Este documento introduce el concepto de derivada desde una perspectiva geométrica. Explica cómo resolver el problema de encontrar el volumen máximo de una caja mediante la determinación del punto donde la tangente a la curva es horizontal, es decir, donde la pendiente es cero. Luego, describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado usando límites laterales, aproximando la pendiente de la recta secante a la tangente. Finalmente, presenta algunos ejercicios para aplicar este método.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones para resolver problemas, los fundamentos de límites y continuidad, y un ejemplo de cómo resolver un problema de optimización usando funciones. Explica que el cálculo fue desarrollado para resolver problemas donde la geometría y álgebra no eran suficientes y que Newton y Leibniz lo inventaron para situaciones donde cantidades desconocidas varían.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 1 1 introduction to differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial, incluyendo una discusión sobre el origen del cálculo y quién debe ser considerado su inventor. Resuelve un problema práctico sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como la aritmética, álgebra y funciones matemáticas. Finalmente, explica los fundamentos del cálculo como la teoría de límites y continuidad de funciones.
Activity 2 1 geometric interpretation of derivativeEdgar Mata
Este documento describe cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado. Explica que originalmente se usó el método de las raíces iguales de Descartes y el método de límites de Fermat. Luego, muestra un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una recta tangente usando puntos cercanos en la curva y tomando el límite cuando esos puntos se acercan, lo que aproxima la pendiente de la tangente. Finalmente, enfatiza que la noción de límite es clave para encontrar correctamente la pendiente
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
El documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que pide derivar y graficar expresiones dadas, así como identificar los puntos donde la derivada es cero y cómo esto se relaciona con el comportamiento de la función original. El ejercicio fue tomado de un libro de matemáticas y contiene instrucciones específicas sobre qué ejercicios resolver y graficar.
1) El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. 2) Explica diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios, así como sus propiedades y operaciones matemáticas. 3) Finalmente, introduce los números complejos y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con este tipo de números.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones para resolver problemas, los fundamentos de límites y continuidad, y un ejemplo de cómo resolver un problema de optimización usando funciones. Explica que el cálculo fue desarrollado para resolver problemas donde la geometría y álgebra no eran suficientes y que Newton y Leibniz lo inventaron para situaciones donde cantidades desconocidas varían.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 1 1 introduction to differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial, incluyendo una discusión sobre el origen del cálculo y quién debe ser considerado su inventor. Resuelve un problema práctico sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como la aritmética, álgebra y funciones matemáticas. Finalmente, explica los fundamentos del cálculo como la teoría de límites y continuidad de funciones.
Activity 2 1 geometric interpretation of derivativeEdgar Mata
Este documento describe cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado. Explica que originalmente se usó el método de las raíces iguales de Descartes y el método de límites de Fermat. Luego, muestra un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una recta tangente usando puntos cercanos en la curva y tomando el límite cuando esos puntos se acercan, lo que aproxima la pendiente de la tangente. Finalmente, enfatiza que la noción de límite es clave para encontrar correctamente la pendiente
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
El documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que pide derivar y graficar expresiones dadas, así como identificar los puntos donde la derivada es cero y cómo esto se relaciona con el comportamiento de la función original. El ejercicio fue tomado de un libro de matemáticas y contiene instrucciones específicas sobre qué ejercicios resolver y graficar.
1) El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. 2) Explica diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios, así como sus propiedades y operaciones matemáticas. 3) Finalmente, introduce los números complejos y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con este tipo de números.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento describe las líneas rectas en el plano cartesiano. Introduce las tres formas de representar la ecuación de una línea recta (pendiente-intersección, forma general y forma canónica) y explica conceptos fundamentales de la geometría analítica como los ejes del plano y cómo graficar puntos y líneas. Finalmente, aplica estas ideas a un problema de costos de producción.
Este documento presenta los conceptos básicos de matemática, incluyendo:
1) Los axiomas de los números reales como un conjunto con operaciones de adición, multiplicación y relación de orden.
2) Las definiciones y teoremas fundamentales sobre desigualdades y intervalos.
3) Las formas generales de ecuaciones lineales y cuadráticas y los métodos para resolverlas como factorización y completando cuadrados.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
(i) El documento describe el dominio y contradominio de la función raíz cuadrada, así como traslaciones y reflexiones de su gráfica.
(ii) El dominio de la función raíz cuadrada se expresa como el intervalo [0, ∞), mientras que su contradominio se expresa como el intervalo [0, ∞).
(iii) Las hojas de trabajo guían al estudiante a identificar dominios y contradominios de varias funciones raíz cuadrada a través de la construcción y análisis de sus gráfic
Este documento presenta un bloque sobre el valor absoluto aplicado a funciones lineales y cuadráticas. El bloque tiene como objetivos determinar el dominio y contradominio de estas funciones al aplicarles el valor absoluto, expresar estos intervalos usando notación de intervalos, y analizar los efectos de transformaciones en las gráficas. Las hojas de trabajo guían a aplicar el valor absoluto y componer funciones para estudiar los cambios en las gráficas y ecuaciones.
