Bloque 4

BLOQUE
4
166
Aprendizajes esperados
• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.
• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b =
cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales,
positivos y negativos.
• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa,
algebraicamente o mediante tablas y gráficas.
• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propie-
dades de la media y la mediana.
El atletismo es un deporte que consta de varias disciplinas
clasificadas como carreras, saltos, lanzamientos, pruebas combinadas
y marcha. La mayoría de estas pruebas se llevan a cabo en una pista
especial formada por dos rectas paralelas y dos semicírculos.
Las carreras se clasifican de acuerdo con la distancia a cubrir: de
velocidad (distancias hasta 400 m), de medio fondo (entre 600 m y
3000 m) y de fondo, en las que se cubren distancias mayores. También
hay carreras de obstáculos y pruebas de equipo denominadas
carreras de relevos.
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167
Trabaja en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder
cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado
anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es
recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.
El esquema es de una pista de atletismo. Las distancias están en metros.
a) Calculen las longitudes de la línea roja
(parte interior de la pista) y la línea azul
(parte exterior). Tomen 3.1416 como el
valor de π.
b) Las pistas de atletismo se dividen en cua-
tro, seis y ocho carriles de 1.22 m de an-
cho. ¿Cuántos carriles tiene la pista del
diagrama? La línea verde es la ruta teó-
rica que seguiría un corredor del primer
carril. ¿Cuál es la longitud de esta línea?
c) Hallen la longitud de la ruta teórica de los
otros carriles con la expresión π2x + 168.6, donde x representa el radio del se-
micírculo correspondiente. Recuerden que los carriles miden 1.22 m de ancho.
Comprueben que esta fórmula es útil para calcular las respuestas de los incisos
anteriores. ¿De dónde sale el número 168.6?
84.3
36.8
36.5
46.2

Juegos y retos
168
Cuadrados mágicos
Un cuadrado mágico está compuesto de números ubicados en un arreglo cuadrado de
manera que al sumar los de cualquier columna, fila o diagonal siempre se obtiene el
mismo número. Los cuadrados mágicos se llaman así por propiedades que veremos,
pero no tienen nada que ver con la magia ni con algo sobrenatural. Enseguida tenemos
un cuadrado mágico de 3 × 3, que llamaremos cuadrado mágico modelo de 3 × 3.
8 1 6 8 + 1 + 6 = 15
3 5 7 3 + 5 + 7 = 15
4 9 2 4 + 9 + 2 = 15
En este caso, la suma constante es 15, por lo que podemos decir que la constante del
cuadrado mágico es 15. Observa que los números en el cuadrado modelo son la serie
del 1 al 9.
Aunque hay cuadrados mágicos muy simples, como el siguiente, son más interesantes
aquellos en que los números tienen una secuencia.
10 10 10
10 10 10
10 10 10
Completa el siguiente cuadrado mágico de 4 × 4 con los números del 1 al 16 que faltan.
La constante es 34.
8 13
10 6
4 9
14 2 7
6+7+2=15
1+5+9=15
8+3+4=15
4
+
5
+
6
=
15 8
+
5
+
2
=
15
1 12
15 3
5 16
11

169
Construye cuadrados mágicos de 3 × 3 con cada sucesión numérica.
−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
En los cuadrados mágicos podemos encontrar algunas propiedades; una es que si cada
número se suma, resta, multiplica o divide por la misma cantidad, se obtiene otro cua-
drado mágico.
Efectúa las operaciones que se indican en el cuadrado modelo de 3 × 3. Verifica que ob-
tengas cuadrados mágicos y anota su constante.
Suma 4 Resta 6 Multiplica por −1
constante: constante: constante:
Contesta.
a) ¿Qué operación aplicarías al cuadrado modelo de 3 × 3 para obtener uno con solo
números pares?
b) ¿Y para obtener uno con números distintos, cuya constante sea cero?
c) Menciona dos maneras de obtener un cuadrado mágico de constante 30 a partir del
cuadrado modelo.
d) ¿Cómo cambia la constante de un cuadrado mágico de 3 × 3 si a cada número se
aumenta 1?
e) ¿Y la de un cuadrado mágico de 4 × 4?
PISTAS Y ESTRATEGIAS
3 −4 1 24 3 18
−2 0 2 9 15 21
−1 4 −3 12 27 6
12 5 10 2 −5 0 −8 −1 −6
7 9 11 −3 −1 1 −3 −5 −7
8 13 6 −2 3 −4 −4 −9 −2
27 −3 −15
R. T. Multiplicar por un número par.
R. T. Restar 5.
R. T. Sumar cinco y multiplicar por dos.
R. T. Aumenta tres.
R. T. Aumenta cuatro.

170
Lección 58
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones I
¿Cómo puede calcularse el término 45 de la siguiente sucesión?
3, 7, 11, 15…
1 Completa el cuadrado restando 7 a los términos del cuadrado modelo de 3 × 3.
−6
−5
a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?
b) Relaciona los números del cuadrado anterior con los que le corresponden en el cua-
drado modelo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c) ¿Los números que anotaste van aumentando o disminuyendo?
d) Observa que has obtenido una sucesión de números cuyo primer término es −6.
¿Cuál es el octavo?
e) Si la sucesión continuara, ¿cuál sería el décimo? ¿Y el vigésimo?
¿Cuál sería el centésimo?
f) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?
2 Completa el cuadro con los términos del cuadrado modelo de 3 × 3 multiplicados
por –2.
a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?
−6
−2
−4
de nuevo
el reto
1 −1
−4 −2 0
−3 2
−6
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
R. T. Aumentando.
R. T. Es uno.
3 13
93
R. T. Se
suma uno.
−16 −12
−6 −10 −14
−8 −18
Es −30.

171
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
b) ¿Cuál es la sucesión de este cuadrado? Anótala enseguida.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?
d) ¿Cuál es el undécimo término de la sucesión? ¿Y el vigésimo?
e) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?
3 Comenta en equipo tus respuestas. Efectúen lo siguiente.
a) Discutan cuál es la forma más sencilla de hallar el quincuagésimo sexto término de
la sucesión del cuadrado de la actividad 1 y escríbanla.
b) Anoten una expresión algebraica para calcular el término n de la sucesión de la
actividad 1.
c) Encuentren la manera más sencilla de calcular el octogésimo tercer término de la
sucesión de la actividad 2.
d) Escriban una expresión algebraica para calcular el término colocado en la posición
n de la sucesión de la actividad 2.
4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial con tus compañeros. Escribe las
conclusiones que obtuvieron a continuación.
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la
regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros
Observa
Para denotar
una posición
cualquiera en
una sucesión
podemos usar
una letra. Por
ejemplo: n.
La regla de una sucesión permite hallar cualquier término y puede indicarse con una
expresión algebraica. Por ejemplo:
La regla 3n − 10 genera la sucesión −7, −4, −1, 2, 5…, ya que
n 1 2 3 4 5
3n − 10 3 − 10 = −7 6 − 10 = − 4 9 − 10 = −1 12 − 10 = 2 15 − 10 = 5
−2 −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18
R. T. Disminuyen.
−22 −40
R. T. Se
resta dos.
R. T. Se resta siete a 56 y se obtiene 49.
n − 7
R. T. Se multiplica 83 por −2 y se obtiene −166.
−2n
R. P.

172
Lección 59
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones II
¿Cuál es la regla que genera la sucesión 8, 5, 2, −1, −4…?
1 Observa la sucesión y responde.
−13, −11, −9, −7…
a) Anota los siguientes diez términos de la sucesión.
b) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?
c) ¿Cómo cambia un término de la sucesión con respecto al anterior?
d) ¿Es una sucesión con progresión aritmética? ¿Por qué?
e) ¿Cuál es el vigésimo cuarto término?
f) Subraya la expresión que es regla de la sucesión.
−2n + 5 −2n − 3 2n + 3 2n + 1
2 Anota los diez primeros términos de las sucesiones. Después contesta.
Regla
Valor n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4n − 11
3n − 5
−n + 8
−2n + 10
−5n − 5
−7n − 4
a) ¿Las sucesiones anteriores tienen progresión aritmética?
¿Porqué?
b) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones aumentan?
R. T. −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
R. T. Aumentan.
R. T. Aumenta
dos unidades.
Sí. R. T. Porque la
diferencia entre un término y el siguiente es constante.
R. T. Es 45.
−7 −3 1 5 9 13 17 21 25 29
−2 1 4 7 10 13 16 19 22 25
7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2
8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10
−10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 −50 −55
−11 −18 −25 −32 −39 −46 −53 −60 −67 −74
Sí.
R. T. Porque la diferencia entre un término y el siguiente es constante.
R. T. 4n − 11 y
3n − 5. Son aquellas en las que el coeficiente de n es positivo.

173
c) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones disminuyen?
3 Responde las preguntas con respecto a las sucesiones.
a) Escribe la regla algebraica de la sucesión 11, 7, 3, −1, −5, −9…
i) Explica cómo la determinaste.
b) Escribe la regla algebraica de la sucesión −5, −10, −15, −20, −30…
i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
ii) ¿Cuáleslarelaciónentreesadiferenciayloscoeficientesqueaparecenenlaregla
algebraica?Justificaturespuesta.
c) ¿Cuál es la regla algebraica de la sucesión −11, −16, −21, −26, −31, −36…
i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
ii) ¿Cuál es la relación entre la regla algebraica de la sucesión del inciso b) y la del
inciso c)? Explica tu respuesta.
4 Comenta en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen cuál es la
diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión. Comenten cómo
pueden verificar que la regla que escribieron sea la regla algebraica de esa
sucesión. Escriban sus conclusiones y preséntenlas a los demás equipos.
R. T. −n + 8,
−2n + 10, −5n − 5, −7n − 4. Son las que tienen coeficiente negativo en n.
−4n + 15
R. T. El coeficiente de n es la diferencia entre
un término y el siguiente. Para determinar el término independiente se suma 15
a −4(1) = −4 para obtener 11, que es el primer término de la sucesión.
−5n
−5
R. T. La diferencia entre cada término
es el coeficiente de n.
−5n − 6
−5
R. T. La diferencia es el término independiente,
que es −6; entonces, el primer término de cada sucesión cambia.
R. P.

