El documento describe conceptos y cálculos relacionados con medidas de tendencia central y dispersión. Define la media aritmética, mediana y moda como medidas de tendencia central y explica cómo calcularlas. También explica el cálculo de medidas de dispersión como rango, desviación media, varianza y desviación típica. Por último, describe el cálculo de cuartiles como medidas de posición que dividen una distribución en cuatro partes iguales.

1. Andris ramires

2. Concepto e importancia de medida de tendencia central
Concepto : Al describir grupos de
diferentes observaciones, con
frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este
número que, para tal fin, suele situarse
hacia el centro de la distribución de
datos se
denomina medida o parámetro de
tendencia central o de centralización.
Se debe tener en cuenta que existen
variables cualitativas y variables
cuantitativas, por lo que las medidas de
posición o medidas de tendencia se
usan de acuerdo al tipo de variable que
se está observando, en este caso se
observan variables cuantitativas.
Importancia : Principalmente es de vital
importancia saber que estas medidas describen
un conjunto de elementos por la forma en que
se comporta el centro de su distribución. Las
medidas de tendencia central (media, mediana y
moda) sirven como puntos de referencia para
interpretar las calificaciones que se obtienen en
una prueba.Al describir las características típicas
de conjuntos de datos y, como hay varias formas
de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de
promedios. Se les llama medidas de tendencia
central porque general mente la acumulación
más alta de datos se encuentra en los valores
intermedios.

3. Tipos de promedios: matemáticos y estadísticos
En matemáticas y estadística una media o p
romedio es una medida de tendencia
central que según la Real Academia
Española resulta al efectuar una serie
determinada de operaciones con un
conjunto de números y que, en
determinadas condiciones, puede
representar por sí solo a todo el conjunto».
El promedio se emplea con frecuencia
como mecanismo para resumir un conjunto
de cantidades o números, sobre todo si es
grande, a fin de descubrir los datos
estadísticos. Como ejemplos cabe citar las
edades promedio de los estudiantes de una
universidad, el salario semanal promedio de
los trabajadores manufactureros, el ingreso
familiar promedio de una nación, etc.
Tipos: Los promedio más comunes conocidos
en estadística son 1).- La media aritmética,
2).- la mediana, 3).- la moda, 4).- la
media geométrica y 5).- la media
armónica. Cada promedio tiene sus
características particulares. La
determinación de cuál de los diferentes
tipos de promedios deberá ser usado
bajo diferentes circunstancias depende
grandemente de las características de los
promedios. En general, los tres primeros
promedios son usados más
frecuentemente los dos últimos son
usados solamente en casos muy
especiales.

4. Definición de tipo:
La media Aritmética:
es el valor obtenido
por la suma de todos
sus valores dividida
entre el número de
sumadores.
La Mediana:
es un valor de la variable que
deja por debajo de sí a la mitad
de los datos, una vez que éstos
están ordenados de menor a
mayor. Por ejemplo, la mediana
del número de hijos de un
conjunto de trece familias, cuyos
respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3,
2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto
que, una vez ordenados los
datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3,
4, el que ocupa la posición
central es 2
La moda: es el dato más repetido
de la encuesta, el valor de la variable con
mayor frecuencia absoluta En cierto
sentido la definición matemática
corresponde con la locución "estar de
moda esto es, ser lo que más se lleva.
Su cálculo es extremadamente sencillo,
pues solo necesita un recuento. En
variables continuas, expresadas en
intervalos, existe el denominado intervalo
modal o, en su defecto, si es necesario
obtener un valor concreto de la variable, se
recurre a la interpolación
Por ejemplo, el número de personas en
distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-
6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se
repite es 5, entonces la moda es 5.
La media
geométrica de una cantidad
arbitraria de números (por
decir un números) es la raíz n-
ésima. del producto de todos los
números, es recomendada para
datos de progresión geométrica,
para promediar razones, interés
compuesto y números índices.
La media armónica:
(designada usualmente
mediante H) de una cantidad finita
de números es igual al recíproco o
inverso, de la media aritmética de
los recíprocos de dichos valores y
es recomendada para promediar
velocidades.

5. Cálculo y aplicación de la media aritmética, promedio
geométrico, la moda y la mediana:
Calculo y aplicación de
media aritmética:
Promedio geométrico:
PROPIEDADES
- La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio
porcentual promedio en una serie de números.
- Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento
porcentual promedio de series de datos, a través del tiempo.
- Es una medida de tendencia central por lo general menor que la media
aritmética salvo en el extraño caso en que todos los incrementos
porcentuales sean iguales, entonces las dos medias serán iguales.
- Se le define como la raíz enésima del productos de "n" valore. Cuando
los datos son bastantes o cantidades grandes, para facilitar el calculo se lo
debe simplificar pero sin alterar su naturaleza, para lo cual se puede
utilizar los logaritmos de base 10.
MÉTODOS DE CÁLCULO
Para Datos No Agrupados

6. La moda:
La moda es simplemente el valor que
veces.
Para calcular la moda tienes que ordenar los
números que te dan.
Mira estos números:
3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29
Ordenados quedan:
3, 5, 7, 12, 13, 14, 20, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56
Así es más fácil ver qué números aparecen más
veces.
La mediana:
La mediana, llamada algunas veces media
posicional, es el valor del término medio que
divide una distribución de datos ordenados en
dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos
se ubican sobre la mediana o hacia los puntajes
altos y el 50% restante hacia los puntajes bajos.
Su aplicación se ve limitada, ya que solo
considera el orden jerárquico de los datos y no
alguna propiedad propia de los datos, como en
el caso de la media aritmética.
MÉTODOS DE CÁLCULO Para Datos No
Agrupados
a) Si el número n de datos es impar, la
mediana es el dato que se encuentra a la
mitad de la lista. Para calcular su posición se
aplica la siguiente ecuación

7. Cálculo a partir de series simples y agrupadas de las medidas de
dispersión
Las medidas de dispersión muestran la
variabilidad de una distribución, indicando por
medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy
alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese
valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor
sea, más homogénea será a la media. Así se
sabe si todos los casos son parecidos o varían
mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una
distribución tiene respecto de su media, se
calcula la media de las desviaciones de las
puntuaciones respecto a la media aritmética.
Pero la suma de las desviaciones es siempre
cero, así que se adoptan dos clases de
estrategias para salvar este problema. Una es
tomando las desviaciones en valor absoluto
(desviación media) y otra es tomando las
desviaciones al cuadrado (varianza).
Rango estadístico:
El rango o recorrido estadístico es la
diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo en un grupo de
números aleatorios. Se le suele
simbolizar con R
Requisitos del rango Ordenamos los
números según su tamaño.
Restamos el valor mínimo del valor
máximo
Rango= (ϺAX-MIN)
Desviación media:
La desviación respecto a la media es la
diferencia entre cada valor de la variable
estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de
los valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media.
La desviación media se representa por signo

8. Ejemplo de desviación media:
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la
expresión de la desviación media es:
Varianza:
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por signo:
Ejercicios de varianza:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

9. Observaciones sobre la varianza:
1 La varianza, al igual que la media, es
un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar
la media tampoco será posible hallar
la varianza.
3 La varianza no viene expresada en
las mismas unidades que los datos, ya
que las desviaciones están elevadas al
cuadrado.
Desviación típica:
La desviación típica es la raíz cuadrada
cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media
de los cuadrados de las puntuaciones
de desviación.
La desviación típica se representa por:
Desviación típica para datos agrupados:
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes
expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Observaciones sobre la desviación típica
1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es
un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco
será posible hallar la desviación típica.
3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será
la concentración de datos alrededor de la media.

10. Cálculo y aplicación a partir de series numéricas las medidas de
posición
Son indicadores usados para señalar que
porcentaje de datos dentro de una distribución
de frecuencias superan estas expresiones, cuyo
valor representa el valor del dato que se
encuentra en el centro de la distribución de
frecuencia, por lo que también se les llama "
Medidas de Tendencia Central ".
Pero estas medidas de posición de una
distribución de frecuencias han de cumplir
determinadas condiciones para que lean
verdaderamente representativas de la variable a
la que resumen.. A continuación se describen las
medidas de posición más comunes utilizadas
en estadística, como lo son:
Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una
distribución en 4 partes iguales: primero,
segundo y tercer cuartil.
Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10
partes iguales: (primero al noveno decil).
Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a
una serie en 100 partes iguales: (primero al
noventa y nueve percentil).
Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
Aquel valor de una serie que supera al
25% de los datos y es superado por el
75% restante.
Formula de Q1 para series de Datos
Agrupados en Clase
Formula General:
Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la formula:
Qk = k (N/4)
En donde:
Qk = Cuartil número 1, 2, 3 ó 4
N = total de datos de la distribución.
Para cada cuartil, su ecuación se establece así:
Q1 = 1 (N / 4) Q2 = 2 (N / 4) Q3 = 3 (N / 4) Q4 = 4 (N / 4)

11. Ejemplos resueltos sobre Cuartiles.
1. En 20 pruebas de evaporación, de la sustancia MW008, se registran las siguientes variaciones de
temperaturas a presión atmosférica: 41°, 50°, 29°, 33°, 40°, 42°, 53°, 35°, 28°, 39°, 37°, 43°, 34°, 31°,
44°, 57°, 32°, 45°, 46°, 48°.
Calculando el valor del cuartil 1:
Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.
28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°.
Paso 2: Ubicar la posición del valor que le corresponde al Q1:
Q1 = k (N/4) = 1 (20/4) = 1(5) = 5
Al revisar la serie de datos la posición 5 le corresponde a 33°
Paso 3: El valor para el Q1 es 33°
Nos dice: que los valores entre 28° y 33° representan el 25 % de la serie de datos.

12. Calculando el valor del cuartil 2:
Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.
28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°,
53°, 57°.
Paso 2: Ubicar la posición del valor que le corresponde al Q2:
Q2 = k (N/4) = 2 (20/4) = 2 (5) = 10
Al revisar la serie de datos la posición 10 le corresponde a 33°
Paso 3: El valor para el Q2 es 40°
Nos dice: que la temperatura que deja bajo si el 50 % de la serie de datos es
40°.

13. Calculando el valor del cuartil 3:
Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.
28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°,
53°, 57°.
Paso 2: Ubicar la posición del valor que le corresponde al Q3:
Q3 = k(N/4) = 3 (20/4) = 3 (5) = 15
Al revisar la serie de datos la posición 15 le corresponde a 45°
Paso 3: El valor para el Q3 es 45°
Nos dice: que los valores entre 28° y 45 representan el 75 % de la serie de
datos.

14. calculando el valor del cuartil 4:
Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.
28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°,
57°.
Paso 2: Ubicar la posición del valor que le corresponde al Q4:
Q4 = k (N/4) = 4(20/4) = 4(5) = 20
Al revisar la serie de datos la posición 20 le corresponde a 57°
Paso 3: El valor para el Q4 es 57°
Nos dice: la temperatura que deja bajo si el 100 % de la serie de datos es 57°.
Es de hacer notar que el Q4 coincide con el último valor de la serie de datos, por
ello, su cálculo no se efectúa, se da por entendido que siempre el valor del cuartil
será el último valor de la serie de datos.

15. Ejercicios de medida de tendencia central

16. Ejercicios de medida de tendencia central

17. Citas referenciales
Internet: https://es.wikipedia.org
Web: Wackerly, Dennis D; Mendenhall, William;
Scheaffer, Richard L. (2002). «1.3. Descripción de un
conjunto de mediciones: métodos
numéricos». Estadística matemática con
aplicaciones (6ª edición). Cengage Learning
Editores. P.
Pagina web , documento pdf:
www.fic.umich.mx/~lcastro/3tendenciacen
tral.pdf