presentación de conjunto

1. Conjuntos
Integrante:
Rosmel Briceño
CI: 31132358
Matemática

2. Definición: En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en
sí misma como un objeto matemático. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún
modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Formalmente, un conjunto es el tipo de objeto matemático del que tratan los axiomas de
Zermelo-Fraenkel.
Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por
compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible
discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
Aquí hay algunos pasos generales para crear y trabajar con conjuntos en matemáticas:
1. Identificar los elementos del conjunto: Los elementos de un conjunto son los elementos
que cumplen con las propiedades definidas.
2. Definir las propiedades del conjunto: Los elementos de un conjunto deben cumplir con
ciertas condiciones. Estas propiedades definen el conjunto.
3. Usar las operaciones matemáticas sobre conjuntos: Las operaciones matemáticas como
la sumatoria, la resta, el producto y la división son útiles para trabajar con conjuntos.
4. Verificar la existencia del conjunto: Para determinar si un conjunto existe, se evalúa si los
elementos cumplen con las propiedades definidas.
5. Usar los conjuntos en problemas matemáticos: Los conjuntos son útiles para resolver
problemas matemáticos, especialmente aquellos que se relacionan con la cardinalidad, la
cantidad de elementos, la equivalencia y las operaciones matemáticas
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado
un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado
por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El
símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos

3. diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que
se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Números Reales
Los números reales son un concepto fundamental en matemáticas. Se pueden expresar
con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma
decimal, como por ejemplo 324,8232. Los números reales se pueden describir y construir
de varias formas, algunas simples y otras más complejas, pero todas deben cumplir con
ciertas condiciones para ser consideradas núcleos de la matemática.
Los nombres de algunos de estos números reales son:
 número real racional: Este número puede ser representado por la secuencia de dígitos a
la derecha de la coma decimal, por ejemplo 324,8232. Los números racionales son los
que se pueden expresar como la suma o la diferencia de dos números racionales.
 número real irracional: Estos son números que no pueden ser expresados mediante una
fr acción de dos enteros con denominador no nulo. Un ejemplo sería el número 5
{displaystyle {sqrt {5}}}}. Los números irracionales se pueden representar por su serie de
decimales que nunca termina.
 número real logarítmico: Este número se expresa con la secuencia de dígitos a la
derecha de la coma decimal, seguida de la potencia decimales (por ejemplo,
324,8232.000). Los números logarítmicos se pueden expresar como la logaritima de un
número real.
Para construir números reales a partir de entidades conocidas, como números enteros o
fracciones, se pueden utilizar varias técnicas, como la sucesión de Cauchy o cortaduras
de Dedekind4. Además, existen conceptos matemáticos como el número aleatorio y el
número gaussiano, que también son núcleos de la matemática, aunque no se trata de
números reales tradicionales.
En resumen, los números reales son esenciales en la matemática y se pueden describir y
construir de diversas maneras. Su estudio contribuye a entender la naturaleza abstracta y
matemática de los números.

5. Clasificación de números
1Clasifica los números:
a
b
c
d
e
Solución
a
Notemos que es un número irracional, esto es, , en
donde son los números racionales. Se sabe que el producto, división, suma o resta
entre un número irracional y uno racional es un número irracional, por lo tanto, tenemos
que es irracional
b

6. Observemos que podemos resolver esta raíz de manera exacta, esto es, ,
en donde y son números enteros, por lo tanto
c
Todo número que tenga decimal periódico se puede expresar como fracción, esto significa
que todo número con decimal periódico es un número racional. De hecho, tenemos
que, esto comprueba que se trata de un número racional
d
Las raíces de números negativos nunca han pertenecido a los números reales, estos
numeros pertenecen a una extensión de los números reales conocido como los números
complejos . Dicho lo anterior, este número es un número complejo.
e

7. Al tener una fracción entre números enteros es claro que tenemos con número racional,
sin embargo, si efectuamos la división, tenemos que esta fracción es equivalente al
número entero . Dicho lo anterior, tenemos que
Recta numérica
2Representa en la recta:
Solución
Representa en la recta:
Solución
Para encontrarlo, primero notemos que al calcular la raíz, tenemos que
Grafiquemos este punto en la recta

8. Desigualdades
Las desigualdades en matemáticas se refieren a dos expresiones algebraicas que dan
lugar a resultados distintos. Se pueden expresar a través de diferentes signos y tienen
diferentes tipos, cada uno con su propia re acción a operaciones matemáticas. Las
principales tipos de desigualdades son:
1. Desigualdades estrictas: Son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos. Por
ejemplo, la desigualdad significa que a es mayor o igual a b, pero no es exclusivo con a b
y a>b.
2. Desigualdades amplias: Son aquellas en las que no se especifica si uno de los
elementos es mayor/menor o igual. Pueden ser expresadas con un final de inclusión.
3. Desigualdades de Grado: Son una categoría más específica de las desigualdades
estrictas y amplias. Se caracterizan por tener un grado de desigualdad, que puede ser
mayor, mayor o igual, o igual.
4. Desigualdades de Grado Superior: Son una categoría aún más específica de las
desigualdades de grado. No se requiere que el grado de desigualdad sea mayor, mayor o
igual que el grado de la desigualdad inferior.
Para explicar el propósito de las desigualdades en matemáticas, se puede utilizar un
ejemplo como a: 4x 2 > 9. En este caso, si a representa cuatro veces nuestra incógnita
menos dos, y B es igual a nueve, entonces se puede inferir que nuestra incógnita es
mayor o igual a cuatro.
Por lo tanto, la comprensión y aplicación de las desigualdades en matemáticas pueden
ser útiles para afrontar problemas matemáticos, mejorar la comprensión de los números y
la relación entre ellos, y desarrollar habilidades de lógica y raciocinio. Si se busca
profundizar en este tema, se pueden explorar más ejemplos y ejercicios para entender y
aplicar mejor las desigualdades en matemáticas.
Ejercicios
Resuelve y grafica la desigualdad 3�−5>13x−5>1.
Solución
 Empezamos escribiendo el problema original:
3�−5>13x−5>1
 Para despejar la variable, sumamos 5 ambos lados de la desigualdad:
3�−5+5>1+53x−5+5>1+5

9.  Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
3�>63x>6
 Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
33�>63 33x>36
�>2x>2
 Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido en la
solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2:
EJERCICIO 2
Resuelve y grafica la desigualdad 5�−10<155x−10<15.
Solución
Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con:
5�−10<155x−10<15
Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos:
5�−10+10<15+105x−10+10<15+10
5�<255x<25
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5:
55�<255 55x<525
�<5x<5
Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los
números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un
punto vacío para indicar esto:
Valor absoluto

10. El Valor Absoluto en matemáticas se refiere al concepto de distancia entre un número y
el cero. Se puede aplicar a números reales y positivos, y su valor para cualquier número
es positivo o cero, pero nunca negativo.1234567.
Para cualquier número real x {displaystyle x}, su valor absoluto se denota por
|x| {displaystyle |x|}3. Es independiente de la dirección de x, es decir, |-x| = |x| y |x| = -|x|3.
Algunos aspectos importantes del valor absoluto son:
 Distancia entre números : El valor absoluto de 3 {displaystyle 3} es 3 {displaystyle 3}, y
el de -3 {displaystyle -3} es también 3 {displaystyle 3}. Se puede generalizar este
concepto a números complejos donde el valor absoluto coincide con el m dulo12.
 Derivada zero : El valor absoluto de una función se encuentra cuando su derivada en el
punto 0 es cero. Si la derivada es cero, el valor absoluto es igual a la función a 05.
 Espacios vectoriales : En los espacios vectoriales, el valor absoluto de una vectora se
obtiene sumando los elementos de la vectora. El resultado es positivo si la vectora es
numera y negativo si es cíclica5.
Para aplicar el concepto de valor absoluto en matemáticas, recuerde que:
 Es independiente de la dirección de los números.3.
 Se puede generalizar a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,
anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.2.
 Puede ser útil para resolver problemas relacionados con la geometría y la álgebra lineal.
Ejercicios
Calcular los siguientes valores absolutos:
Solución
El valor absoluto de −3−3 es 33:
El valor absoluto de −8−8 es 88:
El valor absoluto de x2�2 es x2�2 porque el cuadrado de cualquier número
(real) es no negativo:

11. El valor absoluto de x2+1�2+1 es x2+1�2+1 porque x2+1�2+1 siempre es
mayor o igual que 11:
El valor absoluto de x−1�−1 es
Es decir,
Problema 2
Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto:
Solución
Supongamos que x−3�−3 es mayor o igual que 00:
Esto ocurre cuando x≥3�≥3.
El valor absoluto de x−3�−3 es x−3�−3, así que la ecuación que tenemos es
Supongamos ahora que x−3�−3 es menor que 00:

12. Esto ocurre cuando x<3�<3.
El valor absoluto de x−3�−3 es −(x−3)−(�−3), así que la ecuación que tenemos es
La ecuación tiene dos soluciones: x=5�=5 y x=1�=1.
Desigualdad con valor absoluto
Una desigualdad con valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro. Puede ser representada matemáticamente con la
expresión |a| < b , donde 'a' es una variable y 'b' es un número real. Las desigualdades
con valor absoluto pueden ser de dos tipos, según la expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto:
1. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva . En este
caso, la desigualdad se refiere a números reales a y b, y si |a| < b, entonces a < b. Para
resolver este tipo de desigualdad, necesitarás descomponerla en una desigualdad
compuesta, donde tienes una desigualdad entre ay 0 y otra entre b y 41.
2. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa . En este
caso, la desigualdad se refiere a números reales a y b, y si |a| > b, entonces a > b. Para
resolver esto, debes separar la desigualdad principal en una desigualdad compuesta
donde tienes una desigualdad entre ay -4 y otra entre b y 4.
Para resolver ambas desigualdades, puedes utilizar la síntesis de Bernoulli , que es útil
para resolver desigualdades de una variable.2. Primero, debes comprobar si la
desigualdad es de tipo absoluto positivo o negativo. Según este caso, debes usar la
síncota de Bernoulli correspondiente. Por ejemplo, si la desigualdad es de tipo absoluto
positivo, debes usar la síncota de Bernoulli 'B'2. A continuación, siga los pasos de la
síncota de Bernoulli para resolver la desigualdad.
Recuerda que para cada desigualdad, debes graficarla y ver cuál de los dos casos se
aplica. Una vez identificado el caso, puede utilizar la síncota de Bernoulli correspondiente
para resolver la desigualdad2.
En resumen, para resolver desigualdades con valor absoluto, sigue estos pasos:
1. Verifique si la desigualdad es de tipo absoluto positivo o negativo.
2. Si es de tipo absoluto positivo, usa la síncota de Bernoulli 'B'.
3. Si es de tipo absoluto negativo, usa la síncota de Bernoulli 'B'.

13. 4. Aplica la síncota correcta y resuelve la desigualdad
Ejercicios
Resuelve la desigualdad ∣�+4∣−6<9∣x+4∣−6<9.
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣�+4∣−6<9∣x+4∣−6<9
∣�+4∣<9+6∣x+4∣<9+6
∣�+4∣<15∣x+4∣<15
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número
positivo, 15. Nos movemos al paso 3.
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en
este problema es un signo menor que, por lo que formamos una
desigualdad de tres partes:
−15<�+4<15−15<x+4<15
Paso 4: Resuelve la desigualdad:
−15−4<�<15−4−15−4<x<15−4
−19<�<11−19<x<11
EJEMPLO 2
Resuelve la desigualdad ∣2�−1∣−7≥−3∣2x−1∣−7≥−3.

14. Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣2�−1∣−7≥−3∣2x−1∣−7≥−3
∣2�−1∣≥−3+7∣2x−1∣≥−3+7
∣2�−1∣≥4∣2x−1∣≥4
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número
positivo, 4. Nos movemos al paso 3.
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en
este problema es un signo mayor/igual que, por lo que formamos una
desigualdad compuesta con la palabra “o”:
2�−1≤−42x−1≤−4 o 2�−1≥42x−1≥4
Paso 4: Resuelve las desigualdades:
2�−1≤−42x−1≤−4 o 2�−1≥42x−1≥4
2�≤−32x≤−3 o 2�≥52x≥5
�≤−32x≤−23 o �≥52x≥25

15. Bibliografía
Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
Ejercicios
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
OperacionesConjuntos.php
números reales
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
ejercicios
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/ejercicios-y-
problemas-resueltos-de-numeros-reales-i.html
desigualdad
https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
ejercicios
https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-desigualdades/
valor absoluto
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value
ejercicios
https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/ejemplos-definicion-
propiedades-problemas-resueltos-ejercicios.html
desigualdad de valor absoluto
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities
ejercicios
https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-desigualdades-con-valor-absoluto/