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Departamento de formación general 
Escuela de ingeniería 
Cabudare 
Distribuciones de 
Probabilidad continuas. 
Integrante: 
Mariangel Carrillo 
CI:23.570.472.
Índice: 
Introducción………………………………………………………………………………………………3 
1 Distribuciones de probabilidad continúas………………………………………………4 
1.1 Distribución Gamma………………………………………………………………………..5 
1.1.1 Media y varianza……………………………………………………………………6 
1.1.2 Valores de la función Gamma………………………………………………6 
1.1.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………….7 
1.2 Distribución Exponencial……………………………………………………………….8 
1.2.1 Media y varianza…………………………………………………………………..9 
1.2.2 Una aplicación de la distribución exponencial ……………….9-10 
1.2.3 Ejercicio.……………………………………………………………………………..11 
1.3 Distribución de Erlang…………………………………………………………………..12 
1.3.1 Media y varianza………………………………………………………………….13 
1.3.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..13 
1.4 Distribución de Weibull………………………………………………………………….14 
1.4.1 Media y varianza………………………………………………………………….15 
1.4.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..15 
Conclusión……………………………………………………………………………………………….16 
Bibliografía……………………………………………………………………………………………….17 
2
Introducción: 
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que 
pueden representarse como resultado de un experimento. Una 
distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias 
relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la 
probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una 
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede 
diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las 
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. 
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son 
fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de 
distribución de probabilidades. 
En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de 
distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la 
fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran 
en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la 
distribución de probabilidades discretas. 
3
Distribuciones de probabilidad continúas 
En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se 
llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la 
función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por: 
La definición implica que en una distribución de probabilidad 
continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la 
probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. 
Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria 
continua. 
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de 
probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos 
entonces que: 
Grafica de probabilidad continúa 
4
Distribución Gamma 
En estadística la distribución gamma es una distribución de 
probabilidad continua con dos parámetros y cuya densidad para 
valores es 
El valor esperado y la varianza de distribución gamma son: 
La función Gamma: G(z) es una función que extiende el concepto de 
factorial a los números complejos. Si la parte real del número complejo 
z es positiva, entonces la integral 
Converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el 
plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero. 
Si n es un entero positivo, entonces 
Si la parte real del número complejo z es positiva (Re[z] > 0), 
entonces la integral: 
Converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la 
siguiente propiedad: 
Esta ecuación funcional generaliza la relación n! = n(n - 1)! del factorial. 
Se puede evaluar G(1) analíticamente: 
Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso 
especial de la función Gamma: 
Para los números naturales n. 
La función Gamma es una función mero morfa de con polos 
simples en y 
residuos 5
Media y varianza 
Sea X una variable aleatoria continua con distribución Gamma, 
entonces: 
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 
Valores de la función gamma 
Grafica de la distribución Gamma: 
6
Ejercicio: 
Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una 
variable aleatoria x que tiene una distribución gamma con parámet ros a 
= 2 y b = 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio: 
a) tome cuando mucho 1 hora reparar la bomba? 
b) Al menos se requieren 2 horas para reparar la bomba? 
7
Distribución Exponencial 
Es una distribución de probabilidad continua con un 
parámetro cuya función de densidad es: 
Su función de distribución acumulada es: 
Donde representa el número e. 
Grafica de la distribución Exponencial 
8
Media y varianza 
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 
Una aplicación de la distribución exponencial 
Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son 
aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es 
necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la 
distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de 
Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos 
de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas 
aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable 
aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el 
tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la 
hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa 
el evento de Poisson. 
La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada 
exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante 
simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución 
de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número 
promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la 
variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que 
ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se 
encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta 
el tiempo t está dada por: 
; 
Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para 
el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta 
que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la 
probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último 
por supuesto está dado por . Como resultado, 
P(X ³ x) = 
Entonces, la función de distribución acumulada para x es: 
P(0£ X £ x) = 1 - 
9
Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución 
exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para 
obtener la función de densidad: 
f(x) = 
La cual es la función de densidad de la distribución exponencial 
con . 
Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro 
, el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector 
debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de 
Poisson no tiene memoria, lo cual implica que las ocurrencias en 
períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro 
importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la 
confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso 
de Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. 
Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y 
entonces la distribución exponencial es aplicable. 
10
Ejercicio: 
Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender 
a un cliente tiene un distribución exponencial con una media de 40 
segundos. 
a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente 
dado sea mayor que 20 minutos? 
b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un 
cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos. 
Solución 
11
Distribución de Erlang 
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución 
exponencial con parámetro 
Gráfica de la distribucion de Erlang 
12
Media y varianza 
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Erlang, 
entonces 
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 
Ejercicio: 
El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma 
efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo 
exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días. 
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 
días?. 
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad 
hay que trabaja más de 200 días más? 
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que 
más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días. 
Solución 
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo 
promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su 
función de densidad es: 
13
Distribución de Weibull 
La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de 
Weibull x es:1 
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de 
escala de la distribución. 
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la 
tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo: 
Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo. 
Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo. 
Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo. 
Grafica de la distribucion de Weibull 
14
Media y varianza 
Si x es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, 
entonces 
Media:  = E[X] = -1/1+1/) 
Varianza: 2 = V[X] = -2/[1+2/)-((1+1/))2] 
Ejercicio: 
15
Conclusión: 
Podemos concluir que Con los grandes avances tecnológicos hemos 
ahorrado tiempo para el análisis estadístico, sin embargo la 
comprensión de la lógica que se utiliza para llegar a la resolución del 
mismo es algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha sido muy 
bien conducido .Con el desarrollo de este trabajo y gracias a la 
comprensión de los conceptos entendimos que es una poderosa 
herramienta estadística que bien aplicada nos podrá ayudar a facilitar 
los cálculos para la solución de problemas. Lo cual continúa con el 
propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continua en cualquier 
ámbito en que nos desarrollemos. Aprendimos que no es limitativa el 
área en que nos desempeñemos en nuestro trabajo ya que tanto 
en Ingeniería como Materiales, en Recursos Humanos como en un 
Negocio Propio, en Comercio o en Industria, o bien por puro pasatiempo 
en el panorama de la probabilidad estadística, estas herramientas serán 
siempre de gran utilidad. 
16
Bibliografía: 
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17

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distribuciones de probabilidad continuas.

  • 1. Universidad “Fermín toro” Departamento de formación general Escuela de ingeniería Cabudare Distribuciones de Probabilidad continuas. Integrante: Mariangel Carrillo CI:23.570.472.
  • 2. Índice: Introducción………………………………………………………………………………………………3 1 Distribuciones de probabilidad continúas………………………………………………4 1.1 Distribución Gamma………………………………………………………………………..5 1.1.1 Media y varianza……………………………………………………………………6 1.1.2 Valores de la función Gamma………………………………………………6 1.1.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………….7 1.2 Distribución Exponencial……………………………………………………………….8 1.2.1 Media y varianza…………………………………………………………………..9 1.2.2 Una aplicación de la distribución exponencial ……………….9-10 1.2.3 Ejercicio.……………………………………………………………………………..11 1.3 Distribución de Erlang…………………………………………………………………..12 1.3.1 Media y varianza………………………………………………………………….13 1.3.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..13 1.4 Distribución de Weibull………………………………………………………………….14 1.4.1 Media y varianza………………………………………………………………….15 1.4.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..15 Conclusión……………………………………………………………………………………………….16 Bibliografía……………………………………………………………………………………………….17 2
  • 3. Introducción: Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas. 3
  • 4. Distribuciones de probabilidad continúas En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por: La definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua. En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que: Grafica de probabilidad continúa 4
  • 5. Distribución Gamma En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya densidad para valores es El valor esperado y la varianza de distribución gamma son: La función Gamma: G(z) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. Si la parte real del número complejo z es positiva, entonces la integral Converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero. Si n es un entero positivo, entonces Si la parte real del número complejo z es positiva (Re[z] > 0), entonces la integral: Converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad: Esta ecuación funcional generaliza la relación n! = n(n - 1)! del factorial. Se puede evaluar G(1) analíticamente: Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la función Gamma: Para los números naturales n. La función Gamma es una función mero morfa de con polos simples en y residuos 5
  • 6. Media y varianza Sea X una variable aleatoria continua con distribución Gamma, entonces: Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 Valores de la función gamma Grafica de la distribución Gamma: 6
  • 7. Ejercicio: Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria x que tiene una distribución gamma con parámet ros a = 2 y b = 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio: a) tome cuando mucho 1 hora reparar la bomba? b) Al menos se requieren 2 horas para reparar la bomba? 7
  • 8. Distribución Exponencial Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro cuya función de densidad es: Su función de distribución acumulada es: Donde representa el número e. Grafica de la distribución Exponencial 8
  • 9. Media y varianza Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 Una aplicación de la distribución exponencial Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson. La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por: ; Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por . Como resultado, P(X ³ x) = Entonces, la función de distribución acumulada para x es: P(0£ X £ x) = 1 - 9
  • 10. Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad: f(x) = La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con . Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cual implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable. 10
  • 11. Ejercicio: Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un distribución exponencial con una media de 40 segundos. a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos. Solución 11
  • 12. Distribución de Erlang Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro Gráfica de la distribucion de Erlang 12
  • 13. Media y varianza Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Erlang, entonces Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2 Ejercicio: El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días. a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?. b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay que trabaja más de 200 días más? c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días. Solución Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es: 13
  • 14. Distribución de Weibull La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:1 donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la distribución. La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo: Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo. Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo. Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo. Grafica de la distribucion de Weibull 14
  • 15. Media y varianza Si x es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, entonces Media:  = E[X] = -1/1+1/) Varianza: 2 = V[X] = -2/[1+2/)-((1+1/))2] Ejercicio: 15
  • 16. Conclusión: Podemos concluir que Con los grandes avances tecnológicos hemos ahorrado tiempo para el análisis estadístico, sin embargo la comprensión de la lógica que se utiliza para llegar a la resolución del mismo es algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha sido muy bien conducido .Con el desarrollo de este trabajo y gracias a la comprensión de los conceptos entendimos que es una poderosa herramienta estadística que bien aplicada nos podrá ayudar a facilitar los cálculos para la solución de problemas. Lo cual continúa con el propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continua en cualquier ámbito en que nos desarrollemos. Aprendimos que no es limitativa el área en que nos desempeñemos en nuestro trabajo ya que tanto en Ingeniería como Materiales, en Recursos Humanos como en un Negocio Propio, en Comercio o en Industria, o bien por puro pasatiempo en el panorama de la probabilidad estadística, estas herramientas serán siempre de gran utilidad. 16