Este documento introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones de números donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Explica cómo calcular el término n-ésimo usando la fórmula an = a1 + (n - 1)d, donde a1 es el primer término y d es la razón. También presenta ejemplos para hallar términos específicos y resolver problemas relacionados con progresiones aritméticas.
Este documento introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones de números donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Explica cómo calcular la razón y el término n-ésimo de una progresión aritmética dada, e incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe la progresión aritmética (P.A), definida como una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Explica la fórmula para calcular cualquier término, y cómo usar dos términos conocidos para encontrar la razón. También cubre sumar los términos de una P.A. e interpolar números entre dos valores para crear una nueva P.A.
Este documento describe las progresiones geométricas, incluyendo su definición como una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Explica cómo calcular términos específicos, interpolar nuevos términos y encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica a través de fórmulas matemáticas. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre sucesiones y progresiones. Explica los conceptos básicos de sucesiones, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Incluye ejemplos y ejercicios para calcular términos, sumas y razones en diferentes tipos de sucesiones y progresiones.
El documento describe las sucesiones numéricas, incluyendo su definición, ejemplos de sucesiones notables como los números naturales y cuadrados, y tipos de sucesiones como las aritméticas, cuadráticas y geométricas. Explica cómo calcular el término general y la suma de los términos para cada tipo de sucesión.
El documento habla sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es una expresión matemática donde sus términos se forman siguiendo reglas matemáticas. Los términos dependen de una constante llamada razón. Luego clasifica las sucesiones en aritméticas y geométricas según la razón, y también por su fórmula de recurrencia como lineales, cuadráticas y otras. Finalmente explica cómo calcular términos específicos y hallar leyes de formación para sucesiones no lineales.
Este material didáctico tiene por objetivo introducir los conceptos de progresiones aritméticas y geométricas además de brindar varios enlaces sobre el tema.
Este documento introduce el concepto de sucesiones y cómo encontrar la fórmula del elemento general de una sucesión. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo una regla específica. Muestra ejemplos de cómo encontrar la regla de formación de diferentes sucesiones y derivar la fórmula del elemento general en cada caso. Esto incluye sucesiones donde la regla es sumar o multiplicar un número fijo, o donde los términos siguen otras secuencias como los cuadrados o los números naturales.
Este documento introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones de números donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Explica cómo calcular la razón y el término n-ésimo de una progresión aritmética dada, e incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe la progresión aritmética (P.A), definida como una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Explica la fórmula para calcular cualquier término, y cómo usar dos términos conocidos para encontrar la razón. También cubre sumar los términos de una P.A. e interpolar números entre dos valores para crear una nueva P.A.
Este documento describe las progresiones geométricas, incluyendo su definición como una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Explica cómo calcular términos específicos, interpolar nuevos términos y encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica a través de fórmulas matemáticas. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre sucesiones y progresiones. Explica los conceptos básicos de sucesiones, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Incluye ejemplos y ejercicios para calcular términos, sumas y razones en diferentes tipos de sucesiones y progresiones.
El documento describe las sucesiones numéricas, incluyendo su definición, ejemplos de sucesiones notables como los números naturales y cuadrados, y tipos de sucesiones como las aritméticas, cuadráticas y geométricas. Explica cómo calcular el término general y la suma de los términos para cada tipo de sucesión.
El documento habla sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es una expresión matemática donde sus términos se forman siguiendo reglas matemáticas. Los términos dependen de una constante llamada razón. Luego clasifica las sucesiones en aritméticas y geométricas según la razón, y también por su fórmula de recurrencia como lineales, cuadráticas y otras. Finalmente explica cómo calcular términos específicos y hallar leyes de formación para sucesiones no lineales.
Este material didáctico tiene por objetivo introducir los conceptos de progresiones aritméticas y geométricas además de brindar varios enlaces sobre el tema.
Este documento introduce el concepto de sucesiones y cómo encontrar la fórmula del elemento general de una sucesión. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo una regla específica. Muestra ejemplos de cómo encontrar la regla de formación de diferentes sucesiones y derivar la fórmula del elemento general en cada caso. Esto incluye sucesiones donde la regla es sumar o multiplicar un número fijo, o donde los términos siguen otras secuencias como los cuadrados o los números naturales.
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
Este documento contiene información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones aritméticas, geométricas y polinómicas. Explica cómo calcular el término genérico de cada tipo de sucesión y resuelve varios ejercicios como ejemplos.
Este documento presenta un índice de los temas que se abordarán en el curso de álgebra de 4to año de secundaria. Incluye 9 temas principales que son: 1) Sucesiones y progresiones, 2) Funciones, 3) Logaritmos, 4) Ecuaciones con valor absoluto, 5) Ecuaciones de grado superior, 6) Inecuaciones de grado superior, 7) Inecuaciones con valor absoluto, 8) Sistema de inecuaciones y 9) Binomio de Newton. Cada tema contiene diferentes capacidades y concept
Este documento trata sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno después del otro. Define progresiones aritméticas y geométricas, y da ejemplos de sus términos generales y cálculo de sumas parciales. También incluye ejercicios prácticos sobre sucesiones para resolver.
El documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. Explica que estos sistemas consisten en dos ecuaciones con dos variables y pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. También describe gráficamente cada uno de estos casos y presenta algunos ejemplos resueltos. Finalmente, explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción o suma y
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre progresiones matemáticas. El equipo explica definiciones de progresiones aritméticas, geométricas y armónicas, y resuelve problemas de aplicación de cada tipo de progresión. El objetivo es aplicar conocimientos sobre progresiones para resolver problemas de manera sencilla. El equipo utiliza láminas y calculadora durante la exposición de 2 horas.
Este documento define y explica las sucesiones numéricas, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Define una sucesión numérica como una función que forma valores reales a partir de números naturales de acuerdo a una ley de formación. Explica que una progresión aritmética es lineal donde cada término se obtiene sumando una razón constante al anterior, mientras que una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Proporciona fórmulas para calcular términ
1. El documento presenta 34 ejercicios de progresiones aritméticas y geométricas para practicar y resolver. Incluye problemas sobre hallar términos, diferencias, razones, sumas y expresiones generales.
2. Los ejercicios abarcan temas como interpolar términos, hallar sumas de progresiones limitadas, determinar los extremos dados ciertos datos y calcular términos dados otros.
3. La solución a cada ejercicio se presenta de forma concisa para facilitar la comprensión y verificación de los resultados.