Este documento describe el estudio de funciones cuadráticas de la forma ax^2 + bx + c. Se analizan las representaciones algebraica, gráfica y tabular de estas funciones, así como el comportamiento de sus gráficas (parábolas) y conceptos como crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Incluye hojas de trabajo con ejercicios para modelar situaciones mediante funciones cuadráticas y desarrollar habilidades de pasar entre las diferentes representaciones de estas funciones.
Este documento presenta un bloque de actividades sobre las funciones trigonométricas seno y coseno. El bloque tiene como objetivos identificar el dominio y contradominio de estas funciones, expresarlos como intervalos, y aplicar transformaciones a sus gráficas. Las actividades usan la calculadora para explorar gráficamente las funciones y conceptos como periodo, amplitud y frecuencia. También sugiere actividades futuras relacionadas con las funciones trigonométricas para la formación de docentes.
Este documento describe un bloque de aprendizaje sobre funciones racionales. Los objetivos incluyen determinar el dominio y contradominio de funciones racionales, identificar discontinuidades y asíntotas, y analizar cómo varían las gráficas cuando cambian los coeficientes. Las actividades usan visualizaciones gráficas para explorar estas características.
Break even point two linear equations systemEdgar Mata
Este documento presenta cuatro problemas independientes relacionados con el punto de equilibrio de una empresa. El primer problema determina el punto de equilibrio inicial para una computadora cuando los costos fijos son $750,000 y los costos variables son $2,800 por unidad, con un precio de venta de $3,500. Los tres problemas restantes analizan cambios en los costos y la demanda, y determinan si es conveniente mantener o cambiar el precio de venta.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento presenta información sobre magnitudes, vectores, suma de vectores y triángulos. Explica las características de las magnitudes escalares y vectoriales, y los métodos para sumar vectores de forma gráfica y analítica. También define los tipos de triángulos, sus componentes y el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus catetos. Finalmente, incluye actividades para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una propuesta didáctica para introducir el concepto de equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de las funciones lineales usando una calculadora. Propone usar programas algebraicos en la calculadora para que los estudiantes puedan ver que expresiones diferentes pueden tener el mismo valor numérico. Incluye hojas de trabajo con tablas de valores de entrada y salida para que los estudiantes construyan programas equivalentes y analicen si programas propuestos son equivalentes o no. Finalmente, sugiere actividades para que los futuros maestros reflexionen sobre cómo
análisis matemático y análisis matemático no estándar Maria FJ
comparación desde las nociones de convergencia de sucesiones, continuidad puntual y uniforme y diferenciabilidad de funciones entre el análisis matemático estándar y el ANE
12 3 Apliquemos Nuestro Conocimiento De Mediatrices Y Bisectcaloma5
El documento presenta una serie de ejercicios prácticos sobre el uso de mediatrices y bisectrices para estudiantes de matemáticas. Los estudiantes deben trazar ejes de simetría, mediatrices, bisectrices y puntos equidistantes de figuras geométricas dados, describiendo cada procedimiento. Finalmente, se les pide comparar procedimientos y resultados, y consultar referencias bibliográficas sobre construcciones geométricas básicas.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de Matemáticas sobre ecuaciones con radicales. El objetivo principal es que los estudiantes utilicen determinantes y ecuaciones con radicales para resolver problemas. La unidad cubrirá determinantes, ecuaciones con radicales, sistemas de ecuaciones y líneas rectas. Al final, los estudiantes podrán resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas usando diferentes métodos como determinantes.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene capítulos sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes, y sistemas lineales. El autor desarrolla la teoría de manera rigurosa pero accesible para estudiantes de ingeniería y matemáticas. El libro incluye numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Alexandra González
Ciclo: Cuarto
Bimestre: Primero
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. Explica que la pendiente de la tangente es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando el segundo punto se aproxima al primero. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el método, y luego tres ejercicios para practicarlo.
Este documento presenta un problema de maximización de volumen al construir una caja rectangular a partir de una pieza de cartón de 40x30 cm realizando recortes cuadrados en cada esquina. Se explora el efecto del tamaño de los recortes en el volumen mediante mediciones experimentales y el uso de funciones. Finalmente, se resuelve el problema mediante cálculo diferencial, encontrando que los recortes óptimos miden 5.65741454 cm, dando una caja de 28.6851709x18.6851709x5.65741454 cm
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Activity 2 1 the limit in geomety problemsEdgar Mata
Este documento explica cómo Pierre de Fermat desarrolló un método para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. El método involucra calcular la pendiente de rectas secantes que pasan por puntos cada vez más cercanos al punto de tangencia, aproximando así la pendiente de la tangente cuando los puntos son iguales. El documento también presenta un ejemplo numérico y gráfico para ilustrar el método.
Este documento presenta el problema clásico de cálculo de la caja sin tapa. Explica cómo analizar el problema y expresarlo algebraicamente para determinar las dimensiones del cuadrado recortado que maximizan el volumen de la caja usando derivadas. Proporciona ejemplos y ejercicios para practicar resolviendo problemas similares.
