Descargar para leer sin conexión
![Ya con los datos obtenidos sustituiremos valores en la siguiente ecuación.
H =
𝑽 𝟐
𝟐
− 𝑽 𝟏
𝟐
𝟐 .𝒈
+ (Z2 - Z1) + (HFA + HFD)
H =
[(5.9)2
− (3.85)2]
mts
seg
2 𝑥 9.81
𝑚𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔2
+ 64.5 mts + 6.25 mts H =71.8 m.c.a
H =71.8 m.c.a Esta es la altura que debe dar la bomba.
Una vez conocida la altura (H) sustituiremos valores en la ecuación de potencia tal que.
PUTIL =
𝑄 .𝐻 .Ƴ
76 𝑛𝑡
PUTIL =
0.012
𝑚𝑡𝑠3
𝑠𝑒𝑔
𝑥 71.8 𝑚𝑡𝑠 𝑥 1000
𝐾𝑔𝑓
𝑚𝑡𝑠3
76
PUTIL = 11.33 𝐻𝑃
Ya una vezcalculadola potenciaútil procedemosacomparar losresultados utilizando la ecuación
de rendimiento total de esta manera.
nt=
𝑷𝒖𝒕𝒊𝒍
𝑷𝒂
Despejamos PACCIONAMIENTO y sustituimos valores de tal manera que.
PACCIONAMIENTO =
PUTIL
nt
PACCIONAMIENTO =
11.33 HP
0.80
PACCIONAMIENTO = 14 HP
PACCIONAMIENTO = 14 HP
Como en el enunciado del ejercicio nos dice que dispone de un motor de 12 HP; y como la
PACCIONAMIENTO es de 14 HP esto quiere decir que se recomienda un motor o una bomba de mayor
potencia.
B.-) ¿Qué valor de NPSHREQUERIDO debe tener la bomba?
Solución.
Como el NPSHREQUERIDO lo da el fabricante, y el NPSHDISPONIBLE tiene que ver con la altura de la
presiónatmosféricaporque el tanque estáabierto;encaso de que estuviesecerradose tomaríala
presión del manómetro.
Debido a esto tenemos que:
NPSHDISPONIBLE > NPSHREQUERIDO
En este caso el tanque de succiónestápor debajodel eje de la bomba, y la altura geodésica (Z) es
negativa: (-HST); por lo tanto.](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciomecanicah-180801164822/85/Mecanica-Hidraulica-15-320.jpg)
![Una vez obtenidoportablalosvaloresde HB y HVAP procedemosasustituirvaloresenla siguiente
ecuación.
NPSHDISP= HB – HSS – HVAP – HFA
Nota en este caso solamente tomamos en cuenta las pérdidas de succión o aspiración.
NPSHDISP= 8.892 m.c.a – 4.5 mts – 4.800 m.c.a – 0.75 m.c.a
NPSHDISP= - 1.158 m.c.a
Debidoa que el resultadoobtenidofue negativo;esindicadorque nose puede bombear,entonces
decimos que:
Se presuriza el tanque ó se pasa la bomba por debajo del tanque de succión.
C.-) ¿Cuál debe ser la presión leída en un manómetro colocado en la descarga de la bomba?
Solución.
Para conocerel valor de la presiónque tendráel manómetrocolocadoenladescargade la bomba.
Aplicaremos la ecuación de Bernoulli o energía en los puntos (3) y (1)
𝑷𝟑
Ƴ
+
𝑽 𝟑
𝟐
𝟐 .𝒈
+ Z3 =
𝑷𝟏
Ƴ
+
𝑽 𝟏
𝟐
𝟐 .𝒈
+ Z1 + HB – HFA
Nota: en este caso solamente tomo en cuenta las pérdidas por succión o aspiración.
Z3 = este punto está en el eje de la bomba.
0 = PATMOSFERICA = 0
Donde;
V3 = V2;
Z3 = 0
Z1 = 4.5 mts
Tal que la ecuación queda de la siguiente manera.
