Este documento presenta una introducción a los conceptos matemáticos fundamentales de números, funciones, límites y derivadas. Explica la clasificación de números reales, operaciones con números complejos, definición y propiedades de funciones, representación polar de números complejos, y definición de límites, derivadas y continuidad. El documento provee una guía general de estas importantes ideas matemáticas.

1. M
MATEMATICAS 1

2. INDICE
1RA UNIDAD CLASIFICACIONDE LOS NUMEROS
1.1 CLASIFICACION DELOSNUMEROS
1.2 PROPIEDADESDE LOS NUMEROS REALES
1.3 DESIGUALDADES LINEALESY CUADRATICAS
1.4 VALORABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
1.5 DEFINICION YORIGEN DE LOS NUMEROS REALES
1.6 OPERACIONESCON NUMEROS COMPLEJOS
1.7 REPRESENTACION POLARDE LOS COMPLEJOS
2DA UNIDAD FUNCIONES
2.1 DEFINICION DEFUNCIONES
2.2 REPRESENTACION DEFUNCIONES
2.3 CLASIFICACION DELASFUNCIONES:PORSU NATURALEZA Y SUS PROPIEDADES
2.4 OPERACIONESCON FUNCIONESYCOMPOSICION DEFUNCIONES
2.5 TRASLACION DEFUNCIONES
3RA UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 DEFINICION DELÍMITE
3.2 PROPIEDADESDE LOS LÍMITES
3.3 LIMITES LATERALES
3.4 ASINTOTAS(VERTICLES,HORIZONTALESUOBLICUAS)
3.5 LIMITES ESPECIALES
3.6 DEFINICION DECONTINUIDAD
3.7 PROPIEDADESDE LA CONTINUIDAD
4TA UNIDAD DERIVADAS
4.1 DEFINICION DEDERIVADA
4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
4.3 DERIVADASPORDEFINICION YPOR FORMULARIO
4.4 DERIVADASDE LASFUNCIONESIMPLICITAS
4.5 DERIVADAS SUCESIVAS
4.6 DERIVADASPARCIALES

3. 1RA UNIDAD CLASIFICACION DE LOS NUMEROS
1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES
1.2 PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
TIPOSDE NUMEROS
Los númerosnaturalesson:1,2, 3,....,10, 11,....,102, 103,..... Hay infinitos.Al conjuntode todos
ellosse lesdesignaconlaletraN.
Los númerosenterosincluyenlosnaturales,susopuestosyel cero:..., -11, - 10,......, -2, -1, 0, 1,
2,....,10, 11,.....Al conjuntode todosellosse lesdesignaconlaletraZ.
Los númerosfraccionessonfracciones(a/b) dondeel numeradornoesmúltiplodel denominador
y el denominadoresnonulo.Haydostipos:
 Fraccionespropias:Numerador<Denominador(Ejemplo:2/3)
 Fraccionesimpropias:Numerador>Denominador(Ejemplo:3/2)
Los númerosfraccionariostienenunaexpresióncomonúmerodecimal
 Númerosdecimalesexactos:Númerofinitode decimales:1,234
 Númerosdecimalesperiódicospuros:Númeroinfinitode decimalestalesque laparte decimal se
repite:1,234234234..... = 1, 234
 Númerosdecimalesperiódicosmixtos:Númeroinfinitode decimalestalesque hayalgunacifra
decimal que nose repite:1,2344444..... = 1,23 4
Los númerosracionalesincluyenlosnúmerosenterosylosfraccionarios.Al conjuntode todos
ellosse lesdesignaconlaletraQ.
Los númerosirracionalessonaquellosque nosonracionales: ,2 , 1’01001.... (Números
decimalesnoperiódicos).

