Seguimos con los resúmenes de probabilidad para estudiantes de Secundaria y Universidad.

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
PARTE 3
2018

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Contenido
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................... 3
Distribuciones de probabilidad................................................................................................. 3
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta .............................. 3
Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta.................................... 5
Varianza de una distribución de probabilidad discreta................................................ 6
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua................................................... 7

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
INTRODUCCIÓN
Anteriormente estudiamos los valores de probabilidad de un evento. Ahora
exploremos las propiedades de las distribuciones de probabilidad. Vamos
a analizar cómo las distribuciones más populares, como las distribuciones
de probabilidad normal, de Poison, binomial y exponencial nos ayudan a
ahorrar tiempo y esfuerzo. Dado que una variable aleatoria puede ser
discreta o continua, consideráremos las distribuciones de probabilidad
discretas y las distribuciones de probabilidad continuas. Por separado.
Distribuciones de probabilidad
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Cuando tenemos una variable aleatoria discreta, existe un valor de
probabilidad asignado a cada evento. Estos valores tienen que estar entre 0
y 1, y deben sumar 1.
Con el siguiente ejemplo podemos comprender mejor esto, veamos:
Tenemos 100 estudiantes de la clase de Estadística y acaban de terminar
una prueba de matemática. La prueba consta de cinco problemas de álgebra
muy difíciles.
La calificación de la prueba es el número de respuestas correctas, por lo que
en teoría las calificaciones podrían variar de 0 a 5. Sin embargo, nadie en
esta clase recibió una nota de 0, por lo que las calificaciones variaron de 1
a 5.
El valor esperado de una distribución de probabilidad discreta es un
promedio ponderado de los valores de la variable aleatoria.
La variable aleatoria X se define como la calificación en esta prueba, y las
calificaciones se resumen a continuación, este fue creado utilizando el
enfoque de frecuencia relativa.

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Distribución de probabilidad para las calificaciones en la prueba de Matemática
Variable Aleatoria,
Calificaciones (X)
Número Probabilidad P(X)
5 10 0.1 = 10
100⁄
4 20 0.2 = 20
100⁄
3 30 0.3 = 30
100⁄
2 30 0.3 = 30
100⁄
1 10 0.1 = 10
100⁄
Totales 100 1.0 = 100
100⁄
La distribución sigue las tres reglas requeridas para todas las distribuciones
de probabilidad:
1. Los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos.
2. Los valores de probabilidad individuales están entre 0 y 1 inclusive.
3. La suma total de los valores de probabilidad es 1.
Aunque la presentación de una distribución de probabilidad como la
realizada en la tabla anterior es correcta, sería muy difícil obtener una idea
acerca de las características de la distribución. Para poder reforzar el
análisis, es muy común que los valores de probabilidad se presenten en
forma gráfica, para esto veamos la siguiente representación:
Distribución de probabilidad para las calificaciones en la prueba de Matemática
X
1 2 3 4 5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
P(X)

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Esta gráfica de distribución de probabilidad nos proporciona una imagen de
su forma. Nos ayuda a identificar la tendencia central de la distribución,
llamada media o valor esperado, y la cantidad de variabilidad o dispersión
de la distribución, llamada la varianza.
Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta
Una vez que hemos establecido una distribución de probabilidad, la primera
característica que suele ser de interés es la tendencia central de la
distribución. El valor esperado, una medida de tendencia central, se calcula
como el promedio ponderado de los valores de la variable aleatoria:
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝐸(𝑋) = 𝑋1 𝑃(𝑋1) + 𝑋2 𝑃(𝑋2)+. . . . . . . . +𝑋 𝑛 𝑃(𝑋 𝑛)
donde
𝑋𝑖 =Valores posibles de la variable aleatoria
𝑃(𝑋𝑖) = probabilidad de cada uno de los posibles valores de la variable aleatoria
signo de suma que indica que estamos sumando todos los n valores posibles
𝐸(𝑋) = valor esperado o media de la variable aleatoria
El valor esperado o la medida de cualquier distribución de probabilidad
discreta se calcula al multiplicar cada valor posible de la variable aleatoria
𝑋𝑖, por la probabilidad, P(X) , de que ese resultado ocurra para, después,
sumar los resultados, ∑ . Veamos ahora entonces como se calcula el valor
esperado en el ejemplo de la prueba de matemática:
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝐸(𝑋) = 𝑋1 𝑃(𝑋1) + 𝑋2 𝑃(𝑋2) + 𝑋3 𝑃(𝑋3) + 𝑋4 𝑃(𝑋4) + 𝑋5 𝑃(𝑋5)
𝐸(𝑋) = (5)(0.1) + (4)(0.2) + (3)(0.3) + (2)(0.3) + (1)(0.1) = 2.9
El valor esperado de 2.9 es la calificación media de la prueba.
∑ =
𝑛
𝑖=1