P3 = [
𝑽 𝟏
𝟐
− 𝑽 𝟑
𝟐
𝟐 .𝒈
+ 𝒁𝟏 + 𝑯𝑩 − 𝑯𝑭𝑨 ] X Ƴ](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciomecanicah-180801164822/85/Mecanica-Hidraulica-17-320.jpg)
![Sustituyendo valores tenemos que.
P3 = [
(3.85
𝑚𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔
)2 – (5.9
𝑚𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔
)2
2∗ 9.81
𝑚𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔2
+ (−4.5 𝑚𝑡𝑠)+ 71.8 𝑚. 𝑐. 𝑎 − 0.75 𝑚. 𝑐. 𝑎 ] X 1000
𝐾𝑔𝑓
𝑚𝑡𝑠3
P3 = 65.53 mts x 1000
𝐾𝑔𝑓
𝑚𝑡𝑠3
P3 = 65531.26
𝐾𝑔𝑓
𝑚𝑡𝑠2](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciomecanicah-180801164822/85/Mecanica-Hidraulica-18-320.jpg)
Más contenido relacionado
Mecánica Hidráulica
- 1. UNIVERSIDADFERMIN TORO VICE– RECTORADOACADEMICO FACULTADDE INGENIERIA MECANICA HIDRÁULICA Autor:Luis Serrano Docente:Ing.Daniel Duque Asignatura:MecánicaEstática
- 2. UNIDAD II Problemas sobrebombas 1.- Un sistema de bombeo ubicado a 80.000 centímetros de altitud dispone de una bomba centrifuga que debe entrar agua a 55 ºC de un depósito cerrado y enviarla a un tanque abierto cuyo nivel se encuentraa3.000 centímetrossobre el eje de la bomba, las pérdidas asociadas a las tuberíasde aspiraciónes de 120 centímetros y descarga de 3,0 metros, si el NPSH de la bomba es de 500 centímetros y el caudal manejado es de 0,02 metros cúbicos por segundo. PARTE A: ¿A qué altura se debe mantener el nivel del depósito de succión para la operación correcta del sistema? PARTE B ¿Qué potenciade accionamientose necesitapara que el sistema descrito, si el rendimiento total es de 85 %? Solución. PARTE A: ¿A qué altura se debe mantener el nivel del depósito de succión para la operación correcta del sistema? Haremos unas conversiones necesarias para resolver el ejercicio. 3000 cm a mts 3000 cm x 1 𝑚𝑡𝑠 100 𝑐𝑚 = 30 mts 120 cm a mts 120 cm x 1 𝑚𝑡𝑠 100 𝑐𝑚 = 1.2 mts 500 cm a mts 500 cm x 1 𝑚𝑡𝑠 100 𝑐𝑚 = 5 mts Luego de haber realizado las respectivas transformaciones aplicaremos la siguiente formula NPSH= HB ± HST – HVAP – HFA Donde: NPSH= Altura Neta Positiva en la Aspiración HB= Presión atmosférica según la altura sobre el nivel del mar (tabla N° 22). HST= A qué altura debe mantener el nivel del depósito de succión para que la operación sea correcta.
- 3. HVAP= Tensión devapor del agua (fluido) según la temperatura (tabla N°22). HFA= Perdidas por fricción de las tuberías de aspiración o succión en m.c.a. Como se trata de un deposito cerrado decimos que HB= HVAP Ahoraprocedemosabuscar el valor de HVAP a una temperatura de 55°C; en la tabla N°22 tal que. HB= HVAP= 1.600 m.c.a Otro dato es el siguiente. NPSHBOMBA= 5 m.c.a NPSHDISP > NPSHREQ Suponiendo que el depósito otanque cerrado de succiónestá por debajo del eje de la bomba HSS.
- 4. Aplicamos la ecuaciónNPSH= HB – HST – HVAP – HFA Como nuestra incógnita es HST procedemos a despejarla de la ecuación tal que. HST = – NPSH + HB – HVAP – HFA Sustituyendo valores tenemos que. HST = - 5 mts + 1.600 m.c.a – 1.600 m.c.a – 1.2 mts HST = - 6.2 mts Nota: el resultado no debe ser negativo, así no funciona, este resultado hace suponer que el depósito o tanque de succión está por encima del eje de la bomba. Ahora aplico la ecuación pero esta vez suponiendo que el depósito o tanque cerrado de succión está por encima del eje de la bomba tal que. Aplicamos la ecuación NPSH= HB + HST – HVAP – HFA ; despejando HST tenemos que. HST = NPSH - HB + HVAP + HFA Sustituyendo valores tenemos que. HST = 5 mts - 1.600 m.c.a + 1.600 m.c.a + 1.2 mts HST = 6.2 mts Por lotantos el valorde la alturaque mantiene el niveldel depósitode succiónparaunaoperación correcta debe ser. HST = 6.2 mts Nota: La altura que debe mantener el nivel del depósito de succión para que la operación sea correcta no debe ser mayor a 10 mts
- 5. Solución. PARTE B ¿Qué potenciade accionamiento se necesitapara que el sistemadescrito,si el rendimiento total es de 85 %? Para conocer la potencia de accionamientos para un determinado porcentaje de rendimiento aplicaremos la siguiente formula. PACCIONAMIENTO = 𝑸.𝑯.𝑷.𝑮 𝒏𝒕 me da el resultado expresado en watts (vatios) PACCIONAMIENTO = 𝑸.𝑯.Ƴ 𝟕𝟔 𝒏𝒕 me da el resultado expresado en Hp En este caso tenemos un tanque cerrado para la succión y uno abierto para la descarga donde; HSS = Z1 y HSD = Z2 PATM = P2 y HV o HB = P1
- 6. Procedemos a buscaren la tabla N°22 la presión atmosférica a 800 mts tal que. PATM= 9.342 m.c.a Ahora aplicamos la ley de Bernoulli, tomando en cuenta las perdidas. Si se supone que V1 = 0 y V2=0 Tenemos que. 𝑷𝟐 Ƴ + 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z2 = 𝑷𝟏 Ƴ + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z1 + H – HFA – HFD Por dato del enunciado tenemos que. Z1 = 6.2 mts Z2 = 30 mts nt = 85 % nt = 0.85 P1 = HV o HB = 1.600 m.c.a P2 = PATM = 9.342 m.c.a HFA = 1.2 mts HFD = 3 mts Por lo tanto procedo a buscar H con la ecuación anterior. 𝑷𝟐 Ƴ + Z2 = 𝑷𝟏 Ƴ + Z1 + H – HFA – HFD
- 7. Ahora se despejaH y sustituimos valores H = 𝑃2 Ƴ + Z2 - 𝑃1 Ƴ - Z1 + HFA + HFD H = 𝑃2 Ƴ - 𝑃1 Ƴ + Z2 - Z1 + HFA + HFD H = 9.342 m.c.a – 1.600 m.c.a + 30 mts – 6.2 mts + 1.2 mts + 3 mts H = 35.7 m.c.a Ahora con H procedo a buscar la potencia de accionamiento mediante la ecuación. PACCIONAMIENTO = 𝑸.𝑯.𝑷.𝑮 𝒏𝒕 Sustituyendo valores tenemos que. PACCIONAMIENTO = 0.02 𝑚3 𝑠𝑒𝑔 x 35.7 mts x 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚3 x 9.81 𝑚 𝑠𝑒𝑔2 0.85 PACCIONAMIENTO = 8240.4 watts
- 8. Problemas sobre CurvasCaracterísticas 2.- Considere una bomba centrifuga cuyas curvas características se muestran: Con esta bomba se propone impulsar agua a 70 ºC, a razón de 45 L/s, haciendo girar su impulsor a 1.800 rpm. La instalación estará ubicada a 1.200 metros sobre el nivel del mar y con relación al depósito de succión, la bomba está a 6 metros por encima, las pérdidas estimadas en la succión son de 0,8 m.c.a. ¿En estas condiciones operará correctamente la bomba? ¿Qué potencia consumirá? Solución. Datos: T = 70 °C Ƴ = 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚3 Q = 45 𝑙𝑡𝑠 𝑠 45 𝑙𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 x 1𝑚3 1000 𝑙𝑡𝑠 Q = 0.045 𝑚3 𝑠𝑒𝑔 ω = 1800 RPM H = 1200 m.c.a Hss = 6 mts HFASP = 0.8 m.c.a Ahora buscamos el valor de HB en la tabla N°22 (presión atmosférica según la altura tal que.