Este documento describe las líneas rectas en el plano cartesiano. Introduce las tres formas de representar la ecuación de una línea recta (pendiente-intersección, forma general y forma canónica) y explica conceptos fundamentales de la geometría analítica como los ejes del plano y cómo graficar puntos y líneas. Finalmente, aplica estas ideas a un problema de costos de producción.
Este documento presenta los conceptos básicos de matemática, incluyendo:
1) Los axiomas de los números reales como un conjunto con operaciones de adición, multiplicación y relación de orden.
2) Las definiciones y teoremas fundamentales sobre desigualdades y intervalos.
3) Las formas generales de ecuaciones lineales y cuadráticas y los métodos para resolverlas como factorización y completando cuadrados.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
(i) El documento describe el dominio y contradominio de la función raíz cuadrada, así como traslaciones y reflexiones de su gráfica.
(ii) El dominio de la función raíz cuadrada se expresa como el intervalo [0, ∞), mientras que su contradominio se expresa como el intervalo [0, ∞).
(iii) Las hojas de trabajo guían al estudiante a identificar dominios y contradominios de varias funciones raíz cuadrada a través de la construcción y análisis de sus gráfic
Este documento presenta un bloque sobre el valor absoluto aplicado a funciones lineales y cuadráticas. El bloque tiene como objetivos determinar el dominio y contradominio de estas funciones al aplicarles el valor absoluto, expresar estos intervalos usando notación de intervalos, y analizar los efectos de transformaciones en las gráficas. Las hojas de trabajo guían a aplicar el valor absoluto y componer funciones para estudiar los cambios en las gráficas y ecuaciones.
Este documento describe el estudio de funciones cuadráticas de la forma ax^2 + bx + c. Se analizan las representaciones algebraica, gráfica y tabular de estas funciones, así como el comportamiento de sus gráficas (parábolas) y conceptos como crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Incluye hojas de trabajo con ejercicios para modelar situaciones mediante funciones cuadráticas y desarrollar habilidades de pasar entre las diferentes representaciones de estas funciones.
Este documento presenta un bloque de actividades sobre las funciones trigonométricas seno y coseno. El bloque tiene como objetivos identificar el dominio y contradominio de estas funciones, expresarlos como intervalos, y aplicar transformaciones a sus gráficas. Las actividades usan la calculadora para explorar gráficamente las funciones y conceptos como periodo, amplitud y frecuencia. También sugiere actividades futuras relacionadas con las funciones trigonométricas para la formación de docentes.
Este documento describe un bloque de aprendizaje sobre funciones racionales. Los objetivos incluyen determinar el dominio y contradominio de funciones racionales, identificar discontinuidades y asíntotas, y analizar cómo varían las gráficas cuando cambian los coeficientes. Las actividades usan visualizaciones gráficas para explorar estas características.
Break even point two linear equations systemEdgar Mata
Este documento presenta cuatro problemas independientes relacionados con el punto de equilibrio de una empresa. El primer problema determina el punto de equilibrio inicial para una computadora cuando los costos fijos son $750,000 y los costos variables son $2,800 por unidad, con un precio de venta de $3,500. Los tres problemas restantes analizan cambios en los costos y la demanda, y determinan si es conveniente mantener o cambiar el precio de venta.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento presenta información sobre magnitudes, vectores, suma de vectores y triángulos. Explica las características de las magnitudes escalares y vectoriales, y los métodos para sumar vectores de forma gráfica y analítica. También define los tipos de triángulos, sus componentes y el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus catetos. Finalmente, incluye actividades para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una propuesta didáctica para introducir el concepto de equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de las funciones lineales usando una calculadora. Propone usar programas algebraicos en la calculadora para que los estudiantes puedan ver que expresiones diferentes pueden tener el mismo valor numérico. Incluye hojas de trabajo con tablas de valores de entrada y salida para que los estudiantes construyan programas equivalentes y analicen si programas propuestos son equivalentes o no. Finalmente, sugiere actividades para que los futuros maestros reflexionen sobre cómo
análisis matemático y análisis matemático no estándar Maria FJ
comparación desde las nociones de convergencia de sucesiones, continuidad puntual y uniforme y diferenciabilidad de funciones entre el análisis matemático estándar y el ANE
12 3 Apliquemos Nuestro Conocimiento De Mediatrices Y Bisectcaloma5
El documento presenta una serie de ejercicios prácticos sobre el uso de mediatrices y bisectrices para estudiantes de matemáticas. Los estudiantes deben trazar ejes de simetría, mediatrices, bisectrices y puntos equidistantes de figuras geométricas dados, describiendo cada procedimiento. Finalmente, se les pide comparar procedimientos y resultados, y consultar referencias bibliográficas sobre construcciones geométricas básicas.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de Matemáticas sobre ecuaciones con radicales. El objetivo principal es que los estudiantes utilicen determinantes y ecuaciones con radicales para resolver problemas. La unidad cubrirá determinantes, ecuaciones con radicales, sistemas de ecuaciones y líneas rectas. Al final, los estudiantes podrán resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas usando diferentes métodos como determinantes.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene capítulos sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes, y sistemas lineales. El autor desarrolla la teoría de manera rigurosa pero accesible para estudiantes de ingeniería y matemáticas. El libro incluye numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Alexandra González
Ciclo: Cuarto
Bimestre: Primero
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. Explica que la pendiente de la tangente es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando el segundo punto se aproxima al primero. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el método, y luego tres ejercicios para practicarlo.
Este documento presenta un problema de maximización de volumen al construir una caja rectangular a partir de una pieza de cartón de 40x30 cm realizando recortes cuadrados en cada esquina. Se explora el efecto del tamaño de los recortes en el volumen mediante mediciones experimentales y el uso de funciones. Finalmente, se resuelve el problema mediante cálculo diferencial, encontrando que los recortes óptimos miden 5.65741454 cm, dando una caja de 28.6851709x18.6851709x5.65741454 cm
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Activity 2 1 the limit in geomety problemsEdgar Mata
Este documento explica cómo Pierre de Fermat desarrolló un método para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. El método involucra calcular la pendiente de rectas secantes que pasan por puntos cada vez más cercanos al punto de tangencia, aproximando así la pendiente de la tangente cuando los puntos son iguales. El documento también presenta un ejemplo numérico y gráfico para ilustrar el método.
Este documento presenta el problema clásico de cálculo de la caja sin tapa. Explica cómo analizar el problema y expresarlo algebraicamente para determinar las dimensiones del cuadrado recortado que maximizan el volumen de la caja usando derivadas. Proporciona ejemplos y ejercicios para practicar resolviendo problemas similares.
El documento describe cómo resolver problemas de primer grado utilizando ecuaciones lineales. Explica los cuatro pasos del modelo de Polya para resolver problemas: 1) entender el problema, 2) configurar un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) revisar la solución. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del modelo.
Este documento describe la programación dinámica y varios problemas que pueden resolverse usando este método. Brevemente explica que la programación dinámica divide un problema complejo en subproblemas, almacena las soluciones de estos subproblemas y los usa de manera recursiva para resolver el problema original de manera óptima. Luego, detalla algunos problemas como el problema de la diligencia, el árbol binario de búsqueda óptimo y el problema del vendedor viajero, y cómo se pueden resolver usando programación dinámica.
Activity 2 2 algebraic geo interpretation of derivativeEdgar Mata
El documento describe el método algebraico para determinar la pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto. Explica que este método involucra cuatro pasos: 1) calcular el incremento en x, 2) calcular el incremento en y, 3) dividir los incrementos, y 4) tomar el límite para obtener la derivada. Además, provee un ejemplo para ilustrar cómo aplicar este método algebraico para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos de la curva y = x2.
La programación lineal es una teoría matemática desarrollada en el siglo XX para optimizar funciones sujetas a restricciones lineales. Se define un problema de programación lineal como la maximización o minimización de una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Existen métodos analíticos y gráficos para encontrar la solución óptima evaluando la función en los vértices de la región factible. El algoritmo del simplex es un método eficiente para resolver problemas de programación lineal.
Este documento trata sobre los límites en cálculo. Explica que los límites son herramientas fundamentales para construir el cálculo y calcular pendientes de curvas. Luego, describe tres métodos para resolver límites: factorización, derivación de funciones, y la regla de L'Hôpital. Finalmente, menciona algunos ejemplos de aplicaciones de límites en ingeniería.
El documento habla sobre los límites en cálculo. Explica que los límites son herramientas para estimar valores a los que se aproximan funciones cuando se acercan a un punto. También se usan los límites para calcular pendientes de rectas tangentes y estimar valores como velocidad y corriente eléctrica. La regla de L'Hôpital permite evaluar límites indeterminados reemplazando la función y su derivada.
El documento trata sobre el cálculo diferencial y cómo se usa para encontrar máximos y mínimos. Explica que la derivada de una función mide cómo cambia la función y que igualar la derivada a cero identifica valores críticos que pueden ser máximos o mínimos. Luego detalla los pasos para usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de una función y provee un ejemplo para ilustrar el proceso.
El documento presenta un problema resuelto de análisis vectorial. En la introducción, explica que el objetivo es proporcionar problemas resueltos que ayuden a los estudiantes a aplicar la teoría aprendida en clase. Los problemas cubren álgebra vectorial, cálculo diferencial vectorial e integral vectorial. Finalmente, invita a los lectores a proveer comentarios para mejorar el trabajo.
Aplicaciones de la derivada max vol cajaEdgar Mata
Este documento describe el proceso de resolver un problema de maximización de volumen usando diferentes métodos como aritmética, geometría, funciones cúbicas y finalmente cálculo diferencial. El problema involucra determinar el tamaño óptimo de un cuadrado que se recorta de una caja para maximizar su volumen. Inicialmente se usan aproximaciones, luego se grafica la función cúbica del volumen, y finalmente se deriva la función y se iguala a cero para encontrar la solución exacta de 5.6574 cm.