Este documento define y explica conceptos básicos sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es un conjunto de números en un orden específico, y que pueden ser finitas o infinitas. Describe diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números triangulares o de Fibonacci. También introduce la notación para representar términos y sumatorias de sucesiones.
Este documento define las sucesiones matemáticas y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, progresiones geométricas, sucesiones especiales y la sucesión de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general. Luego describe las características de las progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo cómo calcular la suma de sus términos. También presenta ejemplos de aplicaciones de las sucesiones.
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento introduce el concepto de sucesiones de números reales. Define una sucesión como una aplicación de los números naturales a los números reales. Explica conceptos clave como sucesiones acotadas, monótonas y el límite de una sucesión. Además, presenta métodos para calcular límites como la regla del bocadillo y el criterio de Stolz. El objetivo es desarrollar habilidades para determinar el límite en situaciones de indeterminación.
Unidad 1 estudiemos sucesiones aritmeticas y geometricamatedivliss
Este documento introduce las sucesiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y que las sucesiones geométricas tienen cada término obtenido multiplicando el anterior por una constante llamada razón. También presenta fórmulas para calcular el término general y la suma de términos finitos e infinitos para sucesiones aritméticas y geométricas.
Este documento define sucesiones aritméticas y geométricas. Una sucesión aritmética tiene una diferencia fija entre términos, mientras que en una geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Explica cómo calcular el término general y cómo interpolar nuevos términos en ambos tipos de sucesiones. También cubre sumar términos en una sucesión.
Este documento resume los conceptos básicos de las sucesiones numéricas, incluyendo las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales y define los términos y el término general de una sucesión. También describe las sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y geométricas, y cómo calcular la suma y el producto de los términos en cada tipo de progresión.
1) Las progresiones constituyen una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Las progresiones aritméticas tienen diferencias constantes, mientras que las geométricas tienen cocientes constantes al dividir términos consecutivos.
2) El término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n - 1)d, donde a1 es el primer término y d la diferencia.
3) Los términos equidistantes de una progresión aritmética, donde la suma de sus índ
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas. Define una progresión aritmética como una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija, llamada razón, al anterior. Explica cómo calcular el término general, realizar interpolación, sumar los términos de una progresión limitada y determinar la cantidad de cifras utilizadas. Finalmente, incluye ejemplos y problemas de aplicación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija, mientras que en una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Además, proporciona fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y la interpolación de términos medios en progresiones aritméticas.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija. Explica cómo calcular el término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. También presenta las progresiones geométricas, donde cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante.
Este documento trata sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término, excepto el primero, es igual al anterior más una diferencia constante. Mientras que en una progresión geométrica cada término, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Luego presenta fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y el producto de los términos en cada tipo de progresión. Finalmente,
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de términos matemáticos que presentan una regularidad, y que las progresiones aritméticas y geométricas son tipos importantes de sucesiones. Describe las características de las progresiones aritméticas, incluyendo cómo calcular el término general, y también presenta información básica sobre progresiones geométricas. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de t
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
Este documento contiene información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones aritméticas, geométricas y polinómicas. Explica cómo calcular el término genérico de cada tipo de sucesión y resuelve varios ejercicios como ejemplos.
Este documento presenta un índice de los temas que se abordarán en el curso de álgebra de 4to año de secundaria. Incluye 9 temas principales que son: 1) Sucesiones y progresiones, 2) Funciones, 3) Logaritmos, 4) Ecuaciones con valor absoluto, 5) Ecuaciones de grado superior, 6) Inecuaciones de grado superior, 7) Inecuaciones con valor absoluto, 8) Sistema de inecuaciones y 9) Binomio de Newton. Cada tema contiene diferentes capacidades y concept
Este documento trata sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno después del otro. Define progresiones aritméticas y geométricas, y da ejemplos de sus términos generales y cálculo de sumas parciales. También incluye ejercicios prácticos sobre sucesiones para resolver.
El documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. Explica que estos sistemas consisten en dos ecuaciones con dos variables y pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. También describe gráficamente cada uno de estos casos y presenta algunos ejemplos resueltos. Finalmente, explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción o suma y
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre progresiones matemáticas. El equipo explica definiciones de progresiones aritméticas, geométricas y armónicas, y resuelve problemas de aplicación de cada tipo de progresión. El objetivo es aplicar conocimientos sobre progresiones para resolver problemas de manera sencilla. El equipo utiliza láminas y calculadora durante la exposición de 2 horas.
Este documento define y explica las sucesiones numéricas, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Define una sucesión numérica como una función que forma valores reales a partir de números naturales de acuerdo a una ley de formación. Explica que una progresión aritmética es lineal donde cada término se obtiene sumando una razón constante al anterior, mientras que una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Proporciona fórmulas para calcular términ
1. El documento presenta 34 ejercicios de progresiones aritméticas y geométricas para practicar y resolver. Incluye problemas sobre hallar términos, diferencias, razones, sumas y expresiones generales.
2. Los ejercicios abarcan temas como interpolar términos, hallar sumas de progresiones limitadas, determinar los extremos dados ciertos datos y calcular términos dados otros.
3. La solución a cada ejercicio se presenta de forma concisa para facilitar la comprensión y verificación de los resultados.
Este documento define y explica conceptos básicos sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es un conjunto de números en un orden específico, y que pueden ser finitas o infinitas. Describe diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números triangulares o de Fibonacci. También introduce la notación para representar términos y sumatorias de sucesiones.
Este documento define las sucesiones matemáticas y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, progresiones geométricas, sucesiones especiales y la sucesión de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general. Luego describe las características de las progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo cómo calcular la suma de sus términos. También presenta ejemplos de aplicaciones de las sucesiones.
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento introduce el concepto de sucesiones de números reales. Define una sucesión como una aplicación de los números naturales a los números reales. Explica conceptos clave como sucesiones acotadas, monótonas y el límite de una sucesión. Además, presenta métodos para calcular límites como la regla del bocadillo y el criterio de Stolz. El objetivo es desarrollar habilidades para determinar el límite en situaciones de indeterminación.
Unidad 1 estudiemos sucesiones aritmeticas y geometricamatedivliss
Este documento introduce las sucesiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y que las sucesiones geométricas tienen cada término obtenido multiplicando el anterior por una constante llamada razón. También presenta fórmulas para calcular el término general y la suma de términos finitos e infinitos para sucesiones aritméticas y geométricas.
Este documento define sucesiones aritméticas y geométricas. Una sucesión aritmética tiene una diferencia fija entre términos, mientras que en una geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Explica cómo calcular el término general y cómo interpolar nuevos términos en ambos tipos de sucesiones. También cubre sumar términos en una sucesión.