- 9. HB = 8.892m.c.a HB = PATM Ahora procedemos a buscar la tensión de vapor HVAP en la tabla N° 22 HVAP = 3.160 m.c.a Ahora procedemos a calcular los NPSHDISP Ya que enel ejercicioplanteado nos dice que el tanque de succión está por encima de la bomba, tenemos: NPSHDISP= HB – HST – HVAP – HFA
- 10. Sustituyendo valores tenemosque. NPSHDISP= 8.892 mts – 6 mts – 3.160 mts – 0.8 mts NPSHDISP= - 1.068 mts Nota: Debido a que el NPSHDISP tiene un valor negativo, esto es un indicador que la bomba no funcionara correctamente bajo esas condiciones, es decir; No se cumple NPSHDISP > NPSHREQ Debido a lo anteriormente calculado, procedo a tomar la decisión de buscar el Hss (porque es la única que puedo modificar) Entonces supongo que el NPSHDISP= 4mts Aplicando nuevamente la formula tenemos que. NPSHDISP= HB – HSS – HVAP – HFA Despejando HSStenemosque. HSS = (8.892 – 4 – 3.160 – 0.8) mts HSS = 0.932 mts Por lotanto la bombadeberíaestara la altura de 0.932 mtspor encimadel tanque de succióno colocar el tanque de succiónpor encimade labomba. Ahoraprocedoa calcularla potenciaque consumirá Datos: Ƴ= 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑡𝑠3 Q = 0.045 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 aplicandolaformula; PACCIONAMIENTO = 𝑸. 𝑯. Ƴ 𝟕𝟔𝒏𝒕 H =? 77 mts aprox nt =? 75% o 0.75
- 11. Para buscar losvaloresde H y nt lo haremosmediante lacurvacaracterística de ciertabomba centrifuga. Ya conociendo el valor de: H = 77 mts y nt = 75 % o 0.75 Ahora sustituiremos valores en la formula de la siguiente manera. PACCIONAMIENTO = 𝟎.𝟎𝟒𝟓 𝒎𝒕𝒔 𝟑 𝒔𝒆𝒈 . 𝟕𝟕 𝒎𝒕𝒔. 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑲𝒈𝒇 𝒎𝒕𝒔 𝟑 𝟕𝟔.𝟎.𝟕𝟓 PACCIONAMIENTO = 60.7 HP
- 12. Problemas sobre bombas 3.-Una instalaciónde bombeo, ubicada a 1.200 metros sobre el nivel del mar, se dispone de una bombaaccionada porun motor de 12 Hp. Se ese impulsar720 L/min.,succionandode undepósito abierto a la atmosfera, agua a una temperatura a 80 ºC. La tubería de succión es de 2 ½´´mientras que la de descarga es de 2´´. El eje de labomba estáa 4,5 metrospor encimadel depósito de succión, las pérdidas asociadas a la tubería de succión son de 0,75 m.c.a., y las de la tubería de descarga son de 5,5 m.c.a. A.-) ¿Determinar si el arreglo descrito es capaz de impulsar agua hasta 60 metros de altura, si se considera un rendimiento de 80%? B.-) ¿Qué valor de NPSHrequerido debe tener la bomba? C.-) ¿Cuál debe ser la presión leída en un manómetro colocado en la descarga de la bomba? Solución: Procederemos a diagramar la red de distribución de la instalación de bombeo de la siguiente manera.
