En esta parte del resumen de Probabilidad hay dos enlaces para que descarguen hojas de excel programadas para que puedan practicar los cálculos y les queden de regalo.

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
PARTE 5
2018

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Contenido
Distribuciones de probabilidad................................................................................................. 3
La distribución binomial......................................................................................................... 3
Resolución de problemas con la fórmula binomial ........................................................ 4
Resolución de problemas con tablas binomiales ............................................................ 6
La distribución normal............................................................................................................ 7
Área bajo la curva ..................................................................................................................... 9
Uso de la tabla normal estándar y el programa Excel ................................................ 10

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Distribuciones de probabilidad
La distribución binomial
Muchos experimentos de negocios se pueden caracterizar mediante el
proceso de Bernoulli. La probabilidad de obtener resultados específicos en
un proceso de Bernoulli está descrita por la distribución de probabilidad
binomial. Las características que debe tener un experimento para ser
considerado de Bernoulli son:
1. Cada ensayo en un proceso de Bernoulli tiene sólo dos resultados
posibles. Éstos suelen llamarse un éxito y un fracaso, aunque otros
ejemplos podrían ser sí o no, escudo o corona, pasar o fallar,
defectuoso o correcto.
2. La probabilidad sigue siendo la misma de un ensayo a otro.
3. Los ensayos son estadísticamente independientes.
4. El número de ensayos es un entero positivo.
Un ejemplo muy común es el de lanzar una moneda al aire.
La distribución binomial se usa para hallar la probabilidad de ocurrencia de
un determinado número de éxitos en n ensayos de un proceso de Bernoulli.
Para hallar esta probabilidad, es necesario saber lo siguiente:
𝑛 = 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑝 = 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑜
Sean
𝑟 = 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑞 = 1 − 𝑝 = 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜
La fórmula binomial es
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 = 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑝 𝑟
𝑞 𝑛−1

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El símbolo ! significa factorial, y 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2). . . . . . .., por ejemplo:
4! = (4)(3)(2)(1) = 24
Además, 1! = 1 y 0! = 1 por definición.
Resolución de problemas con la fórmula binomial
Un ejemplo común de una distribución binomial consiste en lanzar una
moneda y contar el número de coronas que salen. Por ejemplo, si deseamos
encontrar la probabilidad de 4 caras en 5 lanzamientos de una moneda,
tendríamos
𝑛 = 5, 𝑟 = 4, 𝑝 = 0.5
𝑞 = 1 − 0.5 = 0.5
Así,
𝑃(4 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 5 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠) =
5!
4! (5 − 4)!
0.54
0.55−1
𝑃(4 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 5 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠) =
5(4)(3)(2)(1)
4(3)(2)(1)(1!)
(0.0625)(0.5)
𝑃(4 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 5 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠) = 0.15625
Por lo tanto, la probabilidad de 4 caras en 5 lanzamientos de una moneda
es 0.15625, o aproximadamente 16 por ciento.
También es posible encontrar toda la distribución de probabilidad (todos los
valores posibles para r y las probabilidades correspondientes) de un
experimento binomial. En la siguiente tabla podemos visualizar la
distribución de probabilidad para el número de caras en 5 lanzamientos de
una moneda legal.

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Distribución de probabilidad binomial para
𝑛 = 5 y 𝑝 = 0.50
Número de Caras
(r)
Probabilidad =
5!
𝑟!(5−𝑟)!
0.5 𝑟
0.55−𝑟
0
0.03125 =
5!
0! (5 − 0)!
0.50
0.55−0
1
0.15625 =
5!
1! (5 − 1)!
0.51
0.55−1
2
0.31250 =
5!
2! (5 − 2)!
0.52
0.55−2
3
0.31250 =
5!
3! (5 − 3)!
0.53
0.55−3
4
0.15625 =
5!
4! (5 − 4)!
0.54
0.55−4
5
0.03125 =
5!
5! (5 − 5)!
0.55
0.55−5
De forma gráfica la distribución anterior quedaría así:
Distribución de probabilidad binomial para
𝑛 = 5 y 𝑝 = 0.50
1 2 3 4 5 6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Valores de r (número de éxitos)
ProbabilidadP(r)

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Resolución de problemas con tablas binomiales
Teltron Electrónica está experimentando con la fabricación de un nuevo tipo
de transistor que es muy difícil de producir en masa a un nivel de calidad
aceptable. Cada hora, un supervisor toma una muestra aleatoria de 5
transistores producidos en la línea de ensamblaje. Se considera que la
probabilidad de que cualquier transistor esté defectuoso es de 0,15. Teltron
quiere conocer la probabilidad de encontrar 3, 4 o 5 transistores con
defectos, si el verdadero porcentaje de defectuosos es 15 por ciento.
Para este problema podemos hacer uso de la tabla para una distribución
binomial, o mejor aún descargamos en el siguiente link una hoja de Excel
ya programada para calcular los valores y además para poder realizar más
cálculos de este tipo.
Link:https://drive.google.com/open?id=1srMl3cOPQUm_XuyUaCtSDuK31
g5m2svX
Adjunto una pequeña guía de uso de la hoja que van a descargar:

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Podemos ver que las probabilidades serían: con p=015 y n=5 :
𝑃(𝑟 = 3) = 0.0244
𝑃(𝑟 = 4) = 0.0022
𝑃(𝑟 = 5) = 0.0001
Mediante la suma de las tres probabilidades, se obtiene la probabilidad de
el número de defectuosos sea de 3 o más:
𝑃(3 𝑜 𝑚á𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑠𝑜𝑠) = 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5)
𝑃(3 𝑜 𝑚á𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠) = 0.0244 + 0.0022 + 0.0001 = 0.0267
El valor esperado (o media) y la varianza de una variable aleatoria binomial
pueden encontrarse con facilidad. Estos son:
Valor esperado= 𝑛𝑝 = 5(0.25) = 0.75
Varianza 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 5(0.15)(0.85) = 0.675
Pero claro en la hoja de Excel adjunta, estos valores se obtienen de forma
directa.
La distribución normal
Una de las distribuciones de probabilidad continua más popular y útil es la
distribución normal. La función de densidad de probabilidad des esta
distribución se representa mediante una fórmula bastante compleja.
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
La distribución normal se especifica por completo cuando se conocen los
valores de la media, 𝜇, u la desviación estándar, 𝜎.

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Veamos de forma gráfica la posición de la curva normal, donde los valores
de la media ( 𝜇) varían y los valores de la desviación estándar es la misma.
Como podemos observar, los diferentes valores de 𝜇 desplazan el promedio
o centro de la distribución normal.
La forma general de la distribución sigue siendo la misma.
40 𝜇 = 50 60
𝜇 = 40 50 60
40 50 𝜇 = 60
𝜇 y 𝜎 tiene los mismos valores
𝜇 más pequeña y misma 𝜎
𝜇 más grande y misma 𝜎

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Por otro lado, cuando se varía la desviación estándar, la curva normal se
aplana o se hace más pronunciada.
Veamos el efecto que se produce en la forma de la curva.
Área bajo la curva
Debido a que la curva normal es simétrica, su punto medio (y el más alto)
se encuentra en la media. Entonces los valores en el eje X se miden en
términos de la cantidad de desviaciones estándar a las que se encuentran a
partir de la media. Cómo se recordará de nuestro estudio previo sobre
distribuciones de probabilidad, el área bajo la curva (en una distribución
continua) describe la probabilidad de que una variable aleatoria tenga un
valor en un intervalo específico. Cuando se trata de una distribución
uniforme, es fácil calcular el área entre cualesquiera puntos a y b. La
distribución normal requiere cálculos matemáticos más allá del objetivo de
𝜇 y 𝜎 tiene los mismos valores
𝜇
𝜎 más pequeña y misma 𝜇
𝜎 más grande y misma 𝜇

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estos resúmenes, pero las tablas y el programa Excel nos proporcionan las
áreas o probabilidades que se pueden determinar con relativa facilidad.
Uso de la tabla normal estándar y el programa Excel
Cuando se buscan probabilidades para la distribución normal, lo mejor es
trazar la curva normal y sombrear el área correspondiente a la probabilidad
siguiendo dos pasos.
Ejemplo.
Convierta la distribución normal a lo que se denomina una distribución
normal estándar. Una distribución normal estándar tiene una media de 0 y
una desviación estándar de 1. Todas las tablas normales están configuradas
para manejar variables aleatorias con 𝜇 = 0 y 𝜎 = 1. Sin una distribución
normal estándar, se necesitaría una table diferente para cada par de valores
𝜇 y 𝜎. La nueva variable aleatoria estándar se llama Z. El valor Z para
cualquier distribución normal se calcula a partir de esta ecuación:
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑋 = valor de la variable aleatoria que queremos medir.
𝜇 = media de la distribución.
𝜎 = desviación estándar de la distribución.
𝑍 = número de desviaciones estándar desde X hasta la media 𝜎.
Por ejemplo, si 𝜇 = 100, 𝜎 = 15, y estamos interesados en encontrar la
probabilidad de que la variable aleatoria X (CI) sea inferior a 130, queremos
𝑃(𝑋 < 130):
𝑍 =
X − μ
σ
=
130 − 100
15
=
30
15
= 2
Esto nos indica que hay 2 desviaciones estándar a la derecha de la media.

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Veamos la gráfica de estas desviaciones estándar con respecto a la media:
En el siguiente link puede descargar una hoja de Excel ya programada para
realizar los cálculos de valores en una distribución normal, ya tiene el
cálculo anterior reflejado:
Link:https://drive.google.com/file/d/1eKy5bhxs3nauT9dingnbpV9Z_U9gc
O7/view?usp=sharing
Además, en la hoja de Excel podemos ver que para un valor de Z = 2,00, el
área generada tiene un valor de 0,97725, o 97,7%, cuando:
𝑃(𝑋 < 130) = 𝑃(𝑍 < 2,00) = 97,7%
Esto nos siguiere que, si la puntación media del CI es de 100, con una
desviación estándar de 15 puntos, la probabilidad de que el CI de una
persona seleccionada al azar sea menor de 130 es de un 97,7%. Ésta es
también la probabilidad de que el CI sea menor o igual a 130. Para encontrar
la probabilidad de que el CI sea superior a 130, simplemente señalamos que
ésta es el complemento del evento anterior y que el área total bajo la curva
(la probabilidad total) es 1. Por tanto:
𝑃(𝑋 > 130) = 1 − 𝑃(X ≤ 130) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2) = 1 − 0.97725 = 0.02275
Estos valores en la hoja de Excel se visualizan de forma muy fácil.
55 70 85 100 115 130 145
-3 -2 -1 0 1 2 3
𝜇
𝑋 = 𝐶𝐼
Z =
X − μ
σ
𝑃(𝑋 < 130)
𝜇 = 100
𝜎 = 15