Este documento presenta una unidad sobre inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Incluye definiciones de desigualdades, procedimientos para resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones con valor absoluto e inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. También contiene ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen estos conceptos.

1. Unidad: Inecuaciones Lineales
Contenido: Desigualdades e intervalos
Inecuaciones de 1° grado con una incógnita.
Inecuaciones de 1° grado con dos incógnitas.
Sistema de inecuaciones.
Nivel: Tercero Medios: A-B-C-D
Aprendizaje Esperado: Utilizar desigualdades para representar conjuntos numéricos
Conocer y aplicar procedimientos para resolver inecuaciones y
sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
Graficar la solución de una inecuación o de un sistema de
inecuaciones lineales con dos incógnitas.
INSTRUCCIONES:
1) Leer artículos sobre desigualdades.
2) Transcriba toda la guía- apunte a su cuaderno.
3) Desarrolle los ejercicios siguiendo los ejemplos dados para cada concepto.
4) Resuelva la evaluación final enviándola al correo de su profesora.
cgmendezm@gmail.com el 25 de Octubre 2011
5) Sugerencia revisar capítulo n°4 del texto.
DESIGUALDADES
Los símbolos: >, <, ≥ y ≤ son símbolos de desigualdad, es decir, símbolos de
comparación entre dos cantidades del mismo tipo, o valores de una misma variable.
a > b es una desigualdad , se lee: a mayor que b
o también b menor que a

2. También están los signos : ≤ , ≥ aquellos que incluyen la igualdad.
Uso de paréntesis: Los paréntesis se asocian a los signos de desigualdad
Para > , < se usa ⇒ ] [
Para ≤ , ≥ se usa ⇒ [ ]
Ejemplo: ] [10,1− representa a todos los números x que cumplen: -1 < x <
10
[ [+∞,5 representa a todos los números x que cumplen: 5 ≤ x
+ ∞ y - ∞ no son números , estos símbolos se utilizan para representar el
concepto de infinito.
Las desigualdades representan un conjunto de elementos, luego se pueden representar
en Forma Conjuntista y en Forma Gráfica.
Ejemplo: F. Conjuntista x > 5 F. Gráfica
F. Conjuntista x ≥ 5 F.
Gráfica
F.Conjuntista 3> x ≥ 8 F. Gráfica
Ejercicio n°1: A) Escriba el símbolo > o < según corresponda.
i) 4_____ -2 ii) - 3 _____ - 2 iii) - 3 ______ 5

3. iv) 5 _____ 6 v) 7 _____ - 5 vi) 0 ______- 1
B) Complete el siguiente cuadro, escribiendo en símbolos o la frase
del significado:
En Símbolo Significado en forma verbal
x es menor o igual que tres
x > 1
x es mayor que 5
x es menor a menos dos
x ≤ - 9
C) Complete con el signo de pertenencia ( ∉∈ o ) según corresponda:
i) -1 _____[ ]8,1− ii)
2
1
_____ [ ]1,1− iii) - 2 ____ ] ]1,1−
iv)
4
3
_____ ] ]0,1− v) 3 _____ ] ]3,0 vi) 0_____ ] [1,∞−
D) Complete la siguiente tabla:
Notación Científica Notación Intervalos Gráficos
{ }12 −<<−ℜ∈ xx
] ]0,2−  [ [5,2

4. { }96 <<ℜ∈ xx
E) Escriba las desigualdades de los enunciados verbales:
i) Todos los números reales mayores o iguales que 6.
ii) Todos los números reales menores que 1 y mayores que – 3.
iii) Todos los números reales mayores que 5.
iv) Todos los números reales menores que - 8
Inecuaciones de Primer grado con una incógnita

5. Definición: es una desigualdad en que intervienen números reales y una incógnita
de primer grado.
Resolver una inecuación es determinar el conjunto de números reales que
satisfacen la desigualdad, es decir, que la hacen verdadera.
Para resolver una inecuación es necesario aplicar las propiedades de las
desigualdades, o sea, cuando hacemos una operación a un lado de la
desigualdad, debemos hacerla también al otro lado de la desigualdad.
Las operaciones válidas para resolver desigualdades son exactamente las mismas
que para resolver ecuaciones: sumar y restar, multiplicar y dividir, elevar a
potencia, extraer raíces.
Ejemplo : Si tenemos la inecuación 2x + 5 > 1
Luego 2x + 5 > 1 / + (- 5)
2x > - 4 / : ( 2 )
x > - 2
Por lo tanto, el conjunto solución es { }2−>ℜ∈ xx
Gráficamente es
Expresado en par ordenado es ] [+∞− ,2
Al multiplicar o dividir a ambos lados en una desigualdad por un número
negativo CAMBIA la desigualdad por su contraria.
Cambiar > por < y viceversa
cambiar ≥ por ≤ y viceversa
Ejercicio n°2: Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y
represéntelas gráficamente y como par ordenado.
1) 2x ≤ 4 2) -4x + 3 ≥ 7 3) 4x - 2( x – 3) ≥ 0
4) 3( 1 – x ) < 6 5)
3
2
2
3
3
1
2
−≥+
− xx
6) )2(
2
1
)1(
4
3
−<− xx

6. 7)
2
1
3
21 xx −
>
−
8) 1
3
26
<
+
−
x
x
9)
2
63
42
62
5
3 −
−≥
+
+
− xxxx
Inecuación en Valor Absoluto
Las inecuaciones de la forma | x | < a , genera el sistema de dos inecuaciones,
relacionadas con el conectivo y ( ∧ ), donde ambas soluciones son las soluciones
de la inecuación planteada.
Para desarrollar la inecuación | x | < a ( por definición de valor absoluto)
se descompone en : x < a ∧ x < -a
Ejemplo: | x + 3 | ≤ 5
Luego x + 3 ≤ 5 ∧ x + 3 ≥ -5
x ≤ 2 ∧ x ≥ -
8
Solución: { }28 ≤≤−ℜ∈ xx
Gráficamente:
Par ordenado: [ ]2,8
Ejercicios n°3
Resuelva las siguientes inecuaciones:
i) | x - 2 | ≤ 8 ii) | 3 – 2x | > 5
iii) | 3x – 5 | < 2 iv)
2
3 x−
≥ - 6
Inecuaciones con dos Variables

7. Estas inecuaciones representan un semi-plano solución.
Para resolver una inecuación de dos variables es necesario:
• Representar en un plano cartesiano la recta de la ecuación asociada.
• Comprobar si el par ordenado (0,0) satisface la inecuación.
Si en la inecuación aparecen los signos <, > la recta se representa con línea punteada.
Si en la inecuación aparecen los signos ≤, ≥ la recta se representa con línea continua.
Ejemplo: 2x + 3y < 6
Se debe hacer determinar 2 puntos, para representar la recta asociada
Luego: 2x + 3y = 6
Si x= 0 se tiene 2*0 + 3y = 6 si y =0 se tiene 2x + 3*0 = 6
2x = 6 3y = 6
x = 3 y = 2
comprobaremos si el punto (0,0) cumple con la desigualdad: 2*0 + 3*0 < 6 Verdadero
luego gráficamente el conjunto solución es:
Ejercicio n°4: Determine gráficamente la región del plano, para cada caso:
A) x + y ≤ 3
B) y > 2 – x
C) 4y - x < 4

8. Sistema de Inecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
La solución se obtiene por la intersección de los semiplanos que son solución de cada
una de las inecuaciones.
Ejemplo: 3x + 2y ≤ 12
x + y ≤ 8
Para 3x + 2y ≤ 12 si x=0 y= 6
y=0 x= 4
Para x + y ≤ 8 si x=0 y = 8
y=0 x=8
Evaluación:
Nombre:_________________________________ 3°año _______ n° lista: _____
Coloque color rojo a la letra de la alternativa correcta:
1) Si A es el conjunto A = { }61 <<ℵ∈ xx entonces A es:
A) { }6,5,4,3,2,1 B) { }5,4,3,2 C) { }5,4,3,2,1 D) { }6,5,4,3,2 E) N.A
2) Dado el conjunto P= { }64 >≤ℜ∈ óxxx ¿cuál (es) de las afirmaciones son
verdaderas?
I. 5 no pertenece a P
II. 4 pertenece a P

9. III. 0 no pertenece a P
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
3) El intervalo 



− 5,
3
2
puede escribirse como:
A)






≤≤−ℜ∈ 5
3
2
xx B)






<<−ℜ∈ 5
3
2
xx C)






<≤−ℜ∈ 5
3
2
xx
D)






−≤≤ℜ∈
3
2
5 xx E)






−≤<ℜ∈
3
2
5 xx
4) Si p pertenece a ℜ, tal que, 0 < p < 1, entonces se cumple que:
A) p 2
= 2p B) p 2
> p 3
C) p 2
< p 3
D) p 2
> 4p E) p 3
< -1
5) La inecuación 2x + 3y ≤ 12 se cumple para el par ordenado de números
reales:
A) (6, 1) B) (-1, 6) C) ( 2, 2 ) D) ( 0, 9) E) 





3
7
,
2
7
6) El par ( -1, 7) satisface la desigualdad:
A) 3x – 7y > 8 B) 2x + y ≥ 9 C) x + y ≤ x D) - x + y ≥ y E)
x
1
+
y
1
< -3
7) De qué inecuación es solución el siguiente gráfico
A) x> 5
B) x< 5
C) x ≥5
D) x ≤5
E) x = 5

10. 8) Si - 6 ≥ 4x , entonces se deduce que:
A) x ≥ -
2
3
B) x ≤ -
2
3
C) x ≤ - 10 D) x > - 10 E) ) x > - 10
9) ¿Cuál es la solución, en el conjunto Ζ del sistema: 2x + 5 < x + 10
2x - 7 > 9 ?
A) {5 , }8 B) { 6,5 ,7, }8 C) Φ D) {6 , }7 E) {7 , }8
10) Al determinar el valor de x de la inecuación
8
12 +x
<
3
43 −x
B) x >
35
18
B) x >
18
35
C) x <
35
18
D) x <
18
35
E) x =
35
18
11) El sistema x ≥ 2 e y ≥ 2 está representado por el gráfico:
A)
B)
C)
D)
E) Ninguno de los Anteriores