El resumen del documento es:
1) Un átomo de hidrógeno en su quinto estado excitado emite un fotón de 1090 nm al decaer a un estado más bajo.
2) Después de la emisión, el momento angular máximo posible del electrón es 6h.
Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
1. S3P27) Un átomo de hidrógeno está en su quinto estado excitado. El átomo
emite un fotón de 1090 nm de longitud de onda. Determine el máximo
momento angular posible del electrón después de la emisión.
SOLUCION: γ n
H: 5to*→n=6… 6
13, 6
En ≡ −
n2
13, 6 13, 6 hc
∆E ≡ Enf − Eni ≡ − 2 − − 2 ≡
n ni λ
f
13, 6 13, 6 hc ( 6, 63 ×10 ) ( 3 ×10 )
−34 8
( 1, 6 × 10 ) ≡
−19
− −− ≡
( 6) 2 n2
f λ ( 1090 ×10−9 )
1 1
− ≡ 83,9 → n f ≡ 8,93 ≡ 2,99 : 3
n f ( 6) 2
2
Si n ≡ 3 → l ≡ 0,1, 2 → L ≡ l ( l + 1) h
Lmax ≡ 6h
2. S3P37) Se disparan electrones hacia un blanco de Bi y se emiten rayos X.
Determine a) la energía de transición de la capa M a la L para el Bi, y
b) la longitud de onda de los rayos X emitidos cuando un electrón
desciende de la capa M a la capa L.
SOLUCION:
13, 6 2
a) Para átomos multielectrónicos, En ≡ − Z ef ,
n2
K → n ≡ 1, Z ef ≡ Z − 1 → EK ≡ −13, 6 ( Z − 1)
2
13, 6
( Z − 2)
2
L → n ≡ 2, Z ef ≡ Z − 2 → EL ≡ −
4
13, 6
( Z − 10 )
2
M → n ≡ 3, Z ef ≡ Z − 10 → EL ≡ −
9
Con Z ≡ Z Bi ≡ 83 ,
13, 6
( Z − 10 ) − − ( Z − 1)
2 13, 6 2
∆E ≡ Ei − E f ≡ EM − EL ≡ −
9 4
13, 6
( 83 − 10 ) − − ( 83 − 2 )
2 13, 6 2
≡ −
9 4
≡ ( −8052, 7 ) − ( −22307, 4 )
∆E ≡ 14, 2 keV
hc
b) De la ecuación, ∆E ≡
λ
hc ( 6, 63 × 10 ) ( 3 × 10 )
−34 8
→λ ≡ ≡
∆E 14, 2 × 103 ×1, 6 ×10−19
→ λ ≡ 0,88 ×10−10
λ ≡ 88 pm
3. S3P33) ¿Cuál configuración electrónica tiene una energía inferior: [Ar]3d44s2
o [Ar]3d54s1? Identifique este elemento y analice la regla de Hund en
este caso.
SOLUCION:
Para resolver según la regla de Hund, debe de maximizarse el numero de
orbitales desapareados de igual energía, en ese caso la segunda configuración
electrónica es mas favorable. Suponemos conocida la configuración para el Ar.
Por supuesto que también es posible resolver sin este dato.
s ( l ≡ 0) p ( l ≡ 1) d ( l ≡ 2) f ( l ≡ 3)
n ≡1
n≡2
n≡3
n≡4
El otro caso no maximiza los subniveles 3d, dejando uno vacio y apareando un
nivel de mas energía, 4s, lo cual es menos probable. El grafico se muestra a
continuación,
4. s ( l ≡ 0) p ( l ≡ 1) d ( l ≡ 2) f ( l ≡ 3)
n ≡1
n≡2
n≡3
n≡4
5. S3P24) Durante un periodo particular de observación, un electrón en el estado
base de un átomo de hidrógeno se “observa” mil veces a una distancia
(a0 / 2) del núcleo. ¿Cuántas veces se observa a este electrón a una
distancia 2a0 del núcleo durante este mismo periodo de observación?
SOLUCION:
1
ψ 1s ( r ) ≡ P ( r ) ≡ 4π r 2 ψ
2
e − r / a0 ,
π a0
3
2
P N1 P r ψ ( r2 )
1
≡ → N 2 ≡ 2 N1 ≡ 2 N1
P2 N 2 rψ ( r )
P
1 1 1
2
− 2( 2 a0 )
P2 2a0 e
a0
→ N 2 ≡ N1 ≡ 103
P
1 a0 a0
− 2 2
2
e a0
16 × 103
→ N2 ≡ ≡ 797
e3
N 2 ≡ 797
6. S3P) La función de onda del estado base normalizada para el electrón en el
átomo de hidrogeno es,
3
2 1 − r / a0
2
ψ ( r ,θ , φ ) ≡ e
4π a0
donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr,
a) Dibuje la función de onda contra r.
b) Demuestre que la probabilidad de encontrar al electrón entre r y r+ dr es,
P ( r ) ≡ 4π r 2 ψ .
2
c) Dibuje la probabilidad contra r y a partir de dicha grafica determine el
radio más probable de encontrar al electrón.
d) Muestre que la función de onda en la forma que se da esta normalizada.
e) Encuentre la probabilidad de hallar al electrón entre r1 =a0 /2 y r2 =3a0 /2.
SOLUCION:
ψ
3
2
a) c1 ≡ 2 1 c1
4π a0
r
b) P ' ( r , θ , φ ) ≡ ψ dv → P ' ( r ) ≡ 4π r 2 ψ dr
2 2
2
4 1 −2 r / a0
c) P ( r ) ≡ 4π r ψ ≡ 4π r
2
2 2
e ≡ c2 r 2 e −2 r / a0
4π a0
7. 2
2
P ( r ) ≡ c2 r 2e −2 r / a0 ← c2 ≡
a0
∞ ∞
r 2
ψ ( r , θ , φ ) dv ≡ ∫ ψ ( r ) dv ≡ ∫ ψ ( r ) 4π r 2 dr ≡ 1
2
d) ∫ 0 0
∞
4 1
≡ × 3 × 4π × ∫ e −2 r / a0 r 2 dr ≡ 1
4π a 0 0
14243
*
∞
Resolviendo *:
∫
0
e −2 r / a0 r 2 dr
∞ ∞
∫e
− r / a0
2
r dr ≡ ∫ r 2 e −2 r / a0 dr
2
{ }
0 0
r 2 ≡ u → du ≡ 2rdr
a
e −2 r / a0 dr ≡ dv → − 0 e −2 r / a0 ≡ v
2
0
∞
a
−
2r
∞ −
2r
≡ − 0 e a0
r + a0 ∫ re a0 dr
2
2
0
0
1 24
4 3
**
∞
Repitiendo para **:
∫
0
e −2 r / a0 rdr
∞ ∞
∫ e −2 r / a0 rdr ≡ ∫ r e −2 r / a0 dr { }
0 0
8. r ≡ u → du ≡ rdr
a
e −2 r / a0 dr ≡ dv → − 0 e − r / a0 ≡ v
2
∞
0
a0 − a
2r
a
∞ − 2r
≡ a0 − e 0 r + 0 ∫ e a0 dr
2
0
2 0
∞
a02 ∞
−
2r
a 0 a0
2
−
2r
a3
≡ ∫e dr ≡ − e ≡
a0 a0 0
2 0
2 2
0
4
Regresando a * probando la unidad.
e)…calcule!?