Este documento presenta un resumen del proyecto de tesis doctoral del autor sobre un estudio socioepistemológico de la tangente y el rediseño del discurso matemático escolar. El proyecto consta de seis capítulos que abordan la problemática del estudio de la tangente en el cálculo diferencial, el estado del arte, el marco teórico basado en la transposición didáctica y la socioepistemología, un análisis documental, y las conclusiones. El objetivo es ayudar a los estudiantes a construir

1. Presentación General del Proyecto Doctoral Alumno: Luis Arturo Serna Martínez Estudio socioepistemológico de la tangente. Rediseño del Discurso Matemático Escolar Instituto Politécnico Nacional Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del IPN

2. Temas a tratar en la Tesis Doctoral Capítulo I. Problemática del Estudio del Cálculo Diferencial Capítulo II. Estado del Arte. Capítulo III. Problemática del estudio de la tangente. Algunos referentes socioepistemológicos Capítulo IV. Marco Teórico Capítulo V. Análisis Documental Capítulo VI. Conclusiones

3. Capítulo I Problemáticas del estudio del Cálculo Diferencial Enseñanza que privilegia el uso de los algoritmos Uso predominante desarrollos algebraicos En las derivadas Libros de Texto (por la forma en como se exponen los temas) Con respecto a los Profesores Estado Actual de la Tangente en la escuela

4. Algoritmo Como un procedimiento más formal Como un argumento más sencillo de utilizar Problemáticas con respecto al Cálculo Diferencial Se considera Se prefiere Los productos de investigación demuestran Los alumnos no construyen los conceptos Pero al no ser claro

5. Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial Recurso Algebraico Se utilizan mucho Los desarrollos algebraicos Como un recurso legitimador del Profesor Es usado Sin embargo Las investigaciones han demostrado que muchos desarrollos no implica entender los conceptos Sucede que con los profesores No hay un entendimiento claro o se complica utilizar contextos diferentes al algebraico

6. Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial Derivada Dificultad en problemas de aplicación No se reconoce a la derivada como una nueva función Se le considera como la pendiente de la recta tangente a UN PUNTO No se le asocia con problemas de variación

7. ¿Qué es la derivada? A lo cual uno de ellos responde Es la recta tangente a un punto y hace un dibujo como el que se muestra a continuación: Entrevista realizada a profesores Castañeda 2004 Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial

8. Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial Libros de Texto Cuerpo de conocimiento lógicamente estructurado Con un rigor matemático, el cual es utilizado también por los profesores, olvidándose de relacionar al Cálculo con ideas de variación, tampoco se utiliza a los recursos gráfico-visuales ampliamente, por no considerarlos formales, sin embargo tal rigor matemático no ha redundado en la construcción de conocimientos por parte de los alumnos. Estructura similar a la del análisis matemático: Casi no se utilizan ideas en donde se relacione al Cálculo con la Física u otras ciencias, o en problemas en donde se utilicen ideas de variación, no hay muchos problemas prácticos en donde se utilicen las ideas clave del Cálculo Diferencial.

9. Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial Profesores Preocupación inmediata del empleo de fórmulas Por ejemplo en el caso del tema de la derivada, hay una preocupación por que el alumno aprenda a utilizar las fórmulas para derivar, que sepa derivar, aunque eso no implica que sepa el concepto de derivada, por citar otro ejemplo, con respecto al tema de límites, en la enseñanza tradicional se pretende que el alumno aprenda estrategias para calcular los límites, auque eso no implica que sepa lo que es un límite, en los otros temas vistos en Cálculo Diferencial hay situaciones parecidas Lo que cree el profesor que debe de aprender el alumno Lo que el profesor considera debe de aprender el alumno, tiene que ver mucho con su área de formación, en el caso de los docentes que no fueron formados como tales retoman la forma en como ellos aprendieron, también se hace uso de los libros de texto y programas de estudio, sin embargo se retoman estos elementos en la mayoría de los caso de una forma acrítica.

10. Problemáticas con respecto a el Cálculo Diferencial Estado Actual de la tangente dinámica en la escuela de nivel medio superior Se revisarán los textos citados y el programa de estudios con el fin de ver la forma en como es tratado el tema y tratar de mostrar la forma en como es concebida por los profesores. Análisis de libros de texto contemporáneos Programas de estudio Profesores Cálculo Diferencial e Integral (Granville ) Cálculo Diferencial e Integral ( James Stewart Programa del Edo. de México Se llevarán acabo algunas entrevistas

11. Capítulo II Estado del Arte Se buscara información (la mas actualizada) que hable sobre el problema de investigación que se abordará, lo cual servirá como referentes teóricos y punto de partida para la investigación que se va a llevar a cabo, también se justificará la originalidad del trabajo al presentar un trabajo original no desarrollado en otras investigaciones.

12. Estado del Arte Algunos artículos que hablan al respecto son: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles: Este artículo muestra el uso de la tangente vinculada a el concepto de pendiente. A Television Programme on infinite differences: Menciona acerca del error que se encuentra al tratar de aproximar una recta secante a una curva con respecto a la recta tangente, algunas ideas tratadas en el artículo son parecidas a los infinitesimales. Propuesta didáctica sobre la construcción de la recta tangente sin el uso de la derivada: Se presenta un enfoque no tradicional sobre la construcción de la recta tangente que ayuda a profundizar más sobre ideas del Cálculo Métodos Alternativos en la búsqueda de los puntos críticos y derivada de algunas funciones: Ayuda a profundiza sobre características gráficas de las funciones, se hace uso de la recta tangente.

13. Estado del Arte La construcción de la recta tangente en puntos de inflexión: un método alternativo en la articulación de los saberes: Se utiliza un método alternativo. Tangencia, contacto y la diferencial: Se menciona acerca del parecido existente entre la gráfica de una función y su parecido con una recta tangente en la región cercana a el punto de tangencia, se menciona acerca del contacto de orden n y la relevancia en la comprensión de las ideas fundamentales del Cálculo como son: diferenciabilidad, la diferencial y el teorema de Taylor. The Story of Tangents: Menciona acerca de la historia en el problema de las tangentes. Elementos para una aproximación variacional a la derivada: menciona pasajes históricos del uso de la tangente y también como es tratado el tema en algunos países. Tesis: Estudio epistemológico de la derivada a través de los enfoques local y global: Se muestran formas que en el siglo XVII eran utilizadas para el Cálculo de la tangente.

14. Capítulo III Problemática del Estudio de la tangente Partiremos de algunos aspectos generales con respecto a la Matemática Educativa, para posteriormente aterrizar en nuestro problema de investigación particular que es el estudio de la recta tangente en el curso de Cálculo Diferencial que se imparte en el nivel Medio Superior

15. Problemática del Estudio de la tangente La Matemática Educativa Tiene como unidad mínima de análisis Sistema Didáctico Que esta conformado por El alumno El profesor El saber

16. Problemática del Estudio de la tangente Fenómeno Didáctico Vamos a entender por fenómeno didáctico todo evento periódico de carácter educativo generado por el discurso matemático escolar y las interacciones provocadas entre docente y estudiantes al abordar un saber escolar específico. Este fenómeno puede tomar matiz de fenómeno de enseñanza y/o fenómeno de aprendizaje. Montiel (2005)

17. Problemática del Estudio de la tangente El fenómeno didáctico que vamos a estudiar: Se encuentra ubicado en la materia de Cálculo Diferencial. Con el tema: Recta tangente a una curva El cual es utilizado en : Interpretación geométrica de la derivada Máximos y mínimos Función creciente y decreciente Explicaciones sobre concavidad de una curva

18. Problemática del Estudio de la tangente El cuál es utilizado en: Puntos de inflexión Curvatura Radio curvatura Círculo de curvatura Teorema del valor medio

19. La tangente en la escuela Se estudia en: Trigonometría Geometría Euclidiana Geometría Analítica Cálculo Diferencial Razón trigonométrica Recta que toca a la curva sin volver a tocarla Pendiente Recta tangente cambiante (dinámica) Se concibe como Se concibe como Se encuentra implícita en Se requiere concebirla como Problemas que involucran razones trigonométricas Problemas geométricos Ángulo de inclinación, deducción de teoremas Cálculo de máximos y mínimos, interpretación geométrica de la derivada, dirección de una curva, puntos de inflexión… Se utiliza en Se utiliza en Se utiliza en Se utiliza en

20. Problemática del Estudio de la tangente La misma definición pero en diferentes contextos La noción de recta tangente es entendida de manera diferente, dependiendo de la asignatura en donde se este enseñando y aunque se utiliza el mismo nombre del concepto (tangente) no significa lo mismo. La tangente como una razón trigonométrica nos puede permitir observar la proporcionalidad entre objetos. La tangente que se encuentra implícita en la pendiente de una recta es un número que nos indica la inclinación de una recta y su ángulo de inclinación. La recta tangente vista como aquella que toca a la curva en un solo punto sin volver a tocarla, dejando a la curva a un lado de la recta. La recta tangente dinámica, que cambia en cado punto de la curva y cuya pendiente en un punto nos indica cuanto cambia la variable dependiente por cada unidad de cambio de la variable independiente en el instante evaluado.

21. La concepción estática de la recta tangente Geometría Euclidiana Geometría Analítica La concepción dinámica de la tangente Cálculo Diferencial Se dificulte en los estudiantes, establecer un vinculo entre: Problemática del Estudio de la tangente

22. Tres referentes como antecedentes 1. La presentación habitual de la derivada se apoya en la concepción de que la tangente es el resultado de un proceso al límite de una familia de rectas secantes, y la explicación de ello ha sido identificada como de gran dificultad didáctica. Cantoral (2000)

23. Problemática del Estudio de la tangente 2. En Artigue (1998) se menciona: La noción de tangente entre la ruptura álgebra-análisis, en donde se dice que el estudiante tiene que reconstruir objetos matemáticos familiares pero en otros contextos, como es el caso de la recta tangente primero visto como un objeto geométrico en geometría Euclidiana con características específicas: No corta al círculo Lo toca en un solo punto En el punto de contacto es perpendicular al radio.

24. Problemática del Estudio de la tangente Reconstrucción que tiene que hacer el estudiante de la idea de tangente entendida esta como en la antigua Grecia y la tangente con la idea de que la tangente tiene dirección común con una curva. Esta situación parece ser transparente ya que no se le da ningún tratamiento didáctico Artigue (1998)

25. Problemática del Estudio de la tangente 3. No existe una liga definida en los textos de cómo ver la pendiente como número y como variable. Martínez (2005)

26. Problemática del Estudio de la tangente Tangente Geométrica Tangente Variacional (Dinámica) Tangente implícita

27. Problemática del Estudio de la tangente Tangente Geométrica Estudio Realizado en Serna (2007) Galileo Galilei Pierre de Fermat Rene Descartes Artículo: Historia de las Tangentes Tangente Variacional (Dinámica) Estudio Realizado en Serna (2007) Isaac Newton L´Hospital Léonard Euler

28. Problemática del Estudio de la tangente Tangente implícita Estudio Realizado en Serna (2007) Augustin - Louis Cauchy Cantoral (2007) ¿De donde proviene la idea de la familia de las rectas secantes? P 1 P 2 P 3 P n P      l

29. Concepto de derivada en un punto en: Wikipedia Esta idea permanece hasta nuestros días

30. Preguntas de investigación ¿Cuál era la intencionalidad social para resolver el problema de las tangentes? Sabemos que el problema de las tangentes se retomo en el siglo XVII ya que dicho problema nace en la antigua Grecia ¿Hay necesidades específicas de la época que propiciaron que se retomará este problema con tal contundencia? ¿Es usada la recta tangente como una herramienta para resolver otro tipo de problemas que se encontraban situados en el contexto sociocultural de la época?

31. Capítulo IV Marco Teórico Transposición Didáctica: Para aportar explicaciones sobre el cambio que sufre un objeto de saber al convertirse en objeto de enseñanza. Socioepistemología Por medio de la cual se justificara el nacimiento de ideas matemáticas que son producto de los ambientes socioculturales, se pretende mostrar como las prácticas sociales norman las actividades en donde nace los objetos matemáticos. Herramientas: Las cuales sirven y/o tiene un fin determinado por un grupo social

32. Marco Teórico Pensamiento y Lenguaje Variacional Línea de investigación que se encuentra bajo el seno de la socioepistemología; estudia los fenómenos de cambio y variación y posee una triple orientación. En primer lugar estudia estructuras variacionales específicas desde un punto de vista matemático y epistemológico; en segundo lugar estudia las funciones cognitivas que desarrollan las personas que estudian los fenómenos de cambio; en tercer lugar estudia los problemas y situaciones que se resuelven en la sociedad, utilizando las estructuras de los fenómenos variacionales.

33. Marco Teórico Establecemos la siguiente hipótesis: Los matemáticos de la época al estar resolviendo el problema de la tangente, estaban también queriendo resolver un problema de razón de cambio instantánea entre las variable involucradas en la función establecida.

34. Capítulo V Análisis Documental Se llevará a cabo una análisis documental para determinar como es que cobra tal importancia el problema de las tangentes se investigara para indagar cuales son las prácticas sociales que le dan origen a este problema, como influyen los contextos socioculturales para que adquiera tanta relevancia tal problema. Nos vamos a ubicar en el siglo XVII y localizaremos los usos que se la daba a la recta tangente, trataremos de ubicar los escenarios en los que se da el problema de las tangentes, suponemos que el problema de las tangentes respondía a ciertas necesidades, las cuales se encontraban en un ambiente erudito y que muy probablemente estas necesidades respondían a resolver otro tipo de problemas como la astronomía, problemas de movimiento de los cuerpos, de fluidos en movimiento, etc

35. Capítulo VI Conclusiones En este capítulo mencionaremos las ideas a las que hemos llegado en función de los productos obtenidos en nuestro trabajo de investigación, lo cual consideramos permitirá o ayudará a crear secuencias didácticas con las cuales los alumnos puedan construir el concepto de recta tangente desde un punto de vista variacional, también consideramos que podremos rediseñar el discurso matemático escolar por uno más benéfico par los estudiantes.