Este documento presenta modelos de redes para resolver problemas de transporte, asignación y programación lineal. Explica conceptos clave como nodos, arcos y flujo, y describe modelos matemáticos para minimizar costos de transporte y tiempos de asignación. Además, incluye ejemplos numéricos como la asignación de inspectores a áreas de producción para minimizar el tiempo total.

1. Capítulo 4
Modelo de Redes

2. Objetivos del Capítulo
 Conceptos y definiciones de redes.
 Importancia de los modelos de redes
 Modelos de programación lineal, representación en
redes y soluciones usando el computador para:
* Modelos de transporte.
* Modelos de capacidad de transporte
* Modelos de asignación
* Modelo del vendedor viajero
* Modelos de la ruta mas corta
* Modelos de la rama mas corta

3. Un problema de redes es aquel que puede
representarse por:
Nodos
Arcos
10
Funciones en los arcos

4. 4.1 Introducción
 La importancia de los modelos de redes:
* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través
de modelos redes
* El resultado de un problema de redes garantiza una solución
entera, dada su estructura matemática. No se necesitan
restricciones adicionales para obtener este tipo de solución.
* Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños
algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su
estructura matemática.

5.  Terminología de Redes
* Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse
desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los
conecta. La siguiente notación es usada:
Xij= cantidad de flujo
Uij= cota mínima de flujo que se debe transportar
Lij= cota maxíma de flujo que se puede transportar.
* Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede
transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la
flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en
ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).
* Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si
existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

6.  Rutas/Conexión entre nodos
*Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de
nodos adyacentes
* Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.
 Ciclos / Arboles /Arboles expandidos
* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por
un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.
* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.
*Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de
la red (contiene n-1 arcos).

7. 4.2 Problemas de transporte
Un problema de transporte surge cuando se
necesita un modelo costo-efectividad que permita
transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a
un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas
restricciones en la cantidad que se puede
transportar.1

8.  Definición del problema
* Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene
una capacidad de producción Si
*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj
*Objetivo:
Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino
cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

9. Farmacéutica Carlton
 La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros
suministros médicos.
 Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit,
Greensboro.
 Tiene cuatro centros de distribución en: Boston,
Atlanta, St Louis.
 La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de
sus productos de la manera más económica posible.

10.  Datos
Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.
 Supuestos
* El costo de transporte por unidad es constante
* Todos los transportes ocurren simultáneamente.
* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de
origen y el de destino
* La oferta total es igual a la demanda total.
Hacia
Desde Boston Richmond Atlanta St. Louis Oferta
Cleveland $35 30 40 32 1200
Detroit 37 40 42 25 1000
Greensboro 40 15 20 28 800
Demanda 1100 400 750 750

11. RED QUE REPRESENTA
EL PROBLEMA Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
Destinos
Origenes
Cleveland
Detroit
Greensboro
S1=1200
S2=1000
S3= 800
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750

12.  Modelo matemático
* La estructura del modelo es la siguiente:
Minimizar <Costo total de transporte>
sujeto a :
cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica
cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la
distribuidora.
* Variables de decisión:
Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la
distribuidora j
donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)
j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)

13. Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750
Restricciones de la Oferta
Cleveland
S1=1200
X11
X12
X13
X14
Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200
Detroit
S2=1000
X21
X22
X23
X24
Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000
Greensboro
S3= 800
X31
X32
X33
X34
Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800

14.  El modelo matemático completo
Restriccione de la oferta:
X11+ X12+ X13+ X14 1200
X21+ X22+ X23+ X24 1000
X31+ X32+ X33+ X34 800
Restricciones de la demanda:
X11+ X21+ X31 1000
X12+ X22+ X32 400
X13+ X23+ X33 750
X14+ X24+ X34 750
Todos los Xij mayores que cero
=
=
=
=
=
=
=

15.  Solución optima obtenida a través de Excel
FARMACUETICA CARLTON
COSTOS UNITARIOS
BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS OFERTAS
CLEVELAND 35,00$ 30,00$ 40,00$ 32,00$ 1200
DETROIT 37,00$ 40,00$ 42,00$ 25,00$ 1000
GREENSBORO 40,00$ 15,00$ 20,00$ 28,00$ 800
DEMANDAS 1100 400 750 750
ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE
BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS TOTAL
CLEVELAND 850 350 0 0 1200
DETROIT 250 0 0 750 1000
GREENSBORO 0 50 750 0 800
TOTAL 1100 400 750 750
COSTO TOTAL = 84000

16. Análisis de Sensibilidad por WINQSB
Si utilizamos esta ruta, el costo total
aumentara en $5 por unidad
transportada.

17. Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la
distribuidora.
Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible
en la planta.

18.  Interpretación de los resultados del análisis de
sensibilidad.
* Reducción de Costos:
- La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad
entrega la ruta más económicamente atractiva.
- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi
en el costo que ello significa, por cada carga transportada ,
el costo total aumentara en una cantidad igual a la
reducción del costo hecha.
* Precios Sombra:
- Para las plantas el precio sombra de transporte
corresponde al costo de cada unidad disponible en la
planta.
- Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte
corresponde al costo de cada unidad extra demandada por
la distribuidora.

19. Compañía de ski Montpelier
Usando un modelo de transporte para un
itinerario de producción
* Montpelier planea su producción de ski para los meses de
julio, agosto y septiembre.
* La capacidad de producción y el costo de producción unitario
puede varia de un mes a otro.
* La compañía puede destinar tiempo de producción adicional
para la fabricación de skis.
* El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda
proyectada y un trimestre del nivel de inventario.
* La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el
costo del trimestre.

20.  Datos:
* Inventario inicial = 200 pares
* Nivel de inventario requerido = 1200 pares
* Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal)
200 pares (sobretiempo)
* La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski
* El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares
de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)
Demanda Capacidad de Producción Producción
Meses Esperada Producción Tiempo Normal Sobretiempo
Julio 400 1000 25 30
Agosto 600 800 26 32
Septiembre 1000 400 29 37

21.  Análisis de la demanada
* Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares
en inventario
* Demanda neta de agosto = 600
* Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares
demanda esperada inventario req.
 Análisis de la oferta
* La capacidad de producción corresponde a la oferta
* Existen dos tipos de “oferta”
1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción)
2.- Oferta producida en sobretiempo.
 Análisis de los costos unitarios
Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] +
[costo unitario de lamacenamiento por mes ][número de
meses en inventario]
Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y
vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) =
$26.50

22. Representación de la Red
25
25.75
26.50
0 30
30.90
31.80
0
+M
26
26.78
0
+M
32
32.96
0
+M
+M
29
0
+M
+M
37
0
Producción
Mes/periodo
Mes
Ventas
July
R/T
Julio
S/T
Agst.
T/N
Agst.
S/T
Sept.
T/N
Sept.
S/T
Julio
Agst..
Sept.
Exceso
1000
500
800
400
400
200
200
600
300
2200
Demanda
CapacidaddeProducción
Julio
T/N

23. Producción Julio: tiempo normal
Destino: Demanda para Julio
Producción Agosto:Sobretiempo
Destino: Demanda de Septiembre
32+(.03)(32)=$32.96Costo Unitario= $25 (producción)
Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento

24.  Resumen de la solución óptima.
* En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en
sobretiempo.
Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio
* En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en
sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares
* En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con
1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden
distribuir:
(1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles
para ser transportados
a Ski Chalet.
Inventario + Producción - Demanda

25. 4.3 Problemas de Asignación
 Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i
que realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la
asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le
corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación
sea la óptima posible.

26. Electrónica Ballston
 Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5
líneas de producción que necesitan ser
inspeccionadas.
 El tiempo para realizar una buena inspección de un
área de pende de la línea de producción y del área
de inspección.
 La gerencia desea asignar diferentes áreas de
inspección a inspectores de productos tal que el
tiempo total utilizado sea mínimo.

27.  Datos
* Tiempo de inspección en minutos para la línea de
ensamble de cada área de inspección.
Area de Inspección
A B C D E
1 10 4 6 10 12
Linea 2 11 7 7 9 14
Ensamble 3 13 8 12 14 15
4 14 16 13 17 17
5 19 17 11 20 19

28. RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
1
2
3
4
5
Línea de ensamble Área de Inspección
A
B
C
D
E
S1=1
S2=1
S3=1
S4=1
S5=1
D1=1
D2=1
D3=1
D4=1
D5=1

29.  Supuestos restricciones
* El número de trabajadores es igual al número de empleos.
* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es
asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo
trabajador.
* Para un problema desbalanceado se debe agregar un
trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que
trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan
más trabajadores que trabajos), quedando así el problema
balanceado.

30. Solución mediante el método
Húngaro
 Problema:
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias
que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado
refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el
trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la
complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente
tabla:
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackeline 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115

31.  Restricciones del Método
* Solo problemas de minimización.
* Número de personas a asignar m es igual al número de
lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignación por persona y una persona por asignación
 Matriz de Costos
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackeline 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115

32.  Restar el Menor valor de cada fila
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 9 12
María 20 13 11 0
Jackeline 18 0 11 9
Edith 9 0 13 10
 Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anterior
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackeline 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10

33.  Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackeline 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10
 Si el número de líneas es igual al número de filas se
esta en la solución óptima, sino identificar el menor
valor no rayado restarselo a los demás números no
rayados y sumarlo en las intersecciones.
Pare este caso corresponde al valor 2

34. Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 5 0 14
María 18 13 0 0
Jackeline 16 0 0 9
Edith 7 0 2 10
 Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana Cap. 13
María Cap. 16
Jackeline Cap. 15
Edith Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

35.  Casos especiales
* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en
particular
* Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un
trabajo.
* Un problema de maximización.

36. 4.4 Problema del vendedor viajero
 Se trata de un tour es un recorrido que comienza en
una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo)
de una cierta red, exactamente una vez y volviendo
al punto de partida.
 El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los
puntos de vista de tiempo y distancia.
-
Definición del problema
– Existen m nodos
– Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).
– El objetivo es encontrar el ciclo que minimice el costo
total al visitar todos los nodos exactamente una vez.

37.  Importancia
- Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema
de vendedor viajero
- Ejemplo
* Rutas a seguir por buses escolares
* Distribución de bombas militares
- El problema tiene importancia teórica porque este representa
una clase de problemas llamados NP-completos.
 Complejidad
Escribir el modelo matemático y
resolverlo resulta muchas veces incómodo,
ya que un problema de 20 ciudades
requiere de 500,000 restricciones.

38. AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA
 Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales
de la AGE, partiendo de la oficina principal y
volviendo a la misma, la cual esta ubicada en
Northridge, Southern California.
 Datos
Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra
Hacia la oficina
H 1 2 3 4
F Of. Princ 30 45 65 80
r Of. 1 30 25 50 50
o Of. 2 45 25 40 40
m Of. 3 65 50 40 35
Of. 4 80 50 40 35

39. Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE
30
25
40
35
80
6545
50
50
40
Of. Princ
1
2 3
4

40.  Solución
- Identificación de los posibles ciclos.
* Existen (m-1)1 ciclos posibles
* Solo problemas pequeños pueden ser resuletos.
- Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la
técnica Branch and Bound.
* Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos
en forma eficiente por este método.

41. EL PROBLEMA AGE - Identificación de los
posibles ciclos
Ciclo Costo Total
1. H-O1-O2-O3-O4-H 210
2. H-O1-O2-O4-O3-H 195
3. H-O1-O3-O2-O3-H 240
4. H-O1-O3-O4-O2-H 200
5. H-O1-O4-O2-O3-H 225
6. H-O1-O4-O3-O2-H 200
7. H-O2-O3-O1-O4-H 265
8. H-O2-O1-O3-O4-H 235
9. H-O2-O4-O1-O3-H 250
10. H-O2-O1-O4-O3-H 220
11. H-O3-O1-O2-O4-H 260
12. H-O3-O1-O2-O4-H 260

42. Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB

43. Solución de WINQSB -Una combinación de
problema de asignación y la técnica
Branch and Bound

44. 30
25
40
35
80
6545
50
50
40
Of. Princ
1
2 3
4

45. 4.5 Problemas de la Ruta más corta
 Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o
costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el
destino o nodo terminal.
 Definición del Problema
- Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en
el nodo final n.
- Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias
mayores que cero, dij
- Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el
nodo 1 con el nodo n.

46. Lineas Fairway Van
 Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso
para la siguiente red de carreteras.

47. Salt Lake City
1 2
3 4
5
6
7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
El Paso
Seattle
Boise
Portland
Butte
Cheyenne
Reno
Sac.
Bakersfield
Las Vegas
Denver
Albuque.
Kingman
Barstow
Los Angeles
San Diego
Tucson
Phoenix
599
691497
180
432 345
440
102
452
621
420
526
138
291
280
432
108
469
207
155
114
386
403
118
425 314

48.  Solución - Analogía de un problema de programación
lineal
- Variables de decisión
Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une
la ciudad i con la ciudad j.
0 En cualquier otro caso
Objetivo = Minimizar dijXij

49. 7
2
Salt Lake City
1
3 4
Seattle
Boise
Portland
599
497
180
432 345
Butte
[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1
X12 + X13 + X14 = 1
De una forma similar:
[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1
X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1
[El número de carreteras para entrar a la cuidad] =
[El número de carreteras para salir de la ciudad].
Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):
X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.
Sujeto a las siguientes restricciones
Restricciones mayores que cero

50. Solución Optima por WINQSB

51.  Solución-Analogía con un problema de redes
El algoritmo de Dijkstra’s:
-Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a los otros
nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto
al nodo de inicio.
- Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo de
inicio a todos los nodos de la red.

52. SEA.
Salt Lake City
1 2
3 4
5
6
7 8
9
10
11
12
13 14
15
16
17 18 19
El Paso
Seattle
Boise
Portland
Butte
Cheyene
Reno
Sac.
Bakersfield
Las Vegas
Denver
Albuque.
Kingman
Barstow
Los Angeles
San Diego Tucson
Pheonix
599
691497
180
432 345
440
102
452
621
420
526
138
291
280
432
108
469
207
155
114
386
403
118
425 314
BUT
599
POR
180
497
BOI
180
POR.
BOI
432
SAC
602
+
+
=
=
BOI
BOIBOI.
345
SLC
+ =
BUT.
SLC
420
CHY.
691
+
+
=
=
SLC.
SLCSLC.
SAC.
Una representación del algoritmo de Dijkstra’s
… Y de esta manera
hasta cubrir toda la red..

53. 4.6 Arbol de expansión mínima
 Este problema surge cuando todos los nodos de una
red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.
 El árbol de expansión mínima es apropiado para
problemas en los cuales la reundancia es expansiva,
o el flujo a lo largo de los arcos se considera
instantáneo.

54. EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO
 La ciudad de Vancouver esta planificando el
desarrollo de una nueva línea en sistemas de
tránsito.
 El sistema debe unir 8 residencias y centros
comerciales.
 El distrito metropolitano de transito necesita
seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos
los centros a un mínimo costo.
 La red seleccionada debe permitir:
- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.
- Mínimo costo posible por línea.

55. 5
2 6
4
7
8
1
3
Zona Oeste
Zona Norte Universidad
Distrito
Comercial
Zona Este
Shopping
Center
Zona Sur
Zona
Centro
50
34
35
39
45
41
RED QUE
REPRESENTA
EL ARBOL
EXPANDIDO.

56.  Solución - Analogía con un problema de redes
- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento
muy fácil (“trivial”).
- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.
- Algoritmo:
* Comience seleccionando el arco de menor longitud.
* En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor
longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la
precaución de no formar ningún loop.
* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están
conectados.
 Solución mediante el computador
- Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los
arcos y la descripción de la red.

57. Solución óptima mediante WINQSB

58. Shopping
Center
Loop
5
2 6
4
7
8
1
3
Zona Oeste
Zona Norte
Universidad
Distrito
Comercial
Zona Este
Zona Sur
Zona
Centror
50
34
35
39
45
41
Costo Total = $236 milliones
RED QU E
REPRESENTA LA
SOLUCIÖN ÖPTIMA

59. 4.7 Problema del flujo máximo
 Este modelo se utiliza para reducir los
embotellamientos entre ciertos puntos de partida y
destino en una red.
 Existe un flujo que viaja desde un único lugar de
origen hacia un único lugar destino a través de arcos
que conectan nodos intermedios
 Cada arco tiene una capacidad que no puede ser
excedida
 La capacidad no debe ser necesariamente la misma
para cada dirección del arco.

60.  Definición del Problema
- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos
emanan.
- Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los
flujos de la red son depositados.
- Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el
flujo que entra es igual al flujo que sale.
- La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la
capacidad Cji para la dirección opuesta.

61. El objetivo es encontrar la máxima
cantidad de flujo que salga del nodo
1 al nodo n sin exceder la capacidad
de los arcos.

62. COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA
 Química unida produce pesticidas y otros productos
de control agrícola.
 El veneno químico necesario para la producción es
depositado en grandes tambores.
 Una red de tubos y válvulas regula el flujo del
químico de los tambores a las diferentes áreas de
producción.
 El departamento de seguridad debe diseñar un
procedimiento que vacíe los tambores de la forma
más rápida posible dentro de los tubos del área de
depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.
 El procedimiento debe determinar:
- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse
- Estimar el tiempo total de descarga.

63.  Datos
Tambores
con químico
Tubo de Seg.
1 7
4
2
3
6
5
10
0
8
0
0
0
0
0
0
0
10
6
1
12
1
4
4
2
2 8
3
3
7
2
El máximo flujo de 2 a 4 es 8
No se permite flujo de 4 a 2.

64.  Solución - Analogía de un problema de programación
lineal
– Variables de decisión
Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través
del arco que conecta ambos nodos.
– Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1
Max X12 + X13
– Restricciones
 [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra
en el nodo 7]
X12 +X13 = X47 + X57 + X67
 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que
sale]
Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26
Nodo 3:X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36
Nodo 4:X24 +X64 = X46 + X47
Nodo 5:X35 +X65 = X56 + X57
Nodo 6:X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67

65.  EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos
 X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1;
X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8;
X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;
 Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0
 Se debe tener presente que este problema es
relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida
rápidamente usando el modelo de programación lineal.
 Sin embargo para problemas de mayor envergadura se
aconseja usar el modelo de redes.

66.  Solución-Analogía con un problema de redes
- La idea básica es la siguiente:
* Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.
* Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad
de uno de los arcos de la ruta.
* Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de
manera tal que todos los arcos tengan una capacidad
residual positiva.
*Designar un nodo origen y un nodo de flotación
* Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en
ambos sentidos)
* A continuación se muestra la solución obtenida usando
WINQSB.

67. El máximo flujo obtenido por WINQSB
Tambores
con químico
Tubo de Seg.
1 7
4
2
3
6
5
8
8
2
7
7
10
7
8
2
Flujo Máximo= 17