El documento explica el origen de la palabra "promedio". En la antigüedad, cuando los barcos viajaban por mar, era común que tuvieran que tirar parte de la carga para no hundirse durante las tormentas. Aquellos que perdían bienes podían reclamar una indemnización pagada por todos los que llevaban mercancías en el mismo barco. Esta cantidad pagada se calculaba como un promedio. De la palabra latina para este concepto deriva la palabra inglesa "average" y la palabra moderna "promedio".

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. El origen de la palabra promedio se remonta a la época en
que los viajes que se realizaban por mar implicaban gran
riesgo, ya que era frecuente que los barcos durante una
tormenta tiraran parte de la carga con la finalidad de no
hundirse por el peso.
Se reconoció que aquellos cuyos bienes se sacrificaban
podían reclamar con justicia una indemnización a expensas
de aquellos que no habían sufrido alguna disminución en
sus bienes.
El valor de los bienes sacrificados se pagaba mediante un
acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo
buque.
El daño causado por el mar se conocía como havaria y la
palabra llegó a aplicarse a cada individuo que tenía que
pagar como compensación por el riesgo.
De esta palabra latina se deriva la moderna palabra inglesa
average (promedio)

3. Luciana es una alumna que se ha propuesto llegar a
ocupar los primeros lugares en rendimiento académico y
para eso estuvo estudiando para dar su último examen
de aritmética, necesita un 18 como mínimo de nota para
poder sacar un promedio de 19 en la libreta que le
permita intentar ascender a ese deseado primer puesto a
nivel de todos los quintos del colegio.
Son 4 notas las que tiene hasta el momento, bien
ganadas por cierto, siendo éstas 20, 17, 20 y 19.
Si se sabe que Luciana al recibir su libreta de notas
obtuvo de promedio final un 17.
¿Cuánto sacó de nota en dicho examen?

4. PROMEDIOS
PROMEDIO(media)
Dadas las siguientes cantidades:
a1, a2, a3; ……an
Donde:
a1 : menor cantidad
an: mayor cantidad
Se llama promedio(P) a
una cantidad referencial
que se calcula haciendo
ciertas operaciones entre
ellas.
Y se cumple:
𝑎1 ≤ 𝑃 ≤ 𝑎 𝑛

5. Tipos de promedios
Promedio Aritmético o Media
Aritmética(𝑀𝐴)
Dado:
a1, a2, a3; ……an
“n” cantidades
𝑀𝐴 =
𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎 𝑛
𝑛
=
𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
También:
𝑀𝐴 =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
Nota:
Para determinar la variación que
experimenta el promedio aritmético de
un conjunto de datos sólo es necesario
considerar un incremento o
disminución de los datos.
Variación del
promedio

6. Ejemplo
Calcule el promedio aritmético de las temperaturas de 5 ciudades y
que son:14º, 13º, 11º, 12º, 15º
Resolución
El promedio de 20 datos es 70 y de otros 30 datos es 40. Calcule el
promedio de los 50 datos.
Resolución

7. Ejemplo
Al calcular el promedio aritmético de las notas de 20 estudiantes, se
observa que si a 15 de estas notas se le agrega 7 puntos a cada
uno y al resto se le disminuye en 5 puntos a cada uno, el nuevo
promedio sería 17. Calcule el promedio original.
Resolución

8. Promedio ponderado (Promedio de promedios)
Ejemplo
Aula “A” Aula “B” Aula “Única”
40 30
1815
40 + 30
E
Nº de alumnos
Edad promedio
𝐸 =
40𝑥15 + 30𝑥18
40 + 30
E = 16,28
Observar que: 15 < E < 18
El promedio ponderado es el promedio aritmético de un conjunto de números
que se repiten bajo una cierta frecuencia, período, peso o ponderación.

9. Ejemplo
60
5
40
10
60 + 40
E
Volumen(lt)
Precio Unitario(S/.)
𝑃 =
Costo total
Volumen total
Promedio ponderado
𝑃 =
60x5+40x10
60+40
P = 7

10. Es decir, sea:
Datos: a1; a2; a3; ………; an
Persona: p1; p2; p3; ………; pn
Promedio Ponderado=
𝑎1 𝑝1 + 𝑎2 𝑝2+. . . +𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
𝑝1 + 𝑝2+. . . +𝑝 𝑛
Ejemplo:
Al finalizar el ciclo un estudiante de la facultad de química, recibe
su record académico que a continuación se indica.
Curso Nº de
créditos
Nota
Matemáticas I 4 11
Química 5 10
Física I 4 12
Redacción 3 15
Calcule el promedio
ponderado.
Resolución

11. Promedio Geométrico o
Media Geométrica
Es un promedio que permite
promediar índice y tasa de
crecimiento.
𝑀𝐺 = 𝑛
𝑎1 𝑥𝑎2 𝑥. . . 𝑥𝑎 𝑛
(𝑀𝐺)
Ejemplo:
En una comunidad campesina
se ha observado el crecimiento
poblacional de los últimos años
y los datos son:
Año 2011 2012 2013
crecimiento 216 512 1000
Calcule la tasa anual de
crecimiento promedio
Resolución
En general para n datos:
𝑀𝐺 =
𝑛
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

12. Promedio Armónico o Media
Armónica
Es la inversa del promedio
aritmético de las inversas de los
datos. 𝑀𝐻 =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+. . . . +
1
𝑎 𝑛
Ejemplo:
Calcule la media armónica de
la edad de tres personas, que
son 15; 30 y 45 años.
En general para n datos:
(𝑀𝐻)
Resolución
𝑀𝐻 =
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

13. PROPIEDADES
Para un conjunto de dos o
más datos
Si dichos datos son iguales
𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 = 𝑑𝑎𝑡𝑜
Si los datos no todos son iguales
𝑀𝐴 > 𝑀𝐺 > 𝑀𝐻
Solo para dos datos (a y b)
𝑀𝐴(𝑎, 𝑏) =
𝑎 + 𝑏
2
𝑀𝐺(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏
𝑀𝐻(𝑎, 𝑏) =
2𝑎𝑏
a + b
Por lo cual se cumple
𝑀𝐴𝑥𝑀𝐻 = 𝑀𝐺2

14. El error que se comete al tomar la media aritmética (M.A.), como
media geométrica (M.G.) para dos números (a y b) es :
𝑀𝐴 − 𝑀𝐺 =
𝑎 − 𝑏 2
)4(𝑀𝐴 + 𝑀𝐺
error

15. APLICACIONES
El promedio de A y 10 es 15. El promedio de C y 15 es 10 y el
promedio de 10A, 35B y 15C es 185. Hallar el valor de A + B + C
A) 32 B) 33 C) 29 D) 31 E) 30
Resolución

16. El mayor promedio de 2 números es 25 si la diferencia de los números
es 12, ¿Cuál es el menor de los números?
A) 20 B) 19 C) 31 D) 40 E) 22
Resolución

17. Si el promedio armónico de 2 números es 1 y el promedio aritmético es
25. ¿Cuál es su P.G.?
A) 5 B) 6 C) 10 D) 15 E) N.A.
Resolución

18. El P.A. de 5 números es 12 si uno de ellos es 20. ¿Cuál es el P.A. de
los otros cuatro es?
A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) N.A.
Resolución

19. Halle “n” si el promedio geométrico de:
21 . 22 . 23 . 24 … 2n es 64.
A) 8 B) 13 C) 11 D) 10 E) N.A.
Resolución

20. El promedio geométrico de los números:
es 512. Hallar: n.
A) 17 B) 16 C) 10 D) 18 E) 9
n
2; 4; 8;16; ; 2
Resolución

21. Si la edad promedio e tres hombres es 54 y ninguno de ellos es mayor
que 56. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener uno de ellos?
A) 55 B) 54 C) 50 D) 56 E) 52
Resolución

23. 1. El promedio aritmético de cinco números es 32. Si consideramos un
sexto número el promedio aumenta en 3 unidades. Hallar dicho
número.
a) 35 b) 46 c) 48 d) 50 e) 60
2. En la UPC, la nota promedio mínima para aprobar un curso es 13
puntos. Si Edwin obtuvo 12; 09 y 16 puntos en sus primeras
evaluaciones, ¿cuánto deberá obtener como mínimo en su última
evaluación para aprobar, si se sabe que esta tiene peso doble?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
3. En un grupo de cinco personas, ninguna de ellas es menor de 16
años. Si el promedio de las edades es 18 años, ¿cuál es la máxima
edad que puede tener una de ellas?
a) 20 años b) 26 c) 28 d) 30 e) 36

24. 4. En un salón de 60 alumnos, el promedio de notas en Literatura es
12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de
los 40 alumnos restantes?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 16
5. En una clase de 30 alumnos, el promedio de las estaturas de los
hombres es 1,70 m y el de las mujeres 1,60 m. Si el promedio de
todo el salón es 1,63 m; hallar el número de hombres.
a) 9 b) 10 c) 21 d) 12 e) 15
6. El promedio de 20 números es 18. ¿Cuántos números 13 hay, si al
sacarlos, el promedio aumenta a 19,25?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

25. 7. La media aritmética de "n" números es 20. Si se elimina el mayor
número, la nueva media aritmética sería 17 y si luego se elimina un
número que es igual a la mitad del mayor, la nueva media aritmética
sería 16. Hallar "n".
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15
8. El promedio geométrico de tres números es 32 y el promedio
geométrico de otros dos números es 243. Hallar el promedio
geométrico de los cinco números.
a) 6 b) 36 c) 48 d) 72 e) 96
9. El promedio geométrico de los números: 3; 9; 27; …; 3n es 729.
Hallar "n"
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

26. Aquí me quedé