4. 1.3 DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS
Desigualdadesde primergrado con una incógnita
Las desigualdadesde primergrado(lineales),se puedenresolverde unamanerasimilarque las
ecuacioneslineales.
Es decir,se puede despejarlaincógnitautilizandooperacionesidénticasenambosladosde la
desigualdad.
Comoveremosenlosejemplos,esnecesariotomarencuentaunadiferenciamuyimportante,
puescuandose multiplicaunadesigualdadporalgúnvalornegativo,ladirecciónde ladesigualdad
se invierte,esdecir,de menorquecambiaa menorquey viceversa.
EJEMPLO
Comenzaremosconlasde primergradocon una incógnita.
1) 3x – 5 ≥ 5x + 15
Sumamos5 a losdosladosde ladesigualdad
3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5
3x ≥ 5x + 20
Restamos5x enamboslados
3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x
-2x ≥ 20
Multiplicamosambosladospor -1/2*
-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)
x ≤ -10
* La direcciónde ladesigualdadcambiaal multiplicarporunnúmeronegativo.
El resultadoesel intervalo(-∞, -10]
Desigualdadesde segundogrado con una incógnita
Las desigualdadesde primergrado(lineales),se puedenresolverde unamanerasimilarque las
ecuaciones lineales.
De acuerdoa las característicasde la expresióncuadrática,podemosdeterminarsi la
resolveremosporfórmulageneral,porfactorización,ódespejando.
Ademásde tenerencuentael efectode lamultiplicaciónpornúmerosnegativosenladirecciónde
la desigualdad,tambiéntenemosque considerarel efectode laraízcuadrada. Este efectolo
explicaremosenlosejemplos.
El resultadolorepresentaremosennotaciónde intervalosyconrepresentaciónsobre larecta
numérica.
EJEMPLO
Desigualdadesde cuadráticasconuna incógnita.
3) x2
> 3x + 4
Primeroexpresamosladesigualdadcomounaecuaciónyresolvemos.
x2
= 3x + 4

5. Restamos(3x + 4) a losdos ladospara que unode losladosquede convalorcero.
x2
– (3x + 4) = 3x + 4 – (3x + 4)
x2
– 3x – 4 = 0
Comoobtuvimosuntrinomiocuadrado,lopodemosresolverporfórmulageneral opor
factorización.Eneste caso utilizaremoslafactorización.
(x + 1)(x – 4) = 0
Separamoscada unode losfactoresylos solucionamos
Primer factor
x + 1 = 0
x1 = -1
Segundo factor
x – 4 = 0
x2 = 4
Evaluamosunelementode cadaintervaloparaidentificarcualeshacenverdaderaaladesigualdad
Del intervalo(-∞, -1) evaluaremosel -2
(-2)2
> 3(-2) + 4
4 > -2 VERDADERO
Del intervalo(-1,4) evaluaremosel 0
02
> 3(0) + 4
0 > 4 FALSO
Del intervalo(4,∞) evaluaremosel 5
52
> 3(5) + 4
25 > 19 VERDADERO
La soluciónde ladesigualdadesentonces:(-&infin, -1) U (4 , ∞)
1.4 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
El valor absoluto o numéricode unnúmeroesla distanciadel mismocon respectoal 0 enla recta
numérica. El valorabsolutode cualquiernúmeroessiemprepositivo.
Para cualquiernúmero,si:
Entonces| x | = x y si
X ‹ 0 entonces|x | = -x
Las propiedadesfundamentalesdel valorabsolutoson:
No Negatividad:Establece que el valorabsolutode unnúmeronuncapuede sernegativo.
DefiniciónPositiva:De acuerdoaesta simple propiedad,si el valordel módulode unnúmeroreal x
es0, entoncesel valorabsolutode x es0 y vice-versa.|x |= 0 x = 0
PropiedadMultiplicativa:Estasignificaque el módulode unproductode dosnúmerosessiempre
igual al producto de losmódulosde ambosnúmerostomadosporseparado.|xy|= | x | | y |
PropiedadAditiva:Enconcordanciacon lapropiedadmultiplicativa,establece que el módulodel
valorde lasuma de dos númerosessiempre igual alasumapor separadodel módulode ambos
números.|x + y| = | x | + | y |
En combinaciónconestascuatro propiedadesfundamentales,algunasotrasde laspropiedades
más importantesson:
Simetría:Establece que ladefiniciónbásicadel valorabsolutoes,enotraspalabras,ignorarel
signonegativo.
| - x | = x

6. 1.5 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES
Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en
forma decimal medianteunnúmeroentero,undecimal exacto,undecimal periódicooun decimal
con infinitas cifras no periódicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.
)
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el
cero. .
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma ,
donde m y n son enteros .
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen
representacionesdecimales repetitivas (periódicas), en tanto que losirracionalestienen
representaciones no repetitivas infinitas.
Representación geométrica
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le
asociael cero, 0. Se toma hacia laderechaotro puntoal que se asociael 1. La distanciadel 0 al 1 se
denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.
Los restantesnúmerosreales(racionalesoirracionales) se sitúansobre larecta,bienvaliéndosede
construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el
hechode que a cada puntode larecta le corresponde unnúmeroreal yque cadanúmeroreal tiene
su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la
denomina recta real.
Definición de igualdad y sus propiedades
El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son los nombres o
descripciones del mismo objeto.
Significaque a yb sondos nombresdel mismoobjeto.Naturalmente ,significaa noes
igual a b.
Si dos expresionesalgebraicasconunaomás variablesse unenmedianteel signoigual,laformaasí
obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.

7. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:
Propiedad reflexiva:
Propiedad simétrica: Si , entonces:
Propiedad transitiva: Si y , entonces:
Principio de sustitución: Si , cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una
proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición.
1.6 OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS
Suma y diferenciade númeroscomplejos
La sumay diferenciade números complejosse realizasumandoy restandopartes realesentre sí y
partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i
(5 + 2 i) + (− 8 + 3 i) − (4 − 2i) =
(5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i
−7 + 7i
Multiplicaciónde númeroscomplejos
El productode losnúmeroscomplejosse realizaaplicandolapropiedad distributivadel producto
respectode lasuma y teniendoencuentaque i2= −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
10 − 15i + 4i − 6 i2
10 − 11i + 6 = 16 − 11i
Divisiónde númeroscomplejos
El cociente de númeroscomplejosse hace racionalizandoel denominador;estoes,multiplicando
numeradorydenominadorporel conjugadode éste.
cociente
división

8. 1.7 REPRESENTACION POLAR DE LOS COMPLEJOS
Un númerocomplejoquedaperfectamente determinadosi conocemossumódulory su
argumentoθ r = |z|, θ = arg z
La representaciónenformapolardel númerocomplejoesz= (r) θ.
Ejemplo
Forma polar.Determinalaformapolarde lossiguientes
Números complejos
z1 =1+ i,z2 = i, z3 = −0.234 + 1.231i
Expresael argumentoenradianes.
• Para z1 =1+ i,obtenemos
r1 = √2, θ1 = arctan 1 = π/4 rad,
Por lotanto
z1 =³√2´π/4 rad.
• Para z2 = i es
r2 = 1, θ2 = π/2 rad,
Por lotanto
z2 = (1) π/2 rad.
• Finalmente,paraz3 = −0.234 + 1.231i obtenemos
r3 = 1.2530, θ1 = arctan
1.231
−0.234 + π = 1. 7586 rad,
Por lotanto
z1 = (1.2530)1. 7586 rad.

9. 2DA UNIDAD FUNCIONES
2.1 DEFINICION DE FUNCION
En 1755 LeonardEulerdefinióala funciónde la siguientemanera"Si algunascantidades
dependende otrascantidadesde tal maneraque si lasultimascambianlasprimerastambién
cambian,entonceslasprimerascantidadesse llamanfuncionesde lasultimas”.Estadefiniciónde
Eulernosquisodecirque una funcióneslarelaciónque existe entredosconjuntoscualesquiera,
donde unoestotalmente dependiente del otro.
En una funcióndonde tenemosundominioque sontodoslosvaloresque puede tomarlavariable
independientedeterminadopor "x”,y unrango o recorridoque sonlos valoresque tomala
variable dependientedeterminadopor"y"formandode estamanerala gráficao imagende la
función.Lasfuncionestienennotaciónque nosindicade maneradirectaala variable
independiente"x"y la variable dependiente comounaletramanuscrita(porlogeneral se utilizaf)
y con la variable independiente entre paréntesisquedandode lasiguientemaneraf(x) .Al querer
evaluarlafunción,sustituiremoslavariableindependiente "x"porunvalor que pertenezcaal
dominio"a"el cual lo indicaremosdentrode losparéntesisf(a),ylavariable independiente tendrá
ese valorencada lugar donde aparezca"x"en laexpresiónoriginal.
2.2 REPRESENTACION DE FUNCIONES