Este documento resume los conceptos básicos de las sucesiones numéricas, incluyendo las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales y define los términos y el término general de una sucesión. También describe las sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y geométricas, y cómo calcular la suma y el producto de los términos en cada tipo de progresión.
1) Las progresiones constituyen una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Las progresiones aritméticas tienen diferencias constantes, mientras que las geométricas tienen cocientes constantes al dividir términos consecutivos.
2) El término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n - 1)d, donde a1 es el primer término y d la diferencia.
3) Los términos equidistantes de una progresión aritmética, donde la suma de sus índ
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas. Define una progresión aritmética como una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija, llamada razón, al anterior. Explica cómo calcular el término general, realizar interpolación, sumar los términos de una progresión limitada y determinar la cantidad de cifras utilizadas. Finalmente, incluye ejemplos y problemas de aplicación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija, mientras que en una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Además, proporciona fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y la interpolación de términos medios en progresiones aritméticas.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija. Explica cómo calcular el término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. También presenta las progresiones geométricas, donde cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante.
Este documento trata sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término, excepto el primero, es igual al anterior más una diferencia constante. Mientras que en una progresión geométrica cada término, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Luego presenta fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y el producto de los términos en cada tipo de progresión. Finalmente,
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de términos matemáticos que presentan una regularidad, y que las progresiones aritméticas y geométricas son tipos importantes de sucesiones. Describe las características de las progresiones aritméticas, incluyendo cómo calcular el término general, y también presenta información básica sobre progresiones geométricas. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de t
Este documento introduce los sistemas numéricos y las progresiones aritméticas y geométricas. Explica brevemente los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y cómo se relacionan entre sí. Luego define las progresiones aritméticas como sucesiones donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y las progresiones geométricas como sucesiones donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante.
Este documento describe las progresiones geométricas y cómo calcular sus términos. Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común. La fórmula para calcular cualquier término es an = a1rn-1, donde a1 es el primer término y r es la razón. El documento también explica cómo interpolar medios geométricos y calcular sumas parciales de progresiones geométricas.
Este documento describe las progresiones geométricas y cómo calcular sus términos. Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común. La fórmula para calcular cualquier término es an = a1rn-1, donde a1 es el primer término y r es la razón. El documento también explica cómo interpolar medios geométricos y calcular sumas parciales de progresiones geométricas.
La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n - 1)r, donde a1 es el primer término, n es el número de término y r es la razón. La progresión puede ser creciente, decreciente o constante dependiendo si r es positiva, negativa o cero. El documento también explica cómo calcular términos específicos, interpolar medios y determinar la cantidad de términos.
Este documento explica cómo encontrar una expresión algebraica cuadrática para calcular cualquier término en sucesiones numéricas y figurativas mediante el método de diferencias. Se describen diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números rectangulares. El método de diferencias permite determinar los coeficientes de una expresión cuadrática analizando las diferencias entre los términos.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una diferencia fija al anterior, mientras que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Además, proporciona las fórmulas para calcular el término general de cada tipo de progresión y ejemplos de cómo interpolar medios aritméticos y geométricos
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas. Define una sucesión como una colección de números dispuestos secuencialmente y explica cómo identificar el término general de una sucesión. Luego, describe las progresiones aritméticas como sucesiones donde cada término se obtiene sumando una diferencia fija al anterior, y las progresiones geométricas como aquellas donde cada término es el producto del anterior por una razón fija. Finalmente, explica cómo calcular términos espec
En está presentación, podemos saber que son las progresiones aritméticas y geométricas, también podremos ver sus formulas, ejercicios y como aplicarla en la vida cotidiana.
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Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones en las que cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia al anterior. Incluye fórmulas para calcular cualquier término y ejemplos de cálculos. También cubre la interpolación de medios aritméticos entre dos términos para formar una nueva progresión.
Este documento presenta una introducción a las progresiones aritméticas y geométricas. El objetivo principal es que los estudiantes identifiquen los elementos de las progresiones aritméticas y geométricas, y calcular el término n-ésimo y la suma de los n términos de cada tipo de progresión. También explica por qué las progresiones son importantes para las matemáticas financieras.
El documento explica conceptos básicos sobre sucesiones numéricas. Introduce las sucesiones lineales o progresiones aritméticas, donde cada término se obtiene sumando una constante llamada razón aritmética al anterior. Luego describe propiedades como que la suma de los términos extremos es constante. También explica sucesiones polinomiales donde los términos siguen un polinomio, y sucesiones geométricas donde se multiplica por una razón geométrica constante. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercic
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre sucesiones y progresiones aritméticas. Incluye cuatro prácticas con cuestionarios, ejemplos, ejercicios y un mapa conceptual. La primera práctica contiene definiciones de sucesiones finitas e infinitas, progresiones aritméticas y sus elementos. La segunda práctica ofrece ejemplos ilustrativos. La tercera consiste en la resolución de ejercicios. Finalmente, la cuarta práctica presenta un mapa conceptual que resume los conceptos clave
Este documento explica los conceptos de sucesión y progresión numérica. Define una sucesión como un conjunto de elementos formados mediante una ley determinada, donde cada término se deriva del anterior siguiendo la misma operación. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Proporciona fórmulas para calcular términos específicos y resuelve ejercicios como ejemplos.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. Progresiones Aritm´eticas 1
Progresiones Aritm´eticas
Un tipo particular de sucesi´on son la que se denominan progresiones; las m´as conocidas son las aritm´eticas
y las geom´etricas, pero hay otras. Aqu´ı estudiaremos las Progresiones Aritm´eticas. Vamos la definici´on.
Definici´on
Se dice que una serie de n´umeros est´an en progresi´on aritm´etica cuando cada uno de los
ellos es igual al anterior m´as una cantidad constante llamada raz´on o diferencia de la progresi´on.
As´ı, las siguientes dos sucesiones constituyen progresiones aritm´eticas:
3, 7, 11, 15,......
8, 2, -4, -10,.....
y la sucesi´on que sigue no es una progresi´on aritm´etica:
1, 2, 4, 8,......
La diferencia d se obtiene restando cualquier t´ermino de la progresi´on del t´ermino que le sigue. As´ı, en el
primer ejemplo d = 4, esto porque; 7-3, o 11-7, o 15-11, son iguales a 4. En general la raz´on o diferencia
se obtiene con la f´ormula:
d = ak+1 − ak
Nota 1
Si vemos la progresi´on aritm´etica
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, ......
notamos que en cualquier t´ermino el coeficiente de la diferencia d es siempre una unidad menor que el
n´umero de orden del t´ermino de la sucesi´on. Veamos:
el 3er
t´ermino es a1 + 2d;
el 6to
t´ermino es a1 + 5d;
el 10mo
t´ermino es a1 + 9d;
el 25vo
t´ermino es a1 + 24d;
y en general;
an = a1 + (n − 1)d
Est´a ´ultima f´ormula se usa para hallar el t´ermino n-´esimo que queramos.
www.matebrunca.com Profesor Waldo M´arquez Gonz´alez
2. Progresiones Aritm´eticas 2
Ejemplo 1
Demostrar que la sucesi´on
1, 4, 7, 10, · · · , 3n − 2, · · ·
es una progresi´on aritm´etica encontrando la raz´on o diferencia.
Soluci´on:
Es obvio que la diferencia es 3. Veamos la demostraci´on formal:
ak+1 − ak = [(3(k + 1) − 2] − [3k − 2])
ak+1 − ak = 3k + 3 − 2 − 3k + 2 = 3
Ejemplo 2
Hallar el sexto, octavo y d´ecimoquinto t´ermino de la sucesi´on aritm´etica cuyos tres primeros
t´erminos son 4, 7, 10,...
Soluci´on:
La diferencia comun es 3. Al buscar el sexto t´ermino a6, usamos la f´ormula a6 = a1 + 5d,
a6 = 4 + 5 · 3 = 19
As´ı, a6 = 19.
Calculando a mano y haciendo la lista de los t´erminos de la progresi´on aritm´etica, obtenemos: 4, 7, 10, 13,
16, 19, 22, 25, 28,...
Ahora el 8vo
t´ermino.
a8 = a1 + 7 · d = 4 + 7 · 3 = 25
y finalmente a15;
a15 = a1 + 14 · d = 4 + 14 · 3 = 46, as´ı
a15 = 46.
Ejemplo 3
Si el cuarto t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 5 y el noveno t´ermino es 20, obtener el
doceavo t´ermino.
Soluci´on:
Sustituimos n = 4 y n = 9 en la f´ormula a4 = a1 + 3d y a9 = a1 + 8d.
Y como a4 = 5 y a9 = 20 obtenemos el siguiente sistemas 2x2.
5 = a1 + 3d
20 = a1 + 8d
3. Progresiones Aritm´eticas 3
Este sistema tiene como soluci´on ´unica d = 3 y a1 = −4, de aqu´ı es f´acil obtener a12.
a12 = a1 + 11 · d = −4 + 11 · 3 = 29.
Ejemplo 4
Hallar el 38vo
t´ermino de la progresi´on aritm´etica: 2
3
, 3
2
, 7
3
, ....
Soluci´on:
Aqu´ı a1 = 2
3
y d = 3
2
− 2
3
= 5
6
, luego
a38 = a1 + 37 · d = 2
3
+ 37 · 5
6
a38 = 311
2
.
Ejercicios
Parte I Hallar el,
1. 9no
t´ermino de la P.A.: 7, 10, 13,...
2. 12vo
t´ermino de la P.A.: 5, 10, 15,...
3. 48vo
t´ermino de la P.A.: 9, 12, 15,...
4. 63vo
t´ermino de la P.A.: 3, 10, 17,...
5. 12vo
t´ermino de la P.A.: 11, 6, 1,...
6. 28vo
t´ermino de la P.A.: 19, 12, 5,...
7. 13vo
t´ermino de la P.A.: 3, -1, -5,...
8. 54vo
t´ermino de la P.A.: 8, 0, -8,...
9. 31vo
t´ermino de la P.A.: -7, -3, 1,...
10. 17vo
t´ermino de la P.A.: -8, 2, 12,...
11. 12vo
t´ermino de la P.A. : 1
2
, 3
4
, 1, ...
12. 17vo
t´ermino de la P.A.: 2
3
, 5
6
, 1, ...
13. 25vo
t´ermino de la P.A.: 3
8
, 11
24
, ...
14. 19vo
t´ermino de la P.A. : 1
3
, 7
8
, ...
15. 27vo
t´ermino de la P.A.: 31
2
, 51
4
, ...
16. 36vo
t´ermino de la P.A.: 7
9
, 1
3
, ...
17. 15vo
t´ermino de la P.A.: 2
7
, 1
8
, ...
18. 21vo
t´ermino de la P.A.: −3
5
, −14
15
, ...
19. 13vo
t´ermino de la P.A.: −1
4
, −21
4
, ...
20. 19vo
t´ermino de la P.A.: −5
6
, −1
3
, ...
21. 33vo
t´ermino de la P.A.: 32
3
, 211
12
, ...
22. 41vo
t´ermino de la P.A.: 24
5
, 2 7
10
, ...
23. 26vo
t´ermino de la P.A.: −3
5
, 3
10
, ...
24. 19vo
t´ermino de la P.A.: −4, −2
3
, ...
25. 39vo
t´ermino de la P.A.: 3, −11
4
, ...
Parte II Encuentre los t´erminos quinto, d´ecimo y n-´esimo de la progresi´on aritm´etica dada:
1. 2, 6, 10, 14, ...
2. 16, 13, 10, 7, ...
3. 3, 2.7, 2.4, 2.1,...
4. -6, -4.5, -3, -1.5,...
5. -7, -3.9, -0.8, 2.3,...
6. x-8, x-3, x+2, x+7,...
7. ln 3, ln 9, ln 27, ln 81,...
8. log 1000, log 100, log 10, 0,...
4. Progresiones Aritm´eticas 4
Parte III Resuelva:
1. Encuentre el d´ecimosegundo t´ermino de la progresi´on aritm´etica cuyos primeros t´erminos son
9.1 y 7.5.
2. Hallar el d´ecimoprimer t´ermino de la progresi´on cuyos primeros t´erminos son 2 +
√
2 y 3.
3. Los t´erminos sexto y s´eptimo de una progresi´on aritm´etica son 2.7 y 5.2. Obtenga el primer
t´ermino.
4. El a15 = 20 y la raz´on 2
7
. Hallar el 1er
t´ermino.
5. El a32 = −18 y la raz´on 3. Hallar el 1er
t´ermino.
6. Hallar el 1er
t´ermino, sabiendo que el 8vo
t´ermino es 3
4
y el 9vo
t´ermino 1.
7. El quinto t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 7 y el s´eptimo t´ermino 81
3
. Hallar el primer
t´ermino.
