Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como el método de separación de variables y el método para ecuaciones exactas. También introduce conceptos como solución general, solución particular y condiciones iniciales. Finalmente, explica cómo identificar y resolver ecuaciones diferenciales homogéneas.
1. El documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo definiciones de orden, grado y solución. 2. Explica cómo resolver problemas de valor inicial para ecuaciones de primer orden, y presenta métodos para resolver ecuaciones de variables separables, homogéneas y exactas. 3. Introduce el concepto de factores integrantes para convertir ecuaciones no exactas en exactas y así poder resolverlas.
1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. 2) Se resuelve probando soluciones de la forma xm y determinando los valores de m. 3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuyas raíces dan los exponentes de la solución general.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que una ecuación diferencial de orden n consiste en una función y(x) y sus derivadas hasta el orden n. También cubre temas como la existencia y unicidad de soluciones, el principio de superposición, y métodos para encontrar la solución general como la reducción de orden.
El documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como el orden de una ecuación diferencial, la solución, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales exactas y no exactas, incluyendo el uso de un factor integrante.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
1. El documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo definiciones de orden, grado y solución. 2. Explica cómo resolver problemas de valor inicial para ecuaciones de primer orden, y presenta métodos para resolver ecuaciones de variables separables, homogéneas y exactas. 3. Introduce el concepto de factores integrantes para convertir ecuaciones no exactas en exactas y así poder resolverlas.
1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. 2) Se resuelve probando soluciones de la forma xm y determinando los valores de m. 3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuyas raíces dan los exponentes de la solución general.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que una ecuación diferencial de orden n consiste en una función y(x) y sus derivadas hasta el orden n. También cubre temas como la existencia y unicidad de soluciones, el principio de superposición, y métodos para encontrar la solución general como la reducción de orden.
El documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como el orden de una ecuación diferencial, la solución, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales exactas y no exactas, incluyendo el uso de un factor integrante.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
1. El documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y las ecuaciones diferenciales por factor integrante. 2. Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas cuya forma general es M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 y cuyas derivadas parciales son iguales. 3. Las ecuaciones diferenciales por factor integrante no son exactas, pero pueden hacerse exactas multiplicando por un factor integrante que depende de x, y o xy.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Ecuaciones exactas por factor integrante,lineales,bernoulliLight
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y los métodos para resolverlas. Explica que una ecuación diferencial es exacta si su expresión de lado izquierdo es una diferencial exacta. Proporciona el criterio de que las derivadas parciales de M y N deben ser iguales para que sea exacta. También cubre los factores integrantes que pueden hacer que una ecuación no exacta sea exacta, y métodos como variables separables y variación de parámetros para resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Las propiedades-de-euler-y-los-logaritmos-paraKhriszthianxD
La constante matemática e es uno de los números reales más importantes. e es el límite de la sucesión (1+1/n)n cuando n tiende a infinito y es irracional. Funciones como la exponencial f(x)=ex y las funciones trigonométricas están relacionadas con e. Los logaritmos permiten resolver ecuaciones exponenciales y las propiedades de e facilitan operaciones como la exponenciación y derivación de funciones exponenciales.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento presenta una ecuación diferencial de segundo orden no lineal de la forma d2y/dx2 + dy/dx + y = cos(x+y). Explica que es no lineal debido a que el argumento de la función coseno depende de ambas variables x e y.
Este documento explica el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Primero, se resuelve la ecuación homogénea asociada para encontrar las soluciones linealmente independientes y1 y y2. Luego, se calculan las funciones u1 y u2, y se usan estas funciones y las soluciones homogéneas para encontrar la solución particular yp. Finalmente, la solución general es yh + yp.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento explica el proceso para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ejemplos de encontrar soluciones particulares y generales. También cubre ecuaciones diferenciales exactas y cómo usar un factor integrante para convertir ecuaciones no exactas en exactas.
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Explica que la solución particular tiene la forma de una combinación lineal de las soluciones de la ecuación homogénea asociada. Luego, detalla los elementos necesarios para aplicar este método a ecuaciones de segundo orden y de orden superior, como determinantes y wronskianos. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto de una ecuación diferencial de segundo orden.
Este documento proporciona una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial involucra una función desconocida y sus derivadas. Cubre la clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y define el orden de una ecuación diferencial como la derivada más alta. También presenta ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales y su comprobación sustituyendo en la ecuación original.
1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen cómo cambia una función de una o más variables cuando varía alguna de esas variables. Las parciales dependen de varias variables, mientras que las ordinarias dependen de una sola variable.
2) Existen métodos para resolver ecuaciones diferenciales como las de variables separables, lineales o exactas. El método del factor integrante permite convertir una ecuación no exacta en una exacta multiplicándola por una función adecuada.
3) Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar diversos problemas
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Brevemente explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de variables dependientes con respecto a variables independientes. Luego, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad, y proporciona ejemplos de cómo se usan para modelar fenómenos físicos. Finalmente, introduce algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables y lineales.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
1. El documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y las ecuaciones diferenciales por factor integrante. 2. Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas cuya forma general es M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 y cuyas derivadas parciales son iguales. 3. Las ecuaciones diferenciales por factor integrante no son exactas, pero pueden hacerse exactas multiplicando por un factor integrante que depende de x, y o xy.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Ecuaciones exactas por factor integrante,lineales,bernoulliLight
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y los métodos para resolverlas. Explica que una ecuación diferencial es exacta si su expresión de lado izquierdo es una diferencial exacta. Proporciona el criterio de que las derivadas parciales de M y N deben ser iguales para que sea exacta. También cubre los factores integrantes que pueden hacer que una ecuación no exacta sea exacta, y métodos como variables separables y variación de parámetros para resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Las propiedades-de-euler-y-los-logaritmos-paraKhriszthianxD
La constante matemática e es uno de los números reales más importantes. e es el límite de la sucesión (1+1/n)n cuando n tiende a infinito y es irracional. Funciones como la exponencial f(x)=ex y las funciones trigonométricas están relacionadas con e. Los logaritmos permiten resolver ecuaciones exponenciales y las propiedades de e facilitan operaciones como la exponenciación y derivación de funciones exponenciales.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento presenta una ecuación diferencial de segundo orden no lineal de la forma d2y/dx2 + dy/dx + y = cos(x+y). Explica que es no lineal debido a que el argumento de la función coseno depende de ambas variables x e y.
Este documento explica el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Primero, se resuelve la ecuación homogénea asociada para encontrar las soluciones linealmente independientes y1 y y2. Luego, se calculan las funciones u1 y u2, y se usan estas funciones y las soluciones homogéneas para encontrar la solución particular yp. Finalmente, la solución general es yh + yp.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento explica el proceso para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ejemplos de encontrar soluciones particulares y generales. También cubre ecuaciones diferenciales exactas y cómo usar un factor integrante para convertir ecuaciones no exactas en exactas.
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Explica que la solución particular tiene la forma de una combinación lineal de las soluciones de la ecuación homogénea asociada. Luego, detalla los elementos necesarios para aplicar este método a ecuaciones de segundo orden y de orden superior, como determinantes y wronskianos. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto de una ecuación diferencial de segundo orden.
Este documento proporciona una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial involucra una función desconocida y sus derivadas. Cubre la clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y define el orden de una ecuación diferencial como la derivada más alta. También presenta ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales y su comprobación sustituyendo en la ecuación original.
1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen cómo cambia una función de una o más variables cuando varía alguna de esas variables. Las parciales dependen de varias variables, mientras que las ordinarias dependen de una sola variable.
2) Existen métodos para resolver ecuaciones diferenciales como las de variables separables, lineales o exactas. El método del factor integrante permite convertir una ecuación no exacta en una exacta multiplicándola por una función adecuada.
3) Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar diversos problemas
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Brevemente explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de variables dependientes con respecto a variables independientes. Luego, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad, y proporciona ejemplos de cómo se usan para modelar fenómenos físicos. Finalmente, introduce algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables y lineales.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos, y que para ecuaciones homogéneas la solución general es una combinación lineal de soluciones fundamentales.
3) También cubre temas como reducción de orden, principio de superposición y el uso del wronskiano para determinar independencia lineal.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Ecuaciones diferenciales exactas y por factor integranteFlightshox
El documento explica las ecuaciones diferenciales exactas y cómo resolverlas. Define una ecuación diferencial exacta como aquella que puede escribirse en la forma df=0, donde f es una función tal que sus derivadas parciales son iguales. Explica que la solución de una ecuación diferencial exacta está dada por la ecuación f(x,y)=c. También cubre el concepto de factor integrante y cómo usarlo para resolver ecuaciones diferenciales que no son exactas. Finalmente, presenta varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento define ecuaciones diferenciales homogéneas y su método de solución. Una ecuación diferencial es homogénea si sus funciones coeficientes M y N son ecuaciones homogéneas del mismo grado. Para resolver este tipo de ecuaciones, se realizan sustituciones que permiten reducirlas a ecuaciones diferenciales de primer orden separables, cuya solución proporciona la solución de la ecuación original. Se incluye un ejemplo resuelto paso a paso.
1. El documento presenta 10 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones lineales, exactas y de variables separables. Cada ejercicio contiene los pasos para reducir la ecuación dada a una forma integrable y obtener la solución general o particular.
2. Los tipos de ecuaciones tratados son lineales, exactas y de variables separables. Para cada caso se define el factor integrante adecuado, se integra la ecuación y se obtiene la solución en función de la constante de inte
1. El documento presenta 10 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones lineales, exactas y de variables separables. Cada ejercicio contiene los pasos para reducir la ecuación dada a una forma integrable y obtener la solución general o particular.
2. Los tipos de ecuaciones tratados son lineales, exactas y de variables separables. Se explican los métodos para identificar cada tipo y los pasos para integrar y obtener la solución en cada caso.
3. El documento provee una
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo definiciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el orden de una ecuación diferencial, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, soluciones generales, particulares y singulares, y el teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de soluciones. También introduce el campo de direcciones asociado a una ecuación diferencial y la ecuación de continuidad. El documento contiene numerosos ejemplos ilustrativos.
El documento presenta una introducción general a las unidades de ingeniería ambiental sobre ecuaciones diferenciales. Cubre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, así como métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y factores integrantes.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y da ejemplos de diferentes tipos como lineales, no lineales, homogéneas y no homogéneas. Explica conceptos como el orden y grado de una ecuación diferencial. También introduce métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y lineales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una variable desconocida y sus derivadas. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según si son ordinarias o parciales, su orden, si son lineales o no, y presenta ejemplos. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales y encontrar sus soluciones generales y particulares.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
1) Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli.
2) Las ecuaciones diferenciales exactas tienen una forma específica y se pueden resolver usando un factor integrante.
3) Las ecuaciones diferenciales lineales contienen variables separadas o un factor integrante dependiendo de si la función es igual a cero.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial se expresa de una forma determinada. También describe el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales donde es posible separar las variables. Finalmente, menciona algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden convertir fácilmente en ecuaciones de variables separables.
solucion-de-examen-de-ecuaciones-diferenciales-espol Frank Fernandez
1. El documento presenta la solución de varios ejercicios de ecuaciones diferenciales.
2. En el primer ejercicio se resuelve la ecuación diferencial y0 + xy = xpy mediante el cambio de variable z = y1−1/2.
3. En el quinto ejercicio se encuentra la solución general de la ecuación diferencial (x − 1)2y00 + (x − 1)y0 − y = 0 en potencias de x, la cual converge a funciones de la forma y(x) = a0(1 + 1/2x2
Este documento presenta tres ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales para ser resueltos por estudiantes de ingeniería. El primer ejercicio pide determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El segundo ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando diferentes métodos. El tercer ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor según el método correspondiente.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
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1. MA-1005
Elementos de EDO’S de orden uno
Métodos de resolución (I)
Mario De León1
1Docente Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica
h
M. De León MA–1005 IC–2021
2. Introducción
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tienen la
forma
F(x, y, y0
) = 0
o, si fuera posible, despejando y0,
y0
= f (x, y)
En general, las ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden tienen la
forma
F(x, y, y0
, y00
, ..., y(n)
) = 0
o, despejando y(n),
y(n)
= f (x, y, y0
, y00
, ..., y(n−1)
)
M. De León MA–1005 IC–2021
3. Introducción
Solución de una EDO
Una función y = φ(x) que satisface la EDO se llama solución de
dicha ecuación.
Solución general: una solución que involucra n constantes
arbitrarias (parámetros). Se tiene una familia de funciones que
depende de dichos parámetros. A veces, dependiendo del
orden de la ED, se tienen tantos parámetros como el orden de
la ED.
Solución particular: es la que se obtiene de una solución
general al sustituir las constantes por valores especı́ficos.
Solución singular: son soluciones que no se pueden obtener a
partir de la solución general.
M. De León MA–1005 IC–2021
4. Problema de valores iniciales de Cauchy
Teorema (PVI de Cauchy)
Si en la ecuación y(n) = f (x, y, y0, y00, ..., y(n−1)) la función f
cumple las siguientes condiciones:
1 es continua respecto de sus argumentos x, y, y0, y00, ..., y(n−1),
en un recinto D de variación de los mismos;
2 tiene derivadas parciales continuas
∂f
∂y
,
∂f
∂y0
, ...,
∂f
∂y(n−1)
en el
recinto D,
entonces, existe y es única a solución y = φ(x) de la ED que
verifique las siguientes condiciones inicialesa
y(x0) = y0, y0
(x0) = y0
0, ..., y(n−1)
(x0) = y
(n−1)
0
a
y
(k)
0 significa constante k−ésima, no derivada, para el lado derecho de las
igualdades.
M. De León MA–1005 IC–2021
5. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Se presentan a continuación algunos métodos, que también pueden
servir para las EDO’s de primer orden.
Método de separación de variables
La ecuación diferencial de la forma g(y) dy = f (x) dx se llama
ecuación de variables separables. También podrı́amos tener la
forma
f1(x)g1(y) dx = f2(x)g2(y) dy
por lo cual,
f1(x)
f2(x)
dx =
g2(y)
g1(y)
dy =⇒
Z
f1(x)
f2(x)
dx−
Z
g2(y)
g1(y)
dy = C constante.
Obsérvese que al dividir por g1(y)f2(x) puede hacer que se pierdan
las soluciones particulares que anulan dicho producto.
M. De León MA–1005 IC–2021
6. EDO de variables separables
Ejemplo
Resuelva la ecuación
y0
=
x2
y(1 + x3)
Solución:
dy
dx
=
x2
y(1 + x3)
⇒ y dy =
x2
1 + x3
dx. Integrando a
ambos lados, Z
y dy =
Z
x2
1 + x3
dx
Ejercicio
Compruebe que lo último es equivalente a
y2
2
=
1
3
ln(1 + x3
) + C, C ∈ R
M. De León MA–1005 IC–2021
7. EDO de variables separables
Ejemplo
Resuelva el problema de valor inicial
x dx + ye−x
dy = 0, y(0) = 1
Solución: Separando variables se tiene que y dy = −xex
dx.
Integrando se tiene que,
y2
2
= ex
(1 − x) + C. Como y(0) = 1,
esto es que x = 0, y = 1. Sustituyendo en la solución general,
1
2
= 1 + C ⇒ C =
−1
2
Por lo tanto, la solución particular buscada es
y2
= 2ex
(1 − x) − 1
M. De León MA–1005 IC–2021
8. EDO variables separables
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1 csc y dx + sec2
x dy = 0
2 (xy − 2x − y + 2) dy = (xy + 3x + y + 3) dx
3 y0
+ y tan x = 0
M. De León MA–1005 IC–2021
9. Función homogénea y ED homogénea
Función homogénea
Una función f (x, y) es homogénea de grado n en sus argumentos
si se cumple la identidad
f (tx, ty) = tn
f (x, y).
M. De León MA–1005 IC–2021
10. Función homogénea
Ejemplo
La función f (x, y) = x2 + y2 es homogénea de grado 2 pues,
f (tx, ty) = (tx)2
+(ty)2
= t2
x2
+t2
y2
= t2
(x2
+y2
) = t2
f (x, y)
La función f (x, y) =
2x + y
y
es homogénea de grado 0, pues
f (tx, ty) =
2tx + ty
ty
=
t(2x + y)
ty
= t0
·
2x + y
y
= f (x, y)
Ejercicio
Verifique que la función f (x, y) =
1
√
x + y
es homogénea de grado
−1
2 .
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11. EDO Homogénea
Ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= f (x, y) se llama
homogénea si f (x, y) es una función homogénea de grado 0. Si
la ecuación diferencial viene expresada en la forma
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
será homogénea si M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas de
un mismo grado.
Método
La ecuación homogénea se puede reducir a variables separables
haciendo y(x) = u(x) · x, con lo cual x
du
dx
= φ(u) − u.
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12. EDO Homogénea
Ejemplo
Resuelva la ecuación y0
=
x2 + 3y2
2xy
.
Solución: La función
dy
dx
= f (x, y) =
x2 + 3y2
2xy
es homogénea de
grado 0. Haciendo y = ux ⇒ dy
dx = du
dx · x + u. Sustituyendo (la
idea es dejar todo en “términos” de x y de u:
du
dx
· x + u =
x2 + 3(ux)2
2x · ux
=
1 + 3u2
2u
⇒
du
dx
· x =
1 + 3u2
2u
− u ⇒
Z
2u du
1 + u2
=
Z
dx
x
⇒ ln |1 + u2
| = ln |x| + C ⇒ 1 +
y2
x2
= Cx, C = eC
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13. EDO Homogénea
Ejemplo
Resuelva la ecuación (x2
+ 3xy + y2
) dx − x2
dy = 0.
Solución: Cuando M(x, y) y N(x, y) son polinomios de dos
variables basta ver que ambos tengan el mismo grado para que la
ED sea homogénea. En este caso el grado global de esos
polinomios es 2. Por tanto, Haciendo
y = ux ⇒ dy
dx = du
dx · x + u ⇒ dy = x du + u dx, se tiene que
(x2
+ 3x2
u + u2
x2
) dx − x2
(x du + u dx) = 0
⇒
du
1 + 2u + u2
=
dx
x
Ejercicio
Termine el ejemplo anterior y compruebe que la solución general es
−x
x+y = ln x + C, C ∈ R.
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14. ED exactas
Ecuación diferencial exacta
La ED de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 se llama ecuación
diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de
una función F(x, y) :
Mdx + Ndy = dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 sea una ED exacta es que se cumplaa
∂M
∂y
=
∂N
∂x
que llamaremos criterio de exactitud.
a
También se escribe My = Nx .
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15. ED exacta
Método
Si M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 cumple el criterio de exactitud, se
tiene que
F(x, y) =
Z
M dx + g(y)
y como
∂F
∂y
= N esto implica que g0
(y) = N −
∂
∂y
Z
Mdx
.
Luego se integra con respecto a y.
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16. ED exacta
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial
3x2
tan(y) −
2y3
x3
dx +
x3
sec2
(y) + 4y3
+
3y2
x2
dy = 0
Solución:
Sean M = 3x2 tan(y) − 2y3
x3 y N = x3 sec2(y) + 4y3 + 3y2
x2 ,
entonces: F(x, y) =
R
M dx = x3 tan y + y3
x2 + h(y) =⇒ ∂F
∂y =
x3 sec2 y + 3y2
x2 + h0(y) = N =⇒ h0(y) = 4y3 =⇒ h(y) = y4.
Por lo tanto, la solución general es x3
tan y +
y3
x2
+ y4
= C
Ejercicio
Compruebe que My = Nx .
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17. ED exacta
Ejercicio
Dada la ecuación diferencial
y0
=
−5x4 + 9x2y2 − 5y4
2xy(10y2 − 3x2)
1 Muestre que es exacta,
2 Determine la solución general.
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18. Reducción a una EDO exacta: factor integrante
En caso de que la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 no sea
exacta, podrı́a convertirse a exacta si existiera µ = µ(x, y) no nula
tal que1 µM(x, y)dx + µN(x, y)dy = 0 sea exacta. En tal caso µ
se denomina factor integrante.
Si ϕ =
My − Nx
N
solo es función de x entonces un factor
integrante para la ecuación diferencial es µ(x) = e
R
ϕ(x)dx
Si ψ =
Nx − My
M
solo es función de y entonces un factor
integrante para la ecuación diferencial es µ(y) = e
R
ψ(y)dy
1
Suele ponerse que P(x, y) = µM(x, y) y Q(x, y) = µN(x, y). Ası́ la nueva
ecuación exacta es P dx + Q dy = 0.
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19. Factor integrante
Ejemplo
Determine la solución de la ecuación diferencial
1 + y2
x
dx − 2y dy = 0
Solución: Sean M = 1 + y2
x y N = −2y. Tenemos que
My = 2y
x 6= 0 = Nx . Calculamos
My −Nx
N = −1
x . Esto implica que
µ(x) = e
R
−1/x dx = 1
x . Multiplicamos la ED por µ(x) para hacerla
exacta:
1
x + y2
x2
dx − 2y
x dy = 0. Sean P = 1
x + y2
x2 y Q = −2y
x ,
entonces:
F(x, y) =
Z
Pdx = ln x −
y2
x
+ g(y)
=⇒
∂F
∂y
=
−2y
x
+ g0
(y) = Q =⇒ g0
(y) = 0 =⇒ g(y) = c1 ∈ R
Por lo tanto, F(x, y) = ln x −
y2
x
= C.
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20. Factor integrante
Ejercicios
Determine un factor integrante y resuelva la ecuación diferencial,
en cada caso.
1 (y ln y + yex
) dx + (x + y cos y) dy = 0
2 (x3
+ x + y) dx − x dy = 0
Ejercicio
Sabiendo que la ecuación siguiente tiene un factor integrante de la
forma µ(x, y) = xmyn, resuélvala:
(−3y4
+ x3
y) dx + (xy3
− 3x4
) dy = 0
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21. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
La ecuación diferencial
y0
+ p(x)y = q(x)
con p(x), q(x) funciones continuas en un intervalo I =]a, b[ se
denomina ecuación diferencial lineal de primer orden. Si
q(x) = 0 en todo el intervalo se dice que es una ED lineal
homogénea. En caso contrario se denomina ED lineal no
homogénea.
Método
Se puede comprobar que (µy)0
= q(x)µ, y entonces la solución
general es
y =
1
µ(x)
Z
q(x)µ(x) dx + C
, C constante,
donde µ(x) = e
R
p(x) dx
es el factor integrante.
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22. ED lineal de primer orden
Ejemplo
Determine la solución de la ecuación diferencial
y0 = ex (1 + x)2019 + 2019 y
x+1 .
Solución: Reescribimos la ED: y0 − 2019
x+1 y = ex (1 + x)2019. Sean
p(x) = −2019
x+1 , q(x) = ex (1 + x)2019. Calculamos el factor
integrante
µ(x) = e
R
Pdx = e(
R −2019
x+1
dx) = e−2019·ln(x+1) = (x + 1)−2019
Luego, la solución general es
y =
1
µ(x)
Z
q(x) · µ(x) dx + C
= (x + 1)2019
Z
ex
(1 + x)2019
(x + 1)2019
dx + C
= (x + 1)2019(ex + C), C ∈ R.
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23. ED lineal de primer orden
Ejercicios
Determine la solución general de las ecuaciones diferenciales:
1 y0
+ xy = x3
2 y0
+ (tan x)y = x sin(2x), con x ∈
−π
2 , π
2
3 y0
= (1 − y) cos x
Ejercicio
Use la sustitución u = ln y para reducir la ecuación
xy0
− 4x2
y + 2y ln y = 0
a una ecuación diferencial lineal. Luego determine la solución
general.
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24. Lectura recomendada
Del texto de Zill y Cullen, 7ma edición, las páginas siguientes:
ED en variables separables: pp. 45-48
ED homogéneas: pp. 71-72
ED exactas y reducibles a exactas: pp. 63-68
ED lineales de primer orden: pp. 53-58
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