Este documento presenta una introducción a las distribuciones de probabilidad. Explica conceptos clave como variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Las distribuciones de probabilidad asignan valores de probabilidad a los posibles valores de una variable aleatoria, ya sea de forma discreta o continua.
This document provides an overview of a course on Strength of Materials I for Civil Engineering. It outlines the learning objectives, which include defining different types of stresses, analyzing stress components under various loading conditions, and analyzing stresses in structural elements. It then covers various topics in stresses and strength of materials, including axial force, shear force, stresses in oblique planes under axial loading, stress components under general loading conditions, ultimate stress and permissible stress, and factor of safety. Several examples are provided to illustrate stress calculations for beams, connections, and other structural elements.
Este documento trata sobre los métodos para calcular la deflexión y pendiente en puntos específicos de vigas y ejes sometidos a cargas, incluyendo el método de integración. Presenta ejemplos numéricos de cálculo de deflexión usando este método y condiciones de frontera.
El documento trata sobre la dinámica y las fuerzas. Explica conceptos como fuerza, masa, peso, leyes de Newton, fuerza gravitatoria y leyes de Kepler. Define la fuerza como una magnitud vectorial que depende de su intensidad, dirección y punto de aplicación. La unidad de fuerza es el newton. Presenta ejemplos para ilustrar conceptos como componentes de fuerza, resultante y fuerza de rozamiento.
Una viga de concreto se refuerza con tres varillas de acero colocadas como se muestra en la figura. El módulo de elasticidad es de 3×〖10〗^6 psi para el concreto y 30×〖10〗^6 psi para el acero. Con un esfuerzo permisible de 1350 psi para el concreto y 20 ksi para el acero, determine el momento flector máximo positivo permisible en la viga.
El documento describe los conceptos fundamentales de esfuerzos, deformaciones y elasticidad en ingeniería mecánica. Explica que los esfuerzos incluyen tracción, compresión, flexión y cortadura. También describe cómo se definen y miden las deformaciones unitarias y la relación de Poisson. Además, resume la ley de Hooke sobre la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación para materiales elásticos.
Distribución normal y teorema central del límiteEileen Rodriguez
El documento describe la distribución normal y sus propiedades. Explica que la distribución normal modela variables que siguen una campana de Gauss, dependiendo de los parámetros media (μ) y desviación estándar (σ). Muchas variables naturales y estadísticas siguen esta distribución. También explica cómo calcular probabilidades usando la distribución normal estándar y tablas Z.
Este documento describe diferentes tipos de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas. Explica las distribuciones uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica e hipergeométrica, definiendo sus funciones de probabilidad, media y varianza. También presenta ejemplos para ilustrar el uso de las distribuciones binomial negativa y geométrica.
This document provides an overview of a course on Strength of Materials I for Civil Engineering. It outlines the learning objectives, which include defining different types of stresses, analyzing stress components under various loading conditions, and analyzing stresses in structural elements. It then covers various topics in stresses and strength of materials, including axial force, shear force, stresses in oblique planes under axial loading, stress components under general loading conditions, ultimate stress and permissible stress, and factor of safety. Several examples are provided to illustrate stress calculations for beams, connections, and other structural elements.
Este documento trata sobre los métodos para calcular la deflexión y pendiente en puntos específicos de vigas y ejes sometidos a cargas, incluyendo el método de integración. Presenta ejemplos numéricos de cálculo de deflexión usando este método y condiciones de frontera.
El documento trata sobre la dinámica y las fuerzas. Explica conceptos como fuerza, masa, peso, leyes de Newton, fuerza gravitatoria y leyes de Kepler. Define la fuerza como una magnitud vectorial que depende de su intensidad, dirección y punto de aplicación. La unidad de fuerza es el newton. Presenta ejemplos para ilustrar conceptos como componentes de fuerza, resultante y fuerza de rozamiento.
Una viga de concreto se refuerza con tres varillas de acero colocadas como se muestra en la figura. El módulo de elasticidad es de 3×〖10〗^6 psi para el concreto y 30×〖10〗^6 psi para el acero. Con un esfuerzo permisible de 1350 psi para el concreto y 20 ksi para el acero, determine el momento flector máximo positivo permisible en la viga.
El documento describe los conceptos fundamentales de esfuerzos, deformaciones y elasticidad en ingeniería mecánica. Explica que los esfuerzos incluyen tracción, compresión, flexión y cortadura. También describe cómo se definen y miden las deformaciones unitarias y la relación de Poisson. Además, resume la ley de Hooke sobre la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación para materiales elásticos.
Distribución normal y teorema central del límiteEileen Rodriguez
El documento describe la distribución normal y sus propiedades. Explica que la distribución normal modela variables que siguen una campana de Gauss, dependiendo de los parámetros media (μ) y desviación estándar (σ). Muchas variables naturales y estadísticas siguen esta distribución. También explica cómo calcular probabilidades usando la distribución normal estándar y tablas Z.
Este documento describe diferentes tipos de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas. Explica las distribuciones uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica e hipergeométrica, definiendo sus funciones de probabilidad, media y varianza. También presenta ejemplos para ilustrar el uso de las distribuciones binomial negativa y geométrica.
Este documento trata sobre torsión en ejes circulares. Explica conceptos como deformación angular, esfuerzo cortante, tensiones cortantes máximas y formas de falla. Presenta fórmulas para calcular esfuerzos cortantes en función del torque aplicado y propiedades de la sección transversal del eje. También cubre el cálculo del ángulo de giro en la zona elástica y presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe los procedimientos para probar hipótesis estadísticas para una muestra. Explica conceptos como hipótesis nula y alternativa, errores tipo I y II, y valores p. Luego detalla los procedimientos para probar hipótesis sobre una media, proporción y varianza poblacional utilizando estadísticos como z, t y chi cuadrado e incluye ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la mecánica vectorial y la mecánica estática, incluyendo la definición de fuerza, tipos de fuerzas, unidades de fuerza, vectores y escalares, leyes de Newton, fuerza neta, diagrama de cuerpo libre, composición de fuerzas, fuerza de roce y otros temas. El objetivo es que los estudiantes comprendan estos conceptos básicos y su aplicación al equilibrio estático de los cuerpos rígidos.
Este documento trata sobre la torsión en elementos de máquinas. Explica que bajo torsión aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal y alabeos seccionales. Describe cómo se representa el diagrama de momentos torsores y calcula las tensiones a las que está sometido un elemento diferencial del eje. Además, analiza casos hiperestáticos de torsión y flexión acompañada con torsión.
1) Una variable aleatoria discreta toma valores específicos con probabilidades asignadas y suma de probabilidades igual a 1.
2) La distribución binomial describe experimentos con éxito/fracaso, mientras la hipergeométrica considera más de dos resultados posibles.
3) La distribución de Poisson modela fenómenos con arribos aleatorios independientes en intervalos de tiempo.
El documento presenta conceptos fundamentales de equilibrio y diagramas de cuerpo libre en mecánica. Explica que un diagrama de cuerpo libre muestra una partícula y todas las fuerzas que actúan sobre ella. También describe diferentes tipos de fuerzas como gravitatorias, de contacto, en superficies, de cuerdas y cables, y de resortes. Luego presenta procedimientos y ejemplos para analizar sistemas de fuerzas coplanares y tridimensionales usando el equilibrio y diagramas de cuerpo libre.
This document discusses the analysis of shear forces and bending moments in beams. It provides an example problem of determining the shear force and bending moment diagrams for a simply supported beam with various loads applied. The solution involves imagining cutting the beam into sections and determining the internal forces and moments at each section. Graphs of the shear force and bending moment values along the length of the beam produce diagrams that can be used to find the maximum shear force and bending moment.
El documento habla sobre la conservación del momento lineal en física. Explica que la conservación se refiere a una cantidad que no cambia con el tiempo. El principio de conservación del momento lineal establece que si la suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo o sistema es cero, su momento lineal permanece constante. También presenta ejemplos como la cuna de Newton que ilustran este principio en ausencia de fuerzas externas.
El documento explica el movimiento armónico simple, donde un cuerpo oscila alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza de restauración proporcional a su desplazamiento, como un bloque en un resorte. También describe cómo Taipei 101 usa un péndulo masivo para contrarrestar los efectos del viento y mantener estable la torre.
Diapositivas notación indicial y operaciones de tensores - milder perezMilerPerez2
El documento presenta información sobre notación indicial y tensores. Explica las reglas de notación indicial, los tipos de índices, y define qué es un tensor. Además, describe operaciones básicas con tensores como suma, resta, contracción y producto tensorial. La notación indicial permite escribir de forma compacta ecuaciones y sistemas geométricos y físicos de manera independiente al sistema de coordenadas.
Este documento trata sobre esfuerzos y deformaciones en sólidos. Explica que los átomos en un sólido están unidos por fuerzas electromagnéticas, y que la fuerza elástica se refiere a esta fuerza electromagnética. Luego define esfuerzo, esfuerzo de tensión, esfuerzo cortante y deformación unitaria, y explica la relación entre esfuerzo y deformación a través de la curva esfuerzo-deformación.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de dinámica. En el primer ejercicio se calcula el vector aceleración para el pasador B. En el segundo ejercicio se calculan la velocidad y aceleración de un pasador que se mueve dentro de una ranura sobre una superficie parabólica. En el tercer ejercicio se calcula la componente radial de la velocidad y la aceleración normal de un peso que se mueve sobre un tambor de diámetro variable.
Este documento trata sobre la elasticidad de los materiales. Introduce conceptos como deformación elástica y plástica, y explica que la deformación elástica ocurre cuando un material recupera su forma original después de que la fuerza que lo deformó se retira, mientras que la deformación plástica es permanente. También describe pruebas de tensión que miden la relación entre esfuerzo y deformación de un material, y la ley de Hooke, que establece que la deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada.
El documento trata sobre los principios básicos de resistencia de materiales en tres sesiones. Cubre temas como esfuerzo cortante transversal que es la fuerza cortante que actúa perpendicularmente a la superficie de corte de un material sometido a esfuerzos.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la ruta de 10 millas, y un cronograma tentativo de 18 meses para completar el proyecto por fases.
El documento describe un eslabón de union con diferentes grosores y pasadores. La parte superior mide 3/8 pulgadas y las inferiores 1/4 pulgadas, unidas con resina epóxica en B. El pasador en A mide 3/8 pulgadas y en C mide 1/4 pulgadas. Se pide calcular los esfuerzos cortantes en A y C, el máximo esfuerzo normal en ABC, el esfuerzo cortante promedio en B y el esfuerzo de soporte en C.
Continuando con el tema de las distribuciones discretas, adjunto esta presentación de la distribución binomial negativa y de la distribución geométrica
El documento presenta conceptos clave sobre elasticidad como esfuerzo, deformación, límite elástico y resistencia a la rotura. Explica que la elasticidad determina la amplitud de las vibraciones de una cuerda elástica como la usada en bungee jumping. También define propiedades elásticas como módulo de Young y de corte que miden la relación entre esfuerzo y deformación en materiales.
El documento trata sobre la estimación paramétrica en estadística. Explica que la estimación paramétrica tiene como objetivo estimar parámetros poblacionales a partir de muestras. Se pueden hacer estimaciones puntuales o por intervalo. Las estimaciones por intervalo como los límites de confianza proporcionan más información sobre la precisión y confiabilidad de la estimación que las estimaciones puntuales. El documento ilustra estos conceptos con varios ejemplos numéricos.
El documento define el espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se dan ejemplos como el lanzamiento de dos monedas o un dado. Los espacios muestrales pueden ser discretos o continuos dependiendo de si los elementos resultan de hacer conteos o mediciones. También se define un evento o suceso como cualquier subconjunto del espacio muestral que representa uno o más resultados posibles del experimento.
El documento presenta una sesión sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Se discuten las distribuciones binomial, Poisson y exponencial, incluyendo sus funciones de probabilidad, propiedades y ejemplos. También se explica la relación entre las distribuciones de Poisson y exponencial.
Este documento contiene 97 ejercicios sobre distribuciones discretas como la binomial, geométrica, Poisson y otras. Los ejercicios abordan conceptos como la probabilidad de eventos, el número esperado de sucesos, y aproximaciones de distribuciones discretas. El documento provee una guía para entender y aplicar diferentes distribuciones de probabilidad en contextos como lanzamientos de dados, llamadas telefónicas, muestras aleatorias y más.
Este documento trata sobre torsión en ejes circulares. Explica conceptos como deformación angular, esfuerzo cortante, tensiones cortantes máximas y formas de falla. Presenta fórmulas para calcular esfuerzos cortantes en función del torque aplicado y propiedades de la sección transversal del eje. También cubre el cálculo del ángulo de giro en la zona elástica y presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe los procedimientos para probar hipótesis estadísticas para una muestra. Explica conceptos como hipótesis nula y alternativa, errores tipo I y II, y valores p. Luego detalla los procedimientos para probar hipótesis sobre una media, proporción y varianza poblacional utilizando estadísticos como z, t y chi cuadrado e incluye ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la mecánica vectorial y la mecánica estática, incluyendo la definición de fuerza, tipos de fuerzas, unidades de fuerza, vectores y escalares, leyes de Newton, fuerza neta, diagrama de cuerpo libre, composición de fuerzas, fuerza de roce y otros temas. El objetivo es que los estudiantes comprendan estos conceptos básicos y su aplicación al equilibrio estático de los cuerpos rígidos.
Este documento trata sobre la torsión en elementos de máquinas. Explica que bajo torsión aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal y alabeos seccionales. Describe cómo se representa el diagrama de momentos torsores y calcula las tensiones a las que está sometido un elemento diferencial del eje. Además, analiza casos hiperestáticos de torsión y flexión acompañada con torsión.
1) Una variable aleatoria discreta toma valores específicos con probabilidades asignadas y suma de probabilidades igual a 1.
2) La distribución binomial describe experimentos con éxito/fracaso, mientras la hipergeométrica considera más de dos resultados posibles.
3) La distribución de Poisson modela fenómenos con arribos aleatorios independientes en intervalos de tiempo.
El documento presenta conceptos fundamentales de equilibrio y diagramas de cuerpo libre en mecánica. Explica que un diagrama de cuerpo libre muestra una partícula y todas las fuerzas que actúan sobre ella. También describe diferentes tipos de fuerzas como gravitatorias, de contacto, en superficies, de cuerdas y cables, y de resortes. Luego presenta procedimientos y ejemplos para analizar sistemas de fuerzas coplanares y tridimensionales usando el equilibrio y diagramas de cuerpo libre.
This document discusses the analysis of shear forces and bending moments in beams. It provides an example problem of determining the shear force and bending moment diagrams for a simply supported beam with various loads applied. The solution involves imagining cutting the beam into sections and determining the internal forces and moments at each section. Graphs of the shear force and bending moment values along the length of the beam produce diagrams that can be used to find the maximum shear force and bending moment.
El documento habla sobre la conservación del momento lineal en física. Explica que la conservación se refiere a una cantidad que no cambia con el tiempo. El principio de conservación del momento lineal establece que si la suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo o sistema es cero, su momento lineal permanece constante. También presenta ejemplos como la cuna de Newton que ilustran este principio en ausencia de fuerzas externas.
El documento explica el movimiento armónico simple, donde un cuerpo oscila alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza de restauración proporcional a su desplazamiento, como un bloque en un resorte. También describe cómo Taipei 101 usa un péndulo masivo para contrarrestar los efectos del viento y mantener estable la torre.
Diapositivas notación indicial y operaciones de tensores - milder perezMilerPerez2
El documento presenta información sobre notación indicial y tensores. Explica las reglas de notación indicial, los tipos de índices, y define qué es un tensor. Además, describe operaciones básicas con tensores como suma, resta, contracción y producto tensorial. La notación indicial permite escribir de forma compacta ecuaciones y sistemas geométricos y físicos de manera independiente al sistema de coordenadas.
Este documento trata sobre esfuerzos y deformaciones en sólidos. Explica que los átomos en un sólido están unidos por fuerzas electromagnéticas, y que la fuerza elástica se refiere a esta fuerza electromagnética. Luego define esfuerzo, esfuerzo de tensión, esfuerzo cortante y deformación unitaria, y explica la relación entre esfuerzo y deformación a través de la curva esfuerzo-deformación.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de dinámica. En el primer ejercicio se calcula el vector aceleración para el pasador B. En el segundo ejercicio se calculan la velocidad y aceleración de un pasador que se mueve dentro de una ranura sobre una superficie parabólica. En el tercer ejercicio se calcula la componente radial de la velocidad y la aceleración normal de un peso que se mueve sobre un tambor de diámetro variable.
Este documento trata sobre la elasticidad de los materiales. Introduce conceptos como deformación elástica y plástica, y explica que la deformación elástica ocurre cuando un material recupera su forma original después de que la fuerza que lo deformó se retira, mientras que la deformación plástica es permanente. También describe pruebas de tensión que miden la relación entre esfuerzo y deformación de un material, y la ley de Hooke, que establece que la deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada.
El documento trata sobre los principios básicos de resistencia de materiales en tres sesiones. Cubre temas como esfuerzo cortante transversal que es la fuerza cortante que actúa perpendicularmente a la superficie de corte de un material sometido a esfuerzos.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la ruta de 10 millas, y un cronograma tentativo de 18 meses para completar el proyecto por fases.
El documento describe un eslabón de union con diferentes grosores y pasadores. La parte superior mide 3/8 pulgadas y las inferiores 1/4 pulgadas, unidas con resina epóxica en B. El pasador en A mide 3/8 pulgadas y en C mide 1/4 pulgadas. Se pide calcular los esfuerzos cortantes en A y C, el máximo esfuerzo normal en ABC, el esfuerzo cortante promedio en B y el esfuerzo de soporte en C.
Continuando con el tema de las distribuciones discretas, adjunto esta presentación de la distribución binomial negativa y de la distribución geométrica
El documento presenta conceptos clave sobre elasticidad como esfuerzo, deformación, límite elástico y resistencia a la rotura. Explica que la elasticidad determina la amplitud de las vibraciones de una cuerda elástica como la usada en bungee jumping. También define propiedades elásticas como módulo de Young y de corte que miden la relación entre esfuerzo y deformación en materiales.
El documento trata sobre la estimación paramétrica en estadística. Explica que la estimación paramétrica tiene como objetivo estimar parámetros poblacionales a partir de muestras. Se pueden hacer estimaciones puntuales o por intervalo. Las estimaciones por intervalo como los límites de confianza proporcionan más información sobre la precisión y confiabilidad de la estimación que las estimaciones puntuales. El documento ilustra estos conceptos con varios ejemplos numéricos.
El documento define el espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se dan ejemplos como el lanzamiento de dos monedas o un dado. Los espacios muestrales pueden ser discretos o continuos dependiendo de si los elementos resultan de hacer conteos o mediciones. También se define un evento o suceso como cualquier subconjunto del espacio muestral que representa uno o más resultados posibles del experimento.
El documento presenta una sesión sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Se discuten las distribuciones binomial, Poisson y exponencial, incluyendo sus funciones de probabilidad, propiedades y ejemplos. También se explica la relación entre las distribuciones de Poisson y exponencial.
Este documento contiene 97 ejercicios sobre distribuciones discretas como la binomial, geométrica, Poisson y otras. Los ejercicios abordan conceptos como la probabilidad de eventos, el número esperado de sucesos, y aproximaciones de distribuciones discretas. El documento provee una guía para entender y aplicar diferentes distribuciones de probabilidad en contextos como lanzamientos de dados, llamadas telefónicas, muestras aleatorias y más.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variables aleatorias, funciones de probabilidad, distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Explica las distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson y normal, incluyendo sus parámetros y usos comunes. También cubre conceptos como valor esperado, varianza, tipificación y cómo la distribución normal emerge de estimaciones muestrales a pesar de la distribución original de los datos.
Este documento describe la distribución normal y sus propiedades. Explica que la distribución normal es la más importante en probabilidad y estadística. Define sus parámetros de media y desviación estándar y cómo estos afectan la forma de la curva. Presenta fórmulas para la función de densidad y distribución de probabilidad normal y su representación gráfica. Además, introduce el concepto de variable normal estandarizada y cómo usar tablas para calcular probabilidades asociadas a la distribución normal.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Explica conceptos básicos como variable aleatoria y función de densidad de probabilidad. Detalla distribuciones discretas como la uniforme, binomial, hipergeométrica, geométrica y binomial negativa, así como distribuciones continuas como la uniforme, normal, lognormal, logística, beta, gamma y exponencial. Además, cubre temas como generación de distribuciones y bibliografía.
El documento presenta los conceptos básicos de las variables aleatorias y los modelos probabilísticos. Explica las funciones de probabilidad, densidad y distribución para variables discretas y continuas. Describe las distribuciones de Bernoulli, binomial, normal y Poisson, así como sus propiedades y usos. Finalmente, introduce las distribuciones asociadas a la normal como la chi cuadrada, t de Student y F de Snedecor.
El documento describe las distribuciones fundamentales de muestreo población y muestra. Explica que una población consiste en todas las observaciones de interés con una distribución de probabilidad subyacente. La media y varianza de una muestra tienden a aproximarse a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, según el teorema del límite central. También introduce varias distribuciones comunes como t de Student, Ji-cuadrado y F, que son útiles para realizar inferencias estadísticas sobre poblaciones basadas en m
El documento presenta los conceptos básicos de estadística descriptiva e inferencial. Explica las escalas de medición, variables, datos y estadísticas. Describe los métodos para construir distribuciones de frecuencias y gráficas. Finalmente, introduce las medidas de tendencia central como la media, mediana y moda, y las medidas de variabilidad como el rango y desviación estándar. El documento provee los fundamentos teóricos de estadística necesarios para el análisis de datos.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad continuas importantes, incluidas la distribución normal, la distribución exponencial y la distribución de Weibull. Explica las propiedades y parámetros clave de cada distribución, y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades usando estas distribuciones.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variable aleatoria, distribución de probabilidad, experimentos de Bernoulli y binomiales. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una distribución de probabilidad refleja el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. Finalmente, detalla las distribuciones de Bernoulli y binomial, indicando que la primera tiene dos posibles resultados y la segunda consiste en múltiples ensayos de Bernoulli independientes.
El documento describe diferentes tipos de distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones discretas como la binomial y distribuciones continuas como la normal. Explica conceptos clave como función de probabilidad, media, varianza, función de densidad y función de distribución. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t-Student. Explica sus características clave como la probabilidad de éxito o fracaso, el número de ensayos, la esperanza y varianza para modelar diferentes tipos de experimentos aleatorios.
Este documento presenta un libro sobre la administración avanzada de Windows 7. El libro enseña a los lectores cómo aprovechar al máximo las características y herramientas de Windows 7 para convertirse en administradores profesionales. A través de sus páginas, los lectores aprenderán sobre temas avanzados como la instalación, configuración, seguridad, rendimiento y solución de problemas de Windows 7. El libro también cubre el uso de aplicaciones, redes, hardware y herramientas administrativas.
Este documento resume los contenidos de un libro sobre soluciones a problemas comunes en computadoras. El libro explica cómo resolver fallas en sistemas operativos como Windows Vista y XP, problemas con aplicaciones como Microsoft Office, y dificultades con hardware, imágenes, audio y correo electrónico. Además, ofrece consejos sobre sistemas mixtos, rendimiento, seguridad y almacenamiento.
Este documento proporciona una introducción y resumen del contenido de un libro sobre seguridad informática. Explica que el libro enseña a los lectores a configurar las herramientas de seguridad necesarias para proteger su computadora y red, incluyendo la instalación de antivirus, protección contra spyware y malware, configuración de firewall y red Wi-Fi, y establecimiento de políticas de seguridad y privacidad. El resumen también incluye una lista de los capítulos que cubren estos temas de seguridad paso a paso.
Este documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad de los datos en la era digital. Explica que debido al gran volumen de datos personales que se comparten en línea, es crucial que las empresas protejan esta información de manera responsable para mantener la confianza de los clientes.
Este documento presenta un libro sobre robótica que enseña a construir robots desde cero. Explica los conceptos básicos de robótica e inteligencia de robots, así como los componentes necesarios para construir robots autónomos capaces de percibir su entorno y generar movimiento. El libro guía al lector a través de cada paso teórico y práctico para el armado y programación de un robot.
Este documento proporciona una introducción a cómo convertir una PC en un estudio de grabación musical profesional utilizando herramientas gratuitas tanto en Windows como en Linux. Explica cómo diseñar el espacio de trabajo, el proceso de grabación digital, software recomendado como secuenciadores y editores de audio, y consejos sobre hardware, sistemas operativos e instalación. El objetivo final es aprender a grabar, mezclar e incluso masterizar canciones de forma casera.
1. Probabilidad y Estad´
ıstica
Distribuciones de probabilidad
Dr. H´ctor Avil´s
e e
Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n
ıa ıas o
Universidad Polit´cnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas
Agosto-Diciembre 2011
2. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Contenido
Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza
Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Avil´s
e UPV
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3. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Contenido
Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza
Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Avil´s
e UPV
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4. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a
H. Avil´s
e UPV
4/44
5. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y
las probabilidades asociadas
H. Avil´s
e UPV
4/44
6. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y
las probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos
e
que describan los eventos, en vez de los eventos en si
H. Avil´s
e UPV
4/44
7. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y
las probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos
e
que describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores
a
num´ricos
e
H. Avil´s
e UPV
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8. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variables
´
aleatoria o variables estoc´stica
a
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y
las probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos
e
que describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores
a
num´ricos
e
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valores
num´ricos a cada salida de un experimento
e
H. Avil´s
e UPV
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9. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma
a o
un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R
H. Avil´s
e UPV
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10. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma
a o
un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R
Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los
eventos donde se utilizan A, B ´ C )
o
H. Avil´s
e UPV
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11. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma
a o
un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R
Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los
eventos donde se utilizan A, B ´ C )
o
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en
o
alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos
u u
monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) =
a
1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0
a a a
H. Avil´s
e UPV
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12. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma
a o
un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R
Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los
eventos donde se utilizan A, B ´ C )
o
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en
o
alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos
u u
monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) =
a
1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0
a a a
En casos especiales, un evento e es igual al valor num´rico
e
deseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El n´mero que resulta
u
de lanzar un unico dado)
´
H. Avil´s
e UPV
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13. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o
H. Avil´s
e UPV
6/44
14. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
H. Avil´s
e UPV
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15. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos
resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
X ∈ N es discreta finita
H. Avil´s
e UPV
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16. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos
resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
X ∈ N es discreta finita
Tambi´n hay V.A. discretas infinitas como el n´mero de
e u
granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el
o u
cielo
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17. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por
u
una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona”
o
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos
resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
X ∈ N es discreta finita
Tambi´n hay V.A. discretas infinitas como el n´mero de
e u
granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el
o u
cielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valores
cualitativos X ∈ {alto, mediano, bajo},
Y ∈ {estudiante, profesionista}
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18. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un
rango o intervalo de R
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19. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un
rango o intervalo de R
Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”
o
´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una
persona”
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20. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un
rango o intervalo de R
Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”
o
´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una
persona”
Las V.A. pueden representar eventos simples o eventos
compuestos
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21. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definir
distribuciones de probabilidad sobre ellas
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22. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definir
distribuciones de probabilidad sobre ellas
Una distribuci´n de probabilidad es una funci´n que nos
o o
permite asignar valores de probabilidad para los valores de una
V.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuci´n de
o
probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los
valores de X
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23. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definir
distribuciones de probabilidad sobre ellas
Una distribuci´n de probabilidad es una funci´n que nos
o o
permite asignar valores de probabilidad para los valores de una
V.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuci´n de
o
probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los
valores de X
A una distribuci´n de probabilidad de este tipo se les
o
denomina distribuci´n de probabilidad discreta
o
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24. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta
Sea X una V.A. discreta que puede tomar N valores distintos,
X ∈ {xi |1 ≤ i ≤ N}, entonces
P(X = xi ) = p(xi ),
N
donde 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 y i=1 p(xi ) =1
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25. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta - Ejemplo
Para un dado que no es justo y privilegia resultados impares:
xi p(xi )
1 3/12
2 1/12
3 3/12
4 1/12
5 3/12
6 1/12
Las distribuciones de probabilidad discreta pueden representarse
por medio de tablas o gr´ficamente (i.e., mediante histogramas de
a
probabilidad)
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26. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funci´n de probabilidad acumulada
o
Una funci´n importante es la funci´n de probabilidad
o o
acumulada
P(X ≤ xi ) = p(xj )
j≤i
A su gr´fica se le llama funci´n escalera
a o
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27. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Valor esperado
Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza
o o
matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X :
a
E [X ] = xi · p(xi )
∀i
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28. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Valor esperado
Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza
o o
matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X :
a
E [X ] = xi · p(xi )
∀i
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con
X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · +2· +3· +4· +5· +6· =
6 6 6 6 6 6
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29. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Valor esperado
Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza
o o
matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X :
a
E [X ] = xi · p(xi )
∀i
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con
X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5
6 6 6 6 6 6
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30. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Valor esperado
Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza
o o
matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X :
a
E [X ] = xi · p(xi )
∀i
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con
X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
1 1 1 1 1 1
E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5
6 6 6 6 6 6
Si la gr´fica de la distribuci´n de probabilidad se ve como un
a o
objeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa del
objeto en dos partes iguales
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31. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se
e
“esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el
o
eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o
a
probabilidades)
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32. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se
e
“esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el
o
eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o
a
probabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
n
2
V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi )
i=1
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33. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se
e
“esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el
o
eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o
a
probabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
n
2
V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi )
i=1
Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia al
cuadrado entre cada valor para X y su esperanza matem´tica a
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34. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza tambi´n se puede calcular como:
e
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de
X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al
cuadrado)
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35. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza tambi´n se puede calcular como:
e
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de
X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al
cuadrado)
Por ejemplo, para un dado justo
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
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36. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza tambi´n se puede calcular como:
e
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de
X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al
cuadrado)
Por ejemplo, para un dado justo
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25
ı,
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37. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Varianza
La varianza tambi´n se puede calcular como:
e
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de
X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al
cuadrado)
Por ejemplo, para un dado justo
E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5,
y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25
ı,
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripci´n
´ o
anal´
ıtica de la distribuci´n
o
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38. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio
Considere la siguiente tabla de edades y la V.A. X ´ la edad
o
de una persona del grupo. Grafique p(xi ) ∀i, su funci´n
o
acumulada, y obtenga E , V y P(X = 25 ´ X = 21)
o
Edad
25
22
21
24
25
29
21
22
25
24
21
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39. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio
Para los siguientes valores de una variable X , grafique p(xi )∀i,
su funci´n acumulada, y calcule E , V y P(X ≤ 25)
o
13, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 24, 23, 38, 36, 24, 29, 25, 17, 17, 34,
36, 39, 34, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 37, 31, 37, 34, 32, 35, 28,
32, 31, 28, 15, 32, 13
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40. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su
funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad
o
de Y = y est´ dada por:
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a
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41. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su
funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad
o
de Y = y est´ dada por:
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a
donde a y b son los l´
ımites inferior y superior en que p(y )
debe evaluarse
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42. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su
funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad
o
de Y = y est´ dada por:
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a
donde a y b son los l´
ımites inferior y superior en que p(y )
debe evaluarse
∞
Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0
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43. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su
funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad
o
de Y = y est´ dada por:
a
b
P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy
a
donde a y b son los l´
ımites inferior y superior en que p(y )
debe evaluarse
∞
Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0
y
Recordar que y p(y )dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas
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44. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funci´n de probabilidad acumulada y valor esperado
o
La funci´n de distribuci´n acumulativa es:
o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞
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45. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funci´n de probabilidad acumulada y valor esperado
o
La funci´n de distribuci´n acumulativa es:
o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞
La esperanza matem´tica de Y es:
a
∞
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy
−∞
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46. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funci´n de probabilidad acumulada y valor esperado
o
La funci´n de distribuci´n acumulativa es:
o o
b
P(Y ≤ b) = p(y )dy
−∞
La esperanza matem´tica de Y es:
a
∞
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy
−∞
La varianza es:
∞
V (Y ) = (y − E (Y ))2 · p(y )dy
−∞
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47. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Ejemplos de una funci´n de probabilidad continua (izquierda) y el
o
comportamiento de su funci´n acumulativa (derecha)
o
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48. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:
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e UPV
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49. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:
Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como
a e
tri´ngulos y trapecios)
a
H. Avil´s
e UPV
20/44
50. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:
Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como
a e
tri´ngulos y trapecios)
a
Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n)
o o
H. Avil´s
e UPV
20/44
51. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:
Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como
a e
tri´ngulos y trapecios)
a
Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n)
o o
Cuando la forma de la integral es conocida (o puede
conocerse) y resolviendo para a y b
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52. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento
a
[a, b] de la curva:
Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como
a e
tri´ngulos y trapecios)
a
Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n)
o o
Cuando la forma de la integral es conocida (o puede
conocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de c´lculo:
a
b b = P(Y ≤ b) − P(Y ≤ a)
P(a ≤ Y ≤ b) = a p(y )dy = P(Y )|a
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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53. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
b
Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n,
i=a
para una variable Y con densidad de probabilidad
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
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54. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
b
Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n,
i=a
para una variable Y con densidad de probabilidad
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
b−a 1−0 1
∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆n
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55. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
b
Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n,
i=a
para una variable Y con densidad de probabilidad
1
2y 0≤y ≤2
p(y ) =
0 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
b−a 1−0 1
∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆n
1 1 1
P(0 ≤ Y ≤ 1) = ·i=0 2 (yi )
= (4)
( 4 ) · ( 1 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈
1
2
9
32 o
´ 0.28
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56. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
1 1 1
Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy
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57. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
1 1 1
Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy
Resolviendo la integral definida:
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4
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22/44
58. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
1 1 1
Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy
Resolviendo la integral definida:
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4
Si se grafica la ecuaci´n 1 y , se observa que es una l´
o 2 ınea recta
y forma un tri´ngulo en los l´
a ımites b y a
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59. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
1 1 1
Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy
Resolviendo la integral definida:
1
1 1 y2 1 1 1
ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25
0 2 2 2 0 4 0
4 4
Si se grafica la ecuaci´n 1 y , se observa que es una l´
o 2 ınea recta
y forma un tri´ngulo en los l´
a ımites b y a
Si se recuerda que ´rea = base·altura , y
a 2
base = b − a = 1 − 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 1 · 1) = 1/2,
2
base · altura 1· 1
2
´rea =
a = = 1/4
2 2
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60. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como
2
2 2 2 3
1
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 1 y 2 dy = ( 1 ) y3 |2 =
2 2 0
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6
2 3 2 3 = 4/3 ≈ 1.33
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61. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como
2
2 2 1 2 1 2 1 y3 2
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 =
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
2 3 2 3
Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla
2 2 2 2 1
calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy =
2 1 3 1 y4 2 1 24 1 16
0 2 y dy = (2) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2
H. Avil´s
e UPV
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62. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como
2
2 2 1 2 1 2 1 y3 2
0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 =
3
( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
2 3 2 3
Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla
2 2 2 2 1
calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy =
2 1 3 1 2 y4
1 24 1 16
0 2 y dy = ( 2 ) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2
As´ V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 = 2 − (1.33)2 ≈ .23
ı,
H. Avil´s
e UPV
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63. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejercicio 1
Considere una variable Y con densidad de probabilidad
1
10 (y + 3) −1 ≤ y ≤ 2
p(y ) =
0 de lo contrario
calcule P(1 ≤ Y ≤ 2) para n = 5 incrementos, resolviendo la
integral definida; adem´s calcule E [Y ] y V (Y )
a
H. Avil´s
e UPV
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64. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejercicio 2
Considere una variable Y con densidad de probabilidad
6y (1 − y ) 0≤y ≤1
p(y ) =
0 de lo contrario
calcule P(0.5 ≤ Y ≤ 1) con 10 incrementos, resolviendo la
integral definida y obtenga E [Y ] y V (Y )
H. Avil´s
e UPV
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65. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza
Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Avil´s
e UPV
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66. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser
muy importantes en la pr´ctica y teor´
a ıa
H. Avil´s
e UPV
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67. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser
muy importantes en la pr´ctica y teor´
a ıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´
ıficos
H. Avil´s
e UPV
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68. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser
muy importantes en la pr´ctica y teor´
a ıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´
ıficos
Esto ayuda a su aplicaci´n y al estudio de sus propiedades
o
H. Avil´s
e UPV
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69. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser
muy importantes en la pr´ctica y teor´
a ıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´
ıficos
Esto ayuda a su aplicaci´n y al estudio de sus propiedades
o
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: la
distribuci´n uniforme, de Bernoulli y la distribuci´n binomial
o o
H. Avil´s
e UPV
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70. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones
o
discretas m´s simples
a
H. Avil´s
e UPV
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71. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones
o
discretas m´s simples
a
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos
de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos
iguales) que toma una V.A. discreta X
H. Avil´s
e UPV
28/44
72. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones
o
discretas m´s simples
a
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos
de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos
iguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad
P(xn ) = 1/n, ∀n
H. Avil´s
e UPV
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73. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones
o
discretas m´s simples
a
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos
de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos
iguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad
P(xn ) = 1/n, ∀n
En general, nos permitir´ representar problemas en los que
a
todos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,
lanzar un dado o una moneda “justa”)
H. Avil´s
e UPV
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74. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
El valor esperado es:
E [X ] = n xi · p(xi ) =
i=1
1
n
n
i=1 xi · = 1
n · ( x1 +xn · n) =
2
x1 +xn
2
H. Avil´s
e UPV
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75. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme
o
El valor esperado es:
E [X ] = n xi · p(xi ) =
i=1
1
n
n
i=1 xi · = 1
n · ( x1 +xn · n) =
2
x1 +xn
2
La varianza es:
n
V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = i=1 (xi − E [X ])2 · p(xi )
H. Avil´s
e UPV
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76. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n uniforme - Ejercicio
o
Sea X una V.A. discreta con X ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
distribuida uniformemente. Su representaci´n gr´fica es:
o a
Calcule su valor esperado, su varianza y grafique su funci´n
o
escalonada
H. Avil´s
e UPV
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77. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la
o
probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un
e
experimento aleatorio
H. Avil´s
e UPV
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78. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la
o
probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un
e
experimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no
o
en una unica repetici´n del experimento aleatorio
´ o
H. Avil´s
e UPV
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79. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la
o
probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un
e
experimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no
o
en una unica repetici´n del experimento aleatorio
´ o
En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli
o
con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso)
a e
H. Avil´s
e UPV
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80. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la
o
probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un
e
experimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no
o
en una unica repetici´n del experimento aleatorio
´ o
En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli
o
con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso)
a e
La funci´n de probabilidad es P(X ) = px · (1 − p)1−x , es
o
decir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1 − p
H. Avil´s
e UPV
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81. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) =
a i=0
0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p
H. Avil´s
e UPV
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82. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) =
a i=0
0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p
La varianza es:
V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = 1 (x = i − E [X ])2 · p(x = i) =
i=0
1 2 2
i=0 (x = i − p) · p(x = i) = (0 − p) · p(x =
0)+(1−p) 2 ·p(x = 1) = (0−p)2 ·(1−p)+(1−p)2 ·p = p·(1−p)
H. Avil´s
e UPV
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83. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli - Ejemplo
o
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento
de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer
cara, entonces p = P(X = 1) = .6
H. Avil´s
e UPV
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84. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli - Ejemplo
o
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento
de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer
cara, entonces p = P(X = 1) = .6
Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado
“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
H. Avil´s
e UPV
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85. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli - Ejemplo
o
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento
de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer
cara, entonces p = P(X = 1) = .6
Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado
“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,
p = P(Z = 1) = 1/2
H. Avil´s
e UPV
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86. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli
o
H. Avil´s
e UPV
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87. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n de Bernoulli - Ejercicio
o
Para los 3 ejemplos anteriores, calcule E (·), V (·) y grafique su
funci´n p(·)
o
H. Avil´s
e UPV
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88. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r
o u
de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”
e
de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n
H. Avil´s
e UPV
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89. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r
o u
de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”
e
de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda
n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en
o
una autopista o se detenga en un momento r determinado
(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de
tiempo)
H. Avil´s
e UPV
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90. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r
o u
de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”
e
de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda
n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en
o
una autopista o se detenga en un momento r determinado
(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de
tiempo)
La probabilidad de ´xito es p y de fracaso q = 1 − p
e
H. Avil´s
e UPV
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91. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados
o
exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
posici´n del experimento aleatorio en la secuencia
o
H. Avil´s
e UPV
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92. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados
o
exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
posici´n del experimento aleatorio en la secuencia
o
As´ para esta situaci´n
ı, o
p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−r
H. Avil´s
e UPV
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93. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados
o
exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1
y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´
ındice indica la
posici´n del experimento aleatorio en la secuencia
o
As´ para esta situaci´n
ı, o
p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−r
Como s´lo estamos interesados en la probabilidad de r ´xitos
o e
(sin importar el orden), entonces hay que calcular el n´mero
u
de r combinaciones en n elementos:
n n!
=
r r !(n − r )!
H. Avil´s
e UPV
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94. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o
pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de
o
combinaciones posibles:
n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r
H. Avil´s
e UPV
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95. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o
pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de
o
combinaciones posibles:
n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r
De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con
o
n
distribuci´n binomial es P(X = r ) =
o pr (1 − p)n−r ,
r
0≤r ≤n
H. Avil´s
e UPV
38/44
96. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o
pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de
o
combinaciones posibles:
n! n
pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r
r !(n − r )! r
De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con
o
n
distribuci´n binomial es P(X = r ) =
o pr (1 − p)n−r ,
r
0≤r ≤n
El valor esperado est´ dado por np y la varianza por np(1 − p)
a
H. Avil´s
e UPV
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97. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n binomial
o
Distribuci´n binomial para n = 20 y p = 0.1(rojo), p = 0.5(verde),
o
p = 0.8(azul)
H. Avil´s
e UPV
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98. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Otras distribuciones
La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de
o e
un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito
u e
H. Avil´s
e UPV
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99. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Otras distribuciones
La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de
o e
un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito
u e
La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que
o
ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o
espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas
u
en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo)
ıa
H. Avil´s
e UPV
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100. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Otras distribuciones
La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de
o e
un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito
u e
La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que
o
ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o
espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas
u
en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo)
ıa
Para estas distribuciones describe su funci´n de probabilidad, el
o
valor esperado, su varianza y de un ejemplo
H. Avil´s
e UPV
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101. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Contenido
x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor
esperado y varianza
x Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Avil´s
e UPV
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102. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a
H. Avil´s
e UPV
42/44
103. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a
Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la
u o a
ciencia
H. Avil´s
e UPV
42/44
104. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a
Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la
u o a
ciencia
Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su
o
densidad de probabilidad est´ dada por:
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
H. Avil´s
e UPV
42/44
105. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a
Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la
u o a
ciencia
Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su
o
densidad de probabilidad est´ dada por:
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y )
es la desviaci´n est´ndar (´ ra´ cuadrada de la varianza)
o a o ız
H. Avil´s
e UPV
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106. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las
o
m´s utilizadas en la literatura
a
Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la
u o a
ciencia
Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su
o
densidad de probabilidad est´ dada por:
a
1 1 y −µ 2
P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y )
es la desviaci´n est´ndar (´ ra´ cuadrada de la varianza)
o a o ız
La distribuci´n normal frecuentemente se denota como
o
N (µ, σ)
H. Avil´s
e UPV
42/44
107. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
H. Avil´s
e UPV
43/44
108. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
Esta distribuci´n tiene diferentes propiedades interesantes:
o
H. Avil´s
e UPV
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109. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
Esta distribuci´n tiene diferentes propiedades interesantes:
o
Es sim´trica con respecto a la media
e
H. Avil´s
e UPV
44/44
110. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuci´n normal
o
Esta distribuci´n tiene diferentes propiedades interesantes:
o
Es sim´trica con respecto a la media
e
Los porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a la
desviaci´n est´ndard
o a
H. Avil´s
e UPV
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