El documento trata sobre el análisis numérico y los métodos numéricos. Brevemente describe: 1) que es el análisis numérico y su importancia con la llegada de los ordenadores; 2) los métodos numéricos y su aplicación en diferentes áreas como ingeniería; 3) los diferentes tipos de errores como errores absolutos y relativos que surgen en los cálculos numéricos.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
ANALISIS NUMERICOS
INVESTIGACION
INTEGRANTE:
JEAN C. PEÑALOZA T.
CI: 21298566
PROFESOR: DOMINGO MENDEZ

2. Barquisimeto 21 de noviembre del 2017
Análisis Numérico
Es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una
forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y
crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos. El
análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero
en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas
simples.
Métodos Numéricos e importancia
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones
“aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples
de la aritmética. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones
diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas
Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial,
Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica,
etc…
Números de Máquina Decimales

3. "Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base
2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es
de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona
con el hecho de que las unidades lógicas primarias de las computadoras digitales
usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos. 1.2.2 Definición
de Número Máquina Decimal "Son aquellos números cuya representación viene
dada de la siguiente forma: ± 0, d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para
cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxi computadoras
IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Errores absolutos y relativos
Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la misma
que se ha elegido como unidad patrón. Por ejemplo, para medir longitudes las
comparamos con su unidad patrón, el metro.
Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.
Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida,
y a continuación, las unidades empleadas.
Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.
Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente,
en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).
Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos
tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

4. Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como
exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la
medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto.
Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el
error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque
puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Cota de errores absolutos y relativos
1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplo nº 1.-
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer
las siguientes aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018

5. b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125
Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender
la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan
los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error
de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática
del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para
obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento)
Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de
los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:
errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de
representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre
el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor
aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev =
valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.

6. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos
términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión
de cortar o truncar; por lo tanto, el redondeo produce un error bajo en comparación
con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión:
Aritmética de Punto Flotante
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de
máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.
Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto
significa que todos los números en un intervalo local están representados por un
solo número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0, d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que
resulte un número de la forma
fl yes= 0, d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³
5, se agrega uno (1) a d k para obtener a flyes; esto es, redondeamos hacia arriba.
Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea
así hacia abajo

7. Para que obtengas información, esta es la conexión:
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0, d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y,
que se representará por fl yes, se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras
decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es
simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl yes= 0, d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de
pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error
involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie
infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende
directamente del sistema numérico que se emplee.

8. Errores de suma y resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la
máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El
análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros
especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se
llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con
una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede
ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy
grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de
errores relativos y absolutos poco relevantes.