Este documento presenta un árbol de decisiones para determinar la reparación más económica de una computadora. El árbol muestra las opciones de reemplazar partes individuales, realizar pruebas de diagnóstico, o reemplazar la placa base. Las pruebas tienen costos y pueden indicar diferentes partes dañadas. El objetivo es desarrollar una estrategia óptima para minimizar los costos de reparación.

1. 1. Introducción<br />1.1 Motivación<br />Una manera en la cual la familia, amigos y conocidos pueden pasar un buen rato reunidos de manera entretenida es mediante juegos de estrategia, en la cual los competidores pueden mostrar sus habilidades al tomar decisiones acertadas al realizar sus jugadas para llegar a la victoria. Los juegos de estrategia son una buena opción para “matar el tiempo”, mientras demuestras tus capacidades analíticas. Una decisión es el producto final del proceso mental de un individuo o un grupo de personas, el cual se denomina toma de decisiones. Este proceso tiene como finalidad realizar una elección entre las alternativas o formas para resolver diferentes situaciones de la vida. Se necesita hacer uso del razonamiento y pensamiento para elegir una decisión a un problema. Por más simple que parezca el problema, para que haya una decisión, tienen que haber alternativas. No importa la naturaleza del problema, se debe de conocer, comprender y analizar para poder darle solución. <br /> Justificación y relevanciaEn este proyecto creativo, estaré discutiendo el juego de puntitos, el cual está clasificado como un juego de estrategia. Para este tipo de juego, el factor de la inteligencia, habilidades técnicas, planificación y despliegue, pueden hacer predominar o impulsar al jugador hacia la victoria del juego. Se calcularán las probabilidades a partir de la tercera jugada para decidir cual jugador tiene más probabilidad de ganar a partir de cada una de sus jugadas. Se hará de esta manera ya que los competidores utilizan decisiones mejores pensadas en las últimas jugadas. Para esto, se empleará el método del árbol de juegos, en donde se mostrará un ejemplo, en el cual presentaré todos caminos por los cuales el jugador pueda obtener la victoria a partir de la tercera jugada. <br />Reseña histórica

2. Análisis de decisionesEl análisis de decisiones tiene poco más de cuatro décadas. Del 1970 al 1980 aparecen publicaciones directamente haciendo referencia al análisis de decisiones y luego, en el 1990 aparecen referencias relevantes. Algunos métodos del análisis de decisión se movieron de la búsqueda de estrategias a las aplicaciones o se comenzaron a reorganizar más ampliamente. Se desarrollaron programas informáticos del análisis de decisiones y, se crearon paquetes de software que utilizan el árbol de decisiones y diagramas de influencia. Del 1992 al 1994, Kenney discute los roles de valor en la toma de decisiones y Kenney & Mc Danuls ilustra las aplicaciones de este tipo de “pensamiento centrado en el valor”. En 1992 Edwards revisó ambas teorías y las aplicaciones asociadas utilizando el valor esperado y en el 1994 se discute el uso de 3 puntos de aproximación para simplificar el cálculo de la distribución de la probabilidad continua cuando la actitud hacia la asunción de riesgo es importante en una decisión. En el 1995 Corner & Corner resumió las características de las aplicaciones del análisis de decisiones encuestadas por Corner y Kirkwood. Luego, en el 1997- Kirkwood revisó los métodos del análisis de decisiones con múltiples objetivos en conflicto, incluyendo procedimientos con hojas de cálculo para implementar estos métodos. En el 1998 Hazen revisó el método del árbol de decisiones y en el 1999 Perdue discutió el método usando ambas técnicas de fijaciones de precios y las herramientas del análisis de decisiones en la búsqueda de la planificación del desarrollo. Mc Cardle proporcionó un tutorial de introducción con métodos de fijación de precios y su potencial de integración con el método de análisis de decisiones, con un enfoque en las investigaciones de evaluación del aceite y gas. Matheson & Matheson discutieron el uso de un “outside-in” en el enfoque para tener una mejor cuenta de compañías externas en el exterior durante la estrategia del análisis de decisiones.<br />Actualmente el análisis de decisiones es una disciplina consolidada, y a la vez dinámica, que se enseña en las principales universidades del mundo y se aplica en situaciones de gran trascendencia.<br />2.2 Teoría de juegos<br />La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución minimax de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le Her. Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie des richesses, de Antoine Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una solución que es una versión restringida del equilibrio de Nash.<br />Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la teoría de juegos fue desarrollada inicialmente en 1937 por el gran matemático húngaro John von Neumann. Años más tarde su propio creador Neumann, Oskar Morgenstern, John Nash, A.W. Tucker entre otros hicieron grandes contribuciones para ampliar dicha teoría. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural.<br />Definiciones 3.1. Alternativa de decisión- Evento o variable no controlable.<br />3.2. Árbol de decisiones- Es un diagrama que representan en forma secuencial condiciones y acciones. Muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y así sucesivamente. <br />3.3. Árbol de escenarios- Tiene por objetivo definir un estado futuro de un sistema conocido actualmente e indicar los distintos procesos que permiten pasar del estado presente a la imagen futura. <br />3.4. Árbol de juegos- Es una aplicación de un árbol de decisión, puesto que se genera el árbol de acuerdo al nivel de previsión y cada jugador va diciendo que jugada le conviene más de acuerdo a la evaluación de una determinada posición.<br />3.5. Combinaciones- Una combinación es una selección de objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al grupo. El número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos distintos es<br />3.6. Estado de naturaleza- Eventos que pueden ocurrir como resultado de cada.<br />3.7. Método de poda- Mecanismo para mejorar precisión del árbol sobre datos objetivos.<br /> Ejemplo:<br />Árbol sin podar<br />Árbol obtenido de podar el anterior<br />3.8. Método de revisión rollback- Es un algoritmo de retroceso que comienza en los nodos terminales del árbol y trabaja hacia atrás hasta el nodo de decisión inicial. <br />3.9. Nodo- Es un punto de unión.<br />3.10. Nodo de oportunidad o chance- Se desprenden ramas que representan posibles estados de la naturaleza.<br />3.11. Nodos de decisión- De ellos salen las ramas de decisión y se representan con . <br />3.12. Nodos de incertidumbre o estados de naturaleza- De ellos salen las ramas de los eventos y se representan con . Representa el momento en que se produce un evento incierto. De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de la naturaleza.<br />3.13. Nodo inicial- Puede o no representar un evento.<br />3.14. Probabilidad condicional- Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. la probabilidad condicional de A dado B está definida como: <br />3.15. Probabilidad marginal- Es la probabilidad de un evento simple A, es decir un evento de una sola característica y se puede definir como P(A) <br />3.16. Ramas- Es un arco conector. Se representan con líneas y une a dos nodos. <br />3.17. Ramas de decisión- Son las decisiones posibles. <br />3.18. Ramas de estado de la naturaleza – Son los posibles resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no se tiene control. <br />3.19. Teorema de Bayes- Es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. <br />3.20 Teorema del binomio- Es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma.Este teorema establece que el coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es , donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Se expresa de la siguiente manera: <br />3.21 Valor esperado- Es la media de la distribución de probabilidad. Se calcula como:<br />Marco teórico:Un árbol de decisión es un modelo de predicción construidos a partir de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las variables que son evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de decisión será efectuada. Dada una base de datos se construyen diagramas de construcciones lógicas, muy similares a los sistemas de predicción basados en reglas, que sirven para representar y categorizar una serie de condiciones que ocurren de forma sucesiva, para la resolución de un problema. Tiene unas entradas las cuales pueden ser un objeto o una situación descrita por medio de un conjunto de atributos y a partir de esto devuelve una respuesta la cual en últimas es una decisión que es tomada a partir de las entradas. Los valores que pueden tomar las entradas y las salidas pueden ser valores discretos o continuos. Se utilizan más los valores discretos por simplicidad, cuando se utilizan valores discretos en las funciones de una aplicación se denomina clasificación y cuando se utilizan los continuos se denomina regresión. Un árbol de decisión lleva a cabo un test a medida que este se recorre hacia las hojas para alcanzar así una decisión. El árbol de decisión suele contener nodos internos, nodos de probabilidad, nodos hojas y arcos. Un nodo interno contiene un test sobre algún valor de una de las propiedades. Un nodo de probabilidad indica que debe ocurrir un evento aleatorio de acuerdo a la naturaleza del problema, este tipo de nodos es redondo, los demás son cuadrados. Un nodo hoja representa el valor que devolverá el árbol de decisión y finalmente las ramas brindan los posibles caminos que se tienen de acuerdo a la decisión tomada.<br />Refiriéndonos al ámbito empresarial, podemos decir que los árboles de decisión son diagramas de decisiones secuenciales nos muestran sus posibles resultados. Éstos ayudan a las empresas a determinar cuáles son sus opciones al mostrarles las distintas decisiones y sus resultados. La opción que evita una pérdida o produce un beneficio extra tiene un valor. La habilidad de crear una opción, por lo tanto, tiene un valor que puede ser comprado o vendido.<br />Véase el siguiente ejemplo para comprender como se construye un árbol de decisiones. Supóngase el caso en el que un cliente lleva una microcomputadora a reparar con el menor gasto de dinero. Una de las cuatro partes es la que probablemente falló. Estas son A, B, C, y D, con un costo de reemplazo de 100, 200, 30, y 80, respectivamente. Se utilizarán desde la letra A hasta la D para representar los eventos que pudieron haber causado la falla de cada una de las cuatro partes. La letra E se utilizará para el caso en el que el evento de la falla de la computadora sea distinto al de las cuatro partes. Están disponibles tres pruebas, X, Y, y Z, para ayudar a localizar la pieza dañada, con un gasto de $50, $70 y $80, respectivamente. De ser el caso E, o si se decide no realizarse la prueba, el “motherboard” se puede reemplazar con un costo de $500. El objetivo del análisis es de llevar a cabo la estrategia óptima de mantenimiento con un costo mínimo. <br />A continuación, se construirá un árbol de decisiones que describa en detalle el proceso de decisión. El árbol de decisiones es un modelo de una decisión. Se construirá el árbol en pasos comenzando por la primera decisión del reparador.<br />El reparador puede primero reparar la maquina reemplazando el “motherboard” con un costo de $500 o usar la prueba X para obtener una mejor idea que esta dañado. Esto representa la primera decisión del proceso, a ver si se puede comenzar con el proceso. En la siguiente figura se comienza a construir el árbol de decisiones. La primera decisión es indicada por un nodo rectangular etiquetado con un 1. El símbolo interior D1 del nodo identifica la decisión. Los dos arcos que salen del nodo indican las 2 posibles decisiones disponibles. En este punto la primera decisión tiene 2 resultados: reemplazar el “motherboard” o realizar la prueba X. Las etiquetas en el arco 1 y 2 corresponden a esas 2 posibilidades. El costo asociado con la prueba (50) es presentada adyacentemente para el arco entrando el nodo 3. Para esto y para los siguientes nodos de decisión se permite solo la decisión específica de la prueba. <br />Nodo terminal<br />En la figura de la decisión de reemplazar el “motherboard” conduce hacia el nodo terminal presentado con un círculo negro etiquetado nodo 2. En el nodo terminal el proceso se detiene y el costo asociado con el estado terminal puede ser evaluado. El número adyacente del nodo (500) es el costo asociado en alcanzar el nodo, esto es, el costo de reemplazar el “motherboard”.<br />Nodo de oportunidad<br />En la decisión para presentar la prueba Z le sigue al próximo paso para el nodo 3. Esto es un nodo de oportunidad porque el resultado de la prueba es incierto. Este tipo de nodo es presentado con un círculo blanco. La prueba puede reunir con tres indicaciones: un fallo probable dado que A o B (arco 3), un fallo probable dado que C o D (arco 4) o una indicación para reemplazar el “motherboard” (arco 5).<br />La figura muestra los tres posibles eventos asociados con el experimento como arcos dejando el nodo de oportunidad. El número en los arcos dejando el nodo son las probabilidades de los resultados de las tres pruebas. Los arcos terminales en el nodo representan una decisión adicional de los eventos terminales. <br />Segunda ronda de decisiones<br />Si la prueba x presenta el primer resultado, el reparador puede utilizar la prueba Y o reemplazar el “motherboard”. Si la prueba presenta el segundo resultado, se puede usar la prueba Z o reemplazar en “motherboard”.<br />La figura muestra el detalle asociado con una segunda ronda de decisión. Co el primer resultado de la prueba X, el reemplazo puede continuar con la falla aislada del proceso con la prueba, o puede reemplazar el “motherboard”. Esto está presentado como decisión D2. El costo de la prueba es de $70. Note que solo esas dos acciones son permitidas. Ella no puede reemplazar los componentes individualmente.<br /> <br />Si la prueba X resulta en n segundo resultado, ella puede continuar con la prueba Z o reemplazar el “motherboard”. Esta es la decisión d3. El costo de la prueba Z es $80. En ambos casos, el costo del reemplazo del “motherboard” es $500. <br />Resultado de las pruebas Y y Z<br />Se asume para el ejemplo en el que la prueba Y puede correctamente identificar la causa de la falla si esto es dado para el componente A o B. Si alguno de esos indicadores se observa, la falla del componente es reparada. Todas las otras causas (C , D o E) son agrupadas en la tercera categoría. Si la prueba no indica A o B el “motherboard” es reemplazado. <br />Similarmente, la prueba Z correctamente identifica las fallas, esto si es dado para C o D. Si en la prueba no se indica C o D, la falla puede ser en A, B o E. Mientras continúan las pruebas, el “motherboard” es reemplazado. Los resultados de la prueba con las probabilidades apropiadas y el costo están presentados en la figura:<br />El árbol completo se muestra en la siguiente figura. El árbol es el modelo de proceso de decisión. Esto consiste en nodos y arcos enumerados. Para la estructura del árbol, el número de nodos es siempre uno más que el número de arcos. <br />El árbol de decisiones es ampliamente utilizado como base para el control de calidad del mercado de decisiones. Ha sido criticado porque requiere muchos cálculos, lo cual puede resultar ineficiente. Existen modificaciones del árbol de decisiones que reducen sustancialmente el número de cálculos requeridos para resolver problemas de decisión. Estas modificaciones pueden reducir los cálculos en un 75% que los que se requieren en el árbol tradicional de decisiones. <br />El bayesiano árbol de decisiones fue fundado en 1944 in la teoría de decisión de van Neumann y Morgenstern. Se describen todas las posibles combinaciones de decisiones y el estado de naturaleza. Las variables de decisión son representadas por rectángulos llamados nodos de decisión, y las variables aleatorias son representadas por círculos llamados nodos de oportunidad. Las flechas que apuntan hacia la variable de decisión, llamadas nodos de decisión, muestran la información disponible en el momento en que decisión es hecha, y las flechas apuntan a la variable aleatoria (nodo de oportunidad) muestran la existencia de la distribución de la probabilidad condicional de la variable aleatoria. <br />El proceso de solución del árbol de decisiones permite para el proceso computacional de una decisión óptima usar el método tradicional de revisión “rollback” o los procesos del promediar y repliegue de Raiffa (1968). Las probabilidades conjuntas y marginales son obtenidas y usadas con el Teorema de Bayes para obtener las probabilidades condicionadas. El proceso óptimo de decisión y el valor esperado son obtenidos por el método de revisión “rollback”. Para esto, se comienza por las hojas (los extremos del árbol) al azar y las decisiones de las variables (nodos) se suprimen recursivamente. Los nodos al azar son suprimidos por el cálculo promedio del procedimiento, tomando el promedio de las ganancias al final de sus bordes con la probabilidad de los nodos usados como sus bordes.<br />Matemáticamente, la probabilidad del estado de naturaleza (si) es denotada por P(si) y la probabilidad de la señal yk dado si es denotada por P(yk/si). Las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales están dadas respectivamente por:<br />Psi,yk=Psi,*Pyksi, (1)<br />Pyk=iPsi,*P(yk/si), (2)<br />Psi/yk=Pyk,si/Pyk (3)<br />El valor esperado del proceso óptimo es calculado por:<br />EV=k[maxjjwsi,dj*P(si/yk)]*P(yk), (4)<br />donde w(si,dj) son las ganancias asociadas con el estado si y acción dj y la probabilidad condicional P(si/yk) es obtenido por la ecuación 3. <br />El árbol de decisiones puede clasificarse en simétrico, si cada camino desde el nodo raíz a un nodo hoja incluye la misma variable aleatoria y variable de decisión, o no simétrica. Los árboles de decisiones también pueden clasificarse en como nivel 1 ó multiniveles. Es considerado de un nivel cuando un solo nivel de señales es asumido. Los árboles de decisiones multi-niveles envuelven múltiples niveles de señal y son muy comunes en muchas decisiones de la vida real. Los árboles simétricos tradicionales permiten la utilización del procedimiento de fusión que reduce el número de operaciones necesarias para encontrar la solución, sin afectar el número de operaciones necesarias para procesar de nuevo las posibilidades. El árbol tradicional de decisiones es caracterizado por requerir muchos cálculos, lo cual puede ser ineficiente. El análisis del árbol tradicional de decisiones puede ser simplificado y el número de cálculos puede ser sustancialmente reducido. Algunas fuentes han propuesto la modificación del árbol de decisiones, incluyendo los arboles de juegos “Game trees” [Shenoy, 1993b], y los arboles de escenarios “Scenario tree” [Shenoy, 1994b], los cuales preservan las ventajas del árbol tradicional de decisiones, mientras mejora la eficiencia de la solución. El análisis simplificado puede ser derivado como sigue. Sustituyendo (3) en (4) resulta en:<br />EV=k[maxjiwsi,dj*(P(yk,si)/P(yk))]*P(yk). (5)<br /> La ecuación (5) pude simplificarse como:<br />EV=k[maxjiwsj,dj*P(yk,si). (6)<br />Usando (2) en (6) resulta en la siguiente ecuación simplificada del cálculo del valor esperado:<br />EV=k[maxjiPsi*Pyksi*w(si,di)]. (7)<br />en donde w(si,di), Psi, y Pyksi ya fueron definidas anteriormente. <br />De las ecuaciones sugeridas anteriormente, el modelo propuesto requiere el cálculo de solamente las probabilidades conjuntas, y elimina la necesidad de calcular las probabilidades conjuntas y combinadas. El modelo propuesto reduce la necesidad de procesar las probabilidades requeridas por el árbol tradicional de decisiones. Este análisis puede ser utilizado en el caso de árboles de nivel 1 y multi- niveles. También, puede ser aplicado para problemas de decisión simétrico y no simétrico. En el caso de problemas simétricos, como el análisis tradicional, el modelo propuesto anteriormente puede ser utilizado para el proceso de coalescencia. <br />Matemáticamente, el número de cálculos necesario para el método tradicional puede ser calculado como sigue. Toma a n = número de estado, j = número de señal, y m = número de decisión. El número de operaciones necesarias para obtener la probabilidad condicional (denotada A) y el número de operaciones necesarias para obtener la solución óptima (denotada B), está dada por:<br />AOld=jn+jn-1+jn (8)<br /> =3jn-i<br />BOld=jm2n-1+jm-1+2j-1 (9)<br /> =2jmn+i-1<br />donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas, j(n-1) = operaciones para obtener las probabilidades marginales, jn = operaciones para obtener las probabilidades revisadas, jm(2n-1) = operaciones para calcular el valor esperado de todas las decisiones y señales, j(m-1) = operaciones para obtener el valor máximo de todas las señales, y (2j-1) = operaciones para obtener el valor esperado del proceso de decisión óptimo.<br />TotalOld=3jn+2jmn-1 (10)<br />El número de operaciones necesarias para la modificación del análisis puede ser calculado de manera similar. El número de operaciones necesarias para el proceso de probabilidades (A) y las operaciones necesarias para obtener la solución óptima (B) están dadas, respectivamente, por:<br />ANew=jn (11)<br /> BNew=jm2n-1+jm-1+j-1 (12)<br /> =2jmn-1<br /> “donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas, jm(2n-1) y j(m-1) son los definidos anteriormente, y (j-1) = operaciones para calcular el valor esperado del procedimiento óptimo de decisión. Así, el número total de operaciones necesarias para en nuevo modelo están dadas por:<br />TotalNew=jn+2jmn-1 (13)<br />El enfoque propuesto requiere el cálculo de solo probabilidades conjuntas jn, y elimina la necesidad de calcular j(n-1) y jn probabilidades marginales y conjuntas. Esto resulta en:<br />Savings=jn-1+jn 14<br />=2jn-j<br />El modelo también ahorra las operaciones j en el cálculo del valor esperado del procedimiento de decisión óptimo. El total de operaciones ahorradas están dadas por: <br />Total SavingNew-Old=2jn-j+j (15)<br />=2jn.<br />El árbol de escenario es diferente al tradicional árbol de decisiones. Mientras que el árbol de decisiones calcula las probabilidades para cada borde del nodo de oportunidad, el árbol de escenarios calcula probabilidades, llamadas ruta de probabilidades, para cada ruta de un nodo raíz a un nodo hoja. Una vez que las probabilidades de ruta son calculadas, se multiplican por los pagos para obtener ganancias ponderadas para cada ruta. Las ganancias ponderadas son entonces utilizadas para podar los nodos de oportunidad y de decisión, y obtener el proceso de decisión óptimo. Las ganancias ponderadas obtenidas después de todos los nodos de decisión son podadas en el valor esperado del proceso de decisión óptimo. <br />El árbol de juego es un grafo dirigido de tipo árbol en que cada nodo representa una posible elección para uno de los jugadores. Cualquier sucesión de jugadas puede representarse por un camino conexo dentro del árbol de juego. Si el juego acaba siempre después de un número finito de pasos, entonces el árbol tiene un número finito de nodos. Los arboles de juegos son similares al tradicional árbol de decisiones. Sin embargo, difieren en su secuencia de nodos de oprtunidad y decisión sobre las rutas de los nodos de raíz a los nodos de hoja. La solución del árbol de juego es una modificación de la versión del tradicional método “rollback” usado en el árbol tradicional de decisiones. El nuevo método de poda, sugerido para árboles de escenario fue usado con el análisis del árbol de juegos y resultó en una solución más efectiva que la solución obtenida usando la modificación del proceso “rollback”. Para demostrar la eficiencia del abol de juegos y del árbol de escenarios con el árbol tradicional de decisiones, se comparó el análisis del árbol tradicional de decisiones (sin fusión), el análisis del árbol tradicional (con fusión), el árbol de juegos (con el método del “rollback”), el árbol de juegos (con el nuevo método de poda), y árbol de escenarios. Se comparó el número de cálculos requeridos por las cinco técnicas para obtener el proceso óptimo de decisión para un ejemplo que envuelve un problema de diagnóstico médico. El número de cálculos requeridos por el tradicional árbol de decisiones (sin fusión) y en tradicional árbol (con fusión) fue de 71 y 59, respectivamente. El número de cálculos requerido por el árbol de juegos (con el método tradicional “roolback”), árbol de juegos (con el nuevo método de fusión) y el árbol de escenarios fueron: 63, 49, y 43, respectivamente. Así, el ahorro de reemplazar el tradicional árbol (con fusión) por el árbol de juegos (con el nuevo método de fusión) y el árbol de escenarios fueron 10 y 16. Sin embargo, árbol de juegos (con el método tradicional rollback) es menos eficiente que el tradicional árbol (con fusión). Aplicando la modificación del análisis del árbol de decisión al problema del diagnóstico médico, el número total de operaciones necesarias para el proceso de probabilidades y para obtener la política óptima de decisión fueron 43 operaciones sin fusión y solo 31 operaciones cuando el proceso de fusión es usado porque el árbol es simétrico. <br />Por otro lado, la teoría de juegos es una herramienta que permite examinar el comportamiento estratégico de los participantes los cuales actúan motivados por la maximización de sus utilidades, y suponen que los otros participantes son racionales. En la teoría de juegos se toma en cuenta el comportamiento esperado de otros y se considera el reconocimiento mutuo de la interdependencia. Como se ha dicho anteriormente, el árbol de juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un juego. Está compuesto por nodos, los cuales representan los posibles movimientos en el juego y son asignados cada uno a un sólo jugador y las acciones (ramas) disponibles para los jugadores en cada uno de sus nodos. El primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena de ramas conectadas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito, en el nodo terminal. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador con el fin de distinguir quién hace la elección en cada movimiento. Los nodos terminal informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en ese nodo.<br />Parte creativa aplicada

3. Descripción general del estudioImagínese que va a jugar el siguiente juego de los Puntitos con un oponente. El juego consiste en que cada jugador tendrá entre cada turno la oportunidad de seleccionar hasta un máximo de tres puntitos. El jugador que realice la última jugada será el perdedor. El método consiste en que cada jugador debe pensar la manera en la cual el oponente se vea obligado a seleccionar el último puntito. Al comenzar el juego, las jugadas se hacen al azar, ya que es más difícil realizar una jugada pensando en las probabilidades, dado a que faltarían muchas jugadas por ejecutar. Ya avanzadas algunas jugadas, los jugadores tendrán que pensar con más precisión sus jugadas para poder ganar. Exactamente, las probabilidades para que un jugador gane, dada la primera jugada, se puede calcular utilizándose el “Game tree decisión”. <br /> MetodologíaEl tamaño de la pirámide de puntitos se puede realizar del tamaño que se desee. Regularmente, el tamaño clásico de la pirámide para este juego es el siguiente:<br />A continuación se muestra un ejemplo de una jugada.<br />El número representa el orden de las jugadas. Se utilizó el óvalo para representar las jugadas del primer competidor y el rectangulo representa las del segundo. Para una pirámide de puntitos de ese tamaño, el número de jugadas que se pueden realizar en un principio son 61. En la medida que se van realizando las jugadas se eliminan los eventos que contienen la posision de las jugadas realizadas. En el caso anterior, la probabilidad de realizar diferentes jugadas disminuye en la medida en que se van eliminando puntitos. <br />Este árbol de juegos para este juego de dicho tamaño se realizó manualmente, pero su tamaño quedó muy enorme, por lo que se analizará este en proyecto este juego, pero utilizando un número menor de puntitos como se muestra a continuación: <br />Para esto, nombremos a cada uno de los puntitos para poder referirnos a su posicion: <br />Las probabilidades de realizar una primera jugada de 1 a 3 puntitos que contenga a an son:<br />P(a1)=5/30<br />P(a2)=5/30<br />P(a3)=5/30<br />P(a4)=5/30<br />P(a5)=5/30<br />P(a6)=5/30<br />De los 30 eventos anteriores, 24 de ellos son permutaciones y los otros 6 representan jugadas con un solo puntito. Por lo tanto, tendremos en consideración las combinaciones de los eventos. Los eventos para el juego de puntitos, de seleccionar 1 a 3 puntitos, el donde cada numero representa la posición de ellos son:<br />{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,4}, {1,3,6} {2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3}, {3,5}, {3,6}, {4}, {4,5}, {4,5,6} {5}, {5,6}, {6}<br />Las probabilidades de seleccionar 1, 2 o 3 puntitos es la siguiente:<br />P(1 puntito)=6/18<br />P(2 puntitos)=9/18<br />P(3 puntitos)=3/18<br />Los eventos y la probabilidad de realizar una jugada que contenga la posición es la siguiente:<br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 1)=5/18 [{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,4}, {1,3,6}] <br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 2)=6/18 {2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {1,2}, {1,2,4}<br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 3)=5/18 {3}, {3,5}, {3,6}, {1,3}, {1,3,6}<br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 4)=5/18 {4}, {4,5}, {4,5,6},{2,4}, {1,2,4}<br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 5)=6/18 {5}, {5,6}, {2,5},{3,5},{4,5},{4,5,6}<br />P(realizar una jugada seleccionando la posición 6)= 5/18 {6},{3,6},{1,3,6},{4,5,6},{5,6}<br />Para calcular las probabilidades de las jugadas, se debe de restar la probabilidad de los eventos de las jugadas de seleccionar puntitos en la posición an que se vayan realizando, pero a medida que se vayan eliminando puntitos se debe de tener en consideración los que ya se eliminaron en la posición an de las jugadas anteriores.