8. Dada un progresi´on con a3 = 7 y a20 = 43. Determine a15
9. Hallar la diferencia de la progresi´on 3,...,8 donde 8 es el 6to
t´ermino.
10. Hallar la raz´on de -1,...,-4 donde -4 es el 10mo
t´ermino.
11. Hallar la diferencia de 1
2
, . . . , −3
8
donde −3
8
es el 17vo
t´ermino.
12. El primer t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 5 y el 18vo
t´ermino es -80. Hallar la diferencia.
13. El 92vo
t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 1050 y el 1er
t´ermino es -42. Hallar la diferencia.
14. ¿Cu´antos t´erminos tiene la progresi´on 4,6,...,30?
15. ¿Cu´antos t´erminos tiene la progresi´on 5, 51
3
, . . . , 18?
16. El primer t´ermino de una progresi´on arim´etica es 51
5
, el 2do
t´ermino 6 y el ´ultimo t´ermino es18.
Hallar el n´umero de t´erminos.
Nota 2
En toda progresi´on aritm´etica la suma de dos t´erminos equidistantes de los extremos es igual a la
suma de los extremos de la progresi´on.
Por ejemplo la progresi´on aritm´etica: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Tiene como suma de los extremos
50+5=55 y dos t´erminos equidistantes al interior de la progresi´on ser´ıan 10 y 45 que suman 55, tambi´en 20
y 35 suman 55, etc.
Si el n´umero de t´erminos es par funciona bien las sumas dos a dos, pero si el n´umero de t´ermino es impar
el t´ermino central es la media aritm´etica de la progresi´on. Y en este ´ultimo caso, la suma de los t´erminos
equidistante es igual al doble del t´ermino central.
Por ejemplo la progresi´on aritm´etica: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Tiene como suma de los extremos
45+5=50 y dos t´erminos equidistantes al interior de la progresi´on ser´ıan 10 y 40 que suman 50, tambi´en 20
y 30 suman 50, etc. as´ı, el t´ermino central es 25. Y el doble del t´ermino central es: 2 · 25 = 50.
5. Progresiones Aritm´eticas 5
Interpolaci´on de T´erminos
Definici´on
Cuando tres cantidades est´an en progresi´on aritm´etica se dice que la intermedia es la media
aritm´etica de las otras dos. As´ı, a es la media aritm´etica entre a − d y a + d.
Definici´on
Interpolar un n´umero dado de medios aritm´eticos entre dos contidades dadas. Sean a y b
las cantidades dadas y n el n´umero de medios. Incluyendo los extremos, el n´umero de t´erminos ser´a n + 2;
de tal manera que tenemos que encontrar una progresi´on aritm´etica de n + 2 t´erminos, de la cual a es el
primero y b el ´ultimo.
Sea d la diferencia; entonces b=(n+2)-´esimo t´ermino y b=a+(n+1)d ;
de donde, d = b−a
n+1
; y los medios requeridos son;
a + b−a
n+1
, a + 2(b−a)
n+1
,a + 3(b−a)
n+1
,..., a + n(b−a)
n+1
.
Ejemplo 5
La suma de tres n´umeros en progresi´on aritm´etica es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.
Hallar los n´umeros.
Soluci´on:
Seqa a el n´umero intermedio y d la diferencia. Los tres n´umeros ser´an: a − d, a, a + d.
Por lo tanto, a − d + a + a + d = 27; de donde a = 9, y los tres n´umeros son: 9 − d, 9, 9 + d.
entonces (9 − d)2
+ 92
+ (9 + d)2
= 293;
de donde d = ±5.
y los n´umeros son 4, 9, 14.
Ejemplo 6
Interpolar 4 medios aritm´eticos entre 1 y 3.
Soluci´on:
Como 1 y 3 son los extremos, tendremos la progresi´on: 1, , , , , 3.
Si hallamos la diferencia podremos sumarla a 1 y tendriamos al segundo t´ermino, el tercero lo hallamos
sumando la diferencia al segundo y asi sucesivamente.
La diferencia d = b−a
n+1
= 3−1
4+1
= 2
5
Aqu´ı n = 4, que son el n´umero de t´erminos a interpolar. Luego, el segundo t´ermino a2 = 1 + 2
5
= 7
5
, el
tercero a3 = 7
5
+2
5
= 9
5
, cuarto 11
5
y el quinto 13
5
. Interpolando estos medios tenemos la progresi´on aritm´etica:
1, 7
5
, 9
5
, 11
5
, 13
5
, 3.
6. Progresiones Aritm´eticas 6
Ejemplo 7
Insertar tres medias aritm´eticas entre 2 y 9.
Soluci´on:
Hay que hallar una progresi´on que tenga el formato: 2, , , , 9.
Hallamos la diferencia con la f´ormula: d = b−a
n+1
= 7
4
, donde n = 3, n´umero de t´erminos a interpolar. Ya
sabemos que la progresi´on tendra n + 2 t´erminos, es decir; 5 t´erminos.
Luego para hallar el segundp t´ermino, tenemos la simple suma 2 + 7
4
= 15
4
y asi sucesivamente.
Entonces la progresi´on quedar´ıa: 2, 15
4
, 11
2
, 29
4
, 9.
Suma de los T´erminos de una Progresi´on Aritm´etica
Teorema
Si a1, a2, a3, . . . , an, . . . es una progresi´on aritm´etica con diferencia d, entonces la n-´esima suma
parcial Sn est´a dada por la expresiones
Sn =
n
2
[2a1 + (n − 1)d] Sn =
n
2
(a1 + an)
Ejemplo 1
Hallar la suma de los primeros 12 t´erminos de la progresi´on aritm´etica 7, 13, 19,...
Soluci´on:
Vamos a buscar el ´ultimo t´ermino de la progresi´on con d = 6 y a1 = 7.
an = a1 + (n − 1)d, entonces a12 = 7 + (12 − 1)6 = 73. Ahora tenemos a12 = 73, y usando la f´ormula
Sn = n
2
(a1 + an).
S12 =
12
2
(7 + 73) = 480
Luego S12 = 480.
Ejemplo 2
Hallar la suma de los 13 primeros t´erminos de la progresi´on 5
6
, 1
12
, . . ..
Soluci´on:
La diferencia es d = 1
12
− 5
6
= −3
4
y a1 = 5
6
. Hallemos el t´ermino 13vo
.
7. Progresiones Aritm´eticas 7
a13 = a1 + (n − 1)d = 5
6
+ (13 − 1) · −3
4
= −49
6
Aplicando la f´ormula de la suma:
S13 =
13
2
(
5
6
+
−49
6
)
Finalmente S13 = −472
3
.
