La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran un número de eventos en un período de tiempo si estos ocurren a una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson en 1838. Un proceso de Poisson es un proceso estocástico donde los tiempos entre eventos son independientes e idénticamente distribuidos de forma exponencial, y el número de eventos en un intervalo de tiempo tiene una distribución de Poisson.

2. POISSON En la teoría de la probabilidad y en la estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos ocurran con una tasa media conocida y si cada evento sea independiente del tiempo transcurrido desde el último evento.

3. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) y publicada, conjuntamente con su teoría de la probabilidad, en 1838. Es en muchos sentidos la versión de tiempo continuo del proceso de Bernoulli.

4. Proceso de llegada Un proceso de llegada es una secuencia en aumento de variables aleatorias, 0 < S1< S2 <<· · ·, donde Si < Si + 1, es decir, una variable aleatoria X tal que FX (0) = 0. En el proceso de Poisson, las llegadas se pueden producir en cualquier momento, y la probabilidad de una llegada en cualquier instante particular es 0.

5. Definiciony propiedades del proceso Poisson Un proceso de Poisson es un ejemplo de un proceso de llegada. Proporcionar los tiempos entre llegadas y la descripciones más convenientes desde los tiempos entre llegadas se definen como IID.

6. Definición 2.1. Un proceso de renovación es un proceso de llegada para los que la secuencia de los tiempos entre llegadas es una secuencia de las variables aleatorias IID. Definición 2.2. Un proceso de Poisson es un proceso de renovación en la que los intervalos entre llegadas tienen una función de distribución exponencial, es decir, para algunos λ > 0 reales, cada Xi tiene el la función densidad fx(x) = λ exp (- λ x) para x ≥ 0.

7. Lo que hace que el proceso de Poissonsea único entre los procesos de renovación es la propiedad sin memoria de la distribución exponencial. Definición 2.3 Variables aleatorias sin memoria : una variable aleatoria X posee la propiedad sin memoria si Pr {X> 0} = 1, (es decir, X es una V. A. positiva) y, para cada x ≥ 0 y t ≥ 0, Pr {X > t + x} Pr = {X> x} Pr {X> t}.

8. Definición 2.4. Un proceso de conteo {N (t), t ≥ 0} tiene la propiedad de incremento fijo si para todo t’> t > 0, N (t’) - N (t) tiene la misma función de distribución que N (t’ - t). Definición 2.5. Un proceso de conteo {N (t), t ≥ 0} tiene la propiedad independiente de incremento si, para cada entero k> 0, y cada k-veces 0 <t1 <t2 <· · · <tk, el k-veces de V. A. N (t1), N (t1, t2). . . , N (tk-1, tk) de V.A. son estadísticamente independientes.

9. Probabilidaddensidad de Sny S1,..... Sn Recordemos que por un proceso de Poisson, Sn es la suma de n IID de una V.A. , cada uno con la función de densidad f (x) = λexp(-λx), x ≥ 0. Recordamos también que la densidad de la suma de dos V.A. independientes se pueden encontrar por convolución de sus densidades, y por lo tanto la densidad de S2 se puede encontrar por convolución de f (x) con ella misma, S3por convolución de la densidad de S2con f (x) , y así sucesivamente. El resultado, para t ≥ 0, se llama la densidad de Erlang.

10. FunciondensidadErlang fSn(t) =

11. EL PMF paraN(t) El proceso de conteo de Poisson, {N (t), t> 0} se compone de un número entero positivo de la V. A. N (t) para cada t> 0. En esta sección, se muestra que la PMF para esta V.A. es el conocido PoissonPMF. Teorema 2.3 Para que un proceso de Poisson de tasa λ, y para cualquier t> 0, el PMF para N (t) (es decir, el número de llegadas (0, t]) está dada por la Poisson PMF, PN(t)(n)=

12. DefinicionAlterna del proceso Poisson Definición 2 del proceso de Poisson: Un proceso de conteo de Poisson {N (t), t ≥ 0} es un proceso de recuento que satisface PN(t)(n)= ( ) (es decir, tiene el PMF de Poisson) y tiene las propiedades de incremento independientes y estacionarios.

13. Hemos visto que las propiedades en la Definición 2 se satisfacen a partir de la definición 1 (IID con tiempos entre llegadas exponencial), por lo que la definición 1 implica la definición 2.

14. La definición siguiente de un proceso de Poissonse basa en sus propiedades elementales. Considere el número de llegadas en un intervalo muy pequeño (t, t + δ). Dado que Ñ (t, t + δ) tiene la misma distribucion N(δ), utitlizamosPN(t)(n)= (ANTES DE DEFINICION 3)