Binomio a cualquier potenica solucionado con Pascal y con binomio de newton, Factor común, Factor común por agrupación de términos, Diferencia de cuadrados, Suma y diferencia de cubos, Trinomio de la forma x^2+bx+c, Trinomio de la forma ax^2+bx+c, División sintética (Regla de Ruffini)

1. Docente: Brian Bastidas
Casos Factorización
Temas a trabajar:
• Binomio a cualquier potencia
• Binomio de Newton
• Factor común
• Factor común por agrupación de términos
• Diferencia de cuadrados
• Suma y diferencia de cubos
• Trinomio de la forma + +
• Trinomio de la forma + +
• División sintética (regla de Ruffini)
Binomio a cualquier potencia
Sabemos que al solucionar un número elevado a una potencia debemos multiplicar n veces la base, para nuestro caso
n veces b, = ∙ ∙∙∙ , lo mismo haremos al solucionar un binomio elevado:
+ = + + … +
En este caso sería multiplicar n veces + , sabemos que al multiplicar estos paréntesis debemos realizar la ley
distributiva y luego simplificar los términos semejantes
Ejemplo:
• + = + + = + + + = + 2 +
Teniendo el resultado de + , podremos utilizarlo con las propiedades de los exponentes para solucionar +
• + = + + = + 2 + +
+ = + + 2 + 2 + +
+ = + 3 + 3 +
De la misma forma podemos solucionar +
• + = + + = + 3 + 3 + +
+ = + + 3 + 3 + 3 + 3 + +
+ = + 4 + 6 + 4 +
En resumen:
• + = + 2 +
• + = + 3 + 3 +
• + = + 4 + 6 + 4 +

2. Pero al ser un número más grande, hacer la ley distributiva cada vez es más largo y tedioso, para lo cual utilizaremos el
triángulo de pascal
Con el triángulo de pascal:
+
= ! " !
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
n=10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
+
Del triángulo de pascal sacamos los coeficientes del polinomio que van a ir multiplicados por el primer término en nuestro
caso que comienza con el exponente n y disminuye de a uno hasta llegar a 0 y el segundo término en nuestro caso
comienza elevado a la 0 y va aumentando de a uno su exponente hasta llegar a n (para recordar, todo número elevado a
la 0 es igual a 1 por eso en el primer término no aparece y en el último no aparece )
De forma general escribimos:
+ = + #$
+ #
+ ⋯ +
= ! & á ()! * !
+ +
= +
+ 5 + 10 + 10 + 5 + +
Ejemplo
2/ − 31 +
= 2/ +
+ 5 2/ −31 + 10 2/ −31 + 10 2/ −31 + 5 2/ −31 + −31 +
2/ − 31 +
= 32/$2
+ 5 16/3
−31 + 10 8/5
915
+ 10 4/ −2718
+ 5 2/ 811$
+ −2431$+
2/ − 31 +
= 32/$2
− 240/3
1 + 720/5
15
− 1080/ 18
+ 810/ 1$
− 2431$+
Ejemplo con fracción:
9
2
3
/+
− 41: = 9
2
3
/+
: + 2 9
2
3
/+
: −41 + −41
9
2
3
/+
− 41: =
4
9
/$2
−
16
3
/+
1 + 161

3. Pasos:
1. Reemplazamos en la fórmula que sacamos con los coeficientes del triángulo de pascal.
2. Solucionamos las potencias.
3. Multiplicamos números si los hay y variables iguales si las hay.
Ejercicios:
a) 2/ + 1
b) 3/ + 1 +
Binomio de newton
+ = ;
0
< + ;
1
< #$
+ ;
2
< #
+ ⋯ + ; <
=
= ;*< =
!
*! − * !
+ = ;
5
3
< =
5!
3! 5 − 3 !
=
120
6 2
= 10
Ejercicio:
4/ + 3 = 1 4/ + 3 4/ 3 + 3 4/ 3 + 1 3
4/ + 3 = 64/5
+ 3 16/ 3 + 3 4/ 9 + 27
4/ + 3 = 64/5
+ 144/ + 108/ + 27
Factor Común
Buscar el factor que se repite en todos los términos de la expresión algebraica, entre los números sacaremos el máximo
como un divisor (M.C.D.), y entre las letras, la variable que se repite en todos los términos y cogeremos el menor
exponente.
Ejemplos:
• 10/1 + 5/?
Factor común 5/ y su factorización es:
5/ 21 + ?
• 27/8
15
+ 108/3
18
+ 54/@
1$
+ 72/5
1$+
Factor común: 9/5
15
y su factorización es:
9/5
15
3/ + 12/ 1 + 6/15
+ 818
• 5/ 3/ − 1 + 4/ 3/ − 1 − 2 3/ − 1
Polinomio como factor común
3/ − 1 5/ + 4/ − 2

