Este documento explica las ecuaciones diferenciales homogéneas. Define una función homogénea y explica que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea si su función es homogénea de grado cero. También indica que una ecuación diferencial es homogénea si sus coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado y que si una ecuación diferencial de primer orden es homogénea, puede reducirse a una en variables separadas mediante un cambio de variable.

1. Ecuaciones diferenciales homogéneas E.D.H

2. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Una función se dice homogénea de grado n si: Para todo y todo Definición de función homogénea

3. La función es homogénea de grado Las funciones , , son homogéneas de grado 0. Las funciones , , son homogéneas de grado 2. Ejemplo

4. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero. Definición de E.D.H

5. Si la ecuación diferencial está escrita en la forma : sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado. Observación

6. Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas. Demostración: Al hacer la sustitución obtenemos Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que de donde Teorema

7. Resuelva la ecuación diferencial : La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos. Haciendo la sustitución: Ejemplo

8. De donde integrando y volviendo a las variables y obtenemos:

9. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node3.html Referencia

10. María Fernanda Mendoza Del Toro 10310463 F:102 Datos del alumno