El documento trata sobre programación lineal entera. Explica que la programación lineal entera es similar a la programación lineal regular, excepto que todas las variables deben ser valores enteros. Luego clasifica los problemas lineales enteros y describe métodos comunes para resolverlos, incluido el uso de variables binarias. Finalmente, presenta ejemplos como la selección de proyectos y la cobertura de conjunto para ilustrar cómo aplicar la programación lineal entera.

1. Investigación de
Operaciones
ALUMNO:
LeninMelendres Castro
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
TRUJILLO-PERU
2016

2. PROGRAMACION LINEAL
El modelo de programación entera es sencillamente la programación lineal solo que
con la característica de que la programación entera tiene una restricción de que todas
las variables sean valores enteros a este tipo de modelos se les llama programación
entera pura.
Esto nos quiere decir que la metodología para resolver los problemas de programación
entera es prácticamente el mismo que para hacer la programación lineal
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS LINEALES ENTEROS
Atendiendo al tipo de variables:
Enteros puros: son aquellos en que todas las variables únicamente pueden tomar
valores enteros. También se distinguen dentro de estos los problemas totalmente
enteros como aquellos en que tanto las variables como todos los coeficientes que
intervienen en el problema han de ser enteros.
Mixtos: son aquellos en los que hay al mismo tiempo variables continuas y variables
que sólo pueden tomar valores enteros.
Binarios: las variables sólo pueden tomar los valores cero o uno. Atendiendo al
criterio del tipo de problema:
Directo: Si el problema de decisión involucra variables enteras.
Codificado: Cuando se trata de un problema que contiene además de aspectos
cuantitativos, alguna consideración de tipo cualitativos, y por ello para tratar este tipo
de aspectos se requiere el uso de variables enteras o binarias.
Transformado: Cuando el problema no incluye variables enteras, pero para ser
tratado analíticamente requiere el uso de variable enteras “artificiales”.

3. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Aunque en un principio pueda parecer que los problemas lineales enteros son más
fáciles de resolver que los continuos, dado que el número de soluciones factibles a
analizar, cuando el conjunto de oportunidades está acotado, es finito, éste número
suele ser lo suficientemente grande como para que resulte imposible su comparación.
DESCRIPCION DEL METODO
Lo primero que se debe saber, es que al ser las decisiones de Si o No, todas las
variables de decisión tienen la forma binaria. La representación de lo anterior queda
así:
 La toma de decisiones de emprender o no un proyecto suele hacerse conforme
a consideraciones y prioridades preestablecidas de presupuesto limitado. El
siguiente ejemplo presenta una de estas situaciones.
CONCEPTOS BASICOS
Muchas veces, algunas o todas las variables de decisión deben restringirse a valores
enteros.
Por ejemplo:
 El número de aeronaves que se compró este año.
 El número de máquinas que necesita para producción.
 El número de viajes que ha realizado un agente de ventas.
 El número de policía que se asignó a la vigilancia nocturna.
EJEMPLO

4. ¿Cuáles proyectos deben seleccionarse a lo largo del periodo de 3
años?
El problema se reduce a una decisión “sí-no” para cada proyecto. Defina la variable
binaria
𝑥𝑗 como
𝑥 𝑖 = {
1,si se selecciona el proyecto j
0, si no se selecciona el proyecto j
El modelo de PLE es
Maximizar z = 20x1 + 40x2 + 20x3 + 15x4 + 30x5
Sujeto a
 5x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 + 8x5 <= 25
 x1 + 7x2 + 9x3 + 4x4 + 6x5 <=25
 8x1 + 10x2 + 2x3 + x4 + 10x5 <=25
x1, x2, x3, x4, x5 = (0, 1)

5. RESOLUCION CON LINDO

6. La solución óptima entera (obtenida con AMPL, Solver, o TORA, lindo) es x1 = x2= x3=
x4 = 1,
x5 = 0, con z = 95 ($ millones). La solución excluye el proyecto 5 de la combinación de
proyectos.

