La probabilidad mide la frecuencia con que se obtiene un resultado bajo condiciones suficientemente estables. Se incluyen conceptos y modelos.

1. Ing. Pedro López Eiroá
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2. Origen del estudio de la Probabilidad
 Girolamo Cardano 1501-1576
1565 - Libro de los Juegos de Azar
 Pierre de Fermat 1601-1665
 Blaise Pascal 1623-1662
1665 – Tratado sobre el triángulo aritmético
 Christian Huygens 1629-1695
1657 – Sobre el razonamiento relativo a los
juegos de dados
 Abraham de Moivre 1667 – 1754
1711 – Doctrina de las Probabilidades
 Pierre Simon Laplace 1749 – 1827
1820 – Teoría Analítica de la Probabilidad 2

3. ¿Qué es la probabilidad?
 Es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o
determinar cuantitativamente la posibilidad de que
ocurra un determinado suceso. Surge con el estudio
de los juegos de azar, pero se extiende a todos los
fenómenos aleatorios.
 Cuando tenemos dos o más alternativas, la probabilidad
nos permite de la forma más “racional o científica”
posible comprender y evaluar las opciones,
determinando criterios y alternativas posibles para
tomar las mejores decisiones.
 Mide la frecuencia con que se obtiene un resultado
bajo condiciones suficientemente estables.
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4. ¿Qué indica la probabilidad?
 El cálculo matemático de probabilidades se basa en
situaciones teóricas en las cuales puede configurarse
un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan
todos la misma probabilidad.
 La probabilidad de un resultado se representa con un
número entre 0 y 1 : la probabilidad 0 indica que el
resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el
resultado ocurrirá siempre.
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5. Modelos de probabilidad
 De Frecuencia Relativa , a posteriori o empírico
Utiliza la observación de datos, registrando su frecuencia de
ocurrencia y usando esta información para pronosticar la
posibilidad de una nueva ocurrencia.
 Subjetivo o intuitivo
Se basa en la mejor conjetura con base a la evidencia
disponible. Se aplica para eventos nuevos.
 Clásico , a priori o de Laplace
Sirve para determinar la probabilidad de un hecho antes de que
ocurra , mediante su cálculo teórico , con base a resultados
igualmente probables.
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6. Modelo de frecuencia relativa
Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA
< n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos,
entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A
“nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A :
P(A)= nA /n
OBSERVACIONES:
1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.
Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.
En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤
nA /n ≤ 1.
Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A.6

7. Modelo Subjetivo
Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es
el grado de creencia por parte de un individuo de que un
evento ocurra, basado en toda la evidencia a su
disposición.
Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es
adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia
del evento y cuando no se cuenta con ninguna evidencia.
Puede ser muy acertado o muy desligado de la realidad ,
pues es un juicio personal.
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8. Modelo Clásico
La probabilidad de un evento es la razón entre el
número de casos (sucesos) favorables y el numero total
de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a
creer que algunos de estos sucesos debe tener
preferencia a los demás, lo que hace que sean
igualmente posibles.
La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO,
que mide el grado de certeza en el que un evento A
ocurre, y se obtiene con la formula conocida como
REGLA DE LAPLACE:
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9. Espacio Muestral y Evento
Cada experimento aleatorio tiene varios resultados
posibles y podemos describir con precisión el
conjunto de estos resultados posibles. Llamaremos
Espacio Muestral asociado a un experimento
aleatorio, al conjunto de todos los resultados
posibles de dicho experimento aleatorio, y lo
denotamos con Ω.
A uno o más de los resultados posibles del espacio
muestral, se les denomina Evento o Suceso, y se
simboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, …
Es un subconjunto del espacio muestral.
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10. Tipos de Eventos
Elemental :A cada elemento o resultado posible del
espacio muestral, se le conoce con el nombre de evento
elemental.
Imposible :Algunos eventos nunca pueden ocurrir en el
experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se
simboliza con Ø.
Seguro :Los eventos que siempre suceden en el
experimento aleatorio, son llamados eventos seguros.
Complementario : Cuando se considera un evento A, el
evento que contiene todos los eventos elementales del
espacio muestral que no estén en A se denominara Evento
Complementario. Se simbolizara con Ā. Siempre que
sumemos el evento A y su complemento Ā, tendremos el
espacio muestral Ω (A + Ā = Ω). 10

11. Técnicas de Conteo
 Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar y que
nos proporcionan la información de todas las
maneras posibles en que ocurre un evento
determinado.
 Permiten determinar el número de subconjuntos que
se pueden obtener de un conjunto.
 Incluyen : las combinaciones, permutaciones y los
diagramas de árbol.
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12. Principio de conteo Multiplicativo
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en
donde:
a) El primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a
cabo de N1 maneras o formas,
b) el segundo paso de N2 maneras o formas
c) y el n-ésimo paso de Nn maneras o formas,
entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:
N1 x N2 x ..........x Nn maneras o formas
Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere
para ser llevada a efecto de una serie de pasos,
entonces haremos uso del principio multiplicativo
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13. Principio de conteo Aditivo
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde:
a) La primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas,
b) la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o
formas .....
c) y la última de las alternativas puede ser realizada de W
maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:
M + N + .........+ W maneras o formas
Si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas
para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
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14. Combinación
Fórmula :
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de n!
elementos en donde NO nCr =
nos interesa el lugar o r!(n − r )!
posición que ocupa cada
uno de los elementos En donde,
nCr = es el número de combinaciones
que constituyen dicho de n objetos tomados r a la vez.
arreglo, simplemente n! = factorial de n
nos interesa formar (n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r
grupos y su contenido.
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15. Permutación
Fórmula :
PERMUTACIÓN:
n
Es todo arreglo de nPr
elementos en donde SI
n r
nos interesa el lugar o
posición que ocupa cada
En donde,
uno de los elementos que nPr = es el número de
constituyen dicho arreglo. permutaciones de n objetos
tomados r a la vez.
n! = factorial de n
(n-r)! = factorial de la diferencia entre
nyr
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16. Probabilidad de eventos
Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral son
excluyentes si NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS. Es decir, la
ocurrencia de uno EXCLUYE de la ocurrencia del otro. En
símbolos si P (A ∩ B)= Ø
P(A + B)= P(A) + P(B)
Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir
juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la
ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø
P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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17. Probabilidad de eventos
Dos eventos A y B son dependientes, si un evento influye
en el otro evento. Observamos que el hecho de que
suceda el evento A influye en la probabilidad del suceso B,
es decir la probabilidad del suceso B depende de que A se
haya realizado o no, esto se expresa como P (B/A).
P(AB) = P (A) * P (B/A)
Dos o más eventos son independientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene
efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro
evento (o eventos).
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18. Probabilidad de eventos
Sean A y B dos eventos asociados con un experimento
aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y
que p (B) > 0.
Bajo estas condiciones se llama probabilidad
condicional de A dado B, y se escribe P (A/B), al
cociente que se obtiene dividiendo la probabilidad de
la intersección de A y B entre la probabilidad de B:
P(A ∩ B)
P (A / B) =
P(B)
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19. Bibliografía
1) Patiño Arellano , Omar Alejandro .Teoría elemental
de probabilidad (2009). [En línea]. Disponible en:
http://www.monografias.com/trabajos69/teoria-
elemental-probabilidad/teoria-elemental-
probabilidad.shtml [2010,4 de Enero].
2) Domínguez, Jorge. (2009). Estadística y
probabilidad. El Mundo de los datos y el azar.
México: Oxford University Press. Unidad 5:
Probabilidad, pp. 181 a 231.
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