Este documento describe diferentes medidas de tendencia central y dispersión estadísticas. Explica que la media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiéndolos por el total. La moda es el valor más frecuente. La mediana divide los datos en dos partes iguales. También describe cómo calcular la varianza, desviación estándar, cuartiles, deciles y percentiles, los cuales miden la dispersión de los datos.

1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Estudiante:
Yorgelis Ramirez
C.I:25.793.862
Escuela De Turismo: 75
Docente:
Ranielina Rondon

2. La media aritmética:
Para calcular la media se suman todos los valores de los datos y se
divide por el número total.
Cuando los datos se repiten, es más fácil formar la tabla de
frecuencias y sumar los productos de cada valor por las veces que se
repite, después dividimos por el nº total de datos.
En el caso de variables agrupadas en intervalos, como en el ejemplo
que vemos aquí, xi es la marca de clase o punto medio de cada
intervalo.
Si sumamos a todos los valores un mismo número, la media aumenta
en esa cantidad.
Si multiplicamos todos los valores por un mismo número la media
queda multiplicada por el mismo número. Por ejemplo:
Por ejemplo, el tiempo de espera (en minutos) de cinco clientes de un
banco es: 3, 2, 4, 1 y 2.

3. El tiempo medio de espera es:
LA MODA:
La moda de una variable estadística es el valor más repetido, el que tiene
mayor frecuencia absoluta.
Si la variable es discreta se busca el valor de mayor frecuencia.
Si los datos están agrupados, la clase de mayor frecuencia se llama clase
modal. A veces se toma la marca de clase de la clase modal como valor de
la moda, pero es más preciso utilizar la fórmula:
Donde:
i es la clase modal,
i-1 e i+1 la anterior y posterior respectivamente,
ai es el extremo inferior,
ci la amplitud del intervalo,
ni la frecuencia absoluta.

4. Por ejemplo :
Se determina al jerarquizar los datos y hallar el número de observación [N
+ 1] / 2. Si hay un número par de observaciones, la mediana se extrapola
como el valor que está justo en el medio entre el valor de las
observaciones N / 2 y [N / 2] + 1.
Para estos datos ordenados, la mediana es 13. Es decir, el 50% de los
valores es menor que o igual a 13 y el 50% de los valores es mayor que o
igual a 13.
La mediana y los cuartiles:
Suponiendo que todos los datos están ordenados la mediana es el valor que
ocupa la posición central, de modo que la mitad de los datos son menores
y la otra mitad son mayores.
Cuando la variable es discreta la mediana es el primer valor cuya
frecuencia acumulada es mayor que n/2.
Cuando los datos están agrupados, buscaremos la clase mediana que es la
que su frecuencia absoluta acumulada sobrepasa la mitad de los datos
(n/2). En ocasiones basta tomar como valor de la mediana la marca de
clase de ésta pero obtenemos más precisión calculando:

5. Así como la mediana divide la distribución en dos partes con el mismo
número de datos, los cuartiles son los valores de la variable que la dividen
en cuatro partes. El primer cuartil, Q1, deja a la izquierda el 25% de los
datos, el segundo es la mediana y el tercero, Q3, deja el 75% de los datos
a la izquierda.
El cálculo se hace de forma análoga al de la mediana:
Por ejemplo:
Cuando los datos contienen valores atípicos, la media recortada puede
ser una mejor medida de la tendencia central que la media.
La línea azul representa la media
original, la cual es influenciada
notablemente por los valores extremos
que se encuentran más a la derecha. La
línea roja representa la media recortada,
que se desplaza hacia la izquierda
porque Minitab excluye los valores
extremos en el 5% más alto de los
datos.

6.  MEDIA: Media Aritmética, es la que se obtiene sumando los datos y
dividiéndolos por el número de ellos. Se aplica por ejemplo para resumir
el número de pacientes promedio que se atiende en un turno. Otro
ejemplo, es el número promedio de controles prenatales que tiene una
gestante.
 MEDIANA: Corresponde al percentil 50%. Es decir, la mediana divide a la
población exactamente en dos. Por ejemplo el número mediana de hijos
en el centro de salud “X” es dos hijos. Otro ejemplo es el número
mediana de atenciones por paciente en un consultorio.
MODA: Valor o (valores) que aparece(n) con mayor frecuencia. Una
distribución unimodal tiene una sola moda y una distribución
bimodal tiene dos. Útil como medida resumen para las variables
nominales. Por ejemplo, el color del uniforme quirúrgico en sala de
operaciones es el verde; por lo tanto es la moda en colores del
uniforme quirúrgico.

7. Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de
variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución,
indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media.
Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto
menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si
todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Ejemplo: se toman por ejemplo los tres conjuntos de datos que
se observan a continuacion.
Conjunto de datos 1: 0,5,10
Conjunto de datos 2: 4,5,6
Conjunto de datos 3: 5,5,5
• Los tres (3) tienen una media de cinco (5)
¿ Se debe por tanto concluir que los conjuntos de datos son
similares ?
Hay 2 tipos de medidas de dispersión , que son:
1. Medidas dispersión absolutas
2. Medidas dispersión relativa

8. *rango o recorrido :
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
*Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de
la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos
de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por signo

9. Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
* Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y
la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado
entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces
que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el
tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que
cero. Mientras más se aproxima a cero,
más concentrados están los valores de
la serie alrededor de la media. Por el
contrario, mientras mayor sea la
varianza, más dispersos están.

10. Ejemplo:
Calcular la varianza para datos no agrupados:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
* Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
*Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre
la desviación típica y la media.
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución:
Ø Desviación típica o estandar
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las
puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.

11. Cuartiles: Son los puntos que dividen a una distribución de valores en
cuatro porciones iguales o intervalos. Se representan por , , y se
ilustran en el esquema siguiente:
Q1=25%, Q2=50% Q3=75% Q4=100% =1,2,3,4
Ordenamos los datos de menor a mayor.
Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
Lo cuartiles .son representados como . El primer cuartil considera el
25% de la información a su izquierda y el 75% a la derecha; para el
segundo cuartil considera el 50% de la información tanto a la derecha
como a la izquierda, este coincide con la mediana; el tercer cuartil
considera el 75% de la información a la izquierda y el 75% a la
derecha. El cuarto cuartil, que no fue indicado en el gráfico considera
a toda la información. Por lo anterior podemos afirmar que los
cuartiles son tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro
partes iguales, como se puede apreciar el gráfico.

12. El cálculo para los cuartiles se determina a través de la siguiente
expresión:
donde :
k Orden del cuartil
Li=Límite inferior del intervalo que contiene al cuartil
Fa=Frecuencia acumulada considerada al intervalo donde se encuentra
Frecuencia del intervalo que contiene el cuartil
n=Número de mediciones
i=Amplitud del intervalo.
Ejemplo:
A continuación, se ofrece un ejemplo de cómo calcular el primer y tercer
cuartil (Q1 y Q3) en base a la cantidad de alumnos que han asistido a
clases a un colegio privado durante la primera quincena de clases (15
días) entre lunes y viernes.
En primer lugar se ofrecerán los datos estadísticos correspondientes a la
asistencia, según sucedió esta:
30 28 27 30 25
30 29 29 27 29
28 30 30 30 29
De esta forma, a fin de calcular el Q1 y el Q3, lo primero que debe hacerse
es ordenar de menor a mayor los datos:
25 27 27 28 28
29 29 29 29 30
30 30 30 30 30

13. *DECILES:
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en
diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al
90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles:
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla
de las frecuencias acumuladas.
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil.

14. *Quintiles: Se representan con la letra K. Es el primer quintil.
Separa a la muestra dejando el 20% de los datos a su izquierda.
Es el segundo quintil. Es el valor que indica que el 40% de los datos
son menores.
Es el tercer quintil. Indica que el 60% de los datos son menores que
él.
Es el cuarto quintil. Separa al 80% de los datos del otro 20%.
*Percentiles O Centiles:
Se representan con la letra C.
Es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de
la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son
mayores.
Cuando los datos no están agrupados en intervalos, los cuartiles,
así como el resto de las medidas de posición, tienen un valor claro.
Sin embargo, cuando tenemos una agrupación de los datos ya no es
tan sencillo realizar el cálculo. Sí que resulta claro ver en cuál de
los intervalos está el cuartil (quintil, decil o percentil) buscado, pero
para calcular su valor exacto necesitaremos usar una fórmula.

15. Ejemplo:
Moda: 35
Mediana: 38
Promedio 38.96 120
Cuartil 1 33 ∑ = =i 1Xi : 4675
Cuartil 3 45
Rango intercuartil 12
Quintil 3 40
Percentil 40 35

16. Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por
ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea
de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más
dispersos están los datos de un conjunto.
Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de números:
4,5,7,9,10,12,15
Solución: el rango será la diferencia entre los valores extremos.
Es decir,
15-4 = 11.

17. Los percentiles son los valores que dividen un conjunto ordenado de
datos en cien partes iguales. Utilizamos la fórmula para el percentil k:
Pk = k(n+1)/100.
Principales características:
Las distancias entre Centiles, expresadas en términos de las
puntuaciones directas, NO son constantes, pero las áreas entre
Centiles sí lo son.
En distribuciones simétricas, las distancias entre Centiles son
menores en la parte central de la distribución que en los extremos.
Usos:
Sus usos de los percentiles o tablas de crecimiento son cuadros de
medidas que permiten valorar y comparar el crecimiento de una niña o
un niño con relación a un rango estándar. Los parámetros que se
miden son estatura, peso y circunferencia de la cabeza. Los médicos
las utilizan fundamentalmente en los primeros años de vida.

18. La desviación típica o desviación estándar (denotada con el símbolo σ o s,
dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de
dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades
racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza
de la variable.
Ejemplo:
1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series
de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media:
Desviación típica:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

19. Media:
Desviación típica:

20. En estadística, cuando se desea hacer referencia a la relación entre el
tamaño de la media y la variabilidad de la variable, se utiliza el coeficiente de
variación.
Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media
aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de
variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta
problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es
variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores
sean positivos y su media dé, por tanto, un valor positivo. A mayor valor del
coeficiente de variación mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y
a menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la variable. Suele
representarse por medio de las siglas C.V.
Ejemplo:
Si usted es el inspector de control de calidad de una planta embotelladora de
leche que embotella el producto en recipientes pequeños y grandes. Usted
toma una muestra de cada producto y observa que el volumen medio de los
recipientes pequeños es de una 1 taza, con una desviación estándar de 0.08
tazas, y el volumen medio de los recipientes grandes es 1 galón (16 tazas),
con una desviación estándar de 0.4 tazas. Aunque la desviación estándar del
recipiente de un galón es cinco veces mayor que la desviación estándar del
recipiente pequeño, sus coeficientes de variación (COV) apoyan una
conclusión diferente:

21. Recipiente grande Recipiente pequeño
CV = 100 * 0.4 tazas / 16 tazas = 2.5 CV = 100 * 0.08
tazas / 1 tazas = 8
El coeficiente de variación del recipiente pequeño es más de tres
veces mayor que el coeficiente de variación del recipiente grande. En
otras palabras, aunque el recipiente grande tiene una mayor
desviación estándar, el recipiente pequeño presenta una variabilidad
mucho mayor con respecto a su media.
Características:
El coeficiente de variación no posee unidades.
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno. Sin
embargo, en ciertas distribuciones de probabilidad puede ser 1 o
mayor que 1.
Para su mejor interpretación se expresa como porcentaje.
Depende de la desviación típica, también llamada "desviación
estándar", y en mayor medida de la media aritmética, dado que
cuando ésta es 0 o muy próxima a este valor el C.V. pierde
significado, ya que puede dar valores muy grandes, que no
necesariamente implican dispersión de datos.

22. El coeficiente de variación es común en varios campos de la
probabilidad aplicada, como teoría de renovación y teoría de colas. En
estos campos la distribución exponencial es a menudo más importante
que la distribución normal. La desviación típica de una distribución
exponencial es igual a su media, por lo que su coeficiente de variación
es 1. La distribuciones con un C.V. menor que uno, como la distribución
de Erlang se consideran de "baja varianza", mientras que aquellas con
un C.V. mayor que uno, como la distribución hiperexponencial se
consideran de "alta varianza". Algunas fórmulas en estos campos se
expresan usando el cuadrado del coeficiente de variación, abreviado
como S.C.V. (por su siglas en inglés).
Utilidad en la estadística:
La utilidad de la estadística ocupa el puesto que el coeficiente de
variación no se basa en unidades, se puede utilizar en lugar de la
desviación estándar para comparar la dispersión de los conjuntos de
datos que tienen diferentes unidades o diferentes medias.
Coeficiente de variación la utilidad que tiene en estadística, cuando se
desea hacer referencia a la relación entre el tamaño de la media y la
variabilidad de la variable, se utiliza el coeficiente de variación. Su
fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media
aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de
variabilidad que la desviación típica o estándar.