Este documento describe la programación lineal, un método de optimización matemática que se puede usar cuando un problema de negocios puede expresarse como una función lineal y está sujeto a restricciones lineales. Explica conceptos como la función objetivo, variables, restricciones, soluciones factibles y óptimas. También describe el método gráfico y el método simplex para resolver problemas de programación lineal.
Este documento describe el algoritmo voraz y su funcionamiento. Define los elementos clave de este tipo de algoritmos como el conjunto de candidatos, las decisiones ya tomadas, la función solución, la función de selección y la función objetivo. Explica cómo aplicar este enfoque a problemas como la mochila y los árboles de recubrimiento de manera genérica.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones y fundamentos como la teoría de límites y continuidad de funciones. Resuelve un problema sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como aritmética, álgebra y gráficas. Explica que el cálculo es necesario para obtener una solución exacta y analiza el proceso de modelado matemático para resolver problemas reales.
El documento describe el algoritmo simplex, un método para resolver problemas de programación lineal maximizando una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Explica que el método se basa en iterar entre soluciones factibles maximizando la función en cada paso, y fue desarrollado por George Dantzig en 1947 para optimizar costos militares. También provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del algoritmo.
El documento resume las derivadas de funciones, incluyendo su definición, aplicaciones y ejemplos. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente y mide cómo varía una función. Luego detalla algunas aplicaciones comunes como determinar la velocidad, puntos críticos, valores máximos y mínimos, y el método de Newton. Finalmente, ofrece ejemplos del uso de derivadas en la vida cotidiana como medir la velocidad de un auto o un corredor.
Similar a Activity 2 1 geometric interpret derivative (20)
El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por el ser humano, comenzando con sistemas no posicionales como la numeración romana y progresando hacia sistemas posicionales como la numeración maya. Explica que la introducción del cero fue fundamental para los sistemas posicionales y que los números complejos se desarrollaron para incluir raíces cuadradas de números negativos mediante la adición de los números imaginarios.
Este documento explica cómo convertir números complejos de la forma binómica a la forma trigonométrica y aplicar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias o extraer raíces. Primero se describen las fórmulas para la conversión. Luego, se muestra un ejemplo detallado de la conversión. Finalmente, se explica cómo usar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias usando su forma trigonométrica.
Este documento presenta los conceptos básicos de las operaciones con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica que la suma y resta se tratan como la misma operación y muestra ejemplos de cómo aplicar las reglas de signos. También muestra cómo se llevan a cabo la multiplicación y división de números complejos a través de ejemplos paso a paso.
Este documento presenta 8 ejercicios que involucran el cálculo de límites matemáticos y la traza de gráficas correspondientes, identificando discontinuidades. Se pide resolver los ejercicios aplicando estrategias aritméticas, anotando solo las soluciones de cada límite calculado.
Este documento describe la importancia de identificar correctamente el problema como el primer paso para escribir una tesis o tesina. Explica que un problema surge cuando una situación se aparta de lo deseado y no es simplemente lo contrario de lo deseado. Además, recomienda cuantificar el problema mediante datos como números, gráficas y tendencias para comprender su gravedad e impacto, así como señalar cómo afecta el problema a procesos, áreas y el entorno.
Este documento proporciona instrucciones para un ejercicio de cálculo que involucra la aproximación numérica de límites. Los estudiantes deben obtener valores de una función para valores de x cercanos al límite por la izquierda y la derecha, tabular los datos y graficar la función para visualizar el límite. Se especifican los requisitos para completar cada sección de la actividad y obtener la puntuación máxima.
Este documento presenta información sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en la civilización y el desarrollo de la numeración. Define los números reales e introduce conceptos como operaciones con números reales, porcentajes, localización en la recta numérica y notación científica. Incluye ejercicios para practicar estos temas.
Course presentation differential calculus ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial dictada por el profesor G. Edgar Mata Ortiz. Explica que se trata de un curso no presencial basado en competencias que utiliza tecnologías de la información. Describe los contenidos, objetivos y forma de evaluación del desempeño de los estudiantes a través de tareas, trabajos y participación en videoconferencias utilizando las plataformas Moodle y Microsoft Teams.
Course presentation linear algebra ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Álgebra Lineal que será impartida de forma no presencial. Se describen los objetivos y contenidos de la asignatura, el modelo educativo basado en competencias, la evaluación y entrega de tareas a través de la plataforma Moodle, y los recursos tecnológicos como Moodle, Teams, blogs y redes sociales que se utilizarán.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Cramer. Primero se anotan las tres ecuaciones y luego los determinantes formados por las ecuaciones y las incógnitas. A continuación, se calculan los valores de los determinantes y se sustituyen en las ecuaciones originales para encontrar los valores de las tres incógnitas.
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración necesarias y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta varios ejercicios sobre álgebra vectorial. Instruye al lector a resolver problemas de vectores en dos y tres dimensiones utilizando solo una calculadora. Incluye ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y productos cruzados de vectores, así como representaciones gráficas. También cubre representaciones vectoriales de números complejos y transformaciones lineales como reflexión, rotación, traslación, expansión y contracción.
Este documento presenta dos problemas matemáticos que involucran funciones cúbicas. El primer problema proporciona cuatro puntos de datos y pide encontrar la función cúbica que pasa a través de ellos. El segundo problema presenta cuatro puntos de datos corregidos y pide lo mismo. Se pide graficar ambas funciones cúbicas y entregar las respuestas en formato PDF.
The document contains 32 systems of linear equations with 3 unknown variables (x1, x2, x3) each. Each system has 3 equations with coefficients for the variables and a constant. The goal is to solve for the unknown variables.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Cramer en Excel. Explica que el método de Cramer puede automatizarse fácilmente en Excel y muestra un ejemplo de cómo calcular los determinantes principales y de las incógnitas y luego dividir para obtener las soluciones utilizando fórmulas de referencia de celdas.
Este documento describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante principal y un determinante para cada incógnita. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular cada determinante y usar sus valores para encontrar las soluciones del sistema.
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta las instrucciones para resolver problemas de razonamiento con dos incógnitas. Se divide en 4 pasos: 1) entender el problema y crear un diagrama con las cantidades desconocidas, 2) configurar un plan para obtener ecuaciones, 3) resolver el sistema de ecuaciones gráficamente o algebraicamente para encontrar los valores de las incógnitas, y 4) verificar la respuesta y comprobar que se cumplan las condiciones del problema original.
2. El concepto de derivada, desde un punto de vista matemático, es un
límite; y podríamos definirlo directamente como tal, sin embargo, es
preferible comprender dicho concepto a partir de una situación
problemática y, posteriormente, formalizar el término.
En el presente material se parte del problema resuelto en la actividad 1.1
que consiste en: ______________________________
___________________________________________una caja con el
máximo volumen posible, a partir de una pieza de material de tamaño especificado.
Una vez resuelto el problema, se profundiza en la estrategia aplicada, y cómo nos conduce a la determinación
de la pendiente de una recta tangente a la curva en un punto específico.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Tangente a la curva. .............................................................................................................................................2
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado......................................................................3
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:...................................................................3
La pendiente de la recta secante a la curva. ....................................................................................................4
Aproximación de la secante a la tangente. ......................................................................................................5
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................6
Obtención de límites. .......................................................................................................................................6
Gráfica. .............................................................................................................................................................7
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................7
Obtención de límites. .......................................................................................................................................8
Gráfica. .............................................................................................................................................................9
Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado........................................ 10
Obtención de límites. .................................................................................................................................... 10
Gráfica. .......................................................................................................................................................... 11
Bibliografía............................................................................................................................................................. 12
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Introducción.
Vamos a revisar el problema que sirvió como introducción al cálculo:
El problema de la caja que
debe tener el volumen
máximo, el cual se encuentra
en el punto más alto de la
gráfica correspondiente.
Dicho punto fue encontrado
mediante aproximaciones
sucesivas, es decir, buscando
valores de equis (tamaño del
cuadrado que se recorta), que
produjeran un volumen mayor
al que teníamos en cada caso.
¿Cuáles son las dimensiones de la caja que nos produce el volumen
máximo? Considera solamente valores enteros del tamaño del recorte:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Ya vimos que podemos mejorar la
aproximación al volumen máximo tomando
valores decimales para el tamaño del
recorte. Anota las dimensiones de la caja
con las que se obtiene un volumen mayor al
anterior:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Interpretaciones
de la derivada.
Como ya hemos visto, el cálculo
es atribuido a Newton y/o a
Leibnitz, quienes en forma
independiente desarrollaron sus
fundamentos, cada uno con un
enfoque completamente
diferente.
Mientras Newton pensaba en
términos de variables que
cambian con respecto al tiempo,
como la velocidad y aceleración;
Leibnitz consideraba un enfoque
geométrico en el que las
variables x, y, tomaban valores
cada vez más cercanos a un
punto dado.
Estos dos enfoques de la
derivada nos muestran que
puede ser interpretada tanto
geométricamente, como
físicamente, en términos de
variaciones de magnitudes como
la velocidad y aceleración.
Además de lo anteriormente
citado, es conveniente destacar
que, la notación empleada
actualmente, es la que desarrolló
Leibnitz.
Tanto el cálculo de Newton como
el de Leibnitz recurría a los
“infinitésimos”, cantidades
fuertemente cuestionadas por los
matemáticos de la época,
especialmente Lord Bishop
Berkeley, quien los llamaba “Los
fantasmas de las cantidades que
se han ido”.
Finalmente, Cauchy, Weierstrass
y Riemann, reformularon el
cálculo en términos de la teoría
de límites evitando así las bien
fundadas críticas al uso de los
infinitésimos.
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Tangente a la curva.
Vamos a desarrollar un método que nos permita encontrar este punto más
alto de la curva, sin necesidad de realizar tantas operaciones aritméticas o
algebraicas y que además se pueda aplicar a cualquier clase de problema
en el que se trate de obtener el punto máximo o mínimo de una curva.
Ya vimos que podemos mejorar
El razonamiento que nos permitirá llegar a este método general está
basado en un hecho sencillo: El punto más alto de la gráfica se encuentra
justo cuando la curva ha dejado de ascender, pero todavía no comienza a
descender. Es el punto donde la curva “es horizontal”.
¿Cuáles son los valores de equis en los que la curva va ascendiendo?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
En las secciones donde el valor de ye aumenta al aumentar el valor de equis, se
dice que es “la función es creciente”, y en las secciones en las que ye disminuye al
aumentar el valor de equis, se le llama “función decreciente”.
¿Cuáles son los valores de equis en los que la curva va descendiendo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Existe solamente un punto, no una sección de la curva, donde la función no está ascendiendo ni descendiendo,
permanece horizontal. A este punto se le llama “Punto Crítico”, y se dice que “la función es estacionaria”.
En el problema de la caja de cartón, el volumen máximo se
obtuvo cuando el tamaño del recorte era de:
______________________, entonces diríamos que:
x = __________, es un punto crítico de la función.
Con la finalidad de facilitar la comprensión, el lenguaje que
hemos empleado no es preciso, se trata simplemente de
captar la idea para, posteriormente, ser más formales con el
vocabulario. Una forma más matemática de expresar la idea
anterior es: la tangente a la curva en el punto máximo es
horizontal, por lo que su pendiente es cero.
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Interpretación Geométrica de la Derivada
El problema de encontrar el punto máximo se ha reducido a localizar el punto donde la tangente a la curva es
horizontal.
El problema original ha ido sufriendo transformaciones sucesivas conforme lo hemos analizado. De un enfoque
aritmético y geométrico, pasamos a revisarlo algebraicamente, luego en términos de funciones y geometría
analítica. Hemos llegado a un nuevo planteamiento. ¿Cómo calcular la pendiente de la tangente a una curva en
un punto dado?
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado.
A lo largo de la historia se realizaron diversos intentos por resolver este problema, un trabajo interesante es el
“Método de Descartes de las raíces iguales”, sin embargo, no funciona en todos los casos.
Pierre Fermat, matemático contemporáneo de Descartes, propuso un método universal para resolver este
problema: “Método de límites de Fermat”.
El proceso es ingenioso, aunque un poco laborioso, pero para comprenderlo mejor vamos a resolver el siguiente
ejemplo por medio de un acercamiento aritmético.
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:
en el punto
Un primer paso en estos problemas puede ser trazar la gráfica mediante tabulación, para tener una mejor idea
al visualizar de qué se trata el problema.
Toma los valores adecuados para trazar la gráfica, asegúrate de que se utilicen valores negativos, cero, y
positivos.
En este ejercicio se proporciona la gráfica.
La gráfica nos muestra en qué consiste el problema,
con el valor de podemos obtener el valor de ye
sustituyendo en la ecuación:
𝑦 = _______________
Conocemos las coordenadas de un punto que
pertenece tanto a la curva como a la recta tangente,
pero para calcular la pendiente de una recta se
necesitan las coordenadas de dos puntos.
Puesto que no tenemos la ecuación de la recta, no podemos conocer otro punto de esta, pero si podemos tomar
un punto de la curva, que esté cercano a 1=x y determinar su coordenada ?=y sustituyendo el valor de
equis en la ecuación. Con estos puntos podemos encontrar la pendiente de la recta tangente.
2
xy = 1=x
1=x
2
xy = 2
)1(=y
12
12
xx
yy
m
−
−
=
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Un punto ya lo teníamos como dato: A (1, 1)
El otro punto lo elegimos nosotros:
2
2 xy = B (0, 0)
Con estos puntos podemos determinar la pendiente de la recta tangente, sustituye los valores y efectúa las
operaciones necesarias:
12
12
xx
yy
m
−
−
= m = ________m =
Si observas cuidadosamente el procedimiento notarás una inconsistencia, es decir, algo que no resulta del todo
convincente. Anota donde te parece que está el problema:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Si observamos con atención veremos que hemos involucrado un punto que no pertenece a la recta tangente,
en la siguiente gráfica podemos observar lo que sucedió.
¿Por qué se utilizó el punto B de coordenadas cero, cero para calcular la pendiente?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
La pendiente de la recta secante a la curva.
En realidad, estamos calculando la pendiente de una
recta distinta de la que nos interesaba. Es una recta
llamada secante.
Entonces la pendiente de la recta tangente no es 1,
este valor es la pendiente de la recta _____________.
En este punto es donde vamos a involucrar la noción
de límite.
Podemos tomar valores de x2 cada vez más
cercanos al valor de x1, de tal forma que la recta
secante tenga una pendiente muy cercana a la de la
tangente.
11 =x 2
1 xy = 2
1 )1(=y 11 =y
02 =x 2
2 )0(=y 02 =y
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Es muy importante que no olvidemos qué estamos buscando: la pendiente de la recta tangente a la curva en un
punto dado, pero debido a que no ha sido posible calcular dicho valor, decidimos obtener la pendiente de una
recta secante a la curva en el mismo punto, y poco a poco, ir tomando puntos más cercanos al punto (1, 1).
Observa en la gráfica siguiente que, al tomar un valor de x2 (0.5) más cercano a x1 (1), la recta secante dos
tiene una pendiente más parecida a la de la recta tangente.
Aproximación de la secante a la tangente.
Si continuamos este proceso podemos acercar el
punto x2, a x1, tanto como sea necesario para
observar a qué valor se aproxima la pendiente de
la recta secante.
Esta aproximación es una aplicación del concepto
de límite, por lo tanto, es conveniente realizar la
aproximación por la izquierda y por la derecha
para asegurarnos que, efectivamente, la
pendiente de la recta tangente es igual al valor
límite de la pendiente de la recta secante,
cuando x2 se aproxima a x1. En la siguiente línea,
expresa este límite en forma simbólica:
________________________________________
________________________________________
Efectúa las tabulaciones indicadas para determinar el límite por la izquierda y por la derecha y así obtener la
pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A.
En la tabla se van dando valores de x2, cada vez más cercanos a x1, para
ver qué sucede con la pendiente de la recta secante.
¿A qué valor se aproxima la pendiente? ___________
Este valor al que se aproxima, ¿es la pendiente de la recta tangente?
___________________________________________________________
El cálculo realizado hasta ahora es solamente el límite por la
izquierda, para estar seguros debemos obtener el límite por la
derecha. Completa la tabla y determina el valor del límite.
En la siguiente línea, anota la representación simbólica del límite
calculado:
________________________________________________________
A este proceso de aproximación es al que se le llama límite. Podemos decir que la pendiente de la recta tangente
es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando x2 se aproxima a x1.
x2 y2 m
0 0 1
0.8 0.64 1.8
0.9 0.81 1.9
0.99 0.9801 1.99
0.999 0.998 1.999
0.9999 0.9998 1.9999
x2 y2 m
2
1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001
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Interpretación Geométrica de la Derivada
En las siguientes líneas, explica el procedimiento seguido para determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Aplica límites laterales, traza la gráfica de la función e incluye la recta tangente y dos rectas secantes, tal como
se muestra en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función: y = x2
Punto de tangencia:
x1 = 2
Calcular el valor de y1:
y1 = x2 y1 = (2)2 →y1 =
4
Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
1
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
3
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
La pendiente de la recta tangente a la curva y = x2, en el punto x1 = 2 es: m =
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Los valores calculados tomando valores de equis por la izquierda y por la derecha, no nos dan el valor buscado
del límite, solamente son valores aproximados.
El proceso de “tomar el límite” consiste en observar los decimales que se van generando y, con base en ellos,
determinar a cuál valor se aproximan los resultados que se van obteniendo al calcular la pendiente. Al
realizar el cálculo por la izquierda y por la derecha facilita el razonamiento que nos permitirá determinar si la
respuesta es entera o tiene decimales, y si tiene decimales, cuáles forman parte del límite y cuáles no. En la
página siguiente se muestra la gráfica como debe quedar, incluyendo la tangente y una secante.
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se
identifiquen los puntos (x1, y1); (x2,
y2), la recta tangente y, al menos
una recta secante.
En los siguientes problemas,
asegúrate de anotar todo el
proceso ordenadamente, paso por
paso, así como la gráfica de la
función.
Al graficar funciones, es necesario
que se observen los puntos más
altos, más bajos e intersecciones
con los ejes de coordenadas.
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
En esta ocasión debemos determinar la pendiente de la tangente a la curva: y = 0.5x2 – 1, en x1 = 1.
Recuerda que debes seguir el procedimiento mostrado en el ejemplo 1 y, al final, trazar la gráfica con toda la
información que se utilizó para resolver el problema y todos los resultados obtenidos en el proceso.
La obtención de límites por la izquierda y por la derecha se leva a cabo con la finalidad de asegurarnos que el
resultado no sigue aumentando o disminuyendo indefinidamente, ya que el límite final se encuentra entre los
dos valores obtenidos; el límite por la izquierda y el límite por la derecha.
Por ejemplo: El límite por la izquierda es 1.9999 y por la derecha es 2.0001, entonces el límite buscado es 2,
que se encuentra entre estos dos valores.
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Obtención de límites.
Función: Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Determina la pendiente de la tangente a la curva: y = -0.2x3 + 4.5x, en x1 = 1.5; no olvides seguir el
procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1:
Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
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Interpretación Geométrica de la Derivada
En las siguientes líneas, explica cómo se determina el valor límite a partir de los límites por la izquierda y por la
derecha.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.