4. Ejercicios:
• 5/ 31 + 2 − 20/ 31 + 2 − 31 − 2
• 36/ ? 1 − 108/+
1 ? − 48/ ?+
+ 132/@
1 ?5
132 108 48 36 2
66 54 24 18 2
33 27 12 9 3
11 9 4 3
A. . C. = 12
12/ ? 3? 1 − 9/ 1 − 4/? + 11/ 1 ?
Factor Común por Agrupación
Cuando toda la expresión algebraica no tiene un solo termino como factor común, podemos aplicar la estrategia de
agrupar algunos términos que, si tengan factor común, buscando que en la factorización nos queden polinomios iguales
que podamos sacar de nuevo como factor común.
Ejemplos:
a) −3 / + 3/ + 41 − 4 1
−3 / + 3/ + 41 − 4 1
3/ − + 1 + 41 1 −
1 − 3/ + 41
b) 6 − 14 / + 9 − 21 /
6 + 9 + −14 / − 21 /
3 2 + 3 − 7/ 2 + 3
2 + 3 3 − 7/
Ejercicios:
• 3 / − 21 − 2/ + 3 1
• 2 + 2 − − 2 + − 1

5. Diferencia de Cuadrados
Dos términos que son cuadrados perfectos y se están restando se les llama una diferencia de cuadrados y se factoriza
sacando la raíz cuadrada de cada término y expresándola en un binomio multiplicado por su conjugado.
− = + −
− + −
−
Ejemplo:
25/5
− 14413
5/ − 121 = 5/ + 121 5/ − 121
Ejercicios:
• 100D5
− 64ℎ "3
• −121/ + 361
Suma y Diferencia de Cubos
Dos términos que son cubos perfectos y se están sumando o restando, se factoriza de la siguiente forma:
Diferencia de cubos:
− = − + +
Suma de cubos:
+ = + − +
Ley distributiva:
− + +
+ + − − −
−
Ejemplos:
• 8 5
− 1 = 2 − 1 = 2 − 1 2 + 2 1 + 1
2 − 1 4 + 2 + 1

6. • " +2 = " + 2 " − 2" + 4
Caso especial: Se puede factorizar con diferencia de cuadrados o diferencia de cubos.
64 5
− 1 = 4 − 1 = 8 − 1
Ejercicios:
• −2715
+ 343?8
• −125/ − 7291$+
Trinomio de la forma + +
Buscar dos números p y q tales que multiplicados den c y sumados o restados den b
/ + * / + F
/ + F/ + */ + *F
/ + F + * / + *F
Si c es positivo: como a c llegamos multiplicando, la única forma que el resultado de dos números multiplicados dé positivo
es que los dos sean de igual signo, por lo tanto, buscamos dos números que multiplicados den c y sumados den b, el signo
de p y q deberá ser el mismo de b.
Ejemplos +c:
/ + 9/ + 20 = / + 5 / + 4
/ − 13/ + 42 = / − 7 / − 6
Si c es negativo: como a c llegamos multiplicando, la única forma que el resultado de dos números multiplicados dé
negativo es que los dos sean de diferente signo, por lo tanto, buscamos los dos números que multiplicados den c y
restados den b y el signo de b nos define en donde colocaremos el número mayor, debido a, que el número mayor
mantiene el signo de la resta.
Ejemplos -c:
/ + 3/ − 18 = / + 6 / − 3
/ − 8/ − 48 = / − 12 / + 4
Ejemplos:
• /3
+ 17/ + 60 = / + 12 / + 5
• / − 19/ + 48 = / − 16 / − 3
• / + / − 30 = / + 6 / − 5
• 2/ − 9 2/ − 52 = 2/ − 13 2/ + 4