Ejemplo 3
Determinar la suma de todos los enteros pares desde 2 hasta 100.
Soluci´on:
El problema dado es equivalente a encontrar la suma de los primeros 50 t´erminos de la progresi´on aritm´etica
2, 4, 6, . . . , 2n, . . .. Al sustituir n = 50, a1 = 2 y a50 = 100.
S50 =
n
2
(a1 + a50) =
50
2
(2 + 100) = 2550
Por consiguiente, S50 = 2550.
Ejercicios
Parte I Determine la media aritm´etica de los siguientes n´umeros; esto es, interpolar un medio aritm´etico
entre ellos:
1. 9 y 27
2. 11 y 46
3. -7 y 5
4. -12 y 15
5. 3
2
y 2
3
6. −5
3
y 13
5
Parte II Interpolar:
1. 3 medios arim´eticos entre 5 y 27.
2. 6 medios arim´eticos entre -2 y -23.
3. 8 medios arim´eticos entre 2 y -25.
4. 3 medios aritm´eticos entre 3 y 11.
5. 7 medios aritm´eticos entre 19 y -5.
6. 5 medios aritm´eticos entre -13 y -73.
7. 4 medios aritm´eticos entre -42 y 53.
8. 5 medios aritm´eticos entre -81 y -9.
9. 3 medios aritm´eticos entre 1 y 3.
10. 4 medios aritm´eticos entre 5 y 12.
11. 5 medios aritm´eticos entre -4 y 3.
12. 6 medios aritm´eticos entre -1 y 3.
13. 7 medios aritm´eticos entre -2 y -5.
14. 5 medios aritm´eticos entre 3
4
y 1
8
.
15. 8 medios aritm´eticos entre 2
3
y −1
8
.
16. 9 medios aritm´eticos entre 1
2
y − 7
10
.
17. 13 medios arim´eticos entre 3 y 13
2
.
8. Progresiones Aritm´eticas 8
Parte III Hallar la SUMA de los:
1. 8 primeros t´erminos de 15, 19, 23, ...
2. 19 primeros t´erminos de 31, 38, 45, ...
3. 24 primeros t´erminos de 42, 32, 22, ...
4. 80 primeros t´erminos de -10, -6, -2, ...
5. 60 primeros t´erminos de 11, 1, -9, ...
6. 50 primeros t´erminos de -5, -13, -21, ...
7. 9 primeros t´erminos de 1
2
, 1, 3
2
, . . .
8. 14 primeros t´erminos de 3
10
, 2
5
, 1
2
, . . .
9. 19 primeros t´erminos de 3
4
, 3
2
, 9
4
, . . .
10. 34 primeros t´erminos de 2
5
, 7
55
, . . .
11. 11 primeros t´erminos de 21
3
, 3 2
15
, . . .
12. 46 primeros t´erminos de 31
4
, 313
20
, . . .
13. 17 primeros t´erminos de −2, 1
4
, . . .
14. 12 primeros t´erminos de −5, −45
8
, . . .
Parte IV Encuentre la suma Sn para la progresi´on aritm´etica que satisface las condiciones siguientes:
1. a1 = 10, d = −3 y n = 30.
2. a1 = 2,4, d = 0,1 y n = 40.
3. a1 = 10, a10=15 y n = 10.
4. a1 = 13, d = 3 y n = 19.
5. a1 = 7, an = −45 y n = 27.
6. an = −61, d = −2 y n = 23.
7. an = −7, d = −1
3
y n = 35.
8. a1 = 17, an = 173 y d = 3.
9. a1 = −6, d = 4 y n = 17.
10. a1 = −5, an = 2 y d = 1
3
.
11. a7 = 7
3
, d = −2
3
y n = 15.
Parte V Determine las sumas:
1. 20
k=1(3k − 5)
2. 12
k=1(7 − 4k)
3. 18
k=1(1
2
k + 7)
4. 10
k=1(1
4
k + 3)
Parte VI Hallar el valor del elemento que falta (a1, an, d, n, Sn):
1. Sn = −237, a1 = 23 y n = 79; an = y d =
2. Sn = −315, a1 = −2 y n = 63; an = y d =
3. Sn = 3720, a1 = 15 y d = 7; an = y n =
4. Sn = 874, a1 = 5 y d = 3; n = y an =
5. a1 = 2, d = −3 y Sn = −1245; an = y n =
6. an = 68, d = 3 y Sn = 805; n = y a1 =
7. an = −35, d = −2 y Sn = −323; a1 = y n =
8. a1 = −7, n = 19 y S19 = 380; d = y an =
9. a2 = 31
4
, a31 = 1
2
y an = −13
2
; a1 = n =
Parte VII Otros ejercicios.
1. Hallar f(1) + f(2) + f(3) + . . . + f(30), si f(x) = 2x + 3.
2. Hallar f(−3
2
) + f(1) + f(7
2
) + . . . + f(21), si f(x) = −x + 2.
3. En una P.A. el primer t´ermino es 2, el ´ultimo 29 y la suma 155. Hallar la diferencia.
4. La suma de 15 t´erminos de una P.A. es 600 y la diferencia 5. Hallar el primer t´ermino.
9. Progresiones Aritm´eticas 9
5. El tercer t´ermino de una P.A. es 18 y el s´eptimo 21. Hallar la suma de los primeros 17 t´erminos.
6. La suma de tres n´umeros es P.A. es 27 y su producto 504. Hallar estos n´umeros.
7. La suma de tres n´umeros en P.A. es 12 y la suma de su cubos es 408. Hallar estos n´umeros.
8. El 2do
y el 4to
t´ermino de una P.A. suman 22 y el 3ro
y el 7mo
t´ermino suman 34. ¿Cu´ales son
esos cuatro t´erminos?
9. En una P.A. de 12 t´erminos el 1ro
y el 12vo
suman 531
2
. ¿Cu´al es la suma del 3ro
y el 10mo
t´ermino?
10. ¿Cu´al es el 6to
t´ermino de un P.A. de 11 t´erminos si su primer t´ermino es -2 y el ´ultimo -52?
11. El 5to
t´ermino de una P.A. es 31 y el 9no
t´ermino 59. Determine el 12mo
t´ermino?
12. ¿ Cu´antos t´erminos de la suma 1+3+5+... se necesitan para sumar 1234321
13. Hallar la suma de los 72 primeros m´ultiplos de 11 que siguen a 66.
14. Hallar la suma de los n´umeros impares del 51 al 813?
15. Hallar la suma de todos los enteros pares desde 12 hasta 2832 inclusive.
16. Hallar la suma de todos los enteros impares desde 9 hasta 6381 inclusive.
17. Sumar los 40 primeros t´erminos de la P.A.: a-3b, 2a-5b,3a-7b,...
18. Sumar los 25 primeros t´erminos de la P.A.: 2a-b, 4a-3b, 6a-5b,...
19. Sumar los 21 primeros t´erminos de la P.A.:a+b
2
,a,3a−b
2
,...
20. Sumar los 10 primeros t´erminos de la P.A.: 2a2−1
a
,4a − 3
a
,6a2−5
a
,...
Problemas de Aplicaci´on
1. Una persona ahorra cada mes 50 centavos m´as que en el mes precedente, y en 15 a˜nos el total de sus
ahorros es de $ 10 305. ¿Cu´anto ahorro primer mes? ¿Cu´anto el ´ultimo mes?
2. Un hombre acepta un empleo con un salario de $3 000 por el primer a˜no, y con un aumento de
$100 por a˜no en el futuro. ¿ Cu´antos a˜nos debera trabajar para que su ganancia total sea de $60 000?
R/n=16.
3. Un hombre hace un contrato para perforar un pozo de 600 metros cobrando $2.50 por el primer metro
y luego por cada metro siguiente, 10 centavo m´as que por el anterior, ¿cu´anto recibe por perforar el
pozo? R/S600=19 470.
4. Si un cuerpo recorre 16.1 pies durante el primer segundo, el triple de lo anterior durante el segundo
segundo, el qu´ıntuplo durante el tercero, y as´ı sucesivamente, ¿cu´anto caer´a durante el decimocuarto
segundo? ¿cu´anto en t segundos?
5. En los extremos de A y B de una recta de 50 metros se trazan en un mismo sentido dos perpendiculares
a AB; son ellas AC y BD, de 2 y 5 metros longitud respectivamente. A intervalos de 0.5 metros a
lo largo de AB se trazan perpendiculares para cortar CD. Hallar la suma de las longitudes de las
perpendiculares, incluyendo AC y BD.
10. Progresiones Aritm´eticas 10
6. Calcule la longitud total de la l´ınea laber´ıntica de
la figura, si el ancho del laberinto formado por la
l´ınea es de 16 pulgadas y los corredores del mis-
mo tienen un ancho de 1 pulgada. ¿Cu´al ser´ıa la
longitud si el ancho del laberinto fuera de 32 pul-
gadas ?
7. Compr´e 50 libros. Por el primero pagu´e 8 centavos y por cada uno de los dem´as 3 centavos m´as que
por el anterior. Hallar el importe de la compra.
8. Un dentista arregl´o a un hombre todas las piezas de la boca que ten´ıa completa. Por la primera le
cobr´o $1 y por cada una de las restantes 20 centavos m´as que por la anterior. ¿Cu´anto cobr´o el
dentista?
9. ¿Cu´anto ha ahorrado un hombre en 5 a˜nos si en enero del primer a˜no ahorr´o $2 y en cada mes
posterior ahorr´o $3 m´as que el precedente?
10. Un hombre avanza en su primer segundo de su carrera 6 metros y en cada segundo posterior avanza
25 cent´ımetros m´as que el anterior. ¿Cu´anto avanz´o en el 8vo
segundo y que distancia habr´a recorrido
en 8 segundos?
11. Los ahorros de 3 a˜nos de una persona ent´an en progresi´on arim´etica. Si en los tres a˜nos ha ahorrado
$2 400, y el primer a˜no ahorro la mitad de lo que ahorr´o el segundo, ¿cu´anto ahorr´o cada a˜no?
12. Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5, la primera semana $8 la segunda semana,
$11 la tercera semana y asi sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.
13. Una persona viaja 50 kil´ometros el primer d´ıa y en cada d´ıa posterior 51
2
km menos de los que
recorri´o el d´ıa anterior. ¿Cu´anto habr´a recorrido al cabo de 8 d´ıas ?
14. En el primer a˜no de negocio un hombre gan´o $500 y en el ´ultimo gan´o $ 1 900. Si en cada a˜no
gan´o $200 m´as que el a˜no anterior, ¿cu´antos a˜nos tuvo el negocio?
15. Las ganacias anuales de un comerciante durante 11 a˜nos est´an en P.A: El primer a˜no gan´o $1 180 y
el ´ultimo $6 180. ¿Cu´anto m´as gan´o en cada a˜no a contar del segundo a˜no, que en el anterior?
16. Las p´erdidas de 5 a˜nos de una casa de comercio est´an en P. A.. El ´ultimo a˜no perdi´o $3 000 y la
p´erdida de cada a˜no fue de $300 menos que el a˜no anterior. ¿ Cu´anto perdi´o el primer a˜no?
17. Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segun-
do, y en cada segundo posterior recorre 32.2 pies m´as que en el segundo anterior. Si la piedra tarde 5
segundos en llegar al suelo, ¿ cu´al es la altura del edificio ?
18. Las ganacias de 3 a˜nos de un almac´en est´an en P.A. El primer a˜no gan´o $12 500 y el tercero $20 500.
¿Cu´al fue la ganancia del 2do
a˜no?
19. Los di´ametros de las poleas asentadas en un eje com´un forman una P.A. de cinco t´erminos, cuyos
t´erminos extremos son 120 mm y 216 mm; encuentre los di´ametros de las poleas intermedias.
11. Progresiones Aritm´eticas 11
20. ¿ Cu´antas veces suena un reloj por d´ıa si ´este suena tambi´en en las medias horas?
21. La se˜nora Kupetsky tiene 14 copas de plata, cada una de las cuales se diferencia en 4 onzas seg´un una
P.A., la ´ultima pesa 59 onzas; hallar el peso de todas las copas de la colecci´on.
22. La suma de tres n´umeros que componen una P.A. es igual a 16. El producto del primero por el segundo
es igual a 124
9
. Encontrar los tres n´umeros.
23. Un cuerpo que cae libremente en el vac´ıo recorre en el primer segundo aproximadamente 4.8 metros
y en cada segundo siguiente 9.8 m m´as.¿Qu´e camino recorre el cuerpo en 10 segundos ? ¿Qu´e camino
ha recorrido en el ´ultimo segundo ?
Nota 3
Para determinar el valor de n en una progresi´on aritm´etica cuando se conocen Sn, a1 y d tenemos la ecuaci´on
cuadr´atica
Sn =
n[2a1 + d(n − 1)]
2
y cuando ambas ra´ıces son enteras y positivas no presenta dificultad la interpretaci´on del resultado corre-
spondiente a cada una. En algunos casos se puede dar una interpretaci´on conveniente para un valor negativo
de n.
Ejemplo 1
¿Cu´antos t´erminos de la progresi´on -9,-6,-3,.... deben tomarse para que la suma sea 66?
Soluci´on:
Asi, tendremos que Sn = n[2a1+d(n−1)]
2
= 66
haciendo algo de algebra elemental; n2
− 7n − 44 = 0
o sea, (n − 11)(n + 4) = 0
de donde, n = 11 ´o n = −4.
Si tomamos los 11 primeros t´erminos de la progresi´on:
−9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
su suma es 66.
Si comenzamos por el ´ultimo t´ermino y contamos hacia atr´as cuatro t´erminos, la suma es tambi´en 66.
Aunque la soluci´on negativa no da una respuesta con sentido al problema propuesto, se puede dar una pseu-
do interpretaci´on y un significado m´as o menos matem´atico y que de alguna manera hay una ligaz´on con la
respuesta del valor positivo.
12. Progresiones Aritm´eticas 12
Nota 4
Cuando el valor de n es fraccionario no hay un n´umeros exacto de t´erminos que correspondan a una solu-
ci´on.
Ejemplo 2
¿Cu´antos t´erminos de una progresi´on aritm´etica 26, 21, 16,... deben tomarse para que la suma
sea 74?
Soluci´on:
En este caso, Sn = n[2a1+d(n−1)]
2
= 74
desarrolando 5n2
− 57n + 148 = 0
de donde (n − 4)(5n − 27) = 0
Y as´ı, n = 4 y n = 72
5
El n´umero de t´erminos es 4. Y observamos que la suma de los 7 t´erminos es mayor, mientras que la suma
de los 8 t´ermino es menor que 74.
Ejemplo 3
Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 153 metros uno del otro, se mueven al encuen-
tro mutuo. El primero recorre 10 m por segundo y el segundo cuerpo recorri´o 3 m en el primer segundo; en
cada segundo siguiente recorre 5 m m´as que en el anterior. ¿Despu´es de cu´antos segundos los cuerpos se
encuentran ?
Soluci´on:
Sea x la cantidad de segundos que transcurren hasta juntarse. Siendo asi, el primer cuerpo recorri´o en un
camino igual a 10x metros, el segundo cuerpo recorri´o una camino igual a la suma de los t´erminos de la
P.A.:
Sx−1 = 3 + (3 + 5) + (3 + 5 · 2) + (3 + 5 · 3) + · · · + [3 + 5 · (x − 1)]
Seg´un los datos del problema 10x + Sx−1 = 153, ´o
10x + 5x+1
2
x = 153.
Resolviendo est´a ecuaci´on cuadr´atica tenmos los valores x=6 y x=-10.2. Y la respuesta es 6 segundos.
Ejemplo 4
¿Pueden los n´umeros ques expresan las longitudes de los lados de un tri´angulo y su per´ımetro,
formar una P.A. ?
Soluci´on:
Sean los lados: a, a + d, a + 2d del tri´angulo, y que cumplen ser una P.A.
13. Progresiones Aritm´eticas 13
El per´ımetro es 3a + 3d.
Si asumimos que el per´ımetro es el cuarto t´ermino, entonces el cuarto t´ermino menos el tercer t´ermino es
igual a d.
(3a + 3d) − (a + 2d) = 2a + d = d
Concluimos que el cuarto t´ermino (per´ımetro) no corresponde a la P.A..
Ejercicios
1. Si a = −2, d = 4 y Sn = 160. Hallar n.
2. ¿Cu´antos t´erminos de la P.A. 12,16,20,... deben tomarse para sumar 208?
3. ¿Cu´antos t´erminos de la P.A. 9, 12, 15,....deben tomarse para sumar 306?
4. En un P.A. el tercer t´ermino es igual a cuatro veces el primero, y el sexto t´ermino es 17. Escribir la
sucesi´on.
5. Los t´erminos del lugar 2, 31 y ´ultimo de una P.A. son 73
4
, 1
2
y −61
2
, respectivamente. Hallar el primer
t´ermino y el n´umero de terminos.
6. Los t´erminos del lugar 4, 42 y ´ultimo de una P.A. son 0, -95 y -125, respectivamente. Encuentre el
primer t´ermino y el n´umero de terminos.
7. Un hombre conviene en pagar una deuda de $3 600 en 40 pagos parciales anuales que forman una P.A.
Cuando 30 de los pagos est´an cubiertos, el individuo fallece dejando una tercera parte de la deuda sin
pagar. Determine el valor del primer pago.
8. Entre dos n´umeros cuya suma es 21
6
se interpola un n´umero par de medios aritm´eticos; la suma de los
medios excede a su n´umero en una unidad. ¿Cu´antos medios se han interpolado?
9. La suma de n t´erminos de la progresi´on 2, 5, 8,... es 950. Hallar n.
10. Si la suma de 7 t´erminos es 49 y la suma de 17 t´erminos es 289, calcular la suma de los n t´erminos.
11. Demostrar que la suma de un n´umero impar de t´erminos en una P.A. es igual al t´ermino central
multiplicada por el n´umero de t´erminos de la progresi´on.
12. El cuarto t´ermino de la P.A. es igual a 9, el noveno t´ermino, igual a -6. ¿Cu´antos t´erminos hay que
tomar para que la suma sea igual a 54 ?
13. El sexto t´ermino de uan P.A. constituye el 60 % del tercer t´ermino de la misma progresi´on y su
producto es igual a 15. ¿Cu´antos t´erminos hay que tomar de esta progresi´on para que su suma sea
igual a 301
3
?
14. Progresiones Aritm´eticas 14
14. Completar los lugares vac´ıos de la tabla siguiente:
a1 an d n Sn
1 7 39 9
2 8 -2 14
3 31 -7 10
4 1 61 5
5 12 40 9 400
6 2 3 442
7 22 0.4 43
8 25.7 1.3 266
9 -4.5 100 955
10 -15 11 0
15. Bibliograf´ıa
[1] Baldor, Aurelio. Algebra Elemental.
[2] Bardell, Ross H. y Abraham Spitzbart. Algebra Superior.
[3] Hall, H. S. y S. R. Knight. Algebra Superior.
[4] Kalnin, R.A. Algebra y Funciones Elementales.
[5] Lidski, V. B. y otros. Problemas de Matem´aticas Elementales.
[6] Swokowski, Earl W. Algebra y Trigonmetr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica.