Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores geométricos, incluyendo suma, resta, producto escalar y producto vectorial de vectores. Explica cómo calcular la suma, resta, producto por escalar y norma de vectores en R2 y R3. También define vectores unitarios, ortogonales y paralelos, y presenta propiedades y ejemplos para ilustrar estos conceptos fundamentales de álgebra lineal.

2. Vectores geométricos

3. Vectores equivalentes

4. Vectores paralelos

5. Suma

6. Resta

7. Vectores de posición

8. Ejemplo 1
• Observe:

9. Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2
(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)
(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,
k es un escalar (2)
(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
DEFINICIÓN.1
Suma, Producto por un Escalar, Igualdad
a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)
1 2 2 1 2 1 2 1,PP OP OP x x y y      

10. Solución Gráfica
• Ilustra las soluciones gráficas de suma y resta
de dos vectores.

11. Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a +
3b.
Solución
Usando (1), (2), (4), tenemos



17,169,188,232
1,734),6(1
7,534),6(1
ba
ba
ba

12. Propiedades
• (i) a + b = b + a
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (−a) = 0
(v) k(a + b) = ka + kb k escalar
(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares
(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares
(viii) 1a = a
(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>

13. Longitud, Norma
• a = <a1 , a2>, entonces
Naturalmente, tenemos ||a||  0, ||0|| = 0
2
2
2
1|||| aa a

14. Vectores Unitarios
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina
vector unitario.
u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto
que
1||||
||||
1
||||
1
||||  a
a
a
a
u

15. Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la
misma dirección u es
y
5
1
,
5
2
1,2
5
1
5
1 
 au
5
1
,
5
2
 u

16. Los vectores i, j
• Si a = <a1, a2>, entonces
(5)
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se
transforma en
a = a1i + a2j (6)


1,00,1,00,
,
2121
21
aaaa
aa

18. Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j
(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j
(iii)
(iv) 10(3i – j) = 30i – 10j
(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a
2||||  ji

19. Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b
Solución

20. Vectores en 3D -Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) , (−2, −2, 0) y (3,-3,-1)
Solución
Fig 14

21. Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
29)46())7(3())1(2( 222
d

22. Ecuación del Punto Medio
(2)




 
2
,
2
,
2
212121 zzyyxx

23. Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
De (2), tenemos





 




 
5,5,
2
1
2
46
,
2
)7(3
,
2
)1(2

24. Vectores en 3 Dimensiones
• Fig 16.
 321 ,, aaaa

25. Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>
(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>
(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>
(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>
(vi) 0 = <0, 0 , 0>
(vi)
DEFINICIÓN 2
Definiciones en 3 Dimensiones
2
3
2
2
2
1|||| aaa a

27. Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución



5,2,3
)2(3,68,41
1221 OPOPPP

28. Ejemplo 5
• Calcula la norma del vector unitario del vector
a(-2,3,6)
• De la Definición 2, tenemos
1
49
3694
7
6
7
3
7
2
||||
222

















a

29. Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j



1,0,00,1,00,0,1
,0,00,,00,0,
,,
321
321
321
aaa
aaa
aaa

31. Ejemplo 6
a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13k
Ejemplo 7
(a) a = 5i + 3k está en el plano xz
(b)
Ejemplo 8
Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución
5a − 2b = 13i − 20j + 48k
3435||35|| 22
 ki

32. Producto Escalar
El producto escalar de a y b es el escalar
(1)
donde  es el ángulo que forman los vectores 0    .
DEFINICIÓN 3
Producto Escalar de Dos Vectores
cos|||||||| baba ．

33. Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i  i = 1, j  j = 1, k  k = 1 (2)

34. Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k,
entonces
21)3)(6()4)(2(
2
1
)10( 




ba．

35. Propiedades
• (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0
(ii) a  b = b  a
(iii) a  (b + c) = a  b + a  c
(iv) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b)
(v) a  a  0
(vi) a  a = ||a||2

36. Orthogonal Vectors
• (i) a  b > 0 si y sólo si  es agudo
(ii) a  b < 0 si y sólo si  es obtuso
(iii) a  b = 0 si y sólo si cos  = 0,  = /2
• Observación: Como 0  b = 0, decimos que el
vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si
a  b = 0.
TEOREMA 1
Criterio de Vectores Ortogonales

37. Ejemplo 3
i, j, k son vectores ortogonales.
i  j = j  i = 0, j  k = k  j = 0, k  i = i  k = 0(5)
Ejemplo 4
Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a  b = –6 – 14 + 20 = 0
Son ortogonales.

38. Ángulo que Forman Dos Vectores
(6)
||||||||
cos 332211
ba
bababa 


39. Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución
14,27||||,14||||  baba ．
cosθ =
14
14 27
θ = 𝑐𝑜𝑠−1
14
14 27
= 0.72 = 46°

40. 7.4 Cross Product
El producto vectorial de dos vectores a y b es
(1)
donde  es el ángulo entre ellos, 0    , y n
es un vector unitario perpendicular al plano de a y b
Con la dirección que viene dada por la regla de la
mano derecha.
DEFINICIÓN 7.4
Producto Vectorial de Dos Vectores
nbaba )sin||||||(|| 

42. Propiedades
• (i) a  b = 0, if a = 0 or b = 0
(ii) a  b = −b  a
(iii) a  (b + c) = (a  b) + (a  c)
(iv) (a + b)  c = (a  c) + (b  c)
(v) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b)
(vi) a  a = 0
(vii) a  (a  b) = 0
(viii) b  (a  b) = 0
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si
si a  b = 0.
TEOREMA 7.2
Criterio de Vectores Paralelos

43. Ejemplo 2
• (a) De propiedades (iv)
i  i = 0, j  j = 0, k  k = 0 (2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a,
entonces a y b son paralelos. Así a  b = 0
• Si a = i, b = j, entonces
(3)
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k.
Por lo que i  j = k
nnjiji 





2
sin||||||||


44. Ejemplo 3
• De la Figura, tenemos
(4)
(ii)propiedadladey








jik
ikj
kji








jki
ijk
kij

45. Alternative Definition
• Como
(5)
tenemos
(6)
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)()(
)()(
332313
322212
312111
3213
32123211
321321
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjik
kjijkjii
kjikjiba






bababa
bababa
bababa
bbba
bbbabbba
bbbaaa
kjiba )()()( 122113312332 babababababa 

46. También podemos escribir (6) como
(7)
Por otro lado, (7) se transforma en
(8)
kjiba
21
21
31
31
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa

321
321
bbb
aaa
kji
ba 

47. Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a  b.
Solución
De (8), tenemos
kji
kji
ba
13
24
13
54
11
52
113
524