10. 2.3 CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES: POR SU NATURALEZA Y SUS PROPIEDADES
FUNCION POLINOMIAL
En matemáticas,unafunciónpolinómicaesuna función asociadaa
un polinomio concoeficientes enunanilloconmutativo (amenudoun cuerpo).
Formalmente,esunafunción:
donde esun polinomio definidoparatodo númeroreal ; esdecir,una sumafinitade
potenciasde multiplicadosporcoeficientes reales,de laforma:1
FUNCION RACIONAL
Una funciónracional esuna funciónque puede escribirsecomocociente de dospolinomios.
Si el denominadoresunnúmero(unpolinomiode grado0),entonceslafunciónesunpolinomio.
Por lotanto,las funcionespolinómicassonfuncionesracionales.Enestaspáginassobre funciones
racionalesvamosaconsiderarsolamente funcionesracionalescuyodenominadoresunpolinomio
de grado mayor que 0.
Las funcionesracionalespuedentenercaracterísticasque lasdiferenciande lasfunciones
polinómicasyque vamosa revisarenestaspáginas:
- Singularidades:Enalgunoscasos,algunosvaloresde x sonproblemáticos.Estoesdebidoaque
lasfuncionesracionaleshayundenominadorque puedeser0 y nopodemosdividirentre 0.Esos
valoresde x que hacen 0 el denominadorjueganunpapel especial.Comonopodemoscalcularel
valorde lafunciónenesosvaloresdecimosque lafunciónnoestádefinidaparaesosvaloresde x.
Tambiéndecimosque esospuntosnopertenecenal dominiode lafunción. El dominio de una
funciónracional estádeterminadoporlasrestriccionesimpuestasporel denominador:dividir
entre 0 es imposible.
El dominioesel conjuntode losnúmerosrealesparalosque la funciónestádefinida.Enel casode
lasfuncionesracionalesesel conjuntode todoslosnúmerosrealesque nosoncerosdel
denominador.Porlotanto,para determinarel dominiode unafunciónracional tenemosque
encontrarlosceros realesdel denominador.
A estospuntosse lesllamasingularidadesyesinteresantevercómose comportala funcióncerca
de esospuntos.
- Puntosde corte con el eje de abscisas:Se trata de encontrarlosvaloresde x que hacenque el
gráficode la funcióncruce el eje de abscisas.Sonlosvaloresde x para losque f(x)=0.

11. - Continuidad:Lasfuncionesracionalessoncontinuasensudominio(perosudominiopuede no
sertodos losnúmerosreales).
- Comportamiento"enel infinito":Esinteresante el estudiodel comportamientode lafunción
cuandox se hace más y más grande envalorabsoluto(siendox positivoonegativo).Veremosque
enalgunoscasos lafunciónse aproximaa unarecta (horizontal uoblicua).Enestoscasosdiremos
que la funcióntiene unaasíntotahorizontal uoblicua(segúnloscasos).Entodosloscasosel
comportamientode unafunciónracional "enel infinito"estádeterminadoporunafunción
polinómica.
FUNCION RAIZ
La funciónraíz cuadrada se encuentravinculadaala Teoría lineal de las olas,esta teoría indica
que la raíz cuadrada del productode la profundidad del aguaporaceleraciónde lagravedades
la celeridado velocidadde laonda que se acerca a la costa enaguas pocoprofundas.
Esta mismafórmulase utilizaparadeterminarlavelocidadde los tsunamisypermite conocerel
tiempoque demoraráenazotara una costa en particular.
El estudiode lascondicionesdel oleaje revistegranimportanciaporsuaplicaciónenlas
plataformasmarinas,petroleras,losrompeolasentre otros.
Actualmente,investigadoresde losequiposmultidisciplinariosdonde intervienenespecialistas
enmatemáticas, continúanperfeccionandoestarelaciónparalosdistintostiposde ondasque se
puedenencontrar,paralograrmayor precisiónenlosanálisisque realizan.
FUNCION INVERSA
Seaf una funcióncondominioXf y contra dominioYf . Si existe unafuncióngcon dominioXgy
contradominioYgtal que:i. f(g(x)) =x para toda x ∈ Xg ii.g(f(x))=x para toda x ∈ Xf entonces
decimosque lasfuncionesf yg soninversasunade la otra. f −1 denotalafuncióninversade f .
EJEMPLO
Funcióninversade lafunción:
y = 2 x + 7
Por definiciónde funcióninversa,paracada x le corresponde unyy viceversa.
La función«directa» es:y= 2 x + 1.
La funcióninversa«deshace» latransformación,esdecir,le damosyyéstanos devuelve x
En otras palabras,lavariable dependiente de lafunción«directa» viene siendolavariable
independientede lafuncióninversa
Y la variable dependientede lafunción«directa» juegael papel de lavariable independiente
enla funcióninversa.
Así que vamosa despejarx entérminosde y.
y = 2 x + 7
y − 7 = 2 x
y – 7/ 2 = x
Esta expresiónpuede versecomounafunción:nosotrosle damosel valorde yy ésta nos

