Práctica de matemática - progresión Aritmética

INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMBLEMÁTICA
FRANCISCO ANTONIO DE ZELA
ÁREA - MATEMÁTICA
TACNA - 2 013
46
1
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cuarto año de Educación Secundaria
Alumna___________________________
Grado y Sección ___________________
1. Progresión Aritmética:
a. Ley de formación: son aquellas en las que
cada término, excepto el primero, se obtiene
sumando una cantidad fija, llamada diferencia,
o razón, al inmediato anterior, así
t t r t r n     2 1 n 1 ;  ; t .
b. Propiedades o características de las P.A.
- La diferencia, en valor absoluto, entre dos
términos consecutivos cualesquiera es
constante e igual a la razón.
Ejemplo:
1, t 8, t 15, t 22, t 29, t 36 1 2 3 4 5 6 t      
donde podemos comprobar que
7, t 7 4 3 6 5 t  t   t  , etc.
- La suma de términos equidistantes es
constante e igual a la suma de los extremos.
 Ejemplo:
Del ejemplo anterior, podemos observar
que 37 1 6 t  t  , y que 37 2 5 t  t  , y
que 37 3 4 t  t  .
2. Término general: podemos poner, en general,
que:
t  t  r 2 1
t t r t r r t 2r 3 2 1 1        ,
t t r t 2r r t 3r 4 3 1 1        y siguiendo el
principio o ley de inducción, llegaríamos a que
en el caso general t t n  r n   1  1 , que es el
término general.
 Ejemplos:
 1 ; 8 ; 15 ; 22 ;  ; 1 n -1 7 , o sea,
t 1 7  n 1 n
   3 2 ; 5 ; 8 ; 11 ;  ; 2  n -1  , o sea,
t  2  3 n 1 n
3. Interpolación en una progresión aritmética.-
Interpolar p-medios aritméticos, o medios
diferenciales, entre otros dos números, a y b
dados, consiste en buscar p-números que estén
en progresión aritmética con ellos, y que estén
comprendidos entre ellos. Para ello debemos
proceder en la siguiente forma:
 Primero hallamos la diferencia r en valor
absoluto entre los números dados, que van a
ser los extremos de la progresión.
 En segundo lugar dividimos dicha diferencia
entre el número de términos que queremos
interpolar más uno, ese valor, r, será la razón
de la progresión.
 Obtendremos los términos pedidos sumando
sucesivamente la razón al primero, luego al
número así obtenido, y así hasta completar el
número de términos pedidos.
 Ejemplo 1: interpolar cinco términos, o
medios aritméticos, o números, entre 12 y
16:

2
3
4
R  1612  4r  
6

38
12 1 t    ,
3
2
3
40
2 t  ,
3
42
3 t  ,
3
44
4 t  y
3
3
5 t 
son los números pedidos, ya que el siguiente en
la progresión que hemos generado, sería
t   16
, que es el extremo que nos han
6 dado.
48
3
 Ejemplo 02: interpolar cuatro números entre 1
y 36:
35
 R  136  35  35r  
7
5
 1 7 8 1 t    , 8 7 15 2 t    , 15 7 22 3 t    ,
22 7 29 4 t    son los números pedidos, ya que
el siguiente sería 29 7 36 6 t    , que es el
número que me dieron de referencia.
4. Tipos de progresiones aritméticas:
a. Limitadas, cuando tienen un número finito
de términos.
b. Ilimitadas, cuando tienen infinitos términos.
c. Crecientes, cuando un término cualquiera es
siempre mayor que todos los que le preceden,
la razón es positiva.
d. Decrecientes, cuando un término cualquiera
es siempre menor que todos los que le
preceden, la razón es negativa.
5. Suma de todos los términos de una
progresión aritmética: para poder realizar la
suma y que esta sea una cantidad razonable,
finita, es necesario que la progresión sea limitada.
Para obtener la expresión que nos permita calcular
la suma de modo sencillo nos basaremos en la
segunda propiedad de las progresiones
aritméticas, por ejemplo:
1, t 8, t 15, t 22, t 29, t 36 1 2 3 4 5 6 t       ,
la suma de sus términos sería:
6
i             
S a a a a a a a 1 8 15 22 29 36 1 2 3 4 5 6
i 1

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 términos
 = términos
2
donde el símbolo  (sigma mayúscula) representa,
matemáticamente, el sumatorio de los elementos
indicados como ai, desde el número indicado debajo
como i = 1, hasta el indicado arriba, en este caso.
a) Podíamos haber puesto también la suma
inversa, es decir, de mayor a menor,
S  3629221581, y si colocamos
cada una de ellas una encima de la otra, y
sumamos miembro a miembro, tendríamos:
S  1  8  15  22  29 
36
S  36  29  22  15  8 
1
2S  37  37  37  37  37 
37
Ya que la suma de términos equidistantes de
los extremos es constante e igual a la suma de
37
éstos, con lo que 6
S   , que es el resultado
2
final, es decir 111, compruébalo haciendo la su-ma
término a término.
b) Para una limitada pero más genérica
2 ; 5 ; 8 ;  ; 2  k 13, ya que
2 k 132 k  23  3 6  3, es la
diferencia de la progresión, tendríamos:
       

S k k
           
2 5 8 2 2 3 2 1 3
       
S k k

          
2 1 3 2 2 3 5 2
2 S  2  2   k  1  3  5  2   k  2  3  
 2   k  2  3  5  2   k
 1  3 
2
Si realizamos las operaciones encerradas entre los
paréntesis, todas dan como resultado k 3 1   , que
también podemos escribir como 2  2  3 k 1,
o lo que es también lo mismo, k t t  1 , por la
propiedad segunda de las progresiones
aritméticas.
Como hay k-sumandos iguales, nos queda por
t 
t
S k 
1 .
último que la suma será 
k
2
c) Expresión general de la suma:
1 , siendo n el número de términos de
n
t 
t
S 
n 
2
la progresión.
6. Cantidad de cifras empleadas en una
Progresión Aritmética.
Para calcular el número de cifras que se utilizan en
una progresión aritmética, se siguen los siguientes
pasos:
Paso 1: Se debe conocer el primer y el último
término de la progresión, para formar grupos que
tengan la misma cantidad de cifras.
Paso 2: Se calcula el número de términos, que hay
en cada grupo formado.
Paso 3: Se calcula el número de cifras, que hay en
cada grupo; así por ejemplo:
20 números de 2 cifras, emplean: 20 x 2 = 40 cifras
80 número de 3 cifras, emplean: 80 x 3 = 240 cifras
Paso 4: se suman los resultados de cada gripo y
obtenemos el total de cifras.
Ejemplo:
* ¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente P.A.?
40; 42; 44; 46; ………; 220
Resolución:
* Paso 1:
40; 42; 44; 46; ....; 98........ números de 2 cifras.
100; 102; 104; 106; ....; 220...... número de 3
cifras
* Paso 2:
N° de términos de 2 cifras = 98 40
1 30
2
 
220 100
N° de términos de 3 cifras 1 61
2
 
* Paso 3:
30 cifras términos de dos cifras  30 x 2
= 60 cifras
61 términos de tres cifras  61 x 3 = 183
cifras
* Paso 4:
Total de cifras: 60 + 183 = 243 cifras
Un caso particular de progresión aritmética, es la
sucesión de números enteros positivos:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ..........; N
Para calcular cuántas cifras se utilizan en este tipo
particular de progresiones, emplearemos la siguiente
fórmula:
Cantidad de cifras =
(N 1)k 1111...111
"k " veces
Donde: “k” es el número de cifras de “N”.
* Ejemplo:
¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente
enumeración?
1; 2; 3; 4; ........; 220
* Resolución:
Cantidad de cifras = (220 + 1).3 – 111 = 552 cifras.

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TACNA - 2 013
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
NIVEL I
1. Si el primer término de una P.A. es 8 y la
diferencia es 4, hallar el término de lugar 25.
a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104
2. Si el primer término de una P.A es -12 y la
diferencia es 7. Hallar el término de lugar
nonagésimo.
a) 601 b) 604 c) 611 d) 618 e) 625
3. Hallar la diferencia o razón de una progresión
aritmética si el décimo término es 30 y el
término 22 es 60.
a) 1,5 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,5 e) 2,8
4. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 90 y 245?
a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43
5. Calcular la suma de los 35 primeros términos
de la progresión aritmética 58, 52, 46, …
a)1240 b)1540 c)-1240 d)-1540 e)-1640
6. Carla se inscribe en el gimnasio. Su instructor le
sugiere empezar con una sesión de 30 minutos
y a partir de ahí aumentar 5 minutos cada día.
¿Cuánto tiempo de ejercicio habrá acumulado
luego de 15 días?
a) 955 min b) 960 min c) 965 min
d) 970 min e) 975 min
7. Identifica aquellas sucesiones de números que
son progresiones aritméticas. Justifica tu
respuesta e indica su diferencia.
a) 17; 13; 9; 5; …
b) 6; 9; 13; 18; 24; …
c) 3,5 ; 4,7 ; 5,9 ; …
d) -14; -9; -3; 4; …
8. Escribe una progresión aritmética de 6 términos
si:
a) t1= 29 y r = 7
b) t2 = 5 y r = -7
c) t2 = 16 y a5 = 2,5
d) t3 = 10 y t6 = 15,1
9. Resuelve los siguientes casos respecto a una
progresión aritmética.
a) t1= 7 y r = 3 , obtén el valor de t100.
b) t1 = 8 y r = 5, obtén el valor de t200.
c) t2 = 17 y r = -11 ; obtén el valor de t77.
10. En cada caso, calcula lo que se pide.
a) El undécimo término de 4; 9; 14; 19; 24; …
b) El total de términos en 5; 11; 17; … 149.
c) El término central de la progresión
aritmética 5; 12; 19; …; 306.
d) La suma de los 30 primeros términos de una
progresión aritmética si el tercero es 15 y el
octavo es 35.
11. En una progresión aritmética, el término que
ocupa el lugar 12 es 38 y la diferencia es 3.
Halla el primer término.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12. En una progresión aritmética, t40=120 y t20=40.
¿Cuál es el primer término de la progresión
aritmética?
a) 36 b) -36 c) 35 d) -35 e)32
13. En una progresión aritmética, t35=126 y t15=36.
¿Cuál es el primer término de la progresión
aritmética?
a) 26 b) -26 c) 27 d) -27 e)3
14. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 60 y 260?
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e)30
15. Lucía ahorró S/. 500 de su primer sueldo. Si a
partir de entonces ahorra cada mes S/. 40 más
de lo que ahorra el mes anterior, ¿Cuánto habrá
ahorrado al término de un año?
a) S/.8 640 b) S/. 8650 c) S/.8750
d) S/.9 770 e) S/.8 460
16. En pareja, analicen el patrón de construcción y
determinen los términos centrales x, y, z.
8
5
2
17
14
11
26
23
20
x
y
z
2 330
2 327
2 324
17. La suma de los 48 primeros términos de una
progresión aritmética es 3 816. Si el último
término es 150, halla el primer término y la
diferencia de la progresión.
a) 5 y 6 b) 3 y 8 c) 9 y 6
d) 9 y 3 e) 6 y 3
18. La suma de los 20 primero términos de una P.
A. es 980. Si el último término es 87, hallar el
primer término y la diferencia común.
a) 11 y 6 b) 13 y 8 c) 12 y 6
d) 11 y 4 e) 11 y 3
19. El 30 de diciembre Tomás le pide a su jefe un
aumento de sueldo de S/.750 a S/.1 000. Su
jefe le propone aumentarle S/.40 cada mes
durante un año. Tomás evaluará su propuesta y
la del jefe. ¿Cuál le convendrá?; ¿Por qué?
a) La del jefe, 130 soles.
b) Cualquiera de las dos, no gana ni pierde
c) La de él, 130 soles.
d) La del jefe, 120 soles.
e) La de él, 120 soles.
20. Un oficial al mando de 5 050 soldados les
ordena formarse en una disposición triangular,
de manera que la primera fila tenga un soldado,
la segunda, dos; la tercera, tres y así

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sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la
formación?
a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104
NIVEL II
1. En una fábrica de dulces se elaboran, el primer
día, 97 kg. de dulces. Determina cuántos
kilogramos de dulces se elaboraron el día 25 si
se sabe que la producción aumentó 5 kg por
día.
a) 207kg b) 307 kg c) 217 kg
d) 117 kg e) 317 kg
2. ¿Cuántos términos tiene la P.A. 11; 17; …;
503?
a) 68 b) 83 c) 56 d) 73 e)93
3. Don Fermín deposita S/. 3 200 en la caja
municipal de ahorro. Por el primer mes recibirá
S/. 73 y por cada mes adicional, recibirá 5 soles
más respecto al mes anterior. ¿Cuánto recibirá
el cuarto mes?, ¿Cuánto recibirá en total si deja
el dinero por un año?
a) S/. 88 y S/. 1 206
b) S/. 88 y S/. 1 216
c) S/. 98 y S/. 1 206
d) S/. 86 y S/. 1 208
e) S/. 98 y S/. 1 208
4. Determinar el número de términos de la
siguiente P.A.:
23(5); 32(5); 41(5);; ......; 212(5)
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15
5. ¿Cuántos números pares hay desde 31(5)
hasta 243(6)?
a) 43 b) 51 c) 42 d) 53 e) 40
6. ¿Cuántos números múltiplos de 7 hay entre
43(7) y 1214(9)?
a) 110 b) 120 c) 135 d) 125 e) 128
7. Hallar “m”, si la siguiente progresión aritmética
tiene 137 términos.m1 ; m4 ; .........; mm9
a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8
8. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión
aritmética?
aa ; a(a  7) ; .........; 2(a  3)(a 1)
a) 34 b) 33 c) 35 d) 36 e) 32
9. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión
aritmética?
45 ; a3 ; b1; b9 ; .........; b(a 1)a
a) 76 b) 75 c) 74 d) 78 e) 80
10. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir cada una
de las siguientes progresiones aritméticas?
a) 24; 27; 30; ........................; 300
b) 67; 72; 77; ........................; 952
c) 165; 175; 185; ..................; 1565
11. En cada una de las siguientes progresiones se
indica el número de términos que tiene, hallar
cuántas cifras se utilizaron en cada caso.
a) 17; 22; 27; ....................; 70 términos
b) 35; 42; 49; ....................; 100 términos
c) 234; 230; 226; ..............; 50 términos
12. ¿Cuántas cifras se emplean al numerar un libro
de 420 hojas?
a) 2142 b) 2 412 c) 2 400
d) 2 512 e) 2 416
13. Al numerar un libro se empleó 714 cifras
Cuántas páginas tiene el libro?
a) 284 b) 295 c) 275 d) 280 e) 185
14. Al numerar un libro se utilizó 834 cifras
¿Cuántas páginas de tres cifras tiene e libro?
a) 215 b) 315 c) 225 d) 375 e) 275
15. ¿Cuántos términos impares hay entre
312(4) y 312(7)?
a) 50 b) 51 c) 52 d) 180 e) 200
DATOS CIENTÍFICOS
Como ya todos
¿SABÍAS
QUÉ?
sabemos, el Sol está
constantemente emanando
rayos de luz en todas
direcciones, y, considerando
que esta luz viaja en el
espacio a una velocidad de
300 000 Km/s, se podría
calcular, de forma
aproximada, cuánto tarda la luz solar en l legar a
La Tierra.
En concreto, luego de hacer los cálculos y, teniendo
en cuenta que la distancia de el Sol a la Tierra es
de casi 150 millones de kilómetros, se podría deducir
que en total, la luz del Sol llega a la Tierra luego de 8
minutos y 19 segundos.
De esta forma, se explica que sí un suceso está
ocurriendo en estos momentos en el Sol, los terrestres
podríamos verlo recién luego de 8 minutos y 19
segundos, ya que en ese tiempo llegarán los rayos de
luz que traen la información correspondiente hacia la
Tierra, para luego llegar a nuestros ojos.

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TACNA - 2 013
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16. ¿Cuántos números de tres cifras tiene la
siguiente progresión aritmética? 31; 36;
41; .......
a) 120 b) 140 c) 150
d) 180 e) 200
17. La diferencia de los términos de lugares 41 y
27 de una progresión aritmética creciente es
98. si el segundo término es 32, hallar el
trigésimo segundo término.
a) 316 b) 242 c) 176
d) 352 e) 252
18. En una P.A. el t(27) es 180 y el t(54) es 342.
hallar el término que ocupa el lugar 63.
a) 374 b) 418 c) 396
d) 386 e) 378
19. ¿Cuántos términos hay en la siguiente
progresión aritmética?
a
4a ; 49 ; b4 ; ..... ; 6( )(2b 1)
2

a) 118 b) 132 c) 142
d) 152 e) 172
20. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?
15(n); 21(n) ; 24(n) ; .....; 132(n)
a) 18 b) 21 c) 36
d) 42 e) 51
21. La cantidad de cifras empleadas en:
73; 78; 83; ......; 668, es:
a) 354 b) 195 c) 1106
d) 675 e) 560
22. Cuántas cifras se emplean en la secuencia:
39; 41;43; ....; 931?
a) 1862 b) 1294 c ) 1310
d) 1341 e) 1000
23. ¿Cuántos ceros inútiles hay en: 0001; 0002;
0003; 0004;...; 1000?
a) 1026 b) 2000 c) 1 107
d) 742 e) 1526
24. ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los
números impares desde 37 hasta 533.
a) 675 b) 704 c) 715
d) 730 e) 725
25. ¿Cuántas cifras se emplearon al numerar las 720
páginas de un diccionario?
a) 2 052 b) 1 556 c) 1876
d) 1726 e) 1708
Desafío:
26. Para embellecer un paseo recto, se coloca, a lo
largo de su línea central, una fila de jardineras
hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma
forma. Se desea saber el número de baldosas
necesarias para colocar una hilera de 20
jardineras.
27. Hallar los ángulos de un cuadrilátero
convexo, sabiendo que están en progresión
aritmética, siendo r = 25º.
28. El cateto menor de un triángulo rectángulo
mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo
que los lados del triángulo forman una
progresión aritmética.

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