- 13. Una vez realizadoel diagrama procedemos a sacar los datos. Datos: nt = 80 % = 0.80 g = 9.81 𝑚𝑡𝑠 𝑠2 Ƴ = 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚3 T = 80 °C PACCIONAMENTO = 12 HP Ø1 = 2.5 pulga mts 2.5 pulg x 1 𝑚𝑡𝑠 39.37 𝑝𝑢𝑙𝑔 Ø1 = 0.063 mts Ø2 = 2 pulga mts 2 pulgx 1 𝑚𝑡𝑠 39.37 𝑝𝑢𝑙𝑔 Ø2 = 0.050 mts HSS = Z1 = 4.5 mts y HSD = Z2 = 60 mts HFS = 0.75 m.c.a y HFD = 5.5 m.c.a Altitud = 1200 mts Q = 720 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛 a 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 720 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛 x 1𝑚𝑡𝑠3 60000 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛 = Q = 0.012 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 A.-) ¿Determinar si el arreglo descrito es capaz de impulsar agua hasta 60 metros de altura, si se considera un rendimiento de 80%? Antesde iniciarloscálculosdebohacerme lasiguiente pregunta. ¿Qué alturadebe dar la bomba? Para elloaplicaremoslasiguienteecuación. PUTIL = 𝑸 .𝑯 .Ƴ 𝟕𝟔 𝒏𝒕 enHP En este caso no aplicaremos nt
- 14. Ahoraprocedemosabuscar H (alturaquedebe darla bomba),entoncesprocedoabuscarHB a travésde la ecuaciónde Bernoulli entre los puntos(1) y(2) 𝑷𝟐 Ƴ + 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z2 = 𝑷𝟏 Ƴ + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z1 + H – HFA – HFD Como P1 y P2 están a la misma presión atmosférica se cancelan de tal manera que. 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z2 = 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z1 + H – HFA – HFD Despejo H sustituyo valores. H = 𝑽 𝟐 𝟐 𝟐 .𝒈 - 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z2 - Z1 + HFA + HFD H = 𝑽 𝟐 𝟐 − 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + (Z2 - Z1) + (HFA + HFD) Ahora procedo a sumar las alturas geodésicas (Z) (Z2 - Z1) = 60 mts – (-4.5 mts) = 64.5 mts Porque está por debajo de la bomba. Ahora sumamos las pérdidas de succión y descarga. HFA + HFD = 0.75 m.c.a + 5.5 m.c.a = 6.25 m.c.a Como conocemos el caudal aplicaremos la ecuación de continuidad para conocer la V1 y V2 de la siguiente manera. Q = V1 X A1 = V2 X A2 Despejamos a V1 y V2 tal que: V1 = 𝑄 A1 V1 = 4 𝑥 0.012 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 π (0.063mts )2 V1 = 3.85 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 V2 = 𝑄 A2 V2 = 4 𝑥 0.012 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 π (0.050mts )2 V2 = 6.11 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔
- 15. Ya con losdatos obtenidos sustituiremos valores en la siguiente ecuación. H = 𝑽 𝟐 𝟐 − 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + (Z2 - Z1) + (HFA + HFD) H = [(5.9)2 − (3.85)2] mts seg 2 𝑥 9.81 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔2 + 64.5 mts + 6.25 mts H =71.8 m.c.a H =71.8 m.c.a Esta es la altura que debe dar la bomba. Una vez conocida la altura (H) sustituiremos valores en la ecuación de potencia tal que. PUTIL = 𝑄 .𝐻 .Ƴ 76 𝑛𝑡 PUTIL = 0.012 𝑚𝑡𝑠3 𝑠𝑒𝑔 𝑥 71.8 𝑚𝑡𝑠 𝑥 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑡𝑠3 76 PUTIL = 11.33 𝐻𝑃 Ya una vezcalculadola potenciaútil procedemosacomparar losresultados utilizando la ecuación de rendimiento total de esta manera. nt= 𝑷𝒖𝒕𝒊𝒍 𝑷𝒂 Despejamos PACCIONAMIENTO y sustituimos valores de tal manera que. PACCIONAMIENTO = PUTIL nt PACCIONAMIENTO = 11.33 HP 0.80 PACCIONAMIENTO = 14 HP PACCIONAMIENTO = 14 HP Como en el enunciado del ejercicio nos dice que dispone de un motor de 12 HP; y como la PACCIONAMIENTO es de 14 HP esto quiere decir que se recomienda un motor o una bomba de mayor potencia. B.-) ¿Qué valor de NPSHREQUERIDO debe tener la bomba? Solución. Como el NPSHREQUERIDO lo da el fabricante, y el NPSHDISPONIBLE tiene que ver con la altura de la presiónatmosféricaporque el tanque estáabierto;encaso de que estuviesecerradose tomaríala presión del manómetro. Debido a esto tenemos que: NPSHDISPONIBLE > NPSHREQUERIDO En este caso el tanque de succiónestápor debajodel eje de la bomba, y la altura geodésica (Z) es negativa: (-HST); por lo tanto.
- 16. NPSHDISP= HB –HSS – HVAP – HFA Buscamos en la tabla N° 22 el valor de HB; la presión atmosférica a 1200 m.c.a HB = 8.892 m.c.a Luegobuscamosenla tablaN° 22 el valor de HVAP; la tensiónde vapora temperaturadel liquidode 80 °C HVAP = 4.800 m.c.a
- 17. Una vez obtenidoportablalosvaloresdeHB y HVAP procedemosasustituirvaloresenla siguiente ecuación. NPSHDISP= HB – HSS – HVAP – HFA Nota en este caso solamente tomamos en cuenta las pérdidas de succión o aspiración. NPSHDISP= 8.892 m.c.a – 4.5 mts – 4.800 m.c.a – 0.75 m.c.a NPSHDISP= - 1.158 m.c.a Debidoa que el resultadoobtenidofue negativo;esindicadorque nose puede bombear,entonces decimos que: Se presuriza el tanque ó se pasa la bomba por debajo del tanque de succión. C.-) ¿Cuál debe ser la presión leída en un manómetro colocado en la descarga de la bomba? Solución. Para conocerel valor de la presiónque tendráel manómetrocolocadoenladescargade la bomba. Aplicaremos la ecuación de Bernoulli o energía en los puntos (3) y (1) 𝑷𝟑 Ƴ + 𝑽 𝟑 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z3 = 𝑷𝟏 Ƴ + 𝑽 𝟏 𝟐 𝟐 .𝒈 + Z1 + HB – HFA Nota: en este caso solamente tomo en cuenta las pérdidas por succión o aspiración. Z3 = este punto está en el eje de la bomba. 0 = PATMOSFERICA = 0 Donde; V3 = V2; Z3 = 0 Z1 = 4.5 mts Tal que la ecuación queda de la siguiente manera. P3 = [ 𝑽 𝟏 𝟐 − 𝑽 𝟑 𝟐 𝟐 .𝒈 + 𝒁𝟏 + 𝑯𝑩 − 𝑯𝑭𝑨 ] X Ƴ
- 18. Sustituyendo valores tenemosque. P3 = [ (3.85 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 )2 – (5.9 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 )2 2∗ 9.81 𝑚𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔2 + (−4.5 𝑚𝑡𝑠)+ 71.8 𝑚. 𝑐. 𝑎 − 0.75 𝑚. 𝑐. 𝑎 ] X 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑡𝑠3 P3 = 65.53 mts x 1000 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑡𝑠3 P3 = 65531.26 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑡𝑠2