Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales y sistemas masa-resorte, incluyendo movimiento libre y forzado, y efectos del amortiguamiento. También cubre circuitos RLC, describiendo las ecuaciones que rigen la carga y corriente en función de la resistencia, inductancia y capacitancia del circuito.

1. Ecuaciones Diferenciales
Catalina Dom´ınguez
Ricardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matem´aticas y estad´ıstica
Semana 12
04.2014
P´agina 1 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

2. Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
F
x
l + s
Movimiento libre No amortiguado
d2x
dt2
+ ω2
x = 0, ω =
k
m
x(0) = x0, x′
(0) = v0
Resorte de longitud l y
constante de elasticidad
k (sin estirar)
Posici´on de equilibrio:
masa m produce una
elongaci´on s
mg − ks = 0
.
Fuerza externa F
Produce un
desplazamiento x
ma = −k(x + s) + mg
ma = −kx−ks + mg
m
d2x
dt2
= −kx

3. Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = β
dx
dt
ma = −kx − β
dx
dt
m
d2x
dt2
= −kx − β
dx
dt
d2x
dt2
+
k
m
x +
β
m
dx
dt
= 0
d2x
dt2
+ 2λ
dx
dt
+ ω2
x = 0
2λ =
β
m
ω2
=
k
m
Ecuaci´on caracter´ıstica:
m2
+ 2λm + ω2
= 0 ⇒ m1,2 = −λ ± λ2 − ω2

4. Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2
− ω2
> 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt
C1e
√
λ2−ω2t
+ C2e−
√
λ2−ω2t
1
2
3
C1e
√
λ2−ω2t + C2e−
√
λ2−ω2te−λt
x(t)
Observe que la masa NO logra
pasar por el punto de equilibrio

5. Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2
− ω2
= 0 (Cr´ıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt
C1 + C2t
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
C1 + C2te−λt
x(t)
Observe que la masa pasa por el
punto de equilibrio por lo menos
una vez.

6. Sistema Masa-Resorte
Caso III: λ2
− ω2
< 0 (Sub-amortiguamiento)
En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt
C1 cos λ2 − ω2t + C2 sin λ2 − ω2t
2
4
−2
−4
1 2 3 4 5 6
C1 cos
√
λ2 − ω2t + C2 sin
√
λ2 − ω2t
e−λt
x(t)

7. Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2
+ 2λ
dx
dt
+ ω2
x =
F
m
2λ =
β
m
ω2
=
k
m
donde
x(t) = xc(t) + xp(t)
1 xc(t) se dice soluci´on transitoria
(xc(t) → 0 cuando t → ∞)
2 xp(t) se dice soluci´on de estado estacionario

8. Movimiento Libre Forzado mx′′
(t) + βx′
(t) + kx = F(t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
1
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
Soluci´on transitoria xc
Soluci´on estable xp
Soluci´on estable x(t) = xc(t) + xp(t)
P´agina 8 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

9. Ejemplo
La soluci´on de
d2x
dt2
+ ω2
x = F0 sin αt
x(0) = 0 x′
(0) = 0
donde α = ω viene dada por
x(t) =
F0
ω(ω2 − α2)
(−α sin ωt + ω sin αt)
Pregunta
¿ lim
α→ω
x(t)?
P´agina 9 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

10. Mov. Forzado sin amortiguamiento
x′′
(t) + ω2
x = F0 sin(γt) x(0) = x′
(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +
F0
ω2 − γ2
sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =
F0
ω(ω2 − γ2)
− γ sin(ωt) + ω sin(γt)
Si γ → ω
lim
γ→ω
−γ sin(ωt) + ω sin(γt)
ω(ω2 − γ2)
= lim
γ→ω
d
dγ − γ sin(ωt) + ω sin(γt)
d
dγ ω(ω2 − γ2)
= lim
γ→ω
− sin(ωt) + ωt cos(γt)
−2ωγ
=
− sin(ωt) + ωt cos(ωt)
−2ω2
P´agina 10 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

11. Ejemplo: Resonancia
lim
α→ω
x(t) =
F0
2ω2
sin(ωt) −
F0
2ω
t cos(ωt)
2
4
6
8
−2
−4
−6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
P´agina 11 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

12. Resonancia
Si no ve el video consulte:
http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

13. Ejemplo
1 Una masa de 3Kg est´a fija al extremo de un resorte quese estira
20 cm por una fuerza de 15N. Se pone en movimiento con la posici´on
inicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = −10m/s. Encuentre la
amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.
2 Una masa que pesa 100K est´a sujeta al extremos de un resorte que se
ha estirado 1 m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(ωt)
act´ua sobre la masa. ¿A qu´e frecuencia (en hertzios) ocurrir´an las
oscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.
3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet and
then comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, an
external force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Find
the equation of motion if the surrounding medium offers a damping
force numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.
P´agina 13 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

14. .
Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Ca´ıda de voltaje en el condensador:
q(t)
C
Ca´ıda de voltaje en la resistencia: Ri
Ca´ıda de voltaje en el inductor: L
di(t)
dt
Usando la segunda ley de Kirchhoff
L
di(t)
dt
+ Ri(t) +
1
C
q(t) = E(t)
L
d2q(t)
dt2
+ R
dq(t)
dt
+
1
C
q(t) = E(t)

15. Si E(t) = 0
L
d2q(t)
dt2
+ R
dq(t)
dt
+
1
C
q(t) = 0
las vibraciones el´ectricas del circuito se dice que son libres.
La ecuaci´on caracter´ıstica para esta dada por
Lm2
+ Rm +
1
C
= 0 ⇒ m1,2 =
−R ± R2 − 4L
C
2L
Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor del
discriminante:
Estado
amorti-
guado
Discriminante
∆ := R2 − 4L
C
Soluci´on
sobre R2 − 4L
C > 0, q(t) = e
−R
2L
t
(C1e
√
∆t + C2e
√
∆t)
cr´ıtico R2 − 4L
C = 0 q(t) = e
−R
2L
t
(C1 + C2t)
sub R2 − 4L
C < O q(t) = e
−R
2L
t
(C1 cos
√
−∆t + C2 sin
√
−∆t)
P´agina 15 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

16. Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y las
vibraciones el´ectricas no tienden a cero cuando t crece sin l´ımite, la
respuesta del circuito es arm´onica simple.
En cada uno de estos tres casos la soluci´on general de q(t) contiene el
factor e
−R
2L
t
, y as´ı
q(t) → 0 cuando t → ∞
En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en el
condensador oscila a medida que decae, en otras palabras, el
condensador se carga y descarga cuando t → ∞.
Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) = 0 , las vibraciones
el´ectricas se dicen que est´an forzadas. En el caso en que R = 0, la
soluci´on de la homog´enea asociada qc(t), se denomina una soluci´on
transciente o remanente (transient solution).
Si E(t) es peri´odica o una constante, entonces la soluci´on particular
qp(t) de se dice soluci´on de estado estacionario (steady-state
solution).
P´agina 16 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato

17. Ejemplo
1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1
2
h, R = 10 Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.
What is the charge on the capacitor after a long time?
2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC
en serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .
P´agina 17 Semana 11-12 04.2014 C. Dom´ınguez -R. Prato