 4 4x x  
Solución
 
2
2
2
16 8 4 4
16 8 32 4
8 32 12 0
2 8 3 0
2; 8; 3
8
4
2
3
2
x x
x x
x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
  
  
  
  
    

    

 
S= -1; P = -5Rpta:
S=-5/2; P=2Rpta:
S=4; P=-3/2Rpta:

Analiza las raíces de una ecuación cuadrática y escribe su respectiva ecuación (Pgtas. 78, 79, y 80)
PROYECTO Nº 78. 1 25 ; 2x x  
Solución
 
1 2
2
5 ; 2
5 2 3
5 2 10
:
3 10 0
x x
S
P
Eq
x x
  
   
   
  
PROYECTO Nº 79. 1 2
1 1
;
2 3
x x 
Solución
1 2
2
2
1 1
;
2 3
1 1 5
2 3 6
1 1 1
2 3 6
:
5 1
0
6 6
6 5 1 0
x x
S
P
Eq
x x
x x
 
  
 
  
 
  
  
PROYECTO Nº 80. 1 2
2 1
;
3 2
x x  
Solución
1 2
2
2
2 1
;
3 2
2 1 1
3 2 6
2 1 1
3 2 3
:
1 1
0
6 3
6 2 0
x x
S
P
Eq
x x
x x
  
  
 
    
 
  
  
x2
-3x-10=0Rpta:
6 x2
-5x+1=0Rpta:
6 x2
-x-2=0Rpta:

Resuelve las siguientes inecuaciones por el método de completar cuadrados. (Pgtas. 81, 82, 83, 84 y 85)
PROYECTO Nº 81.
2
5 6x x  
Solución
2
2 2
2
2
2
5 6
5 5
5 6
2 2
5 24 25
2 4
5 1
2 4
5 1
2 2
5 1 5 1
2 2 2 2
5 1 5 1
2 2 2 2
2 3
. ,2 3,
x x
x x
x
x
x
x x
x x
x x
C S
  
   
       
   
  
  
 
 
  
 
 
      
     
   
   
PROYECTO Nº 82.
2
6 7x x 
Solución
 
 
2
2
2
6 7
6 9 7 9
3 16
3 4
4 3 4
1 7
. 1,7
x x
x x
x
x
x
x
C S
 
   
 
 
   
  
 
PROYECTO Nº 83.
 2 9 40 0x x   
Solución
 
2
2 2
2
2
2
9 20 0
9 9
9 20
2 2
9 80 81
2 4
9 1
2 4
9 1
2 2
9 1 9 1
2 2 2 2
9 1 9 1
2 2 2 2
5 4
. , 5 4,
x x
x x
x
x
x
x x
x x
x x
C S
  
    
             
  
  
 
 
  
 
 
     
      
    
     
Rpta:
[-1;7]Rpta:

PROYECTO Nº 84.
 2
2 11 13 1x x  
Solución
2
2
2 2
2
2
2
2
2 13 22 1
13
2 21
2
13 13 13
2 21 2
2 4 4
13 169
2 21
4 8
13 168 169
2
4 8
13 1
4 16
13 1
4 4
1 13 1
4 4 4
13 1 13 1
4 4 4 4
7
3
2
7
. 3,
2
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
C S
  
 
   
 
    
             
 
    
 
  
  
 
 
  
 
 
   
   
 

PROYECTO Nº 85.
2 17
2 9
2
x x 
Solución
Rpta:
Rpta:

2
2 2
2
2
2
2
17
2 9
2
17 17 17
2 9 2
4 8 8
17 289
2 9
8 32
17 1
2
8 32
17 1
8 64
17 1
8 8
17 1 17 1
8 8 8 8
17 1 17 1
8 8 8 8
9
2
4
9
. ,2 ,
4
x x
x x
x
x
x
x
x x
x x
x x
C S
  
    
             
 
    
 
 
  
 
 
  
 
 
     
    
  
   
Resuelve las siguientes inecuaciones por el método de los puntos críticos. (Pgtas. 86, 87, 88, 89 y 90)
PROYECTO Nº 86.
2
12 7 0y y  
Solución
  
2
7 12 0
4 3 0
3 4
. 3,4
y y
y y
C S
  
  
  
            

PROYECTO Nº 87.
2
5 6 0a a  
Solución
Rpta:
Rpta:

  
2
5 6 0
3 2 0
3 2
. , 3 2,
a a
a a
C S
  
  
  
            
 
     
PROYECTO Nº 88. 2
5 24 0m m  
Solución
  
 
2
5 24 0
8 3 0
3 8
. 3,8
m m
m m
C S
  
  
  
            

 
PROYECTO Nº 89. 2
7 10 0y y  
Solución
  
 
2
7 10 0
5 2 0
2 5
. ,2 5,
y y
y y
C S
  
  
  
            
   
PROYECTO Nº 90. 2
3 28 0y y  
Solución
  
2
3 28 0
7 4 0
4 7
. , 4 7,
y y
y y
C S
  
  
  
            

    
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:

A
B
cb64
24
a
8
3
B
A
86
9
3
PROYECTO Nº 91. La gráfica muestra los valores de las magnitudes B y A inversamente
proporcionales. Determina a b c 
Solución
Si son inversamente proporcionales, su producto es constante. Luego,
 24 4 6 8 3
16
12
32
60
a b c
a
b
c
a b c
  
 


  
PROYECTO Nº 92. Si A es I. P 3
B , además cuando A = 35, B = 27, ¿cuánto vale A cuando
B = 343?
Solución
   
3 3
35 27 343
35 3 7
15
A
A
A



PROYECTO Nº 93. Según la gráfica, indica el valor de 2a b
Solución
Si son directamente proporcionales, su cociente es constante. Luego,
60Rpta
15Rpta

 
9 3
8 6
12
2
2 2 2 12 16
b
a
b
a
a b
 
 

    
PROYECTO Nº 94. Divide el número 1 134 en cuatro partes cuyos cuadrados sean directamente
proporcionales a 12, 27, 48 y 75. Indica la parte mayor.
Solución
 
2 2 2 2
12 27 48 75
2 3 3 3 4 3 5 3 3
2 ; 3 ; 4 ; 5
2 3 4 5 1134
14 1134
81
5 81 405
A B C D
A B C D k
A k B k C k D k
k k k k
k
k
Mayor
  
   
   
   


 
PROYECTO Nº 95. Se reparte cierta cantidad de dinero en forma proporcional a las raíces cúbicas
64, 125 y 343. Determina la mayor de las partes si la suma de las menores cantidades es 900 soles
Solución
 4 ,5 ,7
4 5 900 100
,700
Partes k k k
k k k
Mayor

   
PROYECTO Nº 96. Divide 1 380 en tres partes, tal que la primera sea a la segunda como 2 es a 3
y que esta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor?
Solución
1 2
2 3
31 2
1
2
3
2 5
3 7
10 15 21
10 15 21 1380
46 1380
30
300
1500
630
300
A A
A A
AA A
k
k k k
k
k
A
A
A
Menor parte
  
   
  






16Rpta
405Rpta
700Rpta
300Rpta

PROYECTO Nº 97. Un padre premia a sus hijos repartiendo 520 dólares proporcionalmente al
promedio obtenido en sus estudios. ¿Cuánto recibe cada uno si los promedios respectivos son: 12, 13 y
15?
Solución
31 2
1
2
3
12 13 15
12 13 15 520
40 520
13
156
169
195
HH H
k
k k k
k
k
H
H
H
  
  





PROYECTO Nº 98. Distribuye 2 225 en tres partes que sean D. P a los números 3, 5 y 8 e
inversamente proporcionales a los números 4, 6 y 9.
Solución
 4,6,9 36
4 6 9
36
3 5 8
27
30
32
27 30 32 2225
89 2225
25
675
750
800
MCM
A B C
k
A k
B k
C k
k k k
k
k
A
B
C

  



  





PROYECTO Nº 99. Reparte 2 225 dólares en tres partes que sean directamente proporcionales a
los números 3, 5 y 8 e inversamente proporcionales a los números 4, 6 y9. Dar como respuesta la parte
intermedia.
Solución
Problema idéntico al anterior. Parte intermedia, S/. 750
156; 169; 195Rpta
675; 750; 800Rpta
S/ 750Rpta

PROYECTO Nº 100. Se divide cierto número en forma directamente proporcional a los números 3,
4 y 7 e inversamente proporcional a 3/2; 9/4 y 3. Indica la diferencia de la mayor parte respecto a la
menor, si la parte intermedia es S/. 3 700 menos que el total.
Solución
 
 
3,9,3 9
3 9
3 9
2 3 4 4 7
18
16
21
18 18 21 16 3700
3700 37
100
1800
1600
2100
2100 1600 500
MCM
A B C
k
A k
B k
C k
k k k k
k
k
A
B
C
C B

   
     
   



   





   
500Rpta

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