Setima parte del resumen de probabilidad

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
PARTE 7
2018

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Contenido
Distribuciones de probabilidad................................................................................................. 3
La Distribución F....................................................................................................................... 3
La Distribución Exponencial ................................................................................................. 7
Ejemplo de la aplicación de un examen de matemática............................................... 8

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Distribuciones de probabilidad
La Distribución F
La distribución F es una distribución de probabilidad continua que es útil
para probar hipótesis con respecto a las varianzas. La distribución F se
utilizará se usa también para probar la significancia de los modelos de
regresión, esto se estudiará más adelante.
A continuación se presenta una gráfica de este tipo de distribución:
Al igual que con una gráfica para cualquier distribución continua, el área
debajo de la curva representa la probabilidad, podemos observar que para
un valor grande de F, la probabilidad es muy pequeña.
El estadístico F es el cociente de dos varianzas muestrales de distribuciones
normales independientes. Cada distribución F tiene dos conjuntos de grados
𝐹∝

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de libertad asociados con ella, donde uno de los grados de libertad se asocia
con el numerador de la relación, y el otro está asociado con su denominador.
Los grados de libertad se basan en los tamaños de las muestras utilizadas
para el cálculo del numerador y el denominador.
A continuación se les agregan las tablas para cálculos manuales de las
probabilidades de la distribución F.

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Los grados de libertad para el numerador (df1) y los grados de libertad para
el denominador (df2), están debidamente representados en las columnas y
en las filas.
Para determinar el valor de F que se asocia con una probabilidad y unos
grados de libertad en particular, vamos a utilizar la siguiente notación:
𝑑𝑓1 = grados de libertad para el numerador
𝑑𝑓2 = grados de libertad para el denominador
Consideremos el siguiente ejemplo:
𝑑𝑓1 = 5
𝑑𝑓2 = 6
∝= 0.05
𝐹 = 4.39
0.05

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Para el caso de utilizar Excel, vamos a ver cuales funciones nos darán los
resultados esperados con los mismos datos anteriores:
Y para los valores de la probabilidad a la derecha de los valores calculados
de f, con el uso de Excel 365, tenemos:

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Entonces podemos concluir que el valor F sea mayor que 4.39 es muy baja
(sólo 5%). Hay una probabilidad del 95% de que no sea superior a 4.39.
La Distribución Exponencial
La distribución exponencial, también llamada distribución exponencial
negativa, se usa al tratar con problemas de colas. A menudo, la distribución
exponencial describe el tiempo requerido para dar servicio a un cliente.
La distribución exponencial es una distribución continua y su función de
probabilidad está dada por la siguiente fórmula:
𝑓( 𝑥) = 𝜇e-𝜇𝑥
Donde:
X= variable aleatoria (tiempos de servicio)
𝜇= número promedio de unidades que la instalación de servicio puede
atender en un tiempo específico.
e = 2.718 (la base del logaritmo natural)
Veamos la forma de la gráfica de este tipo de distribución:
f(x)
X

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Además tenemos que su valor esperado se estima de acuerdo con la
siguiente fórmula
Valor esperado =
1
𝜇
= Tiempo de servicio promedio
Varianza =
1
𝜇2
Al igual que con cualquier otra distribución continua, las probabilidades
están determinadas por el área bajo la curva. Para la distribución
exponencial, las probabilidades se pueden encontrar utilizando la tecla de
exponente de la calculadora con la siguiente fórmula:
𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) = 1 − 𝑒−𝜇𝑡
Vemos entonces que la probabilidad de que en un tiempo distribuido
exponencialmente (X) necesario para atender a un cliente sea menor o igual
al tiempo (t) se representa en la fórmula.
El período de tiempo utilizado en la descripción anterior de 𝜇 determina las
unidades para el tiempo t. Por ejemplo, si 𝜇 es el número promedio servido
por hora, el tiempo t se debe dar en horas. Si 𝜇 es el número promedio
servido por minuto, el tiempo t se debe dar en minutos.
Ejemplo de la aplicación de un examen de matemática
El profesor Murray aplica exámenes de práctica para la evaluación del
examen de bachillerato por madurez. La duración del examen es de tres
horas y este tiempo para resolver el examen se distribuye de forma
exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para solucionar el
examen sea de una hora y media o menos?
Analicemos las variables:
X= tiempo de duración distribuido exponencialmente
𝜇= número promedio en que solucionen el examen
t = 3
2⁄ horas

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Resolvemos entonces:
𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝑒−1(1.5)
= 0.7768
En una gráfica tendríamos la siguiente representación de esta probabilidad,
que es del 78% aproximadamente de que finalice el examen a la mitad del
tiempo requerido.
Ahora vamos a explicar el uso de la plantilla de Excel que ya está
programada para que nos arroje los cálculos para este tipo de distribución,
en la imagen siguiente vienen las explicaciones de cada campo a rellenar y
el enlace para descargar la plantilla.
P(tiempo de resolución del examen ≤ 1.5) = 0.7768
0.7768
Valor: hacer un examen en la
mitad del tiempo requerido
1.5 la mitad del tiempo
promediado para finalizar
el examen
Probabilidad de finalizarlo
en la mitad del tiempo

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El enlace para descargar la plantilla es:
https://drive.google.com/file/d/1pirDyLfus1zvD955CslP2A1NLumrVBFr/
view?usp=sharing
Para finalizar entonces la probabilidad de no lograr ejecutar el examen en
un tiempo de 1 hora y media, sino que más bien lo termine en un tiempo
mayor sería del 22%, dato que también lo muestra la hoja de Excel
programada.

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