Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral, eventos y sucesos. Explica la diferencia entre fenómenos deterministas y aleatorios. Define conceptos como espacio muestral, eventos elementales, seguros e imposibles. También presenta operaciones básicas con eventos como unión, intersección y diferencia. Por último, introduce nociones de factorial, números combinatorios y permutaciones.

1. UNIDAD IV: PROBABILIDAD
1

2. 2
 ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Bioestadística?
 Todos los días nos hacemos preguntas sobre
probabilidad e incluso los que hayan visto poco de la
materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo
suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella
en este curso.
 En este tema vamos a:
 Recordar qué entendemos por probabilidad.
 Recordar algunas reglas de cálculo.
 Ver cómo aparecen las probabilidades en CC. Salud.
 Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en
CC. Salud.
 Pruebas diagnósticas.

3. Experimento aleatorio : 
Espacio Muestral : 
Espacio Muestral : Discreto , Continuo
Evento o Suceso
Sucesos elementales, seguros e imposibles
Probabilidad : grado de certidumbre
Probabilidad y Juegos de Azar
Probabilidad y Frecuencia relativa
Probabilidad Subjetiva (Personal)
Conceptos Básicos

4. Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Determinísticos.
Fenómeno Determinista: es en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.
Ejemplos:
- el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se
transforma en vapor.
 poner la mano en el fuego.
 soltar un vaso en el aire.
Fenómeno Aleatorio.-
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir,
están relacionados con el azar o probabilidad.

5. La probabilidad estudia el tipo de fenómenos o experimentos aleatorios.
Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas
condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a
obtener;
3. El resultado que se obtenga, S, pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles.
Ejemplos:
- Tirar dardos en un blanco determinado
- Lanzar un par de dados
- Obtener una carta de una baraja
- Lanzar una moneda
- que al nacer un bebe, éste sea niña
- que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más

6. Espacio Muestral
Definición
Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un
experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: El nacimiento de un niño es un experimento
aleatorio, se sabe que el niño puede ser varón o mujer ,
pero no se sabe cual será el resultado.
S = { niño, niña }
2.- Experimento: Diagnostico de un paciente:
S = { Sano, Enfermo }

7. Eventos o Sucesos
Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras
mayúsculas A, B, C, ..., son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… 
S
Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo
elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún
elemento.
Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)
Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo
de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre se
verifica después del
experimento aleatorio, son
los mismos del espacio
muestral.
E = S y N(E) = N(S)
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se
verifica como resultado del experimento
aleatorio. No tiene elementos de interés
para su fenómeno. Es un subconjunto de S,
y la única posibilidad es que el evento
imposible sea el conjunto vacío.
  S, y N() = 0

8. Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral de
S, esto es, N(E) = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un
evento elemental. También se le denomina
como punto muestral.
Evento Compuesto.- Es el evento
E que contiene más de un punto
muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contrario a un evento A: También se denomina evento
complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac
o bien Ā, y se define como:
 s tal quec
A s A  

9. Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (C,C,C), (C,C,N), (C,N,C), (N,C,C), (N,N,C), (N,C,N),
(C,N,N), (N,N,N) },
N(Ω) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres CARAS; B ={ (C,C,C) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos CARAS;
E = { (C,C,C), (C,C,N), (C,N,C), (N,C,C) }, N(E) = 4
Evento imposible:  (conjunto vacio). N() = 0

10. Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio
muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los
eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.
OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION
UNION
A  B
Unión de eventos originales: es el
evento que sucede si y solo si A
sucede o B sucede o ambos suceden
INTERSECCION
A  B
Intersección de los eventos originales,
es el evento que sucede si y sólo si A y
B suceden simultáneamente.
DIFERENCIA
A - B
La diferencia de los eventos originales
A y B, es el evento que sucede solo en
A pero no en B.
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

11. Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de
los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B  Ω
gráficamente se puede expresar como:
S
A B
Fig. 1 Los eventos A y B no tienen
elementos del espacio muestral en común.
S
A B
Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos
del espacio muestral en común.

12. 12
Notación factorial
• El producto de numero enteros positivos desde 1 hasta n se
emplea con mucha frecuencia en Matemáticas, y lo
denotaremos por el símbolo n!.
CONCEPTOS BASICOS : FACTORIAL DE UN NÚMERO
)!)(1)...(2)(1(!
)!1(!
3*2*1)...2)(1(!
*...*3*2*1!
rnrnnnnn
nnn
nnnn
nn




)1(
)!1(
)!1()1(
)!1(
)!1(






nn
n
nnn
n
n
y que por convenio
0!=1
Interpretación: El factorial de n es el
numero de ordenaciones distintas que se
pueden hacer con n elementos.

13. Se llama número combinatorio m sobre n a la expresión:
13
NÚMERO COMBINATORIO
!)!(
!
nnm
m
n
m







3
2.1
6
!2)!23(
!3
2
3








Ejemplo .
Encontrar el numero combinatorio de 3 sobre 2:
Interpretación: El numero combinatorio m
sobre n es el numero de elecciones
distintas de n elementos que se pueden
hacer de entre un conjunto de m elementos.
En otras palabras, es el numero de
subconjuntos de n elementos que tiene un
conjunto de m elementos.

14. INTRODUCCION
 Cuando se trata de contar las posibilidades en una
moneda....fácil, pero y si es algo más complicado que una
moneda..... ?
 Supongamos que la señora que nos hace el favor de
vendernos el almuerzo solamente sabe cocinar 4 tipos de
sopas ( sopa con verduras, de pasta, de arroz y de plátano),
además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles,
con huevos y con verduras), sabe hacer además postre de
natas, de guayaba y fresa y sólo da agua con el almuerzo.
Técnicas de Conteo

15. ¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY ?
Entonces las posibilidades son :
1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua
2. sopa de verduras con huevo, postre de natas y agua
3. sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua
4. sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua
5. sopa de pasta con huevo, postre de natas y agua
6. ......
etc., etc, etc.....
Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros observarán todas las
posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo
enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil
hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello
existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las
posibilidades existentes.

16. DEFINICON DE TECNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Se les denomina técnicas de conteo a las combinaciones,
permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar que éstas
nos proporcionan la información de todas las maneras posibles
en que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el
principio:
- Multiplicativo
- Aditivo

17. Principio de Adición
17
Principio de adición: Si un proceso de selección se puede realizar de
dos formas excluyentes de modo que la primera de ellas admite n opciones y la
segunda admite m opciones, entonces el número total de selecciones posibles
es n+m.
Terminología conjuntista:
|A U B| = |A| + |B|
El resultado se extiende a K selecciones finitas y disjuntas dos a dos
Ejemplo:
• Un estudiante debe elegir un ejercicio para entregar. En una lista de
ejercicios hay 15, en otra 20 y en otra 10. ¿Cuántos ejercicios tiene el
estudiante para elegir?
Donde |A| se le conoce como el cardinal de un numero, el cual nos da al
número de elementos que tiene el conjunto

18. 18
Principio de inclusión-exclusión: Si un proceso de
selección se puede realizar de dos formas de modo que la
primera admite n opciones, la segunda admite m opciones y
hay r opciones comunes a ambas, entonces el número total
de selecciones posibles es n+m-r.
Terminología conjuntista:
|A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
Este resultado se extiende al caso de tres o más formas de
seleccionar un elemento teniendo en cuenta todas las repeticiones
que intervienen.
|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - | A ∩ B | - | B ∩ C | - | A ∩ C | + | A ∩
B ∩ C |

19. 19
Ejemplo: sean los dos siguientes conjuntos de enteros positivos:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Cuántas maneras hay de elegir un entero desde los conjuntos A y B. Nótese que los
dos conjuntos no son disjuntos. Que modificación podemos hacerle al principio
aditivo para este caso? Trate de escribir esa modificación.
Solución:
Para elegir un número del conjunto A tenemos 6 maneras y para elegir un número
del conjunto B tenemos 6 maneras, pero como tenemos un número en común sólo
tenemos 5. Luego para elegir un número entre A y B tenemos 11 maneras.
Y tendríamos que modificar el principio aditivo restando la cantidad de elementos
repetidos.

20. Principio de la Multiplicación
20
Principio de multiplicación: Si un proceso de selección se puede
dividir en dos pasos consecutivos de modo que hay n elecciones
en el primero y por cada una de ellas hay m elecciones en el
segundo, entonces el número total de elecciones es n.m.
Terminología conjuntista:
|A X B| = |A| . |B|
El resultado se extiende a un proceso de selección de K etapas en
las condiciones anteriores

21. 21
Ejemplo: ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben
constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?,
a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible
repetir dígitos,
b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos,
c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número
siete?,
d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número
impar?.
Solución:
a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos
b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos
c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos
d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

22. Principio multiplicativo y aditivo
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y
cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual
requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos,
entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la
actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para
ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
22

23. PERMUTACIONES
 Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación
de los objetos (tomados todos a la vez).
 Una ordenación de un numero r de dichos objetos r<=n en un orden dado
se llama una permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez
)!(
!
),(Pr
rn
n
rnPn


P: número de permutaciones
n: número total de objetos
r: número de objetos que se dispondrá
24
!1
!1*2*3*4
)!34(
!4
)3,4(
12
!2
!2*3*4
)!24(
!4
)2,4(
4
!3
!3*4
)!14(
!4
)1,4(
},,,{










P
P
P
dcbas

24. Combinaciones
Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez, representan el
número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se pueden obtener con esos n
objetos. A diferencia de las permutaciones, el orden de aparición es irrelevante.
Las notaciones para combinaciones de n objetos tomados r a la vez, son:
Las permutaciones de n en r, divididas entre r! son iguales a las
combinaciones de n en r, esto es:
  r
crn
n
r CnCrC  ),(
)!(!
!
!
)!(
!
!
)1)...(1(
!
Pr
),(
rnr
n
r
rn
n
r
rnnn
r
n
C rn







25. 25
Ejemplo:
En un centro de trabajo se van a seleccionar 3 personas para integrar una
comisión de evaluación. Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas mane-
ras pueden ser seleccionadas:
a) Las tres personas
b) Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y
secretario.
Solución:
a) n = 20 , r = 3,
b) n = 20 ; r = 3
1140
3203
20
320 


))!(!
!
C
6840
320
20
320 


))!(
!
P

26. Diferencias entre permutación y
combinación
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en
donde no nos interesa el lugar
o posición que ocupa cada uno
de los elementos que
constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde
nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una
combinación y una permutación, plantearemos ciertas situaciones:

27. Situaciones
27
 "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y
bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser
"bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la
misma ensalada.
 "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el
orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente
4-7-2.
 Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
 Si el orden no importa, es una combinación.
 Si el orden sí importa es una permutación.

28. DIAGRAMA DE ARBOL
28
Definición: Un diagrama de árbol es una
representación gráfica de un experimento que consta
de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un
número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Construcción Del Diagrama De Árbol (Usando conjuntos)
Sean: A y B dos conjuntos
a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del
árbol);
b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;
c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el
conjunto B;
d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.

29. 29
Ejemplo : Cuando se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un proceso
de fabricación y se clasifican como defectuosos (D) y no defectuosos (N):
Ejemplo: Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo
(masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión
sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?
Solución: Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el
número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

30.  Probabilidad es una medida de la incertidumbre
(Estimación de la probabilidad)
 Teórica - “A Priori”
 Pr (Ai) = n / N
 n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado
 N = número total de resultados posibles
 Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”
 Pr (Ai) = n/N
 n = número de veces que ocurrio “Ai”
 N = número total de observaciones
 Subjetiva
 La “Opinión de un Experto”
Nociones de Probabilidad

31. Nociones de probabilidad
 Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la
frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso
al realizar un experimento repetidas veces.
 Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee
sobre un suceso. Es personal.
En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de
suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones
que se pueden realizar con sucesos.
CLASIFICACION OMS
469 46,9%
467 46,7%
64 6,4%
1000 100,0
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
Total
Válidos
Frecuencia Porcentaje
31

32. Definición de probabilidad
 Se llama probabilidad a cualquier función, P, que
asigna a cada suceso A un valor numérico P(A),
verificando las siguientes reglas (axiomas)
 P(E)=1
 0≤P(A) ≤1
 P(AB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
 Ø es el conjunto vacío.
 Se puede imaginar la probabilidad de un subconjunto
como el tamaño relativo con respecto al total (suceso
seguro)
32
E espacio muestral
100%
B
E espacio muestral
A

33. Probabilidad condicionada
 Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A sabiendo que pasa B:
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


33
A
E espacio muestral
B
 Error frecuentíiiiiiisimo:
 No confundir probabilidad condicionada con intersección.
 En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
 En P(A∩B) con respecto a P(E)=1
 En P(A|B) con respecto a P(B)

34. Intuir la probabilidad condicionada
34
B
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,08

35. Intuir la probabilidad condicionada
35
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0

36. Algunas reglas de cálculo
prácticas
36
 Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en
teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo,
es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:
 P(A’) = 1 - P(A)
 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
 P(AB) = P(A) P(B|A)
= P(B) P(A|B)
 Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB)
 Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que
también pase B sabiendo que pasó A.

37. Independencia de sucesos
37
 Dos sucesos son independientes si el que
ocurra uno, no añade información sobre el otro.
A es independiente de B
 P(A|B) = P(A)
 P(AB) = P(A) P(B)

38. Ejemplo (I)
 Se ha repetido en 1000 ocasiones el
experimento de elegir a una mujer de una
población muy grande. El resultado está en la
tabla.
 ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga
osteoporosis?
 P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%
 Noción frecuentista de probabilidad
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
38

39. Ejemplo (II)
 ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?
 P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531
 Son sucesos disjuntos
 Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø
 ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?
 P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-
58/1000=0,703
 No son sucesos disjuntos
 ¿Probabilidad de una mujer normal? (entiéndase…)
 P(Normal)=469/1000=0,469
 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-
0,531=0,469
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
39

40. Ejemplo (III)
 Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis?
 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
 ¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis?
 P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058
 Otra forma:
058,01000/58
697
58
1000
697
)|()()(

 MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP 
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
40

41. Ejemplo (IV)
 ¿Son independientes menopausia y osteoporosis?
 Una forma de hacerlo
 P(Osteoporosis)=64/1000=0,064
 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
 La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la
menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!
 ¿Otra forma?
 P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058
 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045
 La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No
son independientes.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
41

42. sucesos
42
A1 A2
A3 A4
Son una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas
de frecuencias?
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4

43. Divide y vencerás
43
A1 A2
A3 A4
B
Todo suceso B, puede ser
descompuesto en componentes de
dicho sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el problema B en
subproblemas más simples. Creedme . Funciona.
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B

44. Teorema de la probabilidad total
44
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
Suceso
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)

45. 45
Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son
mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los
hombres, son fumadores el 20%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
 P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 =13%
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de sucesos
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan
intersecciones.
Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

46. Teorema de Bayes
46
P(B)
Ai)P(B
B)|P(Ai 
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

47. Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De
ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el
20%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
 P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13
 (Resuelto antes)
 Se elije a un individuo al azar y es… fumador
¿Probabilidad de que sea un hombre?
46,0
13,0
2,03,0
)(
)|()(
)(
)(
)|(








FP
HFPHP
FP
FHP
FHP
47
Estudiante
No fuma
No fuma
0,7
0,2
Mujer
Hombre
Fuma
Fuma
0,1
0,3
0,8
0,9

48. Ejemplo de prueba diagnósticas:
Diabetes
48
 Los carbohidratos ingeridos terminan como glucosa en la sangre. El
exceso se transforma en glucógeno y se almacena en hígado y músculos.
Este se transforma entre comidas de nuevo en glucosa según
necesidades.
 La principal hormona que regula su concentración es la insulina. La
diabetes provoca su deficiencia o bien la insensibilidad del organismo a su
presencia. Es una enfermedad muy común que afecta al 2% de la
población (prevalencia)
 Una prueba común para diagnosticar la diabetes, consiste en medir el nivel
de glucosa. En individuos sanos suele variar entre 64 y 110mg/dL.
 El cambio de color de un indicador al contacto con la orina suele usarse como
indicador (resultado del test positivo)
 Valores por encima de 110 mg/dL se asocian con un posible estado pre-
diabético.
 Pero no es seguro. Otras causas podrían ser: hipertiroidismo, cancer de páncreas,
pancreatitis, atracón reciente de comida…
 Supongamos que los enfermos de diabetes, tienen un valor medio de
126mg/dL.

49. Funcionamiento de la prueba diagnóstica de glucemia
 Valor límite: 110mg/dL
 Superior: test positivo.
 Inferior: test negativo.
 Probabilidad de acierto:
 Para enfermos
 Verdadero positivo
(sensibilidad)
 Para sanos
 Verdadero negativo
(especificidad)
 Probabilidad de error
 Para enfermos
 Falso –
 Para sanos
 Falso +
49

50. ¿Cómo definir el punto de corte de la prueba diagnóstica?
50
No es simple. No es posible aumentar sensibilidad y especificidad al mismo
tiempo. Hay que elegir una solución de compromiso: Aceptable sensibilidad y
especificidad.

51. 51
Una prueba diagnóstica ayuda a mejorar una estimación de la
probabilidad de que un individuo presente una enfermedad.
 En principio tenemos una idea subjetiva de P(Enfermo). Nos
ayudamos de…
 Incidencia: Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad
en la población.
 Prevalencia: Porcentaje de la población que presenta una
enfermedad.
 Para confirmar la sospecha, usamos una prueba diagnóstica.
Ha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de
individuos: sanos y enfermos. Así de modo frecuentista se ha
estimado:
 P(+ | Enfermo)= Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de
acierto sobre enfermos.
 P(- | Sano) = Especificidad (verdaderos -)= Tasa de
acierto sobre sanos.
 A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos

52. Pruebas diagnósticas: aplicación T.
Bayes.
52
Individuo
Enfermo
T-
Sano
T+
T-
T+
P. a priori de enfermedad:
incid., preval., intuición,…
Sensibilidad,
verdaderos +
Falsos +
Especificidad,
Verdaderos -
Falsos -

53. Ejemplo: Índices predictivos
 La diabetes afecta al
2% de los individuos.
 La presencia de
glucosuria se usa
como indicador de
diabetes.
 Su sensibilidad es de
0,945.
 La especificidad de
0,977.
 Calcular los índices
predictivos.
456,0
023,098,0945,002,0
945,002,0
)()(
)(
)|(







 

TSanoPTEnfP
TEnfP
TEnfP
999,0
055,002,0977,098,0
977,098,0
)()(
)(
)|(







 

TEnfPTSanoP
TSanoP
TSanoP
53
Individuo
T- T+
T- T+
0,9450,023
0,977 0,055
0,020,98

54. Observaciones
 En el ejemplo anterior, al llegar un
individuo a la consulta tenemos
una idea a priori sobre la
probabilidad de que tenga una
enfermedad.
 A continuación se le pasa una
prueba diagnóstica que nos
aportará nueva información:
Presenta glucosuria o no.
 En función del resultado tenemos
una nueva idea (a posteriori)
sobre la probabilidad de que esté
enfermo.
 Nuestra opinión a priori ha sido 54
-¿Qué
probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un
2%. Le haremos
unas pruebas.
- Presenta
glucosuria. La
probabilidad
ahora es del
45,6%.