Guia semana 08-examen parcial y ii practica-i unidad-unasam-peru

1
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Ciclo
II
2020-I
Microsoft Teams
https://www.geogebra.org/u/jleivag

2
SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA-Solucionario
Duración 120 min
Apellidos y Nombres Semestre 2020-1
Carrera Profesional ING. INDUSTRIAL-FIIA 02:00- 04:00p.m.
Cada una vale 5Pts.
Docente MS.c. Jorge W. Leiva Gonzales Fecha 21 10 2020
1. Las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la calificación. Hallar en su
forma más simple su coordenada cartesiana de la curva: 2 4 (3θ)
r
cos(θ)
sen

2
r
x r.cos( )4 (3θ)
r eemplazando:
y r. ( )cos(θ)
34(3 ( ) 4 ( ))2r
x
r
312r ( ) 16r ( ))2 2r ( )(r )
x
2 2 3 3 3(r ) x 12r ( ) 16r ( )
2 2 2 3(r ) x 12r .r ( ) 16(r ( ))
2 2 2 2 2 2 2 3(x y ) x y 12(x y )y 16y
(x
sen
sen
sen sen
sen sen
sen sen
sen sen


 
 
 
 

 





 
 
    
5
22 2 2 2 3y ) 12(x y )y 16y   
2. Hacer su grafica bien detallada de la curva y ubicar 8 puntos : r 3*cos(4*θ) . Solución:
Tabulando:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0
r 3cos(4*θ),es simètrica con el eje polar
0 15 30 60 75 180 270 360 165 150
3 1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3 3 1.5 -1.5
135 120 195 210 225 240 255 300 315 330 345
-3 -
45 90
3
105 285
r


 
1.5 1 1.5 -1.5 -3 -1.5 1.5 -1.5 -3 -1.5 1.5.5 1.5
Nota

3
3. (A)Evalúe
1
''(2 )0I x f x dx  , sabiendo que (0) 1, (2) 3, '(2) 5f f f  
Solución.
Evaluando 𝐼 por partes Sea u x du dx  y
1
''(2 ) '(2 )
2
dv f x v f x 
1
11 1 1
'(2 ) '(2 )0 00 2 20
x
I uv vdu I f x f x dx     
1
1 0 1 1 1
'(2) '(0) (2 ) '(2) ( (2) f(0))
2 2 2 2 20
0
I f f f x f f      
 
   
     
 
1 1 5 1
(5) (3 2) 2
2 2 2 2
I      
 
  
.
(B) Resolver:
x
0
x x
t dt ,luego hallar el valor en x= 3
2
  Solución: Derivando:
2 2x 2 2
0
x
x x( )
x x x ( x ) +x x ( 3)
t dt 3
2 2 2. x x 3
x


      

4. Al resolver determinar si es convergente o divergente: 2
3
1
I dx
x 1
 

 : Solución:
2 2
3 3
3
1 1 1 1
I dx= lim dx= lim[ ln ]
x 1 x 1 2 1
1 1 1 2 1 1 1
lim[ ln ln ] [ ln ln ]. una ind.
2 1 2 4 2 2 2
1 1 1 1 1
[ ln ln ln 2 ln .Usar L Hospital
2 2 2 2 2
1 11 1 1
: lim[ ln ] [ ln lim ] [ ln
2 1 2 1 2
b
b
b b
b
b b
x
x
b
b
b
b
  
 

 

 
  
 
    
 
         

 

 
(1)] 0
1 1 1 1
0 ln ln 1 ln 2 0.3465
2 2 2 2

     
=

4
EXAMEN PARCIAL-Solucionario
Duración 120 min
Carrera Profesional ING. INDUSTRIAL-FIIA 02:00- 04:00p.m. Cada una vale 5Pts.
 Las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la
calificación. Cada una vale 5Pts.
5. Hallar Su Solución:
4
3
0
( )
I
cos ( )
xsen x
dx
x

 
4
3
0
3
3
2 2
4
4
2 2 2
0
0
( )
I ,integrando por partes:
cos ( )
I=uv vdu
( )
. .variable:t=cos(x)
cos ( )
dt = sen(x)dx
1 1
2 2cos ( )
x 1 x ( )
I
2cos ( ) 2cos ( ) 2cos ( ) 2
4I
xsen x
dx
x
u x du dx
sen x
dx C
xv
v t dt v
t x
tg x
x x x







  




 
    

    







2
2
( )0 (0)4
2cos (0) 2 22cos ( )
4
1
I 0.285 Es convergente.
4 2
tg tg





   


   
6. Hallar su ecuación cartesiana y su grafica bien detallada de la curva. Ubicar 8 puntos :
r 1 2*s (3*θ)en  . Solución
Haciendo su grafica en el software libre GEOGEBRA y comprobando su resultado
Nota

5
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
00 0 0 0 00 0
r 1 2*s (3*θ),es simètrica con el eje normal
0 15 45 60 75 180 360 165
1 0.41 0.
5
30 90
41 1 2.41 1 1 -0.41
135 120 105 195 225 240 255 300 315
270 150
1 3 1 -1
2 410 285 3 330
en
r

 
  
0
-0.41 1 2 41 2.41 2.41 1 -0.41 -0.41 1 2.41 2.41. 3 3
7.
2
2
Calcular: I=
( ( ) cos( ))
x
dx
sen x x x .Solución:
2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) = ( )
( ( ) cos( )) ( ) ( ( ) cos( )) ( )
Integrando por partes y c. variable: I= ( )
( )[ ( ) cos( )]
x sen x xsen x x
dx dx
sen x x x sen x sen x x x sen x
x
ctg x C
sen x sen x x x
 

 

 

6
8. Al resolver determinar si es convergente o divergente:
1
0
1
I dx
x(1 x)

 : Solución:
1 1
20 0
20
1
0
0
1 1
I lim dx=lim dx=
1 1(x x ) (x )
4 2
1
x
2I lim ( )
1
2
1 1
1
2 2lim[ ( ) ( )
1 1
2 2
I (1) ( 1) Es convergente
2 2
Arcsen
Arcsen Arcsen
Arcsen Arcsen
 
 
 




 
 

 
 





  

 
 



   
  


      
 

7
SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA-Solucionario
Duración 120 min
Carrera Profesional PROGRAMA DE AGRONOMIA-FCA 02:00- 04:00p.m. Cada una vale 5Pts.
 Las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la calificación. Cada una vale
5Pts.
9. Hallar en su forma más simple su coordenada cartesiana de la curva: 2 4 (3θ)
r
cos(θ)
sen

2
r
x r. cos( )4 (3θ)
r eemplazando:
y r. ( )cos(θ)
34(3 ( ) 4 ( ))2r
x
r
312r ( ) 16r ( ))2 2r ( )(r )
x
2 2 3 3 3(r ) x 12r ( ) 16r ( )
2 2 2 3(r ) x 12r .r ( ) 16(r ( ))
2 2 2 2 2 2 2 3(x y ) x y 12(x y )y 16y
(x
sen
sen
sen sen
sen sen
sen sen
sen sen


 
 
 
 

 





 
 
    
5
22 2 2 2 3y ) 12(x y )y 16y   
10. Hacer su grafica bien detallada de la curva: 2 4 (3θ)
r
cos(θ)
sen
 . Solución:
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 000 0 0 0 0 0 0
4 (3θ) (3θ)
r 2 ,es simètrica con el polo
cos(θ) cos(θ)
0 15 30 45 60 75 90 180 270 360 165 15
0105
0
0 1.71 2.14 2 0 3.3 0 0 0 1.71 2.14
135 120 195 210 225 240 25 52855 300 31 33
sen sen
r
r

  

0 0
345
 0 1.71 2.14 23.3 0 3.3 3.3 0  2.14 1.71
Haciendo su grafica en el software libre GEOGEBRA y comprobando su resultado
Nota

8
11. (A) Hallar F(x) y F(-1) ,sabiendo que F(x) es continua en todo los reales:
2
x 1
6 4 2
0
I ( ) x x 3xF t dt

    Solución:
2 2
x 1 x 1
6 4 2 6 4 2 2 5 3
0 0
2 4 2 2 2
4 2 2 2 2
2 2
'
F( )2
( ) F(( ) )
F( )
F( ) F( 1)
I ( ) x x 3x ( ( ) x x 3x ) x 1 6x 4x 6x
x 1 3x 2x 3.Sea : x 1 1 1 1
3( 1) 2( 1) 3 3( 1) 2( 1) 3 3 8 8
3 8 8 3( 1) 8( 1
x
F
x
F t dt F t dt
y x y y
y y y y y y y
x x
 


 
           
            
             
      
 
) 8 3 
(B) Resolver:
x
0
x x
t dt ,luego hallar el valor en x= 2
2
  Solución: Derivando:
2 2x 2 2
0
x
x x( )
x x x ( x ) +x x ( 2)
t dt 2
2 2 2. x x 2
x


      

12. Al resolver determinar si es convergente o divergente:
3
2
1
I dx
x 1

 

 : Solución:
=
Como es una forma indeterminada se debe levantar la indeterminación

9
EXAMEN PARCIAL-Solucionario
Duración 120 min
Carrera Profesional PROGRAMA DE AGRONOMIA-FCA 02:00- 04:00p.m. Cada una vale 5Pts.
 Las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la
calificación. Cada una vale 5Pts.
13. Resolver:
1
2
2
0
1
I dx
1x
e

 . Solución:
1 1
2 2
2 3
0 0
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
2 1 1
2 2
2
2
0 0
1
I dx( )= dx=Por cambio de variable:u=
1
1
I ( )
( 1) 1 ( 1) 1
1 ( 1) ( )
1
1 ( ) I (
( 1)
1; 1; 0
x x
x x
x x x x
e e
e du e dx
e e e e
du A Bx C A Bx C
du
u u u u u u u u
A u Bu C u
du
A B u Cu A
u u u
A B C
  
 
 
      
   
    

       
    

 
 
 2
1 1
2 2
2 2
2
0 0
1
2
2 2 1
2 2 1
0
)
1
1 1 2 1 1 1
I ( ) ( ) ln ln 1 (2)ln ln 1
2 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
I [ln ] [ln ] [ln ln ] ln( ) ln( 1)
2 1 2 1 2 1 2 2 2
1
ln(1)
2
x
x
u
du
u
u
du du u u u u
u u
u e e
e e
u e e
 

       

       
  


 
1 1 1 1
ln(2) I ln(2) ln( 1) 0.19
2 2 2 2
e      
Nota

10
14. Hallar su ecuación cartesiana y su grafica bien detallada de la curva. Ubicar 8 puntos :
r 1 2*s (3*θ)en  . Solución
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
00 0 0 0 00 0
r 1 2*s (3*θ),es simètrica con el eje normal
0 15 45 60 75 180 360 165
1 0.41 0.
5
30 90
41 1 2.41 1 1 -0.41
135 120 105 195 225 240 255 300 315
270 150
1 3 1 -1
2 410 285 3 330
en
r

 
  
0
-0.41 1 2 41 2.41 2.41 1 -0.41 -0.41 1 2.41 2.41. 3 3
Interactivo en 3D. GEOGEBRA

11
15. Al resolver determinar si es convergente o divergente: 4
6
I dx
1+x
x 
 
  : Solución:
0
4 4 4
0
0
4 4
0
0
2 2 2 2a
0
0
2 2
a a 0
2
a
6 6 6
I dx= dx dx=
1+x 1+x 1+x
2 2
I 3 dx 3 dx=
1+x 1+x
2 2
I 3 lim dx+3 lim dx=
1+(x ) 1+(x )
I= 3 lim arctg(x ) +3 lim arctg( )
I 3 lim [(0) arctg(a ) +
b
b
b
b
x x x
x x
x x
x
   
   
 
 
     
 
     
  
 
 
 
  
  
  

  
 
 
 
2
3 lim [arctg(b ) (0)
3 3
I 3[ arctg( ) +3arctg( ) 3 Es convergente
2 2
b
 

  
 

        
16. Calcular
4
0
I

 
3 5
sen (2x).cos (2x)dx . SOLUCIÓN
 
3 5 3 4
(2 (2 (2 (2 (2sen x).cos x)dx = sen x).cos x).cos x)dx

3 2 2
(2 (2 (2= sen x).[1 - sen x)] cos x)dx

3 2 4
(2 (2 (2 (2= sen x).[1 - 2sen x) + sen x)]cos x)dx
 

3 5
7
(2 (2 (2 (2
(2 (2
= sen x).cos x)dx - 2 sen x).cos x)dx
+ sen x).cos x)dx
Hacemos: u = sen(2x)  du = 2cos(2x).dx

du
= cos(2x).dx
2
Ahora, tenemos:
  
3 5 7du du du
= u - 2 2u + u
2 2 2
4 6 8
+ C
u u u
= - +
8 6 16
4
0
I 0.02




4 6 8
sen (2x) sen (2x) sen (2x)
= - +
8 6 16
Comprobando el resultado con el software libre GEOGEBRA, interactivo

12

13
PRIMERA PRACTICA CALIFICADA-Solucionario
Duración 120 min
Carrera Profesional PROGRAMA DE AGRONOMIA-FCA 04:00- 06:00p.m.  Cada una vale 5Pts.
Las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la calificación.
17. Resolver:
2
3 2
7 9
I
2 2
x x
dx
x x x
  

  
2 2
3 2
7 9 7 9
2 2 ( 1)( 1)( 2) 1 1 2
x x x x A B C
x x x x x x x x x
     
   
        
A x x B x x C x x
x x x
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
       
  

1 2 1 2 1 1
1 1 2
2 2 2
( 2) ( 3 2) ( 1)
( 1)( 1)( 2)
A x x B x x C x
x x x
      

  
=
2
( ) ( 3 ) ( 2 2 )
( 1)( 1)( 2)
A B C x A B x A B C
x x x
       

  
Comparando el principio con el final obtenemos :
+ + = 1
1 5
+ 3 = 7 ; 3
2 2
2 + 2 = 9
A B C
A B A B y C
A B C


     
 
Con lo que queda :
  
  
x x
x x x
dx
2
3 2
7 9
2 2 =
     
2
5
1 1
1
3 2
1 5
32
2
2
1 1 2
Ln x Ln x Ln x Cdx dx dx
x x x
  


    

 
   
Comprobando el resultado con el software libre matemático: GEOGEBRA.
Nota

14
18. Resolver: 999
dx
I
(x(x 1))

 ; 𝐼 = ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥999+1)
= ∫
𝑥998 𝑑𝑥
𝑥999 (𝑥999+1)
=
1
999
∫
999 𝑥998 𝑑𝑥
𝑥999 (𝑥999+1)
Haciendo 𝑢 = 𝑥999
+ 1 ⟹ (𝑥999
= 𝑢 − 1 𝑦 999 𝑥998
= 𝑑𝑢 ). Luego 𝐼 =
1
999
∫
𝑑𝑢
(𝑢−1) 𝑢
… … … … … … (∗)
Pero, usando fracciones parciales :
1
(𝑢−1) 𝑢
=
𝐴
𝑢−1
+
𝐵
𝑢
. De donde 1 = 𝐴𝑢 + 𝐵(𝑢 − 1) … … … … . . . … … . (𝛼)
Si 𝑢 = 1 ⟼ 𝑒𝑛 (𝛼) 𝐴 = 1, Si 𝑢 = 0 ⟼ 𝑒𝑛 (𝛼) 𝐵 = −1. Luego
1
(𝑢−1) 𝑢
=
1
𝑢−1
−
1
𝑢
reemplzando en (∗),𝐼 =
1
999
{∫
𝑑𝑢
𝑢−1
− ∫
𝑑𝑢
𝑢
} =
1
999
{𝑙𝑛|𝑢 − 1| − 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶}
Reemplazando 𝑢 = 𝑥999
+ 1; 𝐼 =
1
999
{𝑙𝑛|𝑥999| − 𝑙𝑛|𝑥999
+ 1| + 𝐶} =
1
999
{999𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥999
+ 1|} + 𝐶
Comprobando el resultado con el software matemático: MAPLE

15
19. Resolver:
2
1
I ( )
4 13
dx
x x

 
 Solucion :
Comprobando el resultado con el software libre matemático: GEOGEBRA.

16
20. Indicar cuál es la verdadera. Cada respuesta correcta vale 2.5 punto)
Si f R R:  es continua,
entonces la función
G x f t dtx
x
( ) ( )  verifica:
G(x) no
es
derivabl
e
G x'( )  0 )'( () ( )f xG f xx   
Sea
x
x
F(x) (t) dtsen

  ,
entonces:
2
2
2
d( (x) )
x (x)
dx
2x x
x2 (x)
x ( x )
F'(x) (x)
x
sen
sen
  

 
F(x)
no es
derivabl
e
x ( x )
F'(x) (x)
x
sen
sen 
x ( x )
(x)
x
F'( )
sen
enx s 

17
PRIMERA PRACTICA CALIFICADA-Solucionario
Duración 120 min
Carrera Profesional ING. INDUSTRIAL-FIIA 04:00- 06:00p.m. Para practicar
 En todas las preguntas se debe incluir el proceso. El orden y claridad en la presentación será tomados en cuenta en la
calificación.
21. Resolver:
2
3 2
3 5 1
I
6 12 8
x x
dx
x x x
 

   Solución: Nos encontramos ante una integral
racional donde el grado del polinomio que forma el numerador, P(x), es inferior al grado del polinomio que
forma el denominador, Q(x), luego, debemos buscar las raíces del denominador. Así tenemos:
323
)2(8126)(  xxxxxQ con lo que si descomponemos en fracciones parciales nos queda:
3223
2
)2()2()2(8126
153








x
C
x
B
x
A
xxx
xx
, donde se ha de satisfacer que:
CxBxAxx  )2()2(153 22
. Identificando, queda: A = 3, B = 7, C = 3 y, por tanto:
2
3 2 2 3 2
3 5 1 7 3
3 7 3 3ln 2
6 12 8 ( 2) ( 2) ( 2) 2 2( 2)
x x dx dx dx
dx x C
x x x x x x x x
 
       
          
Comprobado en el software libre GEOGEBRA, para C interactivo
22. Resolver:
  dxexxI x
)53( 2
Por el método de integración por partes:










 xx
x
evdxedv
dxxduxxu
dxexxI
)32(53
)53(
2
2
2
( 3 5) (2 3)x x
x x e e x dx     
 La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que
pretendemos calcular, por lo que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:
Nota

18
Hacemos








xx
evdxedv
dxduxu 232
y sustituimos:







 dxeexexxdxxeexxI xxxxx
232()53()32()53( 22

 keexexxdxeexexx xxxxxx
2)32()53(2)32()53( 22
  kxxekexxx xx
 )105(2)32()53( 22
Comprobado en el software libre GEOGEBRA, para C interactivo
23. Resolver:
2 2
( 9 )I x x dx  Solucion :
2 2
I (x 9 x )dx :Hacemos x 3sen( ) dx=3cos( )dθ    
2 2 2
9 9 9sen ( )=9cos ( )x    
2 2 2 2
2
2 2
I (9sen ( ) 9cos ( ))(3cos( )dθ) 81 sen ( ).cos ( )
81 81 1 cos(4 ) 81 81 (4 )
(2 ) ( )
4 4 2 8 32
81 81 x
I (2) ( ).cos( ) cos ( ) ( ) ,sabemos : ( )
8 16 3
81 x 81 x 9 x
I ( ) ( ).(
8 3 8 3
d
sen
sen d d C
sen sen C sen
Arcsen
     
 
   
     
 

    
      

 
 
 
2 2 2
2 2
9 x x
)( )
3 9
81 x x
I ( ) 9 x (9 2x )
8 3 8
C
Arcsen C
 

    
24. Encierre en un círculo la letra V si es verdadero o F si es falso, en cada una de las siguientes
afirmaciones. (Cada respuesta correcta vale 2.5 punto)

19
El valor de la Integral: 1
1
ln(x ) C
dx
x


 
V F
x
2 2 2
x
x1 1
dt
1 t 1 x 1 ( x )
xD
 
  
    
 solución:
2
2
2
d( (x) ) 2x x
x (x)
dx x2 (x)
   
x
2 2 2
1 1 1 x
( )
1 1 x 1 ( x ) x
x
x
D dt
t
 
  
    

V F No se puede
determinar

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