<br /> Descripción, análisis y presentación de los datos<br />A continuación se muestra el árbol de decisiones que se obtiene al realizar una jugada en donde el primer jugador selecciona el puntito de la posición 1 y luego, el segundo jugador selecciona el puntito de la posición 3. A partir de la tercera jugada se comienzan a formar el árbol de juegos. El primer jugador que se representa con un círculo y el segundo jugador se representa con un cuadro. <br />Para representar las jugadas que muestran los caminos incorrectos, es decir, los que muestren la derrota para cierto jugador, vamos a trazar una línea. Por ejemplo, a continuación se muestran las decisiones correctas para ganar que debe de seguir el segundo jugador.<br />Si utilizamos el método de poda para analizar una jugada en particular a partir de tercer turno, obtenemos lo siguiente: <br />En esta jugada, el segundo competidor tiene más probabilidad de ganar, ya que puede realizar más jugadas que su oponente. Las probabilidades para cada nodo de decisión se muestran a continuación:<br />De igual manera, los demás nodos de decisión para este juego se pueden analizar mostrando las probabilidades para cada jugada. La idea es que el jugador cree este tipo de conexiones internamente para que pueda analizar la jugada que más le conviene. Este método sugiere el análisis práctico del juego de puntitos, pero de igual manera se puede emplear en otros juegos más elaborados para realizar jugadas que conlleven a la victoria. <br />6 Conclusiones <br />Los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de decisiones debido a que claramente cuando se plantea el problema resulta útil para que todas las opciones sean analizadas. Además, permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. Proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que suceda y nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la información existente y de las mejores suposiciones.<br />Por otro lado, se puede concluir que los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones, ya que como se vio en el ejemplo de la pirámide de 15 puntitos la construcción de la misma no se pudo llevar a cabo por su inmenso tamaño. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para el análisis en algunos casos, pero en general, podemos decir que es de gran ayuda para otros casos. Este problema se pudo corregir empleando el método de poda, en donde se hizo posible un análisis más exhaustivo de la jugada. Un jugador profesional puede utilizar este método para analizar sus jugadas, al igual que un empresario puede hacer uso del árbol de decisiones para garantizar el éxito de su compañía. Sin lugar a dudas, el árbol de decisiones es una buena opción para cuando se requiera formular decisiones o tomar acciones. <br />7 Referencias <br />Awni Zebda (Decision Trees And Quality Control Decisions)<br />http://www.cluteinstitute-onlinejournals.com/PDFs/200437.pdf accessed 2010-03-06<br />AIxploratorium (Using the Decision Tree Applet)<br />http://webdocs.cs.ualberta.ca/~aixplore/learning/DecisionTrees/InterArticle/DecisionTreeDoc.html accessed 2010-03-06<br />Ronald Howard (2008) Decision Analysis: Applied Decision Theory http://decision.stanford.edu/library/ronald-a.-howard/Decision%20Analysis-%20Applied%20Decision%20Theory.pdf <br />Decision Analysis in Healthcare, George Mason University http://gunston.gmu.edu/healthscience/730/default.asp<br />Donald L. Keefer, James L. Corner, and Craig W. Kirkwood (2000a) Decision Analysis Applications in the Operations Research Literature, 1990-1999 http://www.mngt.waikato.ac.nz/departments/staff/jcorner/ResearchPapers/DAApplications.pdf<br />Donald L. Keefer, Craig W. Kirkwood, James L. Corner (2000b) Recent Decision Analysis Applications in the Operations Research Literature http://fisher.osu.edu/~butler_267/DAPresent/SanAntonio/SC02-1.pdf<br />Donald L. Keefer, Craig W. Kirkwood, James L. Corner (2002) Summary of Decision Analysis Applications in the Operations Research Literature, 1990 - 2001 http://www.public.asu.edu/~kirkwood/Papers/DAAppsSummaryTechReport.pdf<br />Decision Tree Analysis http://www.mindtools.com/dectree.html<br />Jacek Malczewski “Internet Resources for geo-information-based decision” http://publish.uwo.ca/~jmalczew/gimda/intres2.htm<br />High School Operations Research http://www.hsor.org/<br />Wapedia http://wapedia.mobi/en/Decision_Analysis<br />Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Decision_analysis <br />http://classweb.gmu.edu/aloerch/Decth652.pdf Military Operations Research<br />