El documento presenta ejemplos de cálculos de ángulos entre vectores usando el producto escalar. También define propiedades del producto escalar y cruz, y determina si pares de vectores son perpendiculares calculando su producto escalar. Finalmente, calcula valores de productos cruz para pares de vectores dados.

1. 1. Encuentra el ángulo que existe entre los siguientes pares de vectores.
a) u = 2i – 4j, v = 3i + 2j
Se aplicará la fórmula para obtener el ángulo entre dos vectores como sigue:
cos𝜃 = 𝑢∙𝑣/|𝑢|∙|𝑣|
cos𝜃 = (2𝑖 - 4𝑗)∙(3𝑖 + 2𝑗)/(√22 +(- 4)2)( √32 +22)
cos𝜃 = 6-8/(√20) (√13) = -2/√260
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1(-2/√260)
𝜃 ≈ 0.4580
El ángulo que hay entre u y v es de aproximadamente 0.45 grados.
b) u = 6i – 11j, v = 11i + 9j
cos𝜃 = 𝑢∙𝑣/|𝑢|∙|𝑣|
cos𝜃 = (6𝑖 - 11𝑗)∙(11𝑖 + 9𝑗)/(√62 +(- 11)2)( √112 +92)
cos𝜃 = 66-99/(√157) (√202) = -33/√31714
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1(-33/√31714)
𝜃 ≈ 0.982
El ángulo que hay entre u y v es de aproximadamente 0.98 grados.
2. Menciona las propiedades del producto punto o también llamado producto escalar.
Las operaciones de suma entre vectores y producto de un escalar por un vector satisfacen
las siguientes propiedades:
1.- Ley asociativa de la suma de vectores:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2.- Ley conmutativa de la suma de vectores:
u + v = v + u
3.- Vector cero:
u +0 = 0 + u = u
4.- Inversos aditivos:
u + (−u) = (−u) + u = 0
5.- Propiedad distributiva del producto sobre la suma:
a (u + v) = au + av
6.- Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto:
(a + b) u = au + bu

2. 7.- Propiedad asociativa del producto:
(ab)u = a (bu) = b (au)
8.- Propiedades generales:
1u = u y 0u = 0
3. Establece si los siguientes pares de vectores son o no perpendiculares entre sí.
a) u = (3,5), v = (-5, 3)
Realizando el producto escalar, se tiene
𝑢∙𝑣 = (3,5)∙(-5,3)
𝑢∙𝑣 = -15 + 15
𝑢∙𝑣 = 0
cos𝜃= 0/(√32 + 52 (√-52 + 42)
cos𝜃 = 0/√1341
cos𝜃= 1
Se tiene que el ángulo, o bien es de 90°, o de 270°; para que no existan confusiones,
siempre se utilizaran ángulos que se encuentren dentro del intervalo [0, 180°]. Tomando
esto en cuenta, se puede asegurar que dos vectores u y v diferentes de cero son
perpendiculares, si y solo si, su producto escalar es cero.
b) u = (6, 9), v = (2, -3)
𝑢∙𝑣 = (6,9)∙(2,-3)
𝑢∙𝑣 = 12 - 27
𝑢∙𝑣 = -15
cos𝜃= -15/(√62 + 92 (√22 + -32)
cos𝜃 = -15/√130
cos𝜃= 0.25
Se tiene que el ángulo, o bien es de 90°, o de 270°; para que no existan confusiones,
siempre se utilizaran ángulos que se encuentren dentro del intervalo [0, 180°]. Tomando
esto en cuenta, se puede asegurar que dos vectores u y v diferentes de cero son
perpendiculares, si y solo si, su producto escalar es cero.

3. c) u = (0,4), v = (2, 0)
𝑢∙𝑣 = (0,4)∙(2,0)
𝑢∙𝑣 = 0 - 0
𝑢∙𝑣 = 0
cos𝜃= 0/(√02 + 42 (√22 + 02)
cos𝜃 = 0/√20
cos𝜃= 1
Se tiene que el ángulo, o bien es de 90°, o de 270°; para que no existan confusiones,
siempre se utilizaran ángulos que se encuentren dentro del intervalo [0, 180°]. Tomando
esto en cuenta, se puede asegurar que dos vectores u y v diferentes de cero son
perpendiculares, si y solo si, su producto escalar es cero.
4. Menciona las propiedades del producto cruz.
Propiedades del producto cruz:
1) 𝑢 ×0 = 0 ×𝑢 = 0
2) 𝑢 ×𝑣 = −(𝑣×𝑢)
3) (𝛼𝑢)×𝑣 = 𝛼(𝑢 ×𝑣).
4) 𝑢×(𝑣+𝑤)= (𝑢 ×𝑣)+ (𝑢 ×𝑤)
5) 𝑢∙(𝑢×𝑣) = 𝑣∙(𝑢×𝑣) = 0.
6) 𝑢 ×𝑣 = 0, con 𝑢 y 𝑣 distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos.
5. Calcula el producto cruz de los siguientes vectores.
Sea:
𝑢 × 𝑣 = (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1) + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2) + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)
= −(𝑏2𝑐1 − 𝑏1𝑐2)𝑖 − (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑗 − (𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑘
= −[(𝑏2𝑐1 − 𝑏1𝑐2)𝑖 + (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑗 + (𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑘]]
a) u = i + j – k, v = 2i – 3j + 5k
𝑢 × 𝑣 = −[(-3*-1 – 1*5)𝑖 + (1*-5 − 2*-1)𝑗 + (2*1 – 1*-3)𝑘]]
= −[(3 – 5)𝑖 + (-5 – (-2))𝑗 + (2 – (-3))𝑘]]
= −[(-2)𝑖 + (-3)𝑗 + (5)𝑘]]
= (2) + (3) + (-5)]
b) u = 3i – 4j + 5k, v = 6i + j – 5k
𝑢 × 𝑣 = −[(1*5 – (-4)*-5)𝑖 + (3*(-5) – 6*5)𝑗 + (6*(-4) – 3*1)𝑘]]
= −[(5 – 20)𝑖 + (-15 − 30)𝑗 + (-24 – 3)𝑘]]
= −[(-15)𝑖 + (-15)𝑗 + (-27)𝑘]]
= (15) + (15) + (27)