El documento explica el Teorema π de Buckingham, el cual establece que cuando hay 4 o más variables que afectan una magnitud, estas pueden agruparse en un número menor de grupos adimensionales llamados π. El teorema sigue 4 pasos: 1) identificar las variables, 2) elegir variables repetidas con todas las dimensiones, 3) formar los términos π combinando las variables repetidas con las restantes, 4) escribir la forma funcional de los términos π. Se provee un ejemplo para ilustrar los pasos.

1. TEOREMA π DE BUCKINGHAM
En la última clase de Mecanismos de Transferencia, entramos al tema de Análisis
Dimensional, mismo que se basa en la homogeneidad dimensional, que, como su
nombre lo indica, trata de que todos los términos que estén involucrados en una
ecuación deben de tener las mismas dimensiones y unidades para poder realizar
cálculos en la misma, como sumas y restas.
Existen varios métodos para deducir la ecuación física de un problema
relacionando sus cantidades físicas, y éstos dependen del número de variables que
están involucradas en el mismo. Si se trata de tres o menos variables, se utilizan
métodos directos partiendo comúnmente de ecuaciones diferenciales. Si, por el
contrario, son 4 o más variables las incluidas, se utiliza el método conocido como:

Teorema
de Buckingham.
Para comprenderlo veamos algunas definiciones. Según el libro Sistemas de Unidades
Físicas de J. Galán García: “El Teorema de
o de Buckingham establece que cuando
el número de variables o magnitudes físicas de las que es función la magnitud
problema, cuya ecuación física queremos deducir, son cuatro o más, éstas se pueden
agrupar en un número menor de grupos adimensionales, llamados números
, y a
partir de éstos establecer la ecuación homogénea”.
Y para los autores Potter y Wiggert: “El Teorema
de Buckingham es una
teoría que organiza los pasos que garanticen la homogeneidad dimensional; requiere
un cierto grado de conocimiento de los fenómenos para que se incluyan las cantidades
de interés apropiadas. Estipula que (n - m) grupos de variables sin dimensiones,
llamados términos , donde m es el número de dimensiones básicas incluidas en las
variables pueden ser relacionados por:
”
Con estos conceptos ya podemos ir dándonos una idea del Teorema, pero para
comprenderlo mejor hay que conocer el procedimiento y ver algún ejemplo. En éste
caso nos guiaremos por un ejemplo del mismo libro de Potter y Wiggert.
Seufert García Jasmín.
Ing. Química ITM, 2014.

2. Ejemplo.
Se va a estudiar la fuerza de retardo
en un cilindro de diámetro
y longitud
. ¿Qué forma funcional relaciona las variables sin dimensiones si un fluido con
velocidad
fluye normal al cilindro?
Solución.
I. El primer paso es escribir la forma funcional de la variable dependiente
de acuerdo con las (n - 1) variables independientes.
Antes que nada, vamos a determinar las variables que tienen alguna influencia
en la fuerza de retardo. Normalmente estos conocimientos son obtenidos de forma
experimental. En este ejemplo, se incluyen como variables influyentes la velocidad de
corriente libre , la viscosidad , la densidad
del fluido, además del diámetro
y la
longitud del cilindro, con lo que se obtienen n = 6 variables. Esto se describe como:
Podemos hacer una pequeña tabla para analizar las cantidades físicas y sus
dimensiones:
Cantidad Física
Dimensiones
De ésta forma, podemos darnos cuenta más fácil de las 6 variables que
tenemos y también de que tenemos m = 3 dimensiones diferentes.
Para obtener el número de parámetros adimensionales posibles ( ), calculamos:
El siguiente paso es elegir 3 de las 6 variables, y las llamaremos “repetidas”, según el
libro de Potter y Wigget:
II. El segundo paso es identificar variables repetidas m, variables que se
combinarán con cada variable restante para formar los términos .
Seufert García Jasmín.
Ing. Química ITM, 2014.

3. “Las variables repetidas seleccionadas de las variables independientes contienen
todas las dimensiones básicas, sin embargo no deben formar un término
por sí
mismas.”
¿A qué se refiere exactamente con no formar un término
?, A que entre las
variables que elijamos como repetidas no se “cancelen” y se vuelvan adimensionales.
¿Y cómo vamos a saber cuántas variables repetidas formar? Esto depende del
número de dimensiones que se tengan. Teniendo esto en cuenta, podemos elegir
nuestras 3 variables, ya que nuestro problema abarca 3 dimensiones: M, L y T. En
éste caso tomaremos: ,
y . Si observamos la tabla anterior, ésta elección contiene
las 3 dimensiones y no se cancelan entre ellas. También es recomendable no usar
como repetida la variable que está en función de las demás, en éste caso:
.
Proseguimos al paso 3:
III. El tercer paso es formar los términos
combinando las variables
repetidas con cada una de las variables restantes.
Éste paso puede llevarse a cabo mediante un procedimiento algebraico simple.
Empecemos por la combinación de nuestro primer término . Puede escribirse como:
El objetivo de este paso es determinar a, b y c de modo que el agrupamiento
quede sin dimensiones. Por lo tanto, y basándonos en nuestra tabla de dimensiones
anterior:
( )
Esto también lo podemos expresar diferente para interpretar mejor, cualquiera
de las dos es correcta:
Ahora podemos igualar los exponentes en donde se encuentra cada dimensión,
obteniendo así un sistema de ecuaciones lineales, serán tantas ecuaciones como
dimensiones tengamos:
M:
0=c+1
L:
0 = a + b – 3c + 1
T:
0 = -b – 2
Resolviendo estas ecuaciones de forma sencilla podemos ver que:
a = -2
Seufert García Jasmín.
b = -2
c = -1
Ing. Química ITM, 2014.

4. ¿Qué significan estos números? Son valores que cada uno de los exponentes
de la ecuación anterior (
) deben tener para poder volver a la ecuación
adimensional, es decir, que se cancelen sus dimensiones.
Entonces el término
se escribiría como:
Y si analizamos sus dimensiones podemos observar:
Esa sería la ecuación para el término
, también podemos calcular
y
.
Los escribiré ya resueltos pero se puede llegar al resultado con el mismo
procedimiento antes utilizado:
IV. El cuarto paso es escribir la forma funcional de los (n – m) términos
sin dimensiones.
La relación funcional sin dimensiones que relacionan los términos
es:
ó
En lugar de la relación original de seis variables el problema se redujo a uno
que implica tres términos , un problema mucho más simple.
Bibliografía consultada:
-
Potter Merle, Wiggert David. (2002). Mecánica de Fluidos. México. Editorial
Thomson. Tercera Edición.
-
Galán, J.L. (1987). Sistemas de Unidades Físicas. España. Editorial Reverté.
Primera Edición.
Seufert García Jasmín.
Ing. Química ITM, 2014.