7. Problema de cobertura de conjunto
En esta clase de problemas, varias plantas ofrecen servicios que se traslapan a varias
instalaciones.
El objetivo es determinar la cantidad mínima de plantas que cubren (es decir, que
satisfacen las necesidades de servicio de) cada instalación. Por ejemplo, se pueden
construir plantas de tratamiento de agua en varios lugares, y cada planta sirve a un grupo
de ciudades.
El traslape ocurre cuando a una ciudad dada le da servicio más de una planta.
EJERCICIO
 Para promover la seguridad en el campus el Departamento de Seguridad Pública de
la Universidad Nacional de Trujillo se encuentra en proceso de instalación de
teléfonos de emergencia en lugares seleccionados.
 El departamento desea instalar una cantidad mínima de estos aparatos que presten
servicio a cada una las calles principales del campus. La figura que veremos es un
mapa de dichas calles. Es lógico maximizar la utilidad de los teléfonos si se les
coloca en intersecciones de calles. De este modo, una sola unidad puede prestar
servicio al menos a dos calles.

8. DEFINIMOS
𝑥 𝑖 = {
1,si se instala el telefono en el lugar de j, 𝑗 = 1,2… 8
0, , 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
 Las restricciones del problema requieren que se instale al menos un teléfono en
cada una de las 11 calles (A a K). Por lo tanto, el modelo es
Minimizar z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
Sujeto a
x1 + x2 >=1 (Calle A)
x2 + x3 >= 1 (Calle B)
x4 + x5 >= 1 (Calle C)
x7 + x8 >= 1 (Calle D)
x6 + x7 >= 1 (Calle E
x2 + x6 >= 1 (Calle F)
x1 + x6 >= 1 (Calle G)
x4 + x7 >= 1 (Calle H)
x2 + x4 >= 1 (Calle I)
x5 + x8 >= 1 (Calle J)
x3 + x5 >= 1 (Calle K)

9. xj = (0, 1), j = 1, 2, . . . , 8
La solución óptima del problema requiere que se instalen cuatro teléfonos en las
intersecciones 1, 2, 5 y 7.

10. PROBLEMA DE CARGO FIJO
 El problema de cargo fijo tiene que ver con situaciones en que la actividad
económica incurre en dos tipos de costos: un costo fijo necesario para iniciar la
actividad y un costo variable proporcional al nivel de la actividad. Por ejemplo,
el herramental inicial de una máquina antes de iniciar la producción incurre en
un costo de preparación fijo independientemente de cuántas unidades se
fabriquen. Una vez completa la preparación de la máquina, el costo de la mano
de obra y del material es proporcional a la cantidad producida. Dado que F es el
cargo fijo, c es el costo unitario variable, y x es el nivel de producción, la función
de costo se expresa como
La función C(x) es analíticamente insoluble porque implica una
discontinuidad en x =0. El siguiente ejemplo demuestra cómo se utilizan las
variables binarias para volver el modelo analíticamente soluble.
x1 = Minutos de larga distancia de MaBell por mes
x2 = Minutos de larga distancia de PaBell por mes
x3 = Minutos de largo distancia de BabyBell por mes
y1 = 1 si x1 > 0 y 0 si x1 = 0
y2 = 1 si x2 > 0 y 0 si x2 = 0
y3 = 1 si x3 > 0 y 0 si x3 = 0
Podemos asegurar que yj es igual a 1 cuando xj es positiva por medio
de la restricción
xj<= Myj , j = 1, 2, 3
El valor de M debe seleccionarse lo bastante grande como para no restringir
artificialmente la variable xj. Como ocupo aproximadamente 200 minutos de
llamadas al mes, entonces xj <= 200 para todas las j, es seguro seleccionar M
= 200.
C(x)= {
𝐹 + 𝐶𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0,
0, en caso contrario

11. El modelo completo es
Minimizar z = .25x1 + .21x2 + .22x3 + 16y1 + 25y2 + 18y3
Sujeto a
x1 + x2 + x3 = 200
X1 <= 200y1
x2 <=200y2
x3 <=200y3
x1, x2, x3 >= 0
y1, y2, y3 = (0, 1)

12.  La solución óptima resulta x3 = 200, y3 = 1, y todas las variables
restantes iguales a cero, lo que demuestra que debo seleccionar a
BabyBell como mi proveedor de larga distancia. Recuerde que la
información ofrecida por y3 = 1 es redundante porque x3 > 0 (= 200)
implica el mismo resultado. En realidad, la razón principal para utilizar
y1, y2 y y3 se explica por la cuota mensual fija. De hecho, las tres
variables binarias transforman un modelo (no lineal) de mal
comportamiento en una formulación analíticamente soluble. Esta
conversión ha dado por resultado la introducción de las variables
(binarias) enteras en un problema que de lo contrario sería continuo.