7. Ejercicios:
• /3
+ 15/ + 54 =
• / − 17/ + 60 =
• / + 10/ − 96 =
• 5/ − 14 5/ − 72 =
Trinomio de la forma + +
Pasos:
1. Vamos a multiplicar por a / + / +
2. Vamos a escribir el primer término al cuadrado / + / +
3. Intercambiar a y b en el segundo termino / + / +
4. Factorizar de la forma anterior / + " / +
5. Dividir entre a
GHIJ GHI
G
sacar factor común en el numerador para simplificar con el denominador
Ejemplos:
• 6/ + 11/ − 30 = 6 = 11 = −30
1. (6/ + 11/ − 30 6
2. 6/ + 6 11/ − 180
3. 6/ + 11 6/ − 180
4. 6/ + 20 6/ − 9
5.
HI$2 H#
5
3/ + 10 2/ − 3
• 16/ − 24/ + 8 = 8 2/ − 3/ + 1
1. 2/ − 3/ + 1 2
2. 2/ − 2 3/ + 2
3. 2/ − 3 2/ + 2
4. 2/ − 2 2/ − 1
5.
H#$ H#$
8 / − 1 2/ − 1
Ejercicios:
• 6F + 7F + 2 = 3F + 2 2F + 1
• 5& − 13& − 6 = & − 3 5& + 2

8. División Sintética (Regla de Ruffini):
Se buscan los múltiplos del ultimo término de nuestro polinomio, en la división vamos a colocar los coeficientes del
polinomio, bajamos el primer término y comenzamos el proceso con uno de los múltiplos (A ), para poner el numero en
diagonal multiplicamos por Mn y cuando necesitamos el numero en vertical sumamos
K ! " = $/ + / #$
+ / #
+ ⋯ + #$/ +
$ … #$ A
A1 A2 … A − 1 −
$ L1 L2 … L − 1 0
$ = primer coeficiente del polinomio
A1=Multiplicación 1 = $ ∙ A
L1=Suma 1 = + A1
A2 = L1 ∙ A
L2 = + A2
… Sucesivamente
A − 1 = A * & ! )" & &
L − 1 = #$ + A − 1
La ultima multiplicación debe ser igual al inverso aditivo de
A ∙ L − 1 = −
Cuando termine el ultimo termino en 0, significa que hemos encontrado una raíz del polinomio (Numero tal que hace que
el polinomio valga cero), y podremos factorizar expresando ese número en un paréntesis que multiplica a un polinomio
de un grado menor al original con los coeficientes que se encuentran en los resultados de las sumas de la siguiente forma:
/ − A $/ #$
+ L1/ #
+ L2/ #
+ ⋯ + L − 1
Ejemplos:
• / − 5/ − 9/ + 45 Múltiplos: 1, 3, 5, 9, 15, 45, -1, -3, -5, -9, -15, -45
1 -5 -9 45 3
3 -6 -45
1 -2 -15 0
Factorización: / − 3 / − 2/ − 15

9. La factorización nos da el segundo paréntesis un trinomio de la forma / + / + , que podremos factorizar dos números
que multiplicados den -15 y restados den -2 los cuales son -5 y 3 esto significa que hay más raíces en el polinomio original
1 -5 -9 45 5
5 0 -45
1 0 -9 0
Factorización: / − 5 / − 9
1 -5 -9 45 -3
-3 24 -45
1 -8 15 0
Factorización: / + 3 / − 8/ + 15
Los múltiplos que hicieron dar 0 en la división sintética fueron: 3,-3 y 5
Factorización: / − 3 / + 3 / − 5
• / − 3/ − 2 Múltiplos: 1, 2, -1, -2
1 0 -3 -2 -1
-1 1 2
1 -1 -2 0
Factorización: / − 2 / + 2/ + 1 = / − 2 / + 1 / + 1
• −/ + 9/ − 26/ + 24 Múltiplos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24
-1 9 -26 24 3
-3 18 -24
-1 6 -8 0
Factorización:− / − 2 / − 7/ + 12 = − / − 2 / − 4 / − 3

10. • 7/+
− 28/ − 7/ + 28 Múltiplos: 1, 2, 4, 7, 14, 28, -1, -2, -4, -7, -14, -28
7 0 -28 -7 0 28 -2
-14 28 0 14 -28
7 -14 0 -7 14 0
Factorización: / + 2 7/ − 14/ − 7/ + 14 = / + 2 7 / − 2/ − / + 2
1 -2 0 -1 2 1
1 -1 -1 -2
1 -1 -1 -2 0
/ + 2 7 / − 1 / − / − / − 2
1 -1 -1 -2 2
2 2 2
1 1 1 0
/ + 2 7 / − 1 / − 2 / + / + 1
Ejercicios:
• 2/ − 5/ + 3/ − 6 Múltiplos: 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3,-6
Factorización:
• −2/ + 6/ − 3/ + 2
• −3/ + 7/ − 6/ + 8
• 2/ − 4/ − 18