Este documento presenta la solución a un problema sobre la transición rotacional de la molécula de CO entre los estados J=1 y J=2 al absorber un fotón de 2,30 x 1011 Hz. La solución encuentra el momento de inercia de esta molécula, el cual resulta ser 1,46 x10-46 kg-m2.

1. S4P) La molécula de CO hace una transición del estado rotacional J ≡ 1 a J ≡
2 cuando absorbe un fotón de 2,30 x 1011 Hz. Encuentre el momento de inercia
de esta molécula.
SOLUCION:
h2
∆E ≡ × 2 ≡ hν
2 4π 2 I
h 6, 63 × 10 −34
→I ≡ ≡ 2 10−45
2π ν 2π × 2,3 × 10
2 11
I ≡ 1, 46 ×10−46
¿Que importancia tiene este compuesto en el calentamiento global?...
¿Que importancia tiene este compuesto en el efecto invernadero?...

2. S4P) La molécula de HCl se excita hasta su primer nivel de energía rotacional,
correspondiente a J = 1. Si la distancia entre sus núcleos es de 0,1275 nm
¿Cuál es la velocidad de la molécula alrededor de su centro de masa?
SOLUCION:
HCl
h2
Erot ≡ ( J + 1) J ; J ≡ 0,1, 2K
2I
1 2 mm
≡ Iw , I ≡ µ r 2 , µ ≡ 1 2 , r : distancia interatómica ( H-Cl )
2 m1 + m2
h
→w≡ J ( J + 1) Rad/s
I
2h
Si J ≡ 1 → w ≡
2π I
( 1, 0078) ( 34,9689 ) ×1, 66 ×10−27 × 0,1275 ×10−9 2
→I ≡
{ 1, 0078 + 34,9689}
( )
144444 2444444 4 3
µ ≡1,6261×10−27 kg
I ≡ 26 × 10−48 kg m 2
6, 63 × 10−34 2
→w≡ ≡ 5, 7 ×1012
2π × 26 × 10 −48
w ≡ 5, 7 ×1012 rad/s
¿Que importancia tiene este compuesto en la lluvia acida?...

3. S4P) Si la constante de fuerza efectiva de una molécula de HCl vibrante es k =
480 N/m estime la diferencia de energía entre el estado base y el primer nivel
vibratorio.
SOLUCION:
HCl . k ≡ 480
 1
Evib ≡  v +  hν ; v ≡ 0,1, 2K
 2
1 k 1 1 1
ν≡ , ≡ + ← mH ≡ 1, 0078u , mCl ≡ 34,9689u
2π µ µ mH mCl
h k 6, 63 × 10−34 480
→ ∆Evib ≡ Evib1 − Evib 0 ≡ ≡ ≡ 57,33 ×10−21 J
2π µ 2π 1, 6261×10 −27
∆Evib ≡ 0,358 eV
¿Que importancia tiene este compuesto con respecto a la generación de
lluvia acida por relámpagos?...

4. S4P) Determine la expresión para la energía cohesiva iónica del sólido iónico,
dada por,
e2  1
U 0 ≡ −α ke 1 −  .
r0  m 
SOLUCION:
De la expresión de la energía potencial total para el sólido iónico,
α ke e 2 B
U total ≡− + m
r r
Derivándola en r,
dU total e 2 mB
≡ α ke 2 − m +1 ≡ 0
dr r r
 
1 e 2 mB 
α ke 2 − m  ≡ 0
2  14244 
4r r3
 
e 2 mB
α ke − → r ≡ r0
r2 rm
e2 B B 1  α ke e 2 
U 0 ≡ −α ke + , ≡  
r 2 r0m r0m m  r0 
e 2 1  α ke e 2 
U 0 ≡ −α ke +  
r0 m  r0 
α ke e 2 1  α k e2  1 
U0 ≡  − 1 ≡ − e 1 − 
r0 m  r0  m 
α ke e 2  1 
U0 ≡ − 1 − 
r0  m 

5. S4P) Muestre que las Es de los estados electrónicos de un e- en un cubo de
lado L están dadas por,
 h 2π 2  2
E ( nx , n y , nz ) ≡   { nx + n y + nz }
2 2
 2mL2 
SOLUCION:
De la ecuación de Schroedinger tridimensional,
2mE
∇ 2ψ ≡ − ψ
h2
 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ  2mE
 2 + 2 + 2 ≡− 2 ψ
 ∂x ∂y ∂z  h
La solución para el caso tridimensional nos conduce a la siguiente ecuación,
ψ ( r ) ≡ ψ ( x, y, z ) ≡ Asen ( k x x ) sen ( k y y ) sen ( k z z )
r
la cual al ser reemplazada en la ecuación anterior produce,
2mE
− { k x2 + k y + k z2 } ψ ≡ −
2
ψ
h2
2mE π
→ k x2 + k y + k z2 ≡
2
2
←k ≡ n
h L
h 2  π   π   π  
2 2 2
 
→E≡  n x  +  n y  +  n z  
2 m  L   L   L 
 

 h 2π 2  2
2 { x
E ( nx , n y , nz ) ≡  n + n y + nz2 }
2
 2mL 

6. S4P) Muestre que la función g(E), función densidad de estados, esta dada por,
 8 2π m3/ 2 
 
g ( E ) ≡ CE1/ 2 , C ≡  3 .

 h 

SOLUCION: Asumiendo un espacio de ns para asociar el numero de estados
con las energias,
nz
Vn ≡ 1
ny
nx
n : número de estados accesibles
1 4 
n ≡ 2 ×  × π rn3  , rn2 ≡ nx + ny + nz2
2 2
8 3 
1
n ≡ π rn3 Kα
3
h2 h2 2
E ≡ ( nx , n y , n z ) ≡ { nx + ny + nz } ≡ 8mL2 rn K β
2 2 2
8mL2
De α ∧ β :
3/ 2
1  8mL2  1 m3/ 2 L3 3/ 2
n ≡ π × 2  E 3/ 2
≡ π ×16 2 × E Kγ
3  h  3 h3
1 m3/ 2 L3 3
De γ : dn ≡ π × 16 2 × × E1/ 2 dE
3 h3 2

7. 8 2π m3/ 2 L3 E1/ 2
≡ dE
h3
 nº de estados accesibles
1 dn 8 2π m3/ 2 1/ 2 
g ( E) ≡ ≡≡ E  por unidad de volumen,
V dE h3 con E entre E ∧ E+ dE!
 s

8. S4P) Muestre que la energía promedio de un e- de conducción en un metal a 0
3
K es EF .
5
SOLUCION: Calculamos la energía total de los n electrones de conducción del
metal,


3
2
EF EF 2 1
ET ≡ ∫ ECE dE ≡ C ∫
1/ 2
E dE ≡C × × EF ≡ × EF × 2CEF 
3/ 2 5/ 2
0 0 5 5 {
 3n 
 
1
ET ≡ × EF × 3n
5
ET 3
E ≡ ≡ EF
n 5