Este documento explica conceptos básicos de probabilidad como posibilidades, probabilidades, experimentos, sucesos, pruebas y eventos. También cubre temas como probabilidad aditiva, independencia, permutaciones, combinaciones y variaciones para calcular el número de posibles resultados en diferentes escenarios. Se incluyen ejemplos numéricos para ilustrar cada concepto.

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Se puede definir como el grado de creencia que uno
tiene de la ocurrencia de un suceso; nos
referimos a algo que puede suceder
con base en la experiencia
que se tenga

3. Se puede hablar de Posibilidades y de Probabilidades, el primero hace
referencia a la comparación entre el número de resultados favorables
con los desfavorables:
N°. de defectuosos
N°. de no defectuosos
.
En el segundo es el cociente entre el número favorable o desfavorable
(según sea el caso) sobre el total de casos posibles:
P =
N°. de favorables o desfavorables
Total de casos posibles

4. Ejemplo: Supongamos que se lanza 100 veces una moneda,
anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale
sello; los resultados fueron los siguientes:
Suceso Yi ni Ni P
Cara 1 56 0,56 56/100 = 0,56
probabilidad de éxito
Sello 2 44 0,44 44/100 = 0,44
probabilidad de fracaso

5. Se llamará suceso a cada caso posible, es decir, a la realización
de un acontecimiento y este puede ser:
• Un hecho es cierto, cuando son favorables todos los casos
posibles.
• Un hecho verosímil a un suceso susceptible de realizarse,
pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y
mayor que 0,5.
• Si la probabilidad es igual a 0,5 será un hecho dudoso, ya
que las probabilidades ventajosas y desventajosas son
iguales. Hecho inverosímil, se presenta cuando la
probabilidad es menor que 0,5 y mayor que cero.
• Hecho imposible, es cuando no existe posibilidad alguna de
salir favorecido

6. Prueba es la realización de un acto. El conjunto de pruebas
realizadas en las mismas condiciones se denomina
experimento. La respuesta de una prueba se llama resultado,
punto muestral o suceso. El conjunto de todos los resultados
posibles constituye un espacio muestral. Un evento es un
conjunto de uno o más puntos muestrales

7. Ejemplos:
Experimento: lanzamiento de una moneda teórica
U = {C, S}
Experimento: lanzamiento de dos monedas, asignando la
probabilidad a cada suceso.
U = {CC, CS, SC, SS}
Experimento: lanzamiento de dos dados.
U =

8. Es una de las maneras que permite determinar diversos eventos
posibles, al contar los puntos muestrales.
Ejemplo:
En el lanzamiento de tres monedas, se tendrá:

9. Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, el
número de sucesos o la esperanza de ese suceso en n ensayos, estará
dado por el producto de n y la probabilidad de éxito p.
E = np
Ejemplo:
En el lanzamiento de dos dados 900 veces. ¿Cuál es la esperanza de que
en la suma de sus caras se obtenga un valor menor a 6?
Solución:
Primero obtenemos la probabilidad de éxito que el suceso sea un valor
menor a 6 en un solo ensayo:
(11) (12) (21) (22) (23) (32) (13) (31) (41) (14) p = 10/36
Como se lanza el dado 900 veces, entonces: E = np = 900(10/36) = 250
Se espera que 250 de los 900 lanzamientos, la suma de sus caras resulte
un valor menor a 6.

10. Ejemplo:
Una persona vive en el extremo norte de la ciudad y sólo cuenta con dos rutas para poder
llegar a la llamada Autopista Norte. Una vez alcanzada la autopista tiene tres rutas de menor
congestión para llegar al centro de la ciudad. Ya en el centro puede seleccionar dos rutas
para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. La pregunta que se haría dicha persona
es: ¿de cuántas maneras o rutas podría conducir su automóvil de la casa al parqueadero más
próximo a su oficina?
3
1 6
4
2 5 7
Las alternativas que tendrá son:
{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}
{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}
En total se tienen 12 maneras o rutas para elegir. Aplicando la técnica de la multiplicación,
se tendrá: 2 x 3 x 2 = 12.

11. Las permutaciones son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de
los elementos de un conjunto; también se puede considerar como un
conjunto de cosas extraídas en un orden específico y sin reemplazo de
un conjunto igual o mayor.
Generalmente simbolizado por Pn = n! o como nPn = n!
Lo anterior se lee como “permutaciones de n elementos tomados de n
en n”

12. Ejemplo: Supongamos que se tienen los siguientes números naturales
1, 2, 3, 4 y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la fórmula
anterior se tendrá que
4P4 = P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Veamos cuales serían esas cifras:

13. Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las
permutaciones varía: en este caso nos referimos a Permutaciones con
repetición
Ejemplo: Con la palabra CASA tendríamos un número de palabras
inferior a 24, en el caso de que no se haga distinción de la A.

14. En las permutaciones cuando no se utilizan todos los elementos, sino
una parte de ellos, algunos lo denominan como variaciones, cuya
fórmula está dada así:
Ejemplo: En el ejemplo de los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 del
y formemos cifras de 2 dígitos, con los siguientes resultados
! !
!( )!

15. Combinaciones. Son un arreglo de los elementos sin importar el orden
en que se dispongan.
Ejemplo: Cambiemos el ejercicio de los 4 números naturales por las
primeras cuatro letras del alfabeto ¿Cuántas combinaciones se podrían
hacer?
Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da
lo mismo
ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB = etc.
! ! !
( )! ! ! ! ! !

16. Si dos o más sucesos son tales, que solamente uno de ellos puede
ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamente excluyentes. Se
denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las
probabilidades de cada suceso.
Ejemplo 1. La probabilidad de obtener un As o un Rey, sacando una
sola carta en una baraja española de 40 cartas. Si uno de los casos
aparece, queda excluido el otro.

17. Se dice que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad
de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la
presentación del otro. En caso contrario se dice que son dependientes
Ejemplo . ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 reyes sacando una carta
de una baraja y la otra de una segunda baraja?
Ejemplo: De una baraja de 40 cartas se desea extraer tres cartas en
forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se
regresa al abaraja, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera
extracción aparezca un as y en la segunda un rey de oros y en la
tercera un seis de copas?