174
Lección 60
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones III
¿Cuál es la regla de una sucesión cuyo primer término es 1 y el décimo, −26?
1 Escribe, a partir de la regla, los seis primeros términos de la sucesión.
a) 3n + 4
b) 2n − 2
c) 2 − 2n
d) 3n − 4
e) 4 − 3n
• Contesta.
f) ¿En qué sucesiones los términos van aumentando?
g) ¿En qué sucesiones los términos van disminuyendo?
h) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 3 en 3?
i) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 2 en 2?
j) ¿Cómo cambiarías la regla de la sucesión 3n + 4 para que el primer término fuera 10?
Justifica tu respuesta.
k) ¿Cómo cambiarías la regla 3n + 4 para que los términos de la sucesión aumentaran
de 2 en 2?
2 Completa las sucesiones y escribe cómo se calcula el término n.
a) −5, −4, , , −1, ... término n:
b) −3, −6, , −12, , ... término n:
c) −2.3, −1.3, , , 1.7, ... término n:
d) −3.5, −7, , , −17.5; ... término n:
e) 1, 0.3, , −1.1, , −2.5 … término n:
f) −4, −2.5, , , , 3.5 … término n:
g) 2, 11
8
,
, ,
−11
2
,
...
término n:
h) −51
4
, −33
4
,
, , ,
21
4
… término n:
de nuevo
el reto 7, 10, 13, 16, 19, 22
0, 2, 4, 6, 8, 10
0, −2, −4, −6, −8, −10
−1, 2, 5, 8, 11, 14
1, −2, −5, −8, −11, −14
R. T. En a), b) y d).
R. T. En c) y e).
R. T. En a), d) y e).
R. T. En b) y c).
R. T. Cambiaría el término independiente por 7, porque
3(1) + 7 = 10.
R. T. Cambiaría el coeficiente de n por 2.
−3 −2 0 n − 6
−9 −15 −18 −3n
−0.3 0.7 2.7 n − 3.3
−10.5 −14 −21 −3.5n
−0.4 −1.8 −0.7n + 1.7
−1 0.5 2 1.5n − 5.5

1
4
−
5
8
−2
3
8
−
7
8 n + 2
7
8
−2 1
4 − 3
4
3
4
3
2
n − 6
3
4

175
3 Contesta considerando las sucesiones de la actividad anterior.
a) ¿Cuál es el término 10 en a)? b) ¿Cuál es el término 11 en b)?
c) ¿Cuál es el término 22 en c)? d) ¿Cuál es el término 15 en d)?
e) ¿Cuál es el término 30 en e)? f) ¿Cuál es el término 20 en f)?
4 Responde y haz lo que se indica.
a) ¿Cuál es el primer término positivo de la sucesión cuya regla es n − 12?
b) Escribe los cinco mayores términos negativos de la sucesión −1
4
n − 4.
c) Anotalosdosmenorestérminospositivosdelasucesión−1
2
n+11
4
.
5 Relaciona cada sucesión con su regla anotando en el paréntesis la letra que
corresponda.
a) −4, −5, −6, −7, −8, −9… ( ) n2
− 5
b) −4, −6, −6, −4, 0, 6… ( ) n(n − 5)
c) −4, −11, −18, −25, −32, −39… ( ) 3n − 7
d) −4, −1, 4, 11, 20, 31… ( ) −n − 3
e) −4, −1, 2, 5, 8, 11… ( ) −7n + 3
6 Elabora un cuadrado mágico de 4 × 4 cuyo primer término de su sucesión sea ∙8
y el último, 22. Puedes basarte en el cuadrado de 4 × 4 que completaste en la
página 168.
7 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
TIC
En www.e-
sm.com.mx/
matcom2-175
podrás hallar
más información
sobre
sucesiones.
Anota en tu
cuaderno lo
nuevo que
aprendiste en la
página.
4 −33
18.7 −52.5
−12.3 39.5
1
−4
1
4 , −4
1
2 ,
−4
3
4 , −5, −5
1
4 , −5
1
2

3
4 ,
1
4

d
b
e
a
c

−8 6 16 14
20 10 −4 2
−2 0 22 8
18 12 −6 4

Juegos y retos
176
La liebre y la tortuga
Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem-
pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las
tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista,
una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar
la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad sin pre-
cedentes para una tortuga. Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se
carcajeó más de media hora antes de aceptar la apuesta.
—¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo
la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera?
—En un mes —dijeron las tortugas.
Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de
mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así ganaría. En
cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar ni de bajar
de peso. Estaba muy confiada.
Llegóporfineldíadelacarreraytodoslosanimalessereunieronparapresenciarla.Seindicó
la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia inició entre grandes aplausos.
La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que iba sin parar a 1 km/h, pronto
se quedó muy atrás.
Después de quince minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su
sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida.
Después de mucho tiempo la tortuga llegó a
donde estaba la liebre.
—Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tor-
tuga a la liebre con actitud muy deportiva.
—Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo
la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de
Morfeo.
De repente, la liebre despertó y miró su reloj.
—¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo
mientras se levantaba y volvía a correr a 16 km/h.
Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad
era suficiente para empatar la carrera.
—Le pondré un poco de emoción. Todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre.
Los espectadores veían cómo la liebre alcanzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emo-
cionados; iba a ser un final de fotografía.

177
Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga,
pensó en acelerar para ganar; todavía le quedaban muchas
reservas de energía y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo:
tropezó con una piedra y quedó tendida, retorciéndose de
dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tor-
tuga cruzara la meta y ganara la carrera.
Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír
de todos los animales.
Esopo (adaptación)
Contesta las preguntas en tu cuaderno.
¿De qué distancia fue la carrera de la liebre y la tortuga?
¿Cuánto tiempo duró la competencia?
Trabaja con un compañero. Determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre
durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga,
1 km. Supongan que ambos competidores empataron la competencia y completen la ta-
bla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzaría a la tortuga si no se hubiera caído y
sabrán cuándo cruzó la meta la tortuga.
Tiempo
(horas)
Distancia de la salida (km)
Liebre Tortuga
0 0 0
0.1 1.6
0.2
0.25
0.5
0.6
0.7
Recuerden que 1 hora es igual a 60 min.
¿Cuántos minutos son un cuarto de hora?
¿Y 0.1 horas?
¿A qué distancia del árbol se encuentra la
tortuga cuando la liebre reanuda la carrera?
¿Y tres minutos después de que la liebre
reanuda la carrera?
0.1
3.2 0.2
4 0.25
4 0.5
4 0.6
4 0.7
1 4 1
1.5 4 1.5
2 4 2
2.5 4 2.5
3 4 3
3.25 4 3.25
4 4 4
5.25 4 5.25
5.28 4.53 5.28
5.31 5.06 5.31
5.34 5.59 5.34
5.38 6.13 5.38
15 minutos
6 minutos
A 1.25 km
A 1.3 km

178
Lección 61
PREGUNTA INICIAL
Planteamiento de ecuaciones
¿Qué valor de x hace verdadera la igualdad 5x = x + 1?
1 Lee el problema, responde las preguntas y efectúa lo que se pide.
A 30 km de la frontera se comete un atraco. Los ladrones huyen a 90 km/h. Cuatro
minutos más tarde la policía sale en su persecución a 120 km/h. ¿Conseguirá alcanzar
a los ladrones antes de que lleguen a la frontera?
a) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco están los ladrones cuando la policía
inicia la persecución?
b) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco se encuentran los policías y los ladro-
nes cinco minutos después de que inicia la persecución?
c) Subraya la ecuación que permita calcular a qué distancia del atraco (d) está la policía
t horas después de que inicia la persecución.
i) d = 120t ii) d = 90t iii) d = 120
t
iv) d = 90
t
d) Subraya la ecuación que determine a qué distancia del atraco (d) se encuentran los
ladrones t horas después de que inicia la persecución.
i) d = 90t − 6 ii) d = 90t + 6 iii) d = 90
t
+ 6 iv) d = 90
t
+ 6
e) Observa las ecuaciones que escogiste en los incisos c) y d). Nota que cuando el valor
de d sea igual en ambas, los policías habrán alcanzado a los ladrones. Escribe la
expresión que resulta de igualar ambas ecuaciones.
f) Halla el valor de t para el cual d tiene el mismo valor en los incisos c) y d). Anota tu
procedimiento enseguida. Después compáralo con el de tus compañeros. Decidan
cuál es correcto.
Recuerda
Una ecuación
es una igualdad
formada por
literales y
números
relacionados
mediante
expresiones
aritméticas. En
una ecuación
las literales
se llaman
incógnitas.
A 6 km
R. T. Los policías están a 10 km, y los ladrones a 13.5 km
120t = 90t + 6
R. T.
120t = 90t + 6 La policía alcanzará a los ladrones
120t − 90t = 6 en 0.2 horas, o 12 minutos, después
30t = 6 de que empiece la persecución.
t = 0.2
Sí.

179
2 Lee los problemas y haz lo que se indica.
a) Escribe una ecuación que relacione dos lados
del triángulo. Recuerda la característica que
cumplen los lados de un triángulo isósceles.
b) La edad de una madre es 40 años y las edades de sus tres hijas suman 28 años. ¿Den-
tro de cuántos años las edades de las hijas sumarán las de la madre?
i) Completa la tabla. Representa con x los años que deben transcurrir para que la
edad de la madre sea igual a la suma de las edades de sus hijas.
Hoy
Dentro
de x años
Edad de la
madre
Suma de
las edades
de las hijas
ii) La suma de las edades de las hijas en x años no es 28 + x. ¿Cuánto suma tu edad
y la de uno de tus amigos? ¿Cuánto sumarán sus edades dentro
de un año? ¿Y en dos años?
iii) Escribe la ecuación que involucra el problema.
3 Inventa un problema que involucre a la ecuación 3x + 5 = x + 4.
4 Compara las ecuaciones que encontraste en las actividades 1 y 2 con las de tus
compañeros. Determinen, con ayuda del profesor, cuáles son correctas. Si hay
errores corríjanlos, pero consideren que puede haber varias soluciones.
5 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
5x + 20
3x+
16
x+
196
3x + 16 = x + 196
R. T. 4 años.
40 40 + x
28 28 + 3x
R. T. 26 años.
R. T. 28 años. R. T. 32 años.
40 + x = 28 + 3x
R. T.
El triple de un número más cinco es igual que el mismo número más cuatro.
¿Cuál es el número?

180
Lección 62
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones I
¿La ecuación x + 2 = 3 y la ecuación 2x + 6 = 9 − x tienen la misma solución?
1 Subraya las acciones que dejarían en equilibrio la balanza. Las medidas de las
pesas están dadas en kilogramos y los botes pesan lo mismo.
a) Pasar una pesa de 3 kg del platillo derecho al izquierdo
b) Añadir 2 kg a cada platillo
c) Quitar 1 kg a cada platillo
d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho
e) Eliminar dos botes del platillo izquierdo y uno del derecho
f) Quitar un bote de cada platillo
g) Agregar un bote a cada platillo
2 Escribe qué se hizo en cada platillo de la balanza. Anota si se conserva el
equilibrio y explica por qué.
Acción ¿Se conserva el equilibrio?
a) ¿Cuánto pesa cada bote?
3 Representa con una literal el peso de cada bote y escribe la ecuación que
representa la balanza de la actividad 1, así como cada balanza de la actividad 2.
Actividad 1 Actividad 2
a) b) c)
• Comprueba que las ecuaciones tengan la misma solución.
OoooooO
OoooooO
OoooooO
OoooooO
1
1
33
1
1
33
OoooooO
OoooooO
33
OoooooO
OoooooO
3
OoooooO
Se quitó un bote de
cada platillo
Se quitó una pesa
de 1 kg de cada
platillo
Se quitó la mitad
del peso de cada
platillo
Sí, porque se quitó un objeto
del mismo peso de cada platillo
Sí, porque las pesas que se
quitaron son iguales
Sí, porque cada platillo tenía
el mismo peso. Al quitar la
mitad de cada uno se sigue
conservando el mismo peso
Pesa 3 kg
3x + 1 = x + 7 2x + 1 = 7 2x = 6 x = 3

181
4 Relaciona cada balanza con su respectiva ecuación escribiendo en el paréntesis la
letra que corresponda. Después contesta las preguntas en tu cuaderno.
a) b)
c) d)
e) ( ) x + 5 − 5 = 15 − 5
( ) 2x + 5 − x = x + 15 − x
( ) 2x + 5 = x + 15
( ) x = 10
( ) x + 5 = 15
f) ¿Cuánto pesa cada bote?
g) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza b)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio?
¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación
a la otra?
h) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza c)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio?
¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación
a la otra?
i) Anota qué cambia de una balanza a la siguiente y qué en cada ecuación.
5 Comenta en grupo tu repuesta a la pregunta inicial. Lleguen a una conclusión.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
5
5 5 5
frijolitos
frijolitos
frijolitos frijolitos
5
5
frijolitos
5 5
frijolitos
5
5 5 5
frijolitos
5
5 5 5
frijolitos
5 5
frijolitos
d
b
a
e
c
R. T. Pesa 10 kg

182
Lección 63
PREGUNTA INICIAL
Un ecuación
tiene dos
miembros
separados por
el signo =.
x + 5 = 2x − 2
1er
miembro
2o
miembro
Solución de ecuaciones II
¿Cómo puede hallarse una ecuación equivalente a otra?
1 Completa las ecuaciones y contesta.
Bloques Ecuaciones
3y = + 5
3y − 2y = 2y + 5 −
y =
a) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el segundo paso?
Bloques Ecuaciones
5z + =
5z + 6 − = 8z −
6 = 3z
3
=
b) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el tercer paso?
y
y
y
y
y
1
1
11 1
=
y
y
y
y
y
1
1
11 1
=
y
1 1 1
1 1
=
z 1z
z z
z
1
1 1
1 1
z z z
z z z
zz
=
z 1z
z z
z
1
1 1
1 1
z z z
z z z
zz
=
1 1
1 1
1 1
z
z
z
1 z1 =
=
{
{
2y
2y
5
R. T. Se restó 2y.
6 8z
5z 5z
3
2 z
R. T. Se dividió entre 3.

183
2 Representa con bloques cada ecuación.
Ecuaciones Bloques
5x + 4 = 2x + 7
5x + 4 − 2x = 2x + 7 − 2x
3x + 4 = 7
3x + 4 − 4 = 7 − 4
3x = 3
x = 1
a) ¿Cuál es la solución de estas ecuaciones?
3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan, con ayuda del
profesor, conclusiones y anótenlas en sus cuadernos.
Si en ambos miembros de una ecuación se efectúa la misma operación, se conserva
la igualdad y se obtiene una ecuación equivalente.
x
x x
x
1
1 1 11
1
1
11
1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
x = 1.

184
Lección 64
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones III
¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 6x = 24?
1 Encuentra las medidas de cada ángulo sin hacer mediciones.
∡CBA = ∡BAC = ∡ACB=
2 Trabaja con tres o cuatro integrantes. Comparen sus respuestas de la actividad
anterior y comenten los procedimientos que siguieron para encontrar x. Escriban
el que les parezca mejor. Si lo desean, ahora pueden medir la figura para verificar
sus respuestas.
3 Resuelve la ecuación –2y = 215 y comenta con tus compañeros de equipo por qué
es equivalente a 3y + 5y – 10y = 190 +25.
4 Contesta. Justifica tu respuesta.
¿La ecuación 3y + 5y − 10y = 190 + 25 se puede transformar en la ecuación −2y = 215?
• Comenta tu respuesta en grupo. Digan cuáles son correctas y por qué.
5 Revisa en equipo la actividad 2 de la página 178. Identifiquen en qué pasos se
reducen términos semejantes.
2 1
2
x
3
5
x
1
2
x
B
A
C
125° 30° 25°
R. T. La suma de las medidas de los ángulos debe ser 180°. Entonces se obtiene que,
3
5
x +
5
2
x +
1
2
x = 180°. Así,
18
5
x = 180° y x = 50°.
R. T. Sí se puede transformar porque la suma algebraica de términos semejantes es
3y + 5y − 10y = −2y, y la de los términos independientes es 190 + 25 = 215

185
6 Calcula el peso de los botes en cada balanza.
Cada bote pesa g. Cada bote pesa kg.
7 Escribe una ecuación para cada balanza de la actividad anterior y comenta
procedimientos para resolverla.
Ecuaciones Procedimientos
a)
b)
8 Lee lo siguiente y revisa si te sirve para resolver las ecuaciones de la actividad
anterior o para mejorar los procedimientos que anotaste.
9 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen al grupo un método para
resolver la ecuación aplicando lo estudiado en la lección.
Para resolver una ecuación conviene aplicar las mismas operaciones en ambos miem-
bros de la igualdad, de manera que los términos semejantes queden en un miembro.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 5 se puede restar 3x en ambos
miembros.
5x + 7 = 3x + 5 5x + 7 − 3x = 3x + 5 − 3x 2x + 7 = 5
Observa que al reducir términos semejantes se eliminan los términos con x en el
segundo miembro.
Después, se resta 7 en ambos miembros.
2x + 7 = 5 2x + 7 − 7 = 5 − 7 2x = −2
Se divide entre 2 ambos miembros, , entonces x = −1.x = −
2__
2
1
2
__
75g 75g
50g
75g 75g
3 kg
5 kg 6 kg10 kg
x + 200 = 2x + 150
2y + 8 = y + 16
50 8
R. T. Se resta x en ambos miembros de la
ecuación; después se resta 150 en ambos
miembros y queda 50 = x
En ambos miembros se resta y de la
ecuación; después se les resta 8 y queda
y = 8.

186
Lección 65
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones IV
¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 4x = 24 + 2x?
1 Explica los pasos para resolver las ecuaciones. Observa los ejemplos.
a) z + 4 = 2z
z + 4 − 2z = 2z − 2z Se resta 2z en ambos miembros.
−z + 4 = 0 Se reducen términos semejantes.
−z + 4 − 4 = −4
−z = −4
(−1)z = (−1)4
z = 4
b) 3y + 12 = 7y
3y + 12 − 7y = 7y − 7y
−4y + 12 = 0
−4y + 12 − 12 = −12
−4y = −12
−4y
−4
=
−12
−4
Se dividen ambos miembros entre −4.
y = 3
c) 2
3
x − 3
4
= 1
2
x
2
3
x − 3
4
− 1
2
x = 1
2
x − 1
2
x
1
6
x − 3
4
= 0
1
6
x − 3
4
+ 3
4
= 0 + 3
4
1
6
x = 3
4
1
6
x = 3
4
1
6
1
6
x = 18
4
= 9
2
• Sustituye los valores que encontraste y comprueba que solucionen las ecuaciones.
Se resta 4 en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se multiplican por −1 ambos miembros.
Se efectúan los productos.
Se resta 7y en ambos miembros.
Se resta 12 en ambos miembros.
Se efectúan las divisiones.
Se resta 1
2
x en ambos miembros.
Se suma 3
4
en ambos miembros.
Se dividen ambos miembros entre 1
6
.
Se efectúan las operaciones y se simplifica la fracción.

187
2 Efectúa las operaciones para resolver las ecuaciones.
a) −30t = −20t + 15
Suma 20t en ambos miembros
de la ecuación.
Reduce términos semejantes.
Divide ambos miembros de la ecuación
entre −10.
Efectúa la división.
b) 3x + 5 = 4x − 1
Resta 4x en ambos miembros
de la ecuación.
Resta 5 en ambos miembros
de la ecuación.
Multiplica ambos miembros por −1.
Efectúa los productos.
3 Resuelve las ecuaciones.
a) 3y = 5y + 6 y = b) −4.3z = −7.8z + 3.5 z =
c) −2x − 4 = −x − 1 x = d) 2.4 + 5.1w = 4.2w − 6.6 w =
4 Plantea un problema que se resuelva con la ecuación 4x + 3 = 7 + 2x. Puedes
enunciarlo o dibujarlo. Intercámbialo y resuelve el que haya planteado uno de tus
compañeros.
5 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con un compañero. Comprueben su solución.
−30t + 20t = −20t + 15 + 20t
−10t = 15
−10t
−10
= 15
−10
t = −1 5
10
= −1
1
2
3x + 5 − 4x = 4x − 1 − 4x
−x + 5 = − 1
−x + 5 − 5 = − 1 − 5
−x = −6
−x(−1) = −6(−1)
x = 6
−3 1
−3 −10
R. T.
Si Juan comprara cuatro dulces le sobrarían tres pesos, pero si comprara
dos le quedarían siete pesos. ¿Cuánto cuesta cada dulce y cuánto dinero tiene
Juan?

188
Lección 66
PREGUNTA INICIAL
Ecuaciones con paréntesis
¿Qué relación tienen las ecuaciones 4(x + 5) = 80 y 4x + 20 = 80?
1 Lee la afirmación de Claudia y haz lo que se indica.
Claudia dice “La solución de la ecuación
3(x + 2) = 3x + 6
puede ser cualquier número.”
Explica en el espacio de la derecha si
Claudia tiene razón. Puedes utilizar di-
bujos, figuras o esquemas.
2 Lleva a cabo con un compañero lo que se pide.
El precio de 1 L de leche en la tienda “La Baratera” es $0.80 menor que en “La Inflación”.
¿Cuál es el precio del litro en cada tienda si con la misma cantidad de dinero se pueden
comprar 11 L en “La Baratera” mientras que solo 10 L en “La Inflación”?
a) Subrayen las ecuaciones que permitan resolver el problema.
10(x − 0.8) = 11x 10(y + 0.8) = 11y 11(z − 0.8) = 10z 11(w + 0.8) = 10w
b) Comenten qué significa la incógnita en cada ecuación que subrayaron.
c) Resuelvan en sus cuadernos una de esas ecuaciones mediante el método que prefie-
ran. Verifiquen que con la solución se cumplan las condiciones del problema.
3 Completa los pasos para resolver la ecuación.
a) Si no resolvieron la ecuación que escogieron en la actividad 2 o lo hicieron con un
método diferente, resuélvela con este.
b) ¿Cuál es el precio de la leche en cada tienda?
7(x − 3) = 5(x + 7)
Se multiplican por 7 los términos del primer paréntesis. 7x − = 5(x + 7)
Se multiplica por 5 cada término dentro del paréntesis. 7x − = +
Se resta 5x en ambos miembros de la ecuación. 7x − − 5x = + − 5x
Se reducen términos semejantes. − 21 = 35
Se suma 21 en ambos miembros. − 21 + 21 = 35 + 21
Se reducen términos semejantes. =
Se dividen ambos miembros entre 2.
R. T. Por la propiedad distributiva,
3(x + 2) es igual que 3x + 6 sin que
importe el valor de x; por lo tanto,
la igualdad se cumple para cualquier
valor de x.
21
21 5x 35
21 5x 35
2x
2x
2x 56
x = 28
$8.00 y $8.80

189
Completa la solución. Continúa donde indica la flecha.
3(x + 4) = 6x − 9
3(x + 4)
3
=
6x − 9
3
x =
x + 4 =
6x
3
−
9
3
5 Plantea y resuelve en equipo los problemas con ecuaciones.
a) Un paquete de tres botellas de crema corporal vale $750.00. El tamaño chico vale lo
mismo que el mediano menos $50.00. El precio del tamaño mediano es p. El tamaño
grande cuesta el doble que el mediano.
i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelvalordeltamañochico?______________
ii) ¿Cómoseexpresaelcostodeltamañogrande?____________________________
iii) Planteen una ecuación que indique el costo total de las tres botellas.
_________________________________________________________________
iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.
v) ¿Cuál es el costo de cada botella? ______________________________________
b) El perímetro de un cuadrado es el doble que el perímetro de un triángulo. Cada lado
del cuadrado mide x. Dos lados del triángulo miden 6 cm y el otro lado mide x + 3.
i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelperímetrodeltriángulo?_____________
ii) ¿Y el del cuadrado? _________________________________________________
iii) ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalosdosperímetros?______________________
iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.
v) Indiquen el perímetro de cada figura. ___________________________________
_________________________________________________________________
c) Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Concha exceden por quince años
a la de su hija. Si hace cuatro años la edad de la madre era el doble que la de su hija,
¿cuál es la edad de ambas? Plantea una ecuación y resuélvela en tu cuaderno.
Las edades son ________________________________________________________
6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Plantea en tu cuaderno un problema que
se resuelva con la ecuación, intercámbialo y resuelve el de tu compañero.4
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros
TIC
En www.e-
sm.com.mx/
matcom2-189
podrás ver un
video sobre
la solución de
ecuaciones.
Comenta con
tus compañeros
qué aprendiste
en él.
x + 4 = 2x − 3
x + 4 − 2x = 2x − 3 − 2x
−x + 4 = −3
−x + 4 − 4 = −3 − 4
−x = −7
x = 7
7
p − 50
2p
p − 50 + p + 2p = 750
$150.00, $200.00 y $400.00
x + 15
4x
4x = 2(x + 15)
El perímetro del cuadrado mide
60 cm y el del triángulo, 30 cm.
68 y 36 años. La ecuación es 3
4
x + 15 = x − 4
2
+ 4

190
Lección 67
PREGUNTA INICIAL
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
¿Qué relación tienen las ecuaciones 1
2
x + 3
4
x = 1
8
y 4x + 6x = 8?
1 Subraya la ecuación con que se resuelve el problema.
En una bolsa hay canicas rojas y azules. La tercera parte de las rojas más la cuarta de las
mismas es igual a la mitad de las azules. Si en total son 52 canicas, ¿cuántas rojas hay?
a) 1
4
r + 1
3
r = 52
2
b) 1
4
r + 1
3
r = 52 − r
c) 1
4
r + 1
3
r = 1
2
(52 − r) d) (1
4
+ 1
3
)r = 1
2
(r − 52)
• Comenta en grupo cómo elegiste la ecuación que subrayaste. Determinen, con ayuda
del profesor, si es la correcta y resuélvanla.
2 Contesta con un compañero.
a) Multipliquen por 12 ambos miembros de la ecuación que subrayaron.
¿Obtuvieron una ecuación equivalente?
b) Resuelvan la ecuación que obtuvieron en el siguiente espacio.
c) Comenten en equipo sus procedimientos de solución y determinen cuáles de ellos
son correctos.
d) Comenten en grupo si fue más sencillo resolver la ecuación multiplicándola por 12.
Anoten sus conclusiones.
El coeficiente de una variable es el número que la multiplica. Por ejemplo, en la ecua-
ción −3
4
x + 5y = 9 el coeficiente de x es −3
4
, y el de y, 5.
Una ecuación con coeficientes fraccionarios es aquella donde los términos coeficientes
son fracciones. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones con coeficientes fraccionarios.
1
2
x + 3
4
= 0 3x = 2
7
4y + 1
3
= 6
R. T. Sí.
12[1
4
r + 1
3
r] = 12[1
2
(52 − r)] 3r + 4r = 6(52 − r) 13r = 312
12
4
r + 12
3
r = 12
2
(52 − r) 7r = 312 − 6r r = 312
13
= 24
R. P.

191
3 Trabaja con un compañero. Observen la ecuación y contesten las preguntas.
2
5
x + 1
3
= 1
6
+ 1
10
x
a) Si se multiplican ambos miembros de la ecuación por 5, ¿queda una ecuación sin co-
eficientes fraccionarios?
b) ¿Si se multiplican por 3?
c) ¿Qué tal si se multiplican por 6?
d) ¿Y si se multiplican por 30?
e) Anoten otros números por los que se puedan multiplicar.
f) ¿Cuál es el menor entero por el que se puede multiplicar la ecuación para obtener
otra sin coeficientes fraccionarios?
4 Reúnete en equipo. Expliquen por qué es correcto lo siguiente.
Si a
b
= c
d
, entonces ad = bc
• Analicen cómo pueden usar lo anterior para resolver la ecuación 3x + 1
2 = 5x + 1
3 .
Expongan sus conclusiones ante el grupo.
5 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) z + 6z + 3
2
+ 1 = z + 5z + 3
4
− 2 z =
b) 3y − 2
4 = y − 5
−3 y =
c) 3
7
f − 4f −
26
7 = 5 + 2
3
f + 4 f =
d) 1
3
= w + 4
w − 2 w =
• Comenta en grupo tus procedimientos. Determinen cuáles son correctos.
6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Pidan a algunos compañeros
que justifiquen las suyas.
Para resolver una ecuación con coeficientes fraccionarios se pueden multiplicar
ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
No, quedan fracciones con denominadores 3, 6 y 2.
. No, quedan fracciones con denominadores 5, 2 y 10.
. No, quedan los denominadores 5, 3 y 10.
Sí, quedan sin coeficientes fraccionarios.
R. T. 60, 90, 120, 150...
R. T. Es 30.
−3 3
4
2
−3
−7

192
Lección 68
PREGUNTA INICIAL
Problemas que se resuelven con ecuaciones
¿Qué problema puede solucionarse con la ecuación 3x + 5 = x − 3?
1 Resuelve los problemas.
a) ¿Cuánto mide cada ángulo del cuadrilátero?
∡A =
∡B =
∡C =
∡D =
b) ¿Cuál es el número que cumple la condición de que si a su doble se le resta 17 da lo
mismo que si se le sumara 5?
El número es
c) Los libros de la balanza pesan lo mismo.
¿Cuánto pesa cada uno?
Cada libro pesa g.
d) Si al doble de un número se le resta 6, se obtiene ese número más 6. ¿Qué número es?
El número es
e) Un padre tiene el triple de edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la
hija, ocho más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno?
El padre tiene años y la hija años.
f) En un supermercado el kilogramo de manzana cuesta el doble que el de plátano.
Araceli compró 3 kg de manzana, 2 kg de plátano y un mamey, que le costó $4.50.
Silvia compró 2 kg de manzana y 3 kg de plátano. Si Silvia pagó $8.70 menos, ¿cuánto
cuesta el kilogramo de plátano?
El kilogramo de plátano cuesta $
g) Juan Antonio gastó $110.00 en un regalo y su envoltura. Si el regalo costó $100.00
más que la envoltura, ¿cuánto pagó por la envoltura? La respuesta no es $10.00.
Juan Antonio pagó $ por la envoltura.
1
kg
100
g
100
g
B
A
C
D
4x − 18
2x + 20
x − 1 4x − 26
34°
122°
90°
114°
22
200
12
57 19
4.20
5.00

193
h) Al encargado de un comercio le preguntaron lo siguiente.
—¿Cuántas personas trabajan aquí?
—No muchas —contesta—. Tres cuartas partes de los que somos más tres cuartas
partes de persona.
¿Cuántos empleados son?
Son empleados.
i) Hace ocho años un padre tenía siete veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo
tres veces la edad del hijo. ¿Cuáles son las edades de ambos?
La edad del padre es años y la del hijo años.
j) Resuelve con una ecuación el problema 1 de la página 178.
Los policías alcanzarán a los ladrones antes de que lleguen a la frontera.
2 Efectúa lo siguiente con base en el cuento de la liebre y la tortuga, de las páginas
176 y 177.
a) Escribe a qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre empieza a
correr de nuevo.
b) Subraya la ecuación que represente la distancia (d) a que la tortuga se encuentra del
árbol t horas después de que la liebre empieza a correr de nuevo.
d = t + 1.25 d = 1.25t d = t d = t − 1.25
(Verifica que cuando t = 0, d debe ser igual a la distancia a la que se encuentra la
tortuga del árbol cuando se encuentra a la liebre.)
c) Subraya la ecuación que relacione la distancia a la que se encuentra la liebre res-
pecto al árbol desde el momento en que despierta.
d = 16t d = t + 16 d = 16t + 1.25 d = 16t − 1.25
d) Observa que cuando la liebre alcanza a la tortuga, ambos corredores se encuentran
a la misma distancia del árbol. Iguala las expresiones que subrayaste en los incisos
anteriores y encuentra cuánto tardó la liebre en alcanzar a la tortuga después de
despertar. Anota tu respuesta en minutos.
La liebre alcanza a la tortuga en minutos.
3 Revisa en grupo, y con ayuda del profesor, tus respuestas de la lección.
• Intercambia el problema que planteaste en la actividad inicial con el de un compañero
y comprueba que pueda resolverse con la ecuación propuesta.3
de nuevo
el reto
3
36 12
sí
A 1.25 km
5

Juegos y retos
194
Círculos y figuras inscritas en círculos
a) ¿Qué círculo rojo es más grande?
b) Dobla un círculo de papel por la mitad dos veces, traza una línea punteada como la
que se muestra en la fotografía.
Recorta por la línea punteada y desdobla el pa-
pel. ¿Qué figura es? ¿Cómo puedes comprobar
que se trata de esa figura?

195
c) Efectúa los siguientes dobleces y recortes con otro círculo de papel.
i) Dobla el círculo por la
mitad.
ii) Desdobla el círculo
y vuelve a doblarlo
por la mitad de forma
distinta.
iii) Desdobla y recorta por
las líneas punteadas
que se muestran en la
fotografía.
¿Qué figura se formó? ¿Cómo puedes comprobar que se trata de esa figura?
d) Elabora un triángulo de papel.
i) Dobla el círculo por la
mitad.
ii) Desdobla el círculo
y vuelve a doblarlo
por la mitad de forma
distinta.
iii) Desdobla y recorta por
las líneas punteadas.

Según la medida de los ángulos, ¿qué tipo de triángulo obtuviste?
Haz con un compañero lo siguiente.
a) Vean el primer reto. Propongan maneras para comparar el tamaño de los círculos
sin calcarlos ni superponerlos.
b) Comparen las figuras de papel que obtuvieron en el inciso b). Determinen si los do-
bleces y los cortes fueron hechos correctamente.
c) Comparen las figuras de papel que obtuvieron. Determinen si los dobleces y los
cortes fueron hechos correctamente. Busquen semejanzas y diferencias entre sus
figuras.

196
Lección 69
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo I
¿Cuál es la relación entre las medidas
de los ángulos A y B?
1 Efectúa lo que se pide.
En un teatro circular se colocaron tres reflectores.
Lo anterior se representa en la figura, donde los
puntos A, B y C representan los reflectores; el punto
O, el centro del círculo; y la zona azul, el escenario.
Se desea que cada reflector ilumine exactamente el
escenario completo. Para ello, se necesita saber en
qué ángulos se debe abrir cada haz de luz.
a) El ángulo que corresponde al reflector del punto B ya está trazado. Traza los que co-
rresponden a los de los puntos A y C. Anota la medida de los ángulos de cada reflector.
∡A = ∡B = ∡C=
b) Elige tres puntos, D, E y F, donde también se puedan colocar reflectores. Traza los
ángulos correspondientes y mídelos.
∡D = ∡E = ∡F=
c) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Qué observas?
d) Supón que se colocará un reflector en el centro del círculo. Traza el ángulo que co-
rresponde y mídelo.
∡O =
e) ¿Cuál es la relación entre el ángulo O y los otros?

A
B
Los ángulos inscritos tienen el vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.
Los siguientes son ángulos inscritos.
Observa que cada ángulo inscrito abarca un arco. Un arco es una parte de la circun-
ferencia limitada entre dos puntos de la misma. En las figuras, los arcos que abarca
cada ángulo inscrito se señalan con rojo.
A
B
C
O
30° 30° 30°
30° 30° 30°
R. T. Que la medida de todos los ángulos es igual.
60°
Mide el doble.

197
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
2 Efectúa lo siguiente en tu cuaderno.
a) Traza tres circunferencias. En cada una marca un ángulo central.
b) En cada circunferencia traza un ángulo inscrito que abarque el mismo arco que el
ángulo central que marcaste.
c) Mide los ángulos y anótalos en la tabla.
Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3
Ángulo central
Ángulo inscrito
d) ¿Qué relación hay entre los ángulos centrales y los inscritos de cada circunferencia?
Explica.
e) Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas de los incisos c) y d) con las de tus
compañeros. Obtengan una conclusión.
3 Determina el ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la
conclusión de la actividad anterior.
a) b) c)
∡A = ∡A = ∡A =
d) e) f)
∡A = ∡A = ∡A =
• Comprueba tus respuestas midiendo con transportador. Compara tus resultados con
los de tus compañeros.
4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial en grupo.
Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones
Un ángulo central de una circunferen-
cia es aquel cuyo vértice es el centro
de la misma. Un ángulo central tam-
bién abarca un arco de circunferencia.
Un ángulo inscrito y un ángulo
central pueden abarcar el mis-
mo arco de circunferencia.
A
70°
A
280°
60°
A
45°
A
220°
A
150°
A
R. T.
90° 70° 120°
45° 35° 60°
35° 120° 110°
140° 90° 75°

198
Lección 70
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo II
¿Cuál es la relación entre las
medidas de A y B?
El ∠α es el ángulo exterior del triángulo.
Observa que el ∠α y el ∠ACB son suplementarios. Es
decir, sus medidas suman 180°.
a) Explica por qué ∡α es igual a la suma de los otros
ángulos del triángulo: ∡α = ∡CAB + ∡ABC.
b) ¿Lo anterior es válido para cualquier triángulo?
2 Traza tres circunferencias en tu cuaderno y efectúa lo siguiente.
a) En la primera, traza un ángulo inscrito que tenga dentro el centro de la circunfe-
rencia. Después traza el ángulo central que determina el mismo arco.
b) En la segunda, traza un ángulo inscrito de manera que el centro no se encuentre
dentro del mismo.
c) En la tercera, traza un ángulo inscrito de manera que uno de sus lados pase por el
centro de la circunferencia.
d) Revisa con dos o tres compañeros que tus trazos cumplan las condiciones pedidas.
3 Trabaja en equipo. Examinen la figura y contesten.
a) Observen el ángulo inscrito ∠ACB. ¿Dónde está el centro de la
circunferencia con respecto a este ángulo?

b) ¿Cuál es el ángulo central que determina el mismo arco que
∠ACB?
c) Observen los lados del triángulo AOC. Expliquen por qué es un triángulo isósceles.

d) Usen el resultado de la actividad 1 para explicar por qué 2∡ACB = ∡BOA.

A
B
Recuerda
Los ángulos
interiores de un
triángulo suman
180°.
A
B C
α
A
C
O
B
R. T. Porque los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. La suma de
∡ACB + ∡CAB + ∡AB dan 180°; entonces, el ∡α es igual a ∡CAB + ∡ABC.
R. T. Sí.
Está en un
lado del ángulo.
El ∠AOB.
R. T. Porque los lados OA y OC miden lo mismo, ya que son radios del círculo.

R. T. Porque ∡ACB + ∡OAC es igual a ∡BOA, pero ∡OAC = ∡ACB por ser
ángulos de un triángulo isósceles, entonces 2∡ACB =∡BOA.

