Ejercicios resueltos trigonometricas

1. INTEGRALES FORMULAS TRIGONOM´ETRICAS
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
sec
√
x
√
x
dx
Analizaremos la aplicaci´on de la f´ormula de integraci´on sec v dv. Primero reescribimos la
integral con los radicales como potencias fracccionarias
sec
√
x
√
x
dx = sec x1/2
x−1/2
dx
Ahora, seleccionamos
v = x1/2
, dv =
1
2
x−1/2
dx
completamos la diferencial con la constante 1/2 y aplicamos la f´ormula de integraci´on
sec x1/2
x−1/2
dx = 2 sec x1/2 1
2
x−1/2
dx
= 2 ln(sec
√
x + tan
√
x) + C
Ejercicio 2
(senθ + cos θ)2
dθ
Al considerar la f´ormula de integraci´on vn
dv con
n = 2, v = sen θ + cos θ, dv = (cos θ − sen θ)dθ
la diferencial dv no est´a completa en la integral, ahora, probamos desarrollando el binomio
al cuadrado
(senθ + cos θ)2
dθ = (sen2
θ + 2 sen θ cos θ + cos2
θ)dθ
El integrando se simplifica con la propiedad sen2
B +cos2
B = 1 y se separa en dos integrales
MOOC ”Entendiendo el C´alculo Integral” 1 Tecnol´ogico Nacional de M´exico c 2016”

2. (senθ + cos θ)2
dθ = (1 + 2 sen θ cos θ)dθ
= dθ + 2 sen θ cos θ dθ
la segunda integral se puede resolver con la f´ormula de integraci´on vn
dv, con
n = 1, v = sen θ, dv = cos dθ
y obtenemos
(senθ + cos θ)2
dθ = θ + 2
sen2
θ
2
+ C
= θ + sen2
θ + C
Ejercicio 3
tan4
3x sec2
3x dx
Recordemos que las funciones est´an relacionadas por la f´ormula de derivaci´on
d
dx
tan v = sec2
v
dv
dx
por esto, consideramos la aplicaci´on de la f´ormula vn
dv para resolver la integral, con
n = 4, v = tan 3x, dv = sec2
3x (3)dx
y se hace necesario completar la diferencial con la constante 3
(tan4
3x) sec2
3x dx =
1
3
(tan 3x)4
sec2
3x (3dx)
=
1
3
1
5
(tan 3x)5
+ C
=
1
15
tan5
3x + C
MOOC ”Entendiendo el C´alculo Integral” 2 Tecnol´ogico Nacional de M´exico c 2016”

3. Ejercicio 4
(1 + tan 2x)2
dx
Si se quiere considerar la f´ormula de integraci´on vn
dv con
n = 2, v = 1 + tan 2x, dv = sec2
2x (2dx)
la diferencial dv no se puede completar, por eso se desarrolla el binomio al cuadrado, buscando
una expresi´on equivalente:
(1 + tan 2x)2
dx = (1 + 2 tan 2x + tan2
2x)dx
Para el tercer t´ermino no se tiene una f´ormula directa de integraci´on, pero al aplicar la
identidad sec2
B = 1 + tan2
B, la integral se simplifica a
(1 + tan 2x)2
dx = (2 tan 2x + sec2
2x)dx
ahora, para los dos t´erminos se tiene una f´ormula directa de integraci´on.
Separando en dos integrales, completando la diferencial en la segunda integral y aplicando
las f´ormulas de integraci´on apropiadas se tiene
(1 + tan 2x)2
dx = tan 2x (2dx) +
1
2
sec2
2x (2dx)
= ln | sec 2x| +
1
2
tan 2x + C
Ejercicio 5
dθ
1 + cos θ
Si para resolver se quiere utilizar la f´ormula dv
v
, se considerar´ıa
v = 1 − cos θ, dv = sen θ dθ
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4. la diferencial de dv no se tiene en el numerador, se debe buscar otra f´ormula de integraci´on.
Una expresi´on equivalente al integrando se consigue al multiplicar por (1−cos θ) el numerador
y el denominador con la finalidad de aplicar la identidad sen2
B + cos2
B = 1 y reducir el
denominador a un solo t´ermino.
dθ
1 + cos θ
=
dθ
1 + cos θ
(1 − cos θ)
(1 − cos θ)
=
1 − cos θ
1 − cos2 θ
dθ
se sustituye (1 − cos2
θ) por sen2
θ y se separa en dos integrales
dθ
1 + cos θ
=
1 − cos θ
sen2 θ
dθ
=
dθ
sen2 θ
−
cos θ
sen2 θ
dθ
se reescriben los integrandos usando la identidad csc B = 1
sen B
para la primera integral y
pasando sen2
θ al numerador en la segunda (cambiando el signo del exponente)
dθ
1 + cos θ
= csc2
θdθ − (sen−2
θ)(cos θ)dθ
Y se utilizan las f´ormulas de integraci´on csc2
v dv para la primera integral y vn
dv para
la segunda y se simplifica
dθ
1 + cos θ
= − cot θ −
(sen θ)−1
(−1)
+ C
= − cot θ +
1
sen θ
+ C
= csc θ − cot θ + C
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