12. Devuelve el valorde x.
Ahoracambiamoslasvariablesparaque se trate de lafuncióninversa:
f −1 (x) = x – 7/ 2
Con estohemosterminado.
FUNCION IMPLICITA
Una función y(x) se llamaimplícitacuandoestádefinidade laforma F(x,y) = 0 en lugarde la
habitual.
Por ejemplo,puedeprobarse que lasiguiente ecuacióndefineunafunción implícitaencierta
regiónde entre lasvariables x e y:
EJEMPLO
El término se puede considerarque sondosfunciones, y por loque se derivará
como unproducto:
El término se derivacomo:
El término se derivade formanormal como:
El valorconstante 12, que nodepende ni de x ni de y, tiene porderivada0,como corresponde a
un valorconstante.
El término se puede considerarcomounproductoy se derivacomo:
Al unirtodos los términosse obtiene:
Ordenando:
Factorizandorespectoa( ) losvaloresson:

13. Finalmentedespejando se obtieneladerivadade lafunciónimplícita:
FUNCION CRECIENTEY DECRECIENTE
· Una función escreciente enunintervalo [a, b] si al tomardos puntoscualesquieradel
mismo, x1 yx2,con lacondición x1 £ x2,se verificaque
f( x1 ) < f( x2 ).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) <f(x2).
· Una función esdecreciente enunintervalo [a, b] si para cualesquierapuntosdel intervalo, x1 yx2,
que cumplan x1 £ x2,entonces f(x1 ) ³f(x2 ).
Siempre que de x1 <x2 se deduzcaf(x1 ) >f(x2 ),lafunciónse dice estrictamentedecreciente.
Una función escreciente en un punto a si existe unintervaloabierto
f(x) £ f(a) si x pertenece a(a - e,a) y
f(x) ³f(a) si x pertenece a(a,a + e).
· Análogamente,unafunción esdecrecienteen un punto a si existe unintervaloabierto
(a - e, a + e) enel que
f(x) ³ f(a) si x pertenece a(a - e,a) y
f(x) £ f(a) si x pertenece a(a, a + e).
La definiciónde funciónestrictamentecreciente odecreciente enunpuntose obtiene sinmásque
sustituirel símbolo £por < y el ³ por el >.
Es precisodiferenciarel significadode funcióncreciente odecreciente enunintervalodel de
funcióncreciente odecreciente enunpunto.
FUNCION PARESE IMPARES
Se dice que una funciónespar si f(x) = f(-x),enel casode que f(x) = -f(-x) se dice que lafunciónes
impar.
Ejemplo
La funcióny(x)=x esimparya que:
f(-x) =-x
perocomo f(x) = x entonces:
f(-x) =- f(x).

14. Ejemplo
Otra funciónimpares y = 1/x
Cuandof(x) = -f(-x)

15. 2.4 OPERACIONES CON FUNCIONES Y COMPOSICION DE FUNCIONES
Suma de funciones
Seanf y g dos funcionesrealesde variablereal definidasenunmismointervalo.Se llamasumade
ambas funciones,yse representapor f + g,a lafuncióndefinidapor
Resta de funciones
Del mismomodoque se ha definidolasumade funciones,se define larestade dosfunciones
realesde variable real f yg, comola función
Para que estosea posible esnecesarioque f yg esténdefinidasenun mismointervalo.
Producto de funciones
Seanf y g dosfuncionesrealesde variable real,ydefinidasenunmismointervalo.Se llama
funciónproductode f yg a lafuncióndefinidapor
Cociente de funciones
Dadas dosfuncionesrealesde variable real, f yg,y definidasenunmismointervalo,se llama
funcióncociente de f yg a lafuncióndefinidapor
(La función f/g estádefinidaentodoslospuntosen losque lafunción g no se anula.)
Producto de un númeropor una función
Dado un númeroreal a y una función f,el productodel númeroporla funcióneslafunción
definidapor

16. 2.5 TRASLACION DE FUNCIONES
Se puede referiraloque sigue de f(x) latranslaciónhorizontal es:f(x+c) of(x-c)ylatranslación
vertical es:f(x)+cdonde cesuna constante
TRASLACION:
Es sumar o restaruna c a la función oseaf(x) unafunción para trasladarla función hacemosf(x+c)
o f(x-c) conc igual a una constante
3RA UNIDAD LÍMITES Y CONTUINIDAD
3.1 DEFINICION DE LÍMITE
Es una nocióntopológicaque formalizalanociónintuitivade aproximaciónhaciaunpunto
concretode unasucesiónouna función,amedidaque los parámetrosde esasucesiónofunción
se acercan a determinadovalor.
En cálculoinfinitesimal (especialmente enanálisisreal ymatemático)este conceptose utilizapara
definirlosconceptosfundamentalesde convergencia,continuidad,derivación,integración,entre
otros.Si bien,el conceptode límite parece intuitivamente relacionadoconel conceptode
distancia,enunespacioeuclídeo,eslaclase de conjuntosabiertosinducidospordichamétrica,lo
que permite definirrigurosamentelanociónde límite.
3.2 PROPIEDADES DE LÍMITE

17. 3.3 LIMITES LATERALES
Para que existael límite de unafunción,debenexistirloslímiteslateralesycoincidir.
El significadode lossignosenlanotaciónparalímiteslateralesse interpretade lasiguiente
manera
x ® a- significaque x tiende a“a” tomandovaloresmenoresque a,esdecirvaloresque se
encuentranasu izquierda.
x ® a+ significaque x tiende a“a” tomandovaloresmayoresque a,esdecirvaloresque se
encuentranasu derecha.
3.4 ASINTOTAS (VERTICLES, HORIZONTALES U OBLICUAS)
Se le llamaasíntota de la gráficade una función,auna rectaa laque se aproximacontinuamente
la gráficade tal función;esdecirque ladistanciaentre lasdostiende aser cero (0),a medidaque
se extiendenindefinidamente.
O que ambas presentanuncomportamientoasintótico.Generalmente,lasfuncionesracionales
tienencomportamientoasintótico.
Las asíntotas ayudana la representaciónde curvas,proporcionanunsoporte estructural e indican
su comportamientoalargoplazo.En tantoque líneasrectas,la ecuaciónde una asíntota es
simplementelade unarecta, y su expresiónanalíticadependeráde laeleccióndel sistemade
referencias(y=m•x + b en coordenadascartesianas).
Si biensuelenrepresentarse enunmismosistemade coordenadas,lasasíntotasnoformanparte
de la expresiónanalíticade lafunción,porloque -ennumerososejemplos- noestánincluidas
explícitamente dentrode lagráfica,obiense lasindicacon una líneapunteada.
En muchoscasos, lasasíntotas coincidenconlosejesde coordenadas,esdecirque susecuaciones
encoordenadascartesianasserán:x = 0, y = 0.
Se distinguentrestipos:
Asíntotasverticales:rectasperpendicularesal eje de lasabscisas,de ecuaciónx = constante.
Asíntotashorizontales:rectasperpendicularesal eje de lasordenadas,de ecuacióny= constante.
Asíntotasoblicuas:si noson paralelasoperpendicularesalosejes,de ecuacióny= m•x + b.
3.5 LIMITES ESPECIALES
Los limitesespecialesson:limx-->0senx/x=1
La razónes que cuandoel Angulox esmuy pequeñoel senotiende aserigual aese ánguloseria
como ladivisión de 2números muypequeñosperoamedidaque máspequeñossean,tiendena
seriguales

18. limx-->0(1-cosx)/x =0
A medidaque el ánguloesmuypequeñoel cosenotiendeaserigual a 1 sería la divisiónde 0 sobre
un númeromuypequeño.
3.6 DEFINICION DE CONTINUIDAD
Diremosque unafunciónf es continuaenunpuntox=a si se cumplenlastrescondiciones
siguientes:
1- EXISTE F(a)
2- Lim x→a=8 f(x)
3- F(a)=limf(x) x→a
3.7 PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD
Si b es un númeroreal yf, g soncontinuasenx = c, entonces:
1) bf escontinuaenc (múltiploescalar)
2) f ± g escontinuaenx = c (sumao diferencia)
3) fg escontinuaenx = c (producto)
4) f/gescontinuaenx = c si g(c) ≠ 0 (cociente)

19. 4TA UNIDAD DERIVADAS
4.1 DEFINICION DE DREIVADA
En terminologíaclásica,ladiferenciaciónmanifiestael coeficienteenque unacantidad cambiaa
consecuenciade uncambioenotra cantidad .
En matemáticas, coeficienteesunfactormultiplicativoque pertenece aciertoobjetocomouna
variable,unvectorunitario,unafunciónbase,etc.
En física, coeficiente esunaexpresiónnuméricaque mediantealgunafórmuladeterminalas
características o propiedadesde uncuerpo.
En nuestrocaso,observandola gráficade laderecha,el coeficiente del que hablamosvendría
representadoenel punto de lafunción porel resultadode ladivisiónrepresentadaporla
relación ,que como puede comprobarse enlagráfica,esun valorque se mantiene constante a
lolargo de la línearecta azul que representalatangente enel punto de lafunción.Estoesfácil
de entenderpuestoque el triángulorectángulo formadoenlagráficacon vértice enel punto ,
por muchoque lo dibujemosmásgrande,al ser unafiguraproporcional el resultadode es
siempre el mismo.
4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Cuandoh tiende a0, el punto Q tiende aconfundirse conel P.Entoncesla recta secante tiende a
serla recta tangente a la funciónf(x) enP,y por tantoel ángulo α tiende a ser β.

20. La pendiente de latangente alacurva en unpunto esigual a la derivadade lafunciónenese
punto.
mt = f'(a)
4.3 DERIVADAS POR DEFINICION Y POR FORMULARIO
Derivadade una constante
Derivadade x
Derivadade la funciónlineal
Derivadade una potencia
Derivadade una raíz cuadrada
Derivadade una raíz
Derivadade una suma
Derivadade una constante poruna función
Derivadade un producto

21. Derivadade una constante partidaporuna función
Derivadade un cociente
Derivadade la funciónexponencial
Derivadade la funciónexponencial de base e
Derivadade un logaritmo
Como , tambiénse puede expresarasí:
Derivadadel logaritmoneperiano
Derivadadel seno
Derivadadel coseno
Derivadade la tangente
Derivadade la cotangente
Derivadade la secante

22. Derivadade la cosecante
Derivadadel arcoseno
Derivadadel arcocoseno
Derivadadel arcotangente
Derivadadel arcocotangente
Derivadadel arcosecante
Derivadadel arcocosecante
Derivadade la funciónpotencial-exponencial
Reglade la cadena
4.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS
Una correspondenciaounafunciónestádefinidaenformaimplícitacuandonoaparece despejada
la y sinoque larelaciónentre x e y viene dadapor unaecuaciónde dos incógnitascuyosegundo
miembroescero.
Derivadasimplícitas EJEMPLO:

23. 4.5 DERIVADAS SUCESIVAS
Si derivamosladerivadade unafunción, derivadaprimera,obtenemosunanuevafunciónque se
llamaderivadasegunda, f''(x).
Si volvemosaderivarobtenemosla derivadatercera,f'''(x).
Si derivamosotravezobtenemosla cuarta derivada f'v
y así sucesivamente.
Ejemplo
Calculalasderivadas1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
4.6 DERIVADAS PARCIALES
En resumen,lasderivadasparcialesesderivarrespectoauna variable.
Ejemplo:si existeF(x,y),entoncesladerivadaparcial seríaladerivadaparcial respectode x y
tambiénladerivadaparcial respectode y.Si existieranmásvariables,se sigue derivandode la
mismamaneradependiendoel númerode variablesque existanenlafunción.
Si ,las primeras derivadasparciales de respectode x e y sonlas
funciones definidascomo
Siempre que el límite existe.
EJEMPLO
Demostrarque z_{xy} = z_{yx}
siendof(x,y) =x^2-2xy+3y^2
f_x = 2x-2y
f_{xy} = -2
f_{y} = -2x+6y
f_{yx} = -2
f_{xy} = f_{yx}
Son iguales.