199
Tema: Medida
4 Trabaja con un compañero. Contesten en sus cuadernos.
Observen que ∠ABC es inscrito y el centro de la circun-
ferencia está dentro de él. También noten que el ángulo
central que abarca el mismo arco es ∠AOC.
a) ∡AOC se puede expresar como la suma de dos ángu-
los centrales. ¿Cuáles?
b) ∡ABC se puede expresar como la suma de dos ángulos inscritos. Además, estos
tienen un lado sobre el centro de la circunferencia. ¿Cuáles son?
c) Escriban en sus cuadernos, con base en lo anterior y el resultado de la actividad 3,
por qué ∡AOC = 2∡ABC.
Identifiquen el ángulo central que abarca el mismo arco que
∠ABC. Observen que su medida puede expresarse como
la resta de ∡DOA y ∡DOC. Noten que ∡ABC es igual a la
resta de dos ángulos inscritos que tienen un lado sobre el
centro de la circunferencia.
d) Escriban en sus cuadernos, con base en lo anterior y el resultado de la actividad 3,
por qué ∡AOC = 2∡ABC.
• Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas, incluyendo las de la pregunta
inicial, con las de sus compañeros.
Si observamos la ubicación de un ángulo inscrito en una circunferencia con respecto al centro de
la misma, se pueden presentar tres casos.
El centro está sobre
un lado del ángulo.
El centro está dentro
del ángulo.
El centro está fuera
del ángulo.
En la lección anterior observaste que varios ángulos centrales miden el doble que el inscrito que
abarca el mismo arco. En matemáticas no es suficiente hacer muchas observaciones para obte-
ner una conclusión o determinar una propiedad. Es necesario demostrar que lo que se dice es
válido siempre.
En la actividad 3 de esta lección, se demostró que un ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide
el central que abarca el mismo arco. Pero esto solo se hizo para cualquier caso en que el centro
de la circunferencia esté sobre un lado del triángulo. El propósito de la siguiente actividad es que
obtengas una demostración de los otros dos.
O
C
B
A
D
D
C
A
O
B

200
Lección 71
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo III
¿Cuál es la suma de los ángulos A y B?
1 Traza cinco ángulos inscritos que abarquen el mismo arco que el ángulo central B
y contesta.
a) ¿Cuál es la medida del ángulo B?

b) ¿Y la de los ángulos que trazaste? ¿Por qué?

2 Escribe la medida del ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la
conclusión de la actividad anterior. Observa cuál es el arco del ángulo.
∡A = ∡A = ∡A =
Si un lado de un triángulo inscrito en una circunferencia coincide con un diámetro de
la misma, entonces es un triángulo rectángulo.
B
A
A
A
A B
180°
90° R. T. Porque abarcan el
mismo arco que un ángulo central de 180°.
90° 90° 90°

201
Tema: Medida
a) Traza el segmento OP.
b) Localiza el punto medio de OP y llámalo M.
c) Traza una circunferencia con centro en M que pase por O y P.
d) La circunferencia que trazaste interseca a la otra en dos puntos. Llámalos A y B.
e) Explica por qué ∠PAO es recto. Observa que es un ángulo inscrito de la circunferen-
cia que trazaste.

4 Explica en tu cuaderno por qué la figura del reto c) de la página 195 es un
rectángulo y por qué el triángulo del reto d), un triángulo rectángulo.
5 Traza tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P. Utiliza solo regla
y compás. Ten en cuenta la actividad 3.
a) ¿Cuántas tangentes pudiste trazar?
6 Utiliza la actividad inicial para resolver el reto a) de la página 194.
7 Halla en grupo la respuesta correcta a la pregunta inicial.
Recuerda
La tangente
de una
circunferencia
debe ser
perpendicular
al radio en
el punto de
tangencia.
O
P
P
TIC
En www.e-
sm.com.mx/
matcom2-201
hallarás
un video
relacionado con
este tema.
Elabora en tu
cuaderno un
informe con lo
más importante
del mismo.
M
A
B
R. T. Porque es un ángulo inscrito que interseca el mismo arco
que el ángulo central OMP, el cual mide 180°.
Dos.

Juegos y retos
202
Gráficas de línea
Las figuras representan cisternas con las medidas que se indican.
Las cisternas se llenan con llaves cuyo flujo es constante. Las gráficas siguientes rela-
cionan el tiempo con la altura del agua en cada cisterna. Anota en el paréntesis a qué
tinaco corresponde cada una.
6 dm
6 dm
6 dm
6 dm
a) b)
6 dm
9 dm
4 dm
9 dm
4 dm
6 dm
c)
altura
( )
tiempo
altura
( )
tiempo
altura
( )
tiempo
altura
( )
tiempo
a
b
c

203
Efectúa lo siguiente para determinar qué gráfica corresponde a cada cisterna.
i) Calcula el volumen de las cisternas.
a) V = dm3
b) V = dm3
c) V = dm3
ii) ¿Cuántos litros caben en cada cisterna?
a) L b) L c) L
iii) Si se vierten 12 L de agua en cada cisterna, ¿qué altura alcanza el líquido?
a) dm b) dm c) dm
iv) ¿Cuántos litros de agua se deben verter para que se llenen hasta una altura de 3 dm?
a) L b) L c) L
v) ¿Cuál cisterna tiene mayor superficie en la base? ___________________________
vi) ¿Cómo es la relación entre la altura del agua en la cisterna y el tiempo que tarda en llenarse
con respecto a las otras dos cisternas. Explica tu respuesta. ______________________
_____________________________________________________________________

vii) ¿Cómo se refleja esto en las tres gráficas que seleccionaste? __________________
_____________________________________________________________________
Explica en tu cuaderno cómo seleccionaste la gráfica que corresponde a cada tinaco.
• Compara tus resultados y las justificaciones con las de tus compañeros. Entre todos
redacten una conclusión.
( )
tiempo
altura
( )
altura
tiempo
216 216 216
216 216 216
0.3333 0.5 0.2222
108 72 162
La cisterna c).
R. T. Las tres se llenan al
mismo tiempo; pero si la cisterna es más alta, el agua sube más rápido.
R. T. Entre más baja
es la cisterna, el ángulo de la línea con el eje horizontal es menor.

204
Lección 72
PREGUNTA INICIAL
Gráficas de proporcionalidad I
¿Cómo es la gráfica de una relación de proporcionalidad?
Jaime trabaja en una casa de cambio en el aeropuerto. Ahí venden monedas de distintos
países. El precio de las monedas extranjeras cambia diario; la que más se vende es el
dólar. Jaime hizo la siguiente tabla para saber cuánto debe pagar al comprar dólares.
Fuente: www.banxico.org.mx/portal-mercado-cambiario/index.html. Fecha de consulta: 5 de octubre de 2012.
Dólares 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 25.50 63.75 127.50 318.75 637.50 1 275.00
a) Denota con p la cantidad de pesos y con d la de dólares, y escribe en la línea una
expresión que las relacione.
b) ¿La tabla es de variación proporcional directa?
• Observa las tablas para otras monedas.
Euros 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 33.04 82.60 165.20 413.00 826.00 1 652.00
c) ¿Las tablas anteriores son de variación proporcional directa?
d) Denota con p la cantidad de pesos y con e la de euros, y escribe en la línea una ex-
presión que las relacione.
Libras esterlinas 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 41.54 103.85 207.70 519.25 1 038.50 2 077.00
e) Denota con p la cantidad de los pesos y con l la de libras en una expresión que las
relacione.
f) ¿En qué se parecen tus expresiones de los incisos a), d) y e)?

Si dos variables, x y y, se relacionan de manera directamente proporcional se cumple que
y = kx,
donde k es un constante.
Es decir, si se conoce el valor de x, el valor correspondiente de y se calcula multiplicando x por k.
Investiga en qué
países se utili-
zan los euros y
las libras ester-
linas.
p = 12.75 d
Sí.
Sí.
p = 16.52 e
p = 20.77 l
R. T. En que todas
consisten en una constante que multiplica a la moneda extranjera.

205
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano
cartesiano
2 En el plano cartesiano se graficaron los valores de la primera tabla de la página
anterior. Elabora en el plano cartesiano las gráficas que relacionan los pesos con
euros y con libras esterlinas. Utiliza colores distintos.
a) Comprueba que las gráficas que trazaste sean líneas rectas que pasen por el punto
(0, 0). Si no es así, revisa tus resultados y corrige tus gráficas.
b) ¿Cuál línea hace un ángulo mayor con el eje horizontal?
c) ¿Y cuál hace un ángulo menor?
d) ¿De qué depende la inclinación de las rectas?
e) ¿Por qué las rectas deben pasar por el punto (0, 0)?

Observa
Aunque en las
gráficas solo
se representan
segmentos de
recta, ya que
no se pueden
representar
las rectas
completas
porque la
longitud de
estas es infinita,
las propiedades
que se analizan
se refieren a
toda la recta.
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Monedas extranjeras
(pesos / dólares)
Pesos
Valores de los dólares, euros y libras esterlinas en pesos
(pesos / euros)
(pesos / libras)
La de las libras esterlinas
La de los dólares.
R. T. Del valor de la moneda extranjera.
R. T. Porque por 0 monedas
extranjeras se pagan 0 pesos.

206
Lección 73
PREGUNTA INICIAL
Gráficas de proporcionalidad II
¿Todas las gráficas que son rectas representan una relación de proporcionalidad?
1 Lee el texto y observa la figura.
Un objeto se encuentra a 27 m del suelo. En cierto mo-
mento, empieza a ser jalado mediante una manivela. Por
cada cinco vueltas de la manivela, el objeto sube 1 m.
a) Completa la tabla con la altura que alcanza el objeto.
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 27 28
b) ¿La tabla es de variación proporcional directa?
c) ¿A qué altura se encontrará el objeto cuando la manivela dé siete vueltas y media?
d) ¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el objeto se encontrara a 40 m de altura?
e) Denota con v el número de vueltas y con h la altura. Anota una expresión algebraica
que relacione ambas variables.
f) Comprueba que los valores de la tabla cumplan tu regla de correspondencia del
inciso anterior. Si no es así, revisa tu regla y tus cálculos.
g) Grafica los valores de la tabla en el plano cartesiano de la siguiente página.
h) Considera que en lugar de subir el objeto, la manivela lo bajara: cada cinco vueltas
el objeto descendería 1 m. Completa la tabla como en el ejemplo.
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 27
i) ¿La tabla anterior es de variación proporcional directa?
La expresión algebraica que relaciona dos variables que presentan una relación fun-
cional, se llama regla de correspondencia.
29 30 31 32
No.
A 28.5 m
65 vueltas.
h =
1
5
v + 27
26 25 24 23 22
No.

207
Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano
cartesiano
j) Escribe la regla de correspondencia de la tabla del inciso anterior y grafícala. Utiliza
un color distinto del que empleaste para la gráfica anterior.
k) Completa la tabla. Supón que el objeto se encuentra en el suelo y empieza a ser su-
bido por la manivela.
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 0
l) ¿La tabla es de variación proporcional directa? ¿Por qué?

m) Anota la regla de correspondencia de la tabla y grafícala en el plano cartesiano.

2 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen, con ayuda del
profesor, las características de una gráfica de una relación de proporcionalidad
directa.
0
5
5 10 15 20 25
10
15
20
25
30
35
Altura de un objeto de la manivela
Vueltas
Altura
1 2 3 4 5
Sí. R. T. Porque si
se divide la altura entre el número de vueltas siempre se obtiene un quinto.
h =
1
5
v

208
Lección 74
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal I
¿De qué depende el valor de y en la expresión y = 34x?
1 Analiza la situación y efectúa lo que se solicita.
a) Un tren recorre una ruta que inicia en Torreón, Coahuila, y termina en Jiménez,
Chihuahua, haciendo parada en la estación de Gómez Palacio, Durango (a 10.2 km
de Torreón). Después de pasar por esa estación, el tren avanza a una velocidad
constante de 90 km/h hacia Jiménez. A los cinco minutos de haber salido de Gómez
Palacio, ¿qué distancia lleva recorrida en total? ¿Y después de 15 minutos? ¿Y en 20
minutos? Completa la tabla y responde en tu cuaderno.
Tiempo
(min)
0 1 2 5 10 15 20
Distancia
(m)
10200
i) ¿Cómo calculaste la distancia (en me-
tros) que recorre el tren en un minuto?
ii) ¿Y la que recorre en 10 min?
iii) ¿Cómo calcularías la distancia total re-
corrida por el tren a los 20.5 minutos de
pasar por Gómez Palacio?
iv) ¿Por qué se indica en la tabla que el
tren lleva recorridos 10200 m en el
tiempo 0?
v) Escribe una ecuación que permita obtener la distancia total en metros (d) que
lleva recorrido el tren en la ruta Torreón-Jiménez. Representa con t el tiempo
transcurrido (en minutos) desde que el tren pasa por Gómez Palacio.
d =
vi) Calcula con la ecuación anterior qué distancia lleva recorrida el tren a los
12 minutos de salir de Gómez Palacio.
Lleva recorridos m
Observa que a cada valor del tiempo le corresponde un valor único de la distancia.
Jiménez
Química
El Rey
Escalón
ElOro
TORREÓN
Cadena
Gómez Palacio
10 201.5 10 203 10 207.5 10 215 10 222.5 10 230

10 200 +

3
2
t
10 218

209
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación
mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b
b) Después de llegar a Jiménez, el tren se regresa con carga pesada hacia Torreón y
nuevamente lleva velocidad constante. En la tabla se muestra la distancia que le
falta por recorrer para llegar a Torreón. Complétala y anota en los óvalos cuánto se
debe restar a la distancia anterior para obtener la siguiente.
Tiempo
(min)
0 1 2 3 4 5
Distancia
(km)
240.7 239.4 238.1 236.8 235.5
i) ¿Qué distancia recorrió en cada minuto?
ii) ¿A qué distancia se encontraba de Torreón 8 min después de iniciar el regreso?
iii) ¿Y 12 min después?
iv) ¿Cuánto tardó en regresar a Torreón?
v) Escribe una ecuación para calcular cuántos kilómetros le faltan al tren para
llegar a Torreón después de t minutos de emprender el regreso.
d =
2 Contesta.
a) Observa que en los problemas anteriores se proporcionaron datos como la velocidad
del tren, la distancia deTorreón a Gómez Palacio y el tiempo de recorrido desde que
salió de Gómez Palacio. ¿Cuáles son variables y cuáles constantes?
Datos constantes Datos variables
b) ¿Qué datos se pedía calcular en ambos problemas?
¿Estos datos son constantes o variables?
Una función es una relación de correspondencia entre dos variables, de manera que
a cada valor de la primera le corresponde uno de la segunda.
− − − −−
242
1.3 1.3 1.3 1.3 1.3
1.3 km
Se encontraba a 231.6 km
Se encontraba a 226.4 km
3 horas, 6 minutos y 9 segundos.
240 − 1.3t
La distancia de Torreón a Jiménez.
La distancia de Torreón a Gómez Palacio.
La velocidad del tren.
El tiempo en que recorre
ciertas distancias desde que sale de Gómez Palacio, y la distancia para llegar
a Torreón desde que sale de Jiménez en determinados tiempos.
Son variables.

210
Lección 75
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal II
Si y = 3 + 4x, ¿cómo cambia el valor de y cuando x aumenta una unidad?
1 Lee las situaciones y efectúa lo que se pide.
a) La gráfica muestra el estiramiento de un resorte al que se han colocado varios pesos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Pesos (kg)
i) Escribe de qué depende la longitud del resorte.
ii) ¿Cuánto se estira el resorte con una pesa de 1 kg?
iii) ¿Y con una de 2 kg?
iv) Anota cuánto se estira un resorte con una pesa de 10 kg.
v) Con base en lo anterior, completa la tabla.
vi) Escribe una ecuación que permita obtener la longitud del resorte a partir del
peso. Denota con L la longitud del resorte y con p el peso que se coloca.
vii) Calcula con la expresión anterior la longitud del resorte con una pesa de 6.7 kg.
La longitud del resorte es de cm.
Peso (kg) 1 3 5 7 8 9 11 12
Longitud del resorte (cm)
Longituddelresorte(cm)
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Estiramiento del resorte según el peso que carga
Del peso que carga.
Se estira 2 cm
Se estira 4 cm
20 cm.
10 14 18 22 24 26 30 32
L = 8 + 2p
21.4

211
b) Un automóvil que circula a 60 km/h acelera de forma constante durante quince se-
gundos. Anota en los óvalos de la tabla cuánto se debe sumar a cada velocidad para
obtener la siguiente.
Tiempo
(s)
0 1 2 3 4 5 6
Velocidad
(km/h)
60 62.9 65.8 68.7 71.6 74.5 77.4
i) ¿Cuánto aumenta la velocidad cada segundo?
ii) ¿Cuál es la velocidad del automóvil a los 12 s de empezar a acelerar?
iii) ¿Y a los 15 s?
iv) Escribe una ecuación para calcular la velocidad del automóvil (V) en el tiempo t.
V =
c) Un camión circula a 90 km/h. El conductor frena y la velocidad disminuye de manera
constante 7.5 km/h cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá el camión tras un segundo
de haber frenado? ¿Y después de 5 s? Completa la tabla y contesta.
Tiempo
(s)
0 1 2 3 4 6 8 10 12
Velocidad
(km/h)
90
i) ¿Cuál es la velocidad del camión a los 3.5 s después de frenar?
ii) ¿Y a los 4.2 s de frenar?
iii) Escribe una ecuación que permita determinar la velocidad del camión (V) en el
tiempo t.
V =
2 Grafica en tu cuaderno las situaciones de los incisos b) y c) de la actividad anterior.
3 Compara tus respuestas de esta lección con las de tres o cuatro compañeros.
Corrijan las que no sean correctas. En el caso de las ecuaciones consideren que
pueden estar escritas de distinta forma pero ser equivalentes.
+ + + + + + 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9
Aumenta 2.9 km/h
94.8 km/h
103.5 km/h
60 + 2.9t
82.5 75 67.5 60 45 30 15 0
63.75 km/h
58.5 km/h
90 − 7.5t

212
Lección 76
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal III
¿Cuál es la regla de correspondencia de la siguiente sucesión?
2, 7, 12, 17, 22, 27, …
1 Resuelve los siguientes problemas.
a) A nivel del mar el agua hierve a 100 °C. A esta temperatura se le llama punto de ebu-
llición. Cuando la altitud cambia, el punto de ebullición también lo hace de acuerdo
con la ecuación
t = 100 − 0.001h,
donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h, la altitud
en metros.
i) Anota el punto de ebullición del agua en los siguientes lugares; la altitud aparece
entre paréntesis.
Pico de Orizaba (5747 m) Monterrey (537 m) Monte Éverest (8848 m)
ii) A mayor altitud, ¿el punto de ebullición aumenta o disminuye?
iii) ¿Cuántos grados varía el punto de ebullición por cada metro de altitud?
iv) ¿De qué depende el punto de ebullición del agua?
v) ¿Cuántos valores de punto de ebullición le corresponden a una altitud?
b) Un antropólogo puede estimar la estatura de un hombre conociendo la medida de su
húmero con la ecuación
H = 2.89h + 78.1,
donde H es la estatura y h, la longitud del húmero (ambas en centímetros).
i) Completa la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 159.02
ii) La longitud de dos húmeros difiere 1 cm. ¿Por cuánto difieren las estaturas?
El húmero es el
hueso del brazo
entre el hombro y
el codo (se mues-
tra resaltado en la
fotografía).
94.253∙ 99.463∙ 91.152∙
Disminuye.
0.001∙
De la altura.
Solo
uno.
161.91 164.8 167.69 170.58 173.47 176.36 179.25 182.14
Difieren por 2.89 cm

213
• Un antropólogo hizo la siguiente tabla de estaturas, pero en lugar de sumar 78.1
empleó 78 como aproximación, es decir, aplicó la fórmula H = 2.89h + 78. Completa
la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 158.92
iii) Analiza con un compañero la diferencia entre los valores de esta tabla y los de la
que se elaboró con la fórmula original. Escriban sus conclusiones.
• Otro antropólogo hizo la siguiente tabla, pero usó 3 como aproximación de 2.89, es
decir, aplicó la fórmula H = 3h + 78.1. Completen la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 162.1
iv) Analiza con un compañero cómo cambia esta tabla con respecto a la de la fórmula
original. Expresen sus conclusiones.
c) La siguiente tabla relaciona la estatura de las mujeres (M) en centímetros con la
longitud de su húmero; se elaboró con una fórmula similar a la de la estatura de los
hombres. Analicen la fórmula y anótenla.
h 27 28 29 30 31 32 33 34
M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9
M =
2 Revisa los incisos a), b) y c) de página 167.
3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen si la regla de
correspondencia es de la forma y = mx + b.
Las funciones, que se estudiaron en esta lección, como t = 100 − 0.001h
y H = 2.89h + 78.1 son de la forma y = mx + b.
Las siguientes funciones son de la forma y = mx + b. Observa que se utilizan distintas
literales para denotar las variables.
y = 3x + 2 z = 3f + 4 z = −5x + 3 y = −9s − 5
En el bloque 5 se estudiarán con más profundidad este tipo de funciones.
161.81 164.7 167.59 170.48 173.37 176.26 179.15 182.04
R. T. Los valores de las estaturas empiezan en un número distinto, pero la
diferencia es 2.89 entre cada una.
165.1 168.1 171.1 174.1 177.1 180.1 183.1 186.1
R. T. Los valores de las estaturas empiezan en otro valor, pero la diferencia
es 3 entre cada una.
2.89h + 70.64

214
Lección 77
PREGUNTA INICIAL
Media ponderada
El maestro de Matemáticas de Javier califica con un examen y con tareas. Javier obtuvo
8 en el examen y 10 en tareas, y su promedio fue 7.5. ¿Qué valor se asigna a cada rubro?
1 Contesta.
Un maestro de Matemáticas califica teniendo en cuenta tres aspectos de acuerdo con
esta escala.
Examen: 55% de la calificación
Trabajo final: 25% de la calificación
Tareas: 20% de la calificación
a) Juan obtuvo las siguientes calificaciones.
i) Sin hacer cálculos, contesta: ¿cuál debe ser su promedio?
¿Por qué?
ii) Las calificaciones de tres alumnos
son las siguientes.
iii) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio mayor?
¿Por qué?
iv) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio menor?
¿Por qué?
v) Si alguien obtiene 10 de calificación en el examen y 0 en los otros dos aspectos,
¿cuál es su promedio? ¿Cómo lo calculaste?
vi) Un alumno obtuvo 10 en un aspecto, pero 0 en los otros dos. Si su promedio fue
2, ¿en qué aspecto obtuvo 10? ¿Cómo lo sabes?
vii) ¿Cuál es el valor de cada aspecto de la calificación del examen en el promedio?
¿Por qué?
Examen Trabajo Tareas
Alumno 1 8 10 8
Alumno 2 10 8 8
Alumno 3 8 8 10
Examen Trabajo Tareas
8 8 8
8
R. T. Porque tuvo 8 en todos los rubros.
El alumno 2.
R. T. Porque los tres tienen dos 8 y un 10, pero él tuvo la
calificación más alta en el rubro con mayor valor, de acuerdo con la escala.
El alumno 1.
R. T. Porque tuvo 10 en el rubro con menor valor en la escala.
Es 5.5 R. T. El examen vale
55% de la calificación, entonces obtuvo el 55% de 10.
En tareas. R. T. Porque
el aspecto vale 20% de 10, que es 2.
5.5, 2.5 y 2 R. T. Porque es el porcentaje de 10 que
corresponde a cada uno.

215
Tema: Análisis y representación de datos
Resolución de situaciones de medias ponderadas
viii) Calcula en tu cuaderno los
promedios de los siguientes
alumnos.
• Reúnete en equipo. Comparen sus respuestas del inciso a) y, si es necesario, corrijan
sus errores. Comenten los procedimientos que usaron para calcular los promedios en
el inciso viii) y redacten el que les parezca más eficiente en sus cuadernos. Después,
compárenlo con el de los otros equipos y elijan el mejor con ayuda de su profesor.
2 Resuelve lo siguiente. Después compara tus respuestas con las de tus compañeros.
a) Se evaluó la calidad de cinco marcas de televisiones teniendo en cuenta cuatro
aspectos: Duración (D), Calidad de imagen (I), Calidad de sonido (S) y Ahorro de ener-
gía (A). Cada aspecto recibe una calificación de 1 a 10, pero corresponde a una parte
de la calificación final de acuerdo con la siguiente escala.
D = 1
3
I = 1
6
S = 1
6
A = 1
3
• Completa la tabla.
D I S A Promedio
Marca 1 7 7 7 7
Marca 2 7 7 8 7.5
Marca 3 8 8 10 8
Marca 4 7 6 6 6
b) Un profesor califica con un examen oral y uno escrito. Si asigna 75% de la calificación
al examen escrito, ¿cuánto debe asignar al examen oral? ¿Por qué?
c) Roberto estudia con el profesor del inciso b) y obtuvo 7.5 de promedio. ¿Qué califica-
ciones pudo obtener en cada aspecto? Anota dos posibilidades.
3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Con la calculadora puedes
darte cuenta de que hay una diferencia constante entre un término y el siguiente.
Calcula cuál es esta diferencia.
La media ponderada de un conjunto de datos es un valor representativo de estos cuando
no todos tienen la misma importancia; a cada uno se le asigna un valor llamado peso.
Por ejemplo: un profesor asigna calificaciones de esta forma: 80%, examen; 20% ta-
reas. Entonces, el examen tiene un peso de 80%, o 0.8, y las tareas, de 20%, o 0.2.
Examen Trabajo Tareas Promedio
Alumno 4 7 8 9
Alumno 5 7 10 10
Alumno 6 8 9 10
Alumno 7 9 7 8
Alumno 8 6 10 8
7.65
8.35
8.65
8.3
7.4
7
8
6
5
25% R. T.
Porque debe cubrir 100% para obtener la calificación.

R. T. 7.5 en ambos
exámenes, o 10 en el examen escrito y 0 en el oral.

216
TIC
Sucesiones con calculadora
Para generar sucesiones puedes usar una calculadora científica. Observa el siguiente
ejemplo:
Supongamos que debes continuar la siguiente sucesión.
−7.004, −6.801, −6.598
Entonces, para continuar la serie debes restar esta diferencia al término anterior. Esto
se hace fácilmente de la siguiente manera.
Teclea el número 6.598 y presiona la tecla +/- . En la pantalla aparece:
Oprime la tecla ∙ dos veces. Después teclea el número que es la diferencia que
calculaste y presiona las teclas +/- y ∙ .
En la pantalla se lee:
que es el siguiente término de la sucesión. Para calcular los siguientes solo necesitas
presionar la tecla ∙ .
• Escribe cuatro términos de una sucesión en tu cuaderno e intercámbialo con un
compañero para que escriba otros diez términos usando la calculadora.
877 8 99
-6.598
877 8 99
-6.395

217
Matemáticas para la vida
Reúnete con un compañero. Respondan lo siguiente en sus cuadernos.
1. Observa los siguientes datos.
Estatura (m)
Longitud del
pie (m)
Longitud del paso
de punta a punta (m)
Persona 1 1.63 0.266 0.506
Persona 2 1.78 0.29 0.552
Persona 3 1.86 0.304 0.578
Persona 4 1.58 0.258 0.49
Persona 5 1.65 0.269 0.512
a) Determinen una constante de proporcionalidad (k) y escriban una expresión de la forma y = mx
para determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud del pie. Hagan lo mismo para
el caso en que se conozca la longitud de la huella.
b) Usen sus fórmulas para determinar la estatura de algunos compañeros conociendo la longitud de
su pie y de sus pasos.
Las huellas de una persona
Es posible determinar la estatura de
una persona si se conoce la longitud
de su pie o de sus pasos. Estos datos
pueden obtenerse, por ejemplo, de
las huellas que una persona deja so-
bre la arena.
Por medio del análisis de varios datos
estadísticos, se ha descubierto que la
estatura de una persona guarda una
relación directamente proporcional
con el tamaño de su pie y con la lon-
gitud de sus pasos.

218
Evaluación
Subraya la respuesta correcta.
1 Cuál es la regla de la sucesión 3, 0, –3, –6, –9…
a) 3n + 6 b) 3n − 6
c) −3n + 6 d) −3n − 6
2 ¿Cuál es la solución de 4(x – 1
2
) = 2?
a) −1 b) 1 c) 1
2
d) −1
2
3 Elena pensó un número, le restó un cuarto, multiplicó el resultado por 2 y sumó 5.
Sergio pensó el mismo número que Elena, le restó un medio, multiplicó el resultado
por 3, restó 6 y obtuvo el mismo resultado que Elena. ¿Qué número pensaron?
a) −10 b) −12 c) 12 d) 10
4 El triple de un número más la mitad del que le sigue da como resultado 18. ¿Cuál
es el número?
a) 1
2
b) 1 c) 5 d) 18
5 ¿Qué ecuación es equivalente a 3x + 4 – 2x = 5 – 2x – 1
a) −x = −5 b) 3x = 0 c) 3x + 1 = 0 d) −3x + 1 = 0
6 ¿Qué afirmación es cierta?
a) El ángulo A mide la mitad que B.
b) El ángulo A mide el doble que B.
c) Los ángulos A y B miden lo mismo.
d) La suma de las medidas de A y B es 180°.
A B

219
7 ¿Qué gráfica corresponde a una función de la forma y = mx?
a) I
b) II
c) III
d) IV
8 Un automóvil consume un litro de gasolina por cada doce kilómetros recorridos.
La capacidad del tanque es de 40 litros. Si se representa con y la cantidad de litros
en el tanque y con x los kilómetros recorridos, ¿qué expresión relaciona x y y a
partir del tanque lleno?
a) x = 40 −
1
12y b) y = 40 −
1
12x c) y = 40x d) y =
1
12x
9 En la tabla se registra la longitud de un resorte al que se le cuelgan distintos
pesos.
Peso (kg) 1 2 3 4
Longitud (cm) 13 16 19 21
Si l representa la longitud del resorte y p, el peso, ¿cuál es la fórmula que relaciona am-
bas cantidades?
a) l = 3p b) p = 3l c) l = 3p + 10 d) p = 3l + 10
10 Un profesor de Matemáticas califica con un examen, tareas y una exposición.
Elena obtuvo 4 en el examen, 9 en tareas y 10 en la exposición. Si obtuvo 5.5 de
promedio, ¿qué afirmación es cierta?
a) La exposición tiene menos peso que los otros dos aspectos.
b) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos.
c) El examen tiene más peso que los otros dos aspectos juntos.
d) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos juntos.
I
II III
IV
X
Y

Bloque 4

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