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Varianza de una distribución de probabilidad discreta
Además de la tendencia central de una distribución, la mayoría de las
personas están interesadas en la variabilidad o la dispersión de la
distribución. Si la variabilidad es baja, es mucho más probable que el
resultado de un experimento será cercano al valor promedio o esperado. Por
otro lado si la variabilidad de la distribución es alta, lo cual implica que la
probabilidad se extiende sobre distintos valores de las variables aleatorias,
hay menos probabilidad de que el resultado de un experimento sea cercano
al valor esperado.
La varianza de una distribución de probabilidad es un número que revela el
esparcimiento global o la dispersión de la distribución. Para una
distribución de probabilidad discreta, la varianza se puede calcular
mediante la siguiente ecuación:
𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = ∑[𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋)]2
𝑃(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑋𝑖= valores posibles de la variable aleatoria
𝐸(𝑋)= valor esperado de la variable aleatoria
[𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋)]= diferencia entre cada valor de la variable aleatoria y el valor
esperado
𝑃(𝑋𝑖)= probabilidad de cada valor posible de la variable aleatoria
Para calcular la varianza, cada valor de la variable aleatoria se resta del valor
esperado, se eleva al cuadrado y se multiplica por la probabilidad de
ocurrencia de ese valor. Después, los resultados se suman para obtener la
varianza.
Veamos cómo se calcularía En el ejemplo de los resultados del examen de
matemática:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = ∑[𝑋𝑖 − 𝐸(𝑋)]2
𝑃(𝑋𝑖)
5
𝑖=1
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (5 − 2.9)2
(0.1) + (4 − 2.9)2
(0.2) + (3 − 2.9)2
(0.3) + (2 − 2.9)2
(0.3) + (1 − 2.9)2
(0.1)
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (2.1)2
(0.1) + (1.1)2
(0.2) + (0.1)2
(0.3) + (−0.9)2
(0.3) + (−1.9)2
(0.1)
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (0.441) + 0.242 + 0.003 + 0.243 + 0.361 = 1.29

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Una medida de dispersión o tendencia central relacionada es la desviación
estándar. Esta medida también se usa en muchos cálculos involucrados
con distribuciones de probabilidad. La desviación estándar es la raíz
cuadrada de la varianza:
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = √ 𝜎2
La desviación estándar de la variable aleatoria X en el ejemplo que estamos
desarrollando sería:
𝜎 = √1.29 = 1.14
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua
Hay muchos ejemplos de variables aleatorias continuas. El tiempo que toma
terminar un proyecto, el número de onzas en un barril de mantequilla, la
temperatura más alta durante un día específico, la longitud exacta de un
determinado tipo de madera para construcción y el peso de un vagón de
ferrocarril cargado con carbón son ejemplos de variables aleatorias
continuas. Dado que las variables aleatorias pueden tomar un número
infinito de valores, es necesario modificar Las reglas de probabilidad
fundamentales para las variables aleatorias continuas.
Al igual que con las distribuciones de probabilidad discreta, la suma de los
valores de probabilidad debe ser igual a 1. Sin embargo, debido a que hay
un número infinito de valores de las variables aleatorias, la probabilidad de
ocurrencia de cada valor de la variable aleatoria debe ser 0. Si los valores de
probabilidad de ocurrencia de cada valor de la variable aleatoria deben ser
0, la suma sería infinitamente grande.
Para cada distribución de probabilidad continua, existe una función
matemática que describe la distribución de probabilidad. Esta función se
llama función de densidad de probabilidad o, simplemente, función de
probabilidad. Por lo general, se representa mediante f(x). Cuando se trabaja
con distribuciones de probabilidad continua, la función de probabilidad se
puede representar de forma gráfica, y el área debajo de la curva constituye
la probabilidad. Por lo tanto, para encontrar cualquier probabilidad, solo
encontramos el área bajo la curva asociada dentro del rango de interés.

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Veamos una gráfica de ejemplo:
Esta curva representa la función de densidad de probabilidad para el peso
de una pieza maquinada en particular. El peso puede variar de 5.06 a 5.30
gramos, siendo más probables los pesos alrededor de 5.18 gramos. El área
sombreada representa la probabilidad de que el peso esté entre 5.22 y 5.26
gramos.
Si deseamos conocer la probabilidad de una pieza que pesa exactamente
5.1300000 gramos, habría que calcular el área de una línea de ancho igual
a 0. El resultado parece extraño, pero si insistimos en suficientes posiciones
decimales de precisión, estamos obligados a encontrar que el peso será
diferente de 5.1300000 gramos exactamente, por ser una cantidad muy
pequeña.
Esto es importante porque significa que, para cualquier distribución
continua, la probabilidad no cambia si se agrega un solo punto al rango de
valores que se está considerando. En la gráfica, esto significa que las
siguientes probabilidades son exactamente iguales:
𝑃(5.22 < 𝑋 < 5.26) = 𝑃(5.22 < 𝑋 < 5.26) = 𝑃(5.22 ≤ 𝑋 ≤ 5.26)
𝑃(5.22 < 𝑋 < 5.26) = 𝑃(5.22 ≤ 𝑋 ≤ 5.26)
La inclusión o exclusión de cualquiera de los valores extremos (5.22 o 5.26)
no tiene impacto en la probabilidad.
5.06 5.10 5.14 5.18 5.22 5.26 5.30
Peso (gramos)
Probabilidad