MATEMATICAS

1. PRODUCTOS NOTABLES
Y
FACTORIZACIÓN

2. 2
¿Cómo se puede desarrollar
el siguiente binomio?
 
4
7 3x 

3. 3
n = 0
¿Cómo se puede desarrollar el siguiente
binomio?
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 +1b4
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes
ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés
Blaise Pascal1
 
4
7 3x 
1 Traité du triangle arithmétique

4. LOGROS
4
 Utiliza el método de completar cuadrados para expresar un
polinomio de segundo grado como suma de cuadrados.
 Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.
 Factoriza un polinomio.
El alumno, al término de la clase:
 Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.
 Factoriza un polinomio.

5. Los productos notables son un grupo de multiplicaciones
algebraicas muy frecuentes, que se han identificado como
fórmulas, y que nos permiten escribir directamente el resultado
abreviando así los cálculos.
Productos Notables
5
 
2
a b 
Ejemplos
 
2
a b 
( )( )a b a b  
2 2
2a ab b 
2 2
2a ab b
2 2
a b

6.  
25
4 3x 
6
Ejemplo
Expandir las siguientes expresiones:
  5 5
4 7 4 7x x 
a.
b.
c.
d.
 
23 5
2 3x y
5 53 3
3 3x x
y y
  
   
  
= 4𝑥5 2
−2 4𝑥5 3
+ 3 2
= 4𝑥5 2
−2 4𝑥5 3
+ 3 2
= 4𝑥5 2
+ 3 2
= 4𝑥5 2
+ 3 2

7. 7
Una las siguientes expresiones
2
( ) 14 49P x x x  
 
2
7 4x  
 
2
4 3 1x  
2
( ) 14 45Q x x x  
2
( ) 4 24 36R x x x  
 
2
7x 
 
2
2 6x 
2
( ) 4 24 37S x x x  
Practiquemos un poco….

8. 2
2 2
2( )( ) ( ) ( ) 38   
8
Método de completar cuadrados
Utilizando el método de completar cuadrados exprese el
polinomio P en la forma y determine los
valores de a, h y k.
2
( ) ( ) ,P x a x h k  
2
( ) 14 38P x x x  
2
( ) 14 38P x x x   
Solución
Trinomio cuadrado perfecto
 
2
7x  2
37 8 
2
( ) ( 7) 11P x x  
x x 7 7 7
Donde: a = 1, h = – 7 y k = –11
Por lo tanto, 2
( ) ,a hx k  

9. Ejemplo 47. Utilizando el método de completar cuadrados
exprese el polinomio P definido por en la
forma y determine los valores de a, h y k.
9
2
( ) ( ) ,P x a x h k  
2
( ) 10 9P x x x  
Ejemplo 48. Utilizando el método de completar cuadrados
exprese el polinomio P definido por en la
forma y determine los valores de a, h y k.2
( ) ( ) ,P x a x h k  
2
( ) 3 15 2P x x x  

10. FACTORIZACIÓN
( 3)( 3)x x 2
9x  
Una idea intuitiva del significado de factorizar una expresión
MULTIPLICACIÓN
10
¿qué entiendes por factorizar? ¿es cierto que una expresión esta
factorizada si es el producto de dos o más factores?
O ¿es necesario establecer una condición adicional?

11. FACTORIZACIÓN
11
Entenderemos por factorización el expresar un polinomio
como producto de otros polinomios de menor grado y que
además deben ser primos (es decir que a su vez no se podrían
expresar en otros polinomios de menor grado).
Nota: Un polinomio primo es aquel polinomio que no se puede
expresar como un producto indicado de polinomios de grados
menores que el suyo. Ejemplo: Los polinomios de primer grado, y
polinomios de la forma , , etc.
2
7x  2
5x 

12. ( 2)( 2) 5x x  
¿Cuál de las siguientes expresiones está factorizada?
Ejemplo 1
No está factorizada por la adición en el
término final.
Debería obtenerse sólo productos.
(2 3)( 5)( 4)x x x  
2
4x 
b.
c.
d.
No está factorizada porque se puede
expresar como producto de (x+2) y (x-2)
a. 2 5x
12

13. Ejemplo. Factorice:
a. P(x) = 15x2 +25xy+20yx3
= 5x(3x +5y+4yx2)
b. P(x;y)=2x(3x – 1) + y(1–3x)+2(3x – 1)
= (3x – 1)(2x – y +2)
Factor común
Factor común
13
Técnicas de factorización

14. Ejemplo. Factorice:
a. P(x) = 12ax2 + 3bx2 – 20ay – 5by
= (4a + b)
= 12ax2 + 3bx2
= 3x2 (
Factor común binomio
+ b)
– 20ay – 5by
4a + b)– 5y (4a
(3x2 – 5y)
14

15. 2
( ) 4 3P x x x  
4x
( ) (4 3)( 1)P x x x  
x
3
1
Ejemplo 54. Factorice:
3x 
4x
x
15

16. 2 2
( ) 3 7 2Q x x y xy  
3xy
( ) (3 1)( 2)Q x xy xy  
xy
1
2
Ejemplo 55. Factorice:
xy 
6xy 
7xy
16

17. 17
a. 16x4 – y2 = (4x2) 2 – y2 = (4x2 – y) (4x2 + y)
b. 81x6–y4 = (9x3) 2 – (y 2)2 = (9x3 – y2) (9x3 +y2)
Ejemplo. Factorice:
Polinomio primo Polinomio primo
Polinomio primoPolinomio primo
c. q3–36qp2 = q[q2 – 36p2]
= q(q – 6p)(q + 6p)
= q[(q)2 – (6p)2]

18. Teorema del factor
Si P(x) es un polinomio y a es un número tal que P(a) = 0
entonces decimos que a es un cero de P(x). También
podemos decir que (x – a) es un factor de P(x).
El teorema del factor nos da a entender que podemos
reescribir al polinomio P(x) así: P(x) = (x – a).Q(x)
G. Factorización usando la división de polinomios
18

19. UTILICEMOS EL MÉTODO DE RUFFINI PARA
ENCONTRAR UN DIVISOR DE .
VERIFIQUEMOS SI ES UN DIVISOR:
19
1 2 -1 -2
1
1
1
3
3
2
2
0
Luego
 3 2
2 2x x x    1x
   3 2
Para ello, dividamos en2 1tre2 .x x x x   
2
Cociente: ( ) 3 2q x x x  
Resto: ( ) (1) 0r x P 
3 2
2 2x x x     1x  2
3 2x x 
Ejemplo. Factorice:
  2 1x x  1x

20. 1 -5 -2 24
3
1
3
-2
-6
-8
-24
0
Luego
3 2
( ) 5 2 24P x x x x   
Probamos y tomamos 3x 
2
( ) 2 8q x x x  
3 2
2 2x x x   
1; 2;Lo 3; 4; 6; 8; 1sdivisoresde 44 22 2;:       
( 3)x  2
( 2 8)x x 
( 3)x  ( 4)x  ( 2)x 
aspa simple
20
Ejemplo. Factorice: