Este documento presenta información sobre procesos de renovación. Explica conceptos como procesos de Markov, distribución de Poisson, procesos de renovación y su extensión. Describe aplicaciones de procesos de renovación como tiempos de espera en bancos. También cubre temas como el teorema del límite central, la ley de los grandes números y procesos de renovación con recompensas.

1. Informe Oral Procesos de Renovación Roberto C. Romero Norlan Rodríguez García

2. Temas Introducción – Preliminares Proceso de Markov Distribución de Poisson Proceso de Renovación Extensión de Proceso de Renovación

3. Preliminar 1 -Markov

4. Markov Chains Queremos resaltar Trabaja un conjunto de varriables aleatorias de un determinado conjunto S Los procesos de Markov no toman en consideración los eventos pasados.

5. Markov

6. Pre-liminar 2 – Distribucion de Poisson A Poisson process is an example of an arrival process, and the interarrival times provide the most convenient description since the interarrival times are defined to be IID. Processes with IID interarrival times are particularly important and form the topic of the markov .

7. 2.1.1 Arrival processes An arrival process is a sequence of increasing rv’s, 0 < S1 < S2 < · · · , where1 Si < Si+1 means that Si+1−Si is a positive rv, i.e., a rv X such that FX(0) = 0. The rv’s S1, S2, . . . ,are called arrival epochs (the word time is somewhat overused in this subject) and represent the times at which some repeating phenomenon occurs.

9. Ejemplo Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista?

10. Solucion

11. Solucion

12. Notación en Mathematica PDF[PoissonDistribution[10],10] 1562500/(567 E^10)//N Out[9]= 0.12511

13. Conceptos básicos Variables aleatoria independientes e idénticamente distribuidas – si cada una de las variables aleatorias tienen la misma probabilidad de distribución que las otras y todas son independientes mutuamente. Teorema del límite central - establece las condiciones bajo las cuales la media de un gran número suficiente de variables aleatoria independientes e idénticamente distribuidas cada una con media y varianza finita, y con una cierta aproximación a una distribución normal. Ley de los grandes números (LLN) - es un teorema que describe el resultado de realizar el mismo experimento un gran número de veces. De acuerdo con la ley, el promedio de los resultados obtenidos a partir de un gran número de ensayos deben estar cerca del valor esperado o promedio, y tienden a acercarse más a medida que más ensayos se llevan a cabo.

14. Parte II – Informe Oral Proceso de Renovación

15. Proceso de renovación Definición : Estudia una clase de procesos estocásticos conocidos como procesos de conteo, es decir, procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, con la característica de que los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos son variables aleatorias nonegativas, independientes e idénticamente distribuidas. Algunas aplicaciones incluyen el cálculo del tiempo de espera en una fila de banco, el ciclo de un motor, la regulación de un reloj para la perfección en el funcionamiento del mecanismo, la comparar los beneficios a largo plazo de las diferentes pólizas de seguros. Lo más importante del proceso de renovación es la medición de tiempo en un ciclo.

16. III – Tiempo. (Z) l---------------------------------------------------------------------------l ____ S 1 ______ l _____ S 2 ______ l _____ S 3 ______ l ____ S 4 ______ ____ t 1 _______ l _____ t 2 ______ l ______ t 3 ______ l ____ t 4 ______ Z – Ciclo S – Etapas del Ciclo t - Tiempo de cada etapa del Ciclo Z t = t 1 + t 2 + t 3 + t 4

17. Ciclo El proceso de renovación se puede entender con más claridad utilizando un ejemplo de un motor de combustión interna de 4 tiempos. Motor de 4 cilindros de 4 tiempos encendido Ciclo 1 Ciclo 2 1 2 3 4 Es A Ex C A C Es Ex C Ex A Es Ex Es C A Es A Ex C A C Es Ex C Ex A Es Ex Es C A

18. Ley de los números grandes para procesos de renovación Teorema 1 Para un proceso de renovación con variables aleatoria de renovación , , con probabilidad 1. Lema 1 Sea {N(t); t > 0} un proceso de renovación de conteo con variables aleatorias de renovación internas {X n ; n Entonces (donde no se ) , con probabilidad 1 y .

19. Teorema 2 Sea {X n ; n es una secuencia de una variable aleatoria con con probabilidad 1. Sea f una función con valores reales de variables reales el cual contiene . Entonces con probabilidad 1

20. Teorema 3 Teorema del limite central de N(t) Asumir que los intervalos de renovación un de proceso de conteo de renovación {N(t); t > 0} tiene desviación estándar finita Entonces donde

21. Parte III – Informe Oral Proceso de Renovación con Recompensa

22. Renewal – Reward Processes Proceso de Renovación con Recompensa

23. Renewal – Reward Processes R(t) modela un ritmo en el cual el proceso esta acumulando una recompensa. “ Recompensa” = puede incluso un costo ó cualquier cambio aleatorio de un interes. Restricción importante= R(t) en un “t” dado, depende unicamente de la localización de “t” en conjunto con el inter Características:

24. El promedio de tiempo de Y(t)

25. Teorema 4.4.1

26. Bibliografia TARAZÓN, ISRAEL (Octubre de 2004), “ Teoría de Renovación y Procesos de Renovación Markovianos ” , recuperado: 3 de enero de 2011, de http://lic.mat.uson.mx/tesis/123TesisTarazon.PDF “ Central limit theorem”, recuperado 7 de enero de 2011, http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem “ Law of large numbers ” recuperado: 7 de enero de 2011, http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers