Este documento explica el teorema de Bayes y cómo se puede usar para actualizar las probabilidades previas a probabilidades posteriores cuando se dispone de nueva información. Proporciona un ejemplo de dos dados, uno normal y otro sesgado, y cómo calcular las probabilidades revisadas de cada dado si se lanza y sale un 3. Luego generaliza el proceso del teorema de Bayes y muestra cómo se pueden actualizar aún más las probabilidades si se lanza el dado nuevamente y también sale un 3.

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
PARTE 2
2018

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Contenido
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................... 3
Ejemplo................................................................................................................................................ 3
Forma general del teorema de Bayes ................................................................................................. 5
Revisiones de probabilidad adicionales .............................................................................................. 6

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INTRODUCCIÓN
El teorema de Bayes se utiliza para incorporar información adicional cuando
ésta se encuentra disponible y ayuda a crear probabilidades revisadas o
probabilidades posteriores, a partir de las probabilidades originales o
probabilidades previas. Esto significa que es posible tomar datos nuevos o
recientes y, luego, revisar y mejorar nuestras estimaciones de probabilidad
antiguas para un evento.
Ejemplo
Consideremos el ejemplo de una taza que contiene dos dados idénticos en
apariencia. Uno, es legal (balanceado) y el otro está cargado (sesgado).
La probabilidad de obtener un 3 en el dado legal es 1
6⁄ , o 0.0166. La
probabilidad de lanzar el mismo número en el dado cargado es 0.60.
No tenemos idea de cuál es cada uno de los dados, pero seleccionamos uno
al azar y lo lanzamos. El resultado es un 3. Dada la pieza adicional de
información, ¿podemos encontrar la probabilidad (revisada) de que el dado
lanzado haya sido el legal? ¿podemos determinar la probabilidad de que el
dado lanzado haya sido el cargado?
La respuesta a estas preguntas es sí, y lo hacemos mediante el uso de la
fórmula de probabilidad conjunta según Bayes y la dependencia estadística.
Probabilidades previas
Información nueva
Probabilidades previasProceso de Bayes

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En primer lugar, verificamos la información y las probabilidades
disponibles. Sabemos , por ejemplo, que como el dado a lanzar se seleccionó
al azar, la probabilidad de que sea el legal o el cargado es de 0.50:
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = 0.50 y 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) = 0.50
También sabemos que:
𝑃(3 ∣ 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = 0.166 y 𝑃(3 ∣ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) = 0.60
A continuación, calculamos las probabilidades conjuntas: 𝑃(3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) y
𝑃(3 𝑦 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) utilizando la fórmula 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) × 𝑃(𝐵):
𝑃(3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = 𝑃(3 ∣ 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) × 𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙)
𝑃(3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = (0.166)(0.50) = 0.083
𝑃(3 𝑦 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) = 𝑃(3 ∣ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) × 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜)
𝑃(3 𝑦 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) = (0.60)(0.50) = 0.300
Un 3 puede ocurrir en combinación con el estado “dado legal” o en
combinación con el estado “dado cargado”. La suma de sus probabilidades
nos proporciona la probabilidad incondicional o marginal de un 3 en el
lanzamiento; a saber 𝑃(3) = 0.083 + 0.300 = 0.383.
Si ocurre un 3, y si no sabemos qué dado fue lanzado, la probabilidad de
que el dado utilizado haya sido el legal es:
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 ∣ 3) =
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 𝑦 3)
𝑃(3)
=
0.083
0 − 383
= 0.22
La probabilidad de que el dado lanzado haya sido el cargado es:
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 ∣ 3) =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑦 3)
𝑃(3)
=
0.300
0 − 383
= 0.78
Estas dos probabilidades condicionales se llaman probabilidades revisadas
o posteriores para el próximo lanzamiento del dado.
Antes de que el dado fuera lanzado en el ejemplo que estamos analizando,
lo más que podíamos decir era que había una posibilidad de 50 – 50 de que
fuera legal (0.50 de probabilidad) y una posibilidad de 50 – 50 de que
estuviera cargado. Sin embargo, después de lanzar el dado estamos en
condiciones de revisar nuestras estimaciones de probabilidad previa. La
nueva estimación posterior es que hay una probabilidad de 0.78 de que el
dado lanzado haya estado cargado y solo un 0.22 de probabilidad de que no
lo haya estado.

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En algunos casos es útil emplear una tabla para realizar los cálculos
asociados con el teorema de Bayes, veamos su uso siguiendo el ejemplo de
los dados.
Tabla de los cálculos de Bayes dado que ha sucedido el evento B
Estado de la
Naturaleza
P(B∣ Estado
de la
Naturaleza)
Probabilidad
Previa
Probabilidad
Conjunta
Probabilidad
Posterior
A P(A∣B) ×P(A) =P(B y A) P(B y A)=P(A∣B)
A' P(B∣A') ×P(A') =
𝑃(𝐵 𝑦 𝐴)
𝑃(𝐵)
P(B y A')=P(A'∣B)
Tabla de los cálculos de Bayes dado que se ha obtenido un 3
Estado de la
Naturaleza
P(B∣ Estado
de la
Naturaleza)
Probabilidad
Previa
Probabilidad
Conjunta
Probabilidad
Posterior
Dado legal 0.166 × 0.5 =0.083 0.083
0.383⁄ = 0.22
Dado
cargado
0.600 × 0.5 =0-300
P(3)=0.383
0.300
0.383⁄ = 0.78
Forma general del teorema de Bayes
Las probabilidades revisadas también se pueden calcular de una manera
más directa mediante una forma general para el teorema de Bayes.
𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) =
𝑃(𝐵 ∣ 𝐴)𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵 ∣ 𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 ∣ 𝐴′)𝑃(𝐴′)
Donde A'=el complemento del evento A; por ejemplo, si A es el evento “dado
legal”, entonces A' es “dado cargado”
Para nuestros propósitos tendríamos entonces:
𝑃(𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 ∣ 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑢𝑛 3)
=
𝑃(3 ∣ 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙)𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙)
𝑃(3 ∣ 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙)𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) + 𝑃(3 ∣ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜)𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 ∣ 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑢𝑛 3) =
(0.166)(0.50)
(0.166)(0.50) + (0.60)(0.50)

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𝑃(𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 ∣ 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑢𝑛 3) =
0.083
0.383
= 0.22
Revisiones de probabilidad adicionales
Aunque una revisión de probabilidades previas suele proporcionar
estimaciones útiles de probabilidades posteriores, es posible obtener
información adicional al realizar el experimento por segunda vez. Si vale la
pena financieramente, un tomador de decisiones puede incluso decidir qué
hará más revisiones.
Siguiendo nuestro ejemplo, vamos a intentar obtener más información sobre
las probabilidades posteriores de que el dado que se acaba de lanzar sea
legal o esté cargado. Para esto, lanzaremos el dado por segunda vez y de
nuevo obtenemos un 3.
Nos preguntamos entonces ¿Cuáles son las probabilidades revisadas
adicionales?
Vamos a responder a esto, siguiendo el mismo proceso, pero con una única
excepción.
Las probabilidades P(legal) = 0.50 y P(cargado) = 0.50 siguen siendo las
mismas, pero ahora debemos calcular:
P(3, 3∣legal)= (0.166)(0.166) = 0.027
P(3, 3∣cargado) = (0.6)(0.6) = 0.36.
Con estas probabilidades conjuntos de dos resultados de 3 en lanzamientos
sucesivos, considerando dos tipos de dados, podemos revisar las
probabilidades:
𝑃(3, 3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = 𝑃(3, 3 ∣ 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) × 𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙)
𝑃(3, 3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = (0.027) × (0.50) = 0.013
𝑃(3, 3 𝑦 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) = 𝑃(3, 3 ∣ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜) × 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜)
𝑃(3, 3 𝑦 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙) = (0.36) × (0.50) = 0.18

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Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos resultados de 3, una
probabilidad marginal, es 0.013 + 0.18 = 0.193, la suma de las dos
probabilidades conjuntas:
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 | 3, 3) =
𝑃(3, 3 y legal)
𝑃(3, 3)
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 | 3, 3) =
0.013
0.193
= 0.067
𝑃(cargado | 3, 3) =
𝑃(3, 3 y cargado)
𝑃(3, 3)
𝑃(𝑙𝑒𝑔𝑎𝑙 | 3, 3) =
0.18
0.193
= 0.933
¿Qué ha logrado este segundo lanzamiento? Antes de lanzar el dado por
primera vez, sólo sabíamos que había una probabilidad de 0.50 de que fuera
legal, o bien estuviera cargado. Al lanzar el dado la primera vez en el ejemplo
que estamos estudiando, fuimos capaces de revisar estas probabilidades:
probabilidad de que el dado sea legal = 0.22
probabilidad de que el dado esté cargado = 0.78
Ahora, después del segundo lanzamiento en este ejemplo, nuestras
revisiones refinadas nos indican que:
probabilidad de que el dado sea legal = 0.067
probabilidad de que el dado esté cargado = 0.933
Este tipo de información puede ser muy valiosa en la toma de decisiones
empresariales.