Mat 11 u3

55
Objetivos de la Unidad:
Tomarás decisiones acertadas a partir de la determinación de
ocurrencia de un suceso, aplicando los métodos de distribución
normal para estimar las probabilidades de eventos en diferentes
ámbitos de la vida social, cultural y económica.
Propondrás soluciones a situaciones problemáticas del entorno en
las cuales se requiere la resolución de triángulos oblicuángulos,
aplicando los teoremas del seno y del coseno, valorando la opinión
de los demás.
Utilizarás con criticidad la línea recta, elementos, características y
ecuaciones al proponer soluciones a problemas de tu entorno.
Aplicarás correctamente la geometría analítica – circunferencia –
al encontrar soluciones a diversas problemáticas de tu entorno.
Distribución Normal,
Geometría Analítica,
Solución de Triángulos
MATEMÁTICA
Unidad 3

56 Matemática - Segundo Año
Descripción del proyecto:
Éste consiste en una aplicación de la línea recta, mediante la cual vas a encontrar una
fórmula que te permita convertir grados Celsius a Fahrenheit y viceversa.
Distribución normal
Características
Calcular porcentajes
Distribución
normal estándar
Forma
simétrica
sus
permiten
utilizando
entre
ellas
Triángulos oblicuángulos
Ley de seno Ley del coseno
LLA, ALA, AAL LAL, LLL
en los casos en los casos
resolución utilizando
Geometría analítica
Distancia entre
dos puntos
Punto medio de
un segmento
Distancia de un
punto a una recta
Centro
Radio
Tangente
La circunferencia
Elementos Ecuaciones
Ordinaria
Canónica
General
Elementos Ecuaciones
Pendiente
Intersectos
Punto pendiente
General
Pendiente intersecto
La línea recta
comprende
sus
son son son
sus
son
pueden ser

Segundo Año - Matemática 57
Tercera Unidad Lección 1
Motivación
Indicadores de logro
¿Recuerdas que las variables continuas pueden tomar un número infinito de valores?
El gráfico de la distribución para la prueba de 4
preguntas de falso y verdadero, suponiendo que la
variable es continua, tiene la forma presentada a la
izquierda y recibe el nombre de distribución normal por
su forma.
Identificarás,interpretarásyexplicarás,conseguridad,lascaracterísticas
deladistribuciónnormal.
Determinaráslaspropiedadesdeladistribuciónnormalestándar,con
precisiónyconfianza.
Utilizarás,conprecisiónyseguridadlastablasparaencontraráreasbajola
curvanormal.
Resolverásejerciciosyproblemasaplicadosalavidacotidianasobre
variablescondistribuciónnormalconseguridad.
Número de respuestas correctas
(r)
0 1 2 3 4
Probalidaddeéxito 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
P(r)
Cuando determinas la distribución de
probabilidades de una prueba de 4 preguntas de falso
y verdadero, obtienes el gráfico de la derecha.
Ahora imagina que, hipotéticamente la variable
“número de respuestas correctas” se vuelve continua.
¿Cómo queda entonces el gráfico de la distribución?
Distribución Normal
0,4
0,3
0,2
0,1
0 1 2 3 4-1-2

UNIDAD 3
El gráfico anterior es la base para enunciar las
características de la distribución normal:
1. La curva normal tiene perfil de campana. La media
aritmética, mediana y moda de la distribución son
iguales y están en el punto central. De esta forma, la
mitad del área bajo la curva se halla a un lado de este
punto, y la otra mitad, al otro lado. La distribución de
probabilidad normal es simétrica con respecto a su
media. Si se corta la curva normal verticalmente por
el valor central, las dos mitades serán como imágenes
reflejadas en un espejo.
2. Los porcentajes bajo la curva normal decrecen
uniformemente en ambas direcciones a partir del
valor central. Es asintótica, lo cual significa que la
curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad
nunca llega a tocarlo. Esto es, las dos colas o extremos
se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
La distribución normal es un buen modelo para
representar, aproximadamente, algunos fenómenos
del mundo real.
Familia de Distribuciones Normales
Para la distribución de probabilidad normal del tiempo
de servicio de los empleados de tres plantas industriales,
se tiene las siguientes medidas:
Planta A: μ= 20 años y σ= 3.1 años
Planta B: μ= 20 años y σ = 3.9 años
Planta C: μ= 20 años y σ= 5.0 años
Al tener la misma media aritmética, forman una familia
de distribuciones normales y se pueden representar en el
mismo gráfico.
Recuerda que μ(miu) representa la media aritmética
de una población y σ(sigma) la desviación típica o
estándar.
Áreas bajo la curva normal
Para una distribución de probabilidad normal:
1. Aproximadamente 68.27% del área bajo la curva
normal está entre μ– σy μ+ σ. Esto puede expresarse
como μ± σ.
2.Aproximadamente 95.45% del área bajo la curva
normal está entre μ– 2σ y μ+ 2σ.Lo que se expresa
μ± 2σ.
3.Casi toda el área (99.73%) bajo la curva normal está
dentro de tres desviaciones estándares respecto de la
media (a uno y otro lado), lo cual se escribe μ± 3σ.
Mostrando esto en un diagrama y utilizando
porcentajes, tienes:
σ = 3.1 años planta A
20 años
Tiempo de servicio
µ
σ = 3.9 años planta B
σ = 5.0 años planta C
µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ
68.27%
95.45%
99.73%
La curva normal es simétrica,
con dos mitades idénticas
Extremidad
(o cola)
Extremidad
(o cola)
La media, la mediana y la moda
son iguales
En teoria, la curva se
extiende hasta -∞
En teoria, la curva se
extiende hasta +∞
Característicasdeunadistribuciónnormal

UNIDAD 3
Ejemplo 1
Una prueba acelerada de duración en un gran número
de pilas alcalinas tipo D reveló que la duración media
para un uso especifico antes de que falle es 19.0 horas.
La distribución de las duraciones se aproxima a una
distribución normal. La desviación estándar de la
distribución fue 1.2 horas.
¿Entre qué par de valores se encuentra la durabilidad del
68.27% de las pilas?
Solución:
Aproximadamente el 68.27% duró entre 17.8 horas y
20.2 horas, valor obtenido por 19.0 ± 1(1.2)
Mostrando esto en un diagrama te queda así:
1. Explicaloquesignificaesteenunciado“Noexistesólouna
distribuciónprobabilísticanormal,sinofamiliasdeestas
distribuciones”.
2. Enumeralasprincipalescaracterísticasdeunadistribución
probabilísticanormal.
3. Silamediadeunadistribuciónprobabilísticanormales500
yladesviaciónestándar10,determinalosiguiente.
a) ¿Entrequépardevaloresestá,aproximadamente,
68%delasobservaciones?
b) ¿Entrequépardevaloressehalla,
aproximadamente,95%delasobservaciones?
c) ¿Entrequépardevaloresseencuentran
prácticamentetodaslasobservaciones?
4. Lamediadeunadistribuciónprobabilísticanormales60,y
ladesviaciónestándares5.Aproximadamente:
a) ¿Quéporcentajedelasobservacionesseencuentra
entre55y65?
b) ¿Quéporcentajedelasobservacionessehallaentre
50y70?
c) ¿Quéporcentajedelasobservacionessehallaentre
45y75?
Actividad 1
µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ
15.4 16.6 17.8 19.0 20.2 21.4 22.6 Escala de
horas X
Escala de Z
Estos valores los expresamos de otra forma: el área
bajo la curva normal entre µ σ µ σy− +
es aproximadamente 0.6827, el área entre
µ σ µ σy− +2 2 es aproximadamente 0.9545 y el
área entre µ σ µ σy− +3 3 es aproximadamente
0.9973.
Observa que el área total bajo la curva es: 1.0000

UNIDAD 3
Distribución normal estándar
Existen familias de distribuciones normales, cada una con su propia media (μ) y sus
desviaciones estándar (σ). Por tanto el número de distribuciones normales es ilimitado.
Resultaría físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada
combinación de μ y σ. Sin embargo, puede utilizarse un elemento de la familia de
distribuciones normales para todos los problemas donde esta distribución resulte
aplicable. Ésta es una normal con media igual a 0 y una desviación estándar igual a 1, y
se denomina Distribución normal estándar.
Como ejemplo de su aplicación supongamos que la media de una distribución normal
es 100 libras, y la desviación estándar, 2 libras. Considera que estás interesado en
determinar el área entre un valor de 113 libras y la media de 100 libras. Primero se
convierte la distribución, a lo que se conoce cono estandarización, de una distribución
normal estándar, utilizando el llamado valor z o desvío normal z.
El valor z es la diferencia (desviación) entre un valor seleccionado, denotado por x y la
media poblacional, dividida entre la desviación estándar de la población.
El valor z mide la distancia entre el valor específico x y la media, en unidades de
desviación estándar.
Así, el valor de z para el ejemplo dado es: z = =
113 100
2
65
−
. unidades de
desviación estándar.
Ejemplo 2:
La media de un grupo de ingresos quincenales con distribución normal para un gran
conjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1,000; la desviación estándar es $ 100 ¿Cuál
es el desvió normal o valor z para un ingreso x de $ 1,100? ¿Y para uno de $ 900?
Solución:
Para x
z
x
=
=
−
=
−
=
$ ,
$ , $ ,
$
1 100
1 100 1 000
100
1
µ
σ
..00
Para x
z
x
=
=
−
=
−
=
$
$ $ ,
$
.
900
900 1 000
100
100
µ
σ
−
Es decir, z
x
=
− µ
σ
donde:
x: es el valor de cualquier observación específica.
μ: es la media de la distribución.
σ: es la desviación estándar de la distribución.

UNIDAD 3
El desvío z es 1.00 indica que un ingreso quincenal de $ 1,100 para un gerente de nivel
medio está una desviación estándar por encima de la media; un valor z de – 1.00 indica
que un ingreso de $ 900 está una desviación estándar por debajo de la media. Observa
que ambos ingresos ($ 1,100 y $ 900) están a la misma distancia ($ 100) de la media.
El transformar las mediciones a desvíos normales z cambia la escala. Las conversiones
se muestran en la gráfica de la par. Por ejemplo, μ + 2 σ se transforma en z = 2.00.
Observa que el centro de la distribución z es cero, lo cual indica que no existe
desviación respecto a la media μ.
Ejemplo 3
Utilizando el mismo problema que en el ejemplo anterior del ingreso quincenal
(μ = $ 1,000, σ = $ 100), ¿cuál es el área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100?
Solución:
Ya convertiste $ 1,100 a un valor z de 1.00
z
x $ $
$
= = =
− −µ
σ
1 100 1 000
100
100
, ,
.
La probabilidad asociada a un z de 1.00, ya se calculó y se presenta en una tabla.
Utilizalamismainformacióndelejemplo2(μ=$1,000,σ=100)yconvierte:
a) Elingresoquincenalde$1,225aunaunidadestándarovalorz.
b) Elingresoquincenalde$775aunvalorz.
Actividad 2
µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ
-3 -2 -1 0 1 2 3
Se convierte en
X
Z
Observa
Cuando x es igual a la media μ, su valor estandarizado es cero.

UNIDAD 3
A continuación te presentamos una pequeña parte de esa tabla. Para localizar el área
recorre hacia abajo la columna izquierda hasta 1.0. Después recorre horizontalmente
hacia la derecha y lees el área bajo la curva en la columna marcada 0.00. Te resulta así el
valor 0.3413
z 0.00 0.01 0.02
0.7 0.2580 0.2611 0.2642
0.8 0.2881 0.2910 0.2939
0.9 0.3159 0.3186 0.3212
1.0 0.3413 0.3438 0.3461
1.1 0.3643 0.3665 0.3686
Representando esto en un diagrama, resulta:
El área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413. También puede decirse
que 34.13% de los ingresos quincenales están entre $ 1,000 y $ 1,100, y la probabilidad
que un ingreso específico se halle entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413
Para resolver los siguientes problemas es imprescindible que fotocopies la tabla de la
distribución normal de un libro de estadística.
Ejemplo 4
En relación al problema anterior (μ = $ 1,000; σ = $100).
a) ¿Cuál es la probabilidad que un ingreso quincenal específico seleccionado al azar
esté entre $790 y $1,000?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el ingreso sea menor de $790?
Solución:
Calculando el valor z para $790:
z
x
=
−
=
−
=
−µ
σ
$ $ ,
$
$
$
790 1 000
100
210
100
== −210.
0 1.00 Escala de z
Escala de dólares$ 1 000 $ 1 100
0.3413

UNIDAD 3
a) El área bajo la curva normal entre μ y x para un valor
z de – 2.10 es 0.4821, valor tomado de la tabla. Puesto
que la curva normal es simétrica, el signo negativo
antes de 2.10 te indica que el área está a la izquierda de
la media. Por lo tanto la probabilidad que un ingreso
quincenal esté entre $790 y $1,000 es de 0.4821 ó
48.21%
b) La media divide a la curva normal en dos mitades
idénticas. El área de la mitad de la izquierda (o de la
derecha) de la media también es 0.5000. Como el área
bajo la curva entre $790 y $1 000 es 0.4821, el área
por debajo de $790 se determina restando 0.4821 de
0.5000.
Alosestudiantesdeséptimogradoselesdanpuntospor
aplicación.Ladistribucióndeéstossigueunadistribución
normal,conmedia400ydesviaciónestándar50.
a) ¿Cuántovaleeláreabajolacurvanormalentre400y482?
b) ¿Cuántovaleeláreabajolacurvanormalporencimade482?
c) Representaenformagráficalasrespuestasanteriores.
Actividad 3
Resumen
La distribución de probabilidad normal es una distribución continua con las siguientes propiedades.
a) Es simétrica con respecto a la media.
b) Su gráfico tiene forma de campana.
c) La media, la moda y la mediana son iguales.
d) La distribución es asintótica, o sea, la curva se acerca al eje x sin llegar a tocarlo.
e) Cualquier distribución normal puede estandarizarse mediante la fórmula z
x
=
− µ
σ
f) La distribución normal estándar indica la desviación o distancia a partir de la media en unidades de
desviación estándar. A esta se le llama valor o desvío normal z.
De esta forma:
0.5000 – 0.4821 = 0.0179. La probabilidad de que el
ingreso sea menor de $790 es 0.0179 ó 1.79%. Esto se
muestra en el diagrama anterior a la izquierda.
Recuerda que para resolver tus problemas debes buscar
en la tabla de áreas bajo la curva normal.
02.1 Escala de z
0.4821
0.50000.5000
0.0179

UNIDAD 3

Autocomprobación
Cuáleslagráficadelaprobabilidadencontradaen3:
4
Eláreabajolacurvanormalalaizquierdadela
mediaesiguala:
a) cero c) uno
b) menosuno d) unmedio
2
3
1 Eláreatotalbajolacurvanormalestándaresiguala
a) cero c) menosuno
b) uno d) unmedio
0-4
10-14
20-24
30-34
40-44
50-54
60-64
70-74
80-84
90-64
100+
400 300 200 100 0 100 200 300 400
HOMBRES MUJERES
Una pirámide de población corresponde a una
representación gráfica de la distribución por
sexo y edad de la población de una localidad
o país en un momento particular en el tiempo.
Está constituido por dos histogramas, uno
correspondiente a cada género. En el eje de
las abscisas se representa la población total o
porcentaje de población según corresponda,
mientras que en el eje de ordenadas se
representa la edad simple o grupo de edades.
Los histogramas se ubican en posición contraria
uno del otro usando como referencia el eje de
las ordenadas. Observa que la figura tiene una
forma parecida a una distribución normal.
Soluciones1.b. 2.d. 3.d. 4.a.
a)
b)
d)
c)
POBLACIÓN Y DISTRIBUCIÓN NORMAL
10095 Escala
de z
105
-0.5
10095 Escala
de z
105
0.5
10095 Escala
de z
105
-0.5
10095 Escala
de z
105
0.5
Loscoeficientesdeinteligencia(IQ)delos
humanossedistribuyennormalmenteconmedia
100ydesviaciónestándar10.Siunapersonaes
elegidaalazar,paracalcularlaprobabilidaddeque
suIQseamayorque95elvalordezesiguala:
a) 100 95
10
− c)
100 95
5
−
b) 95 100
5
− d) 95 100
10
−

Tercera Unidad
Motivación
En esta lección aprenderás a calcular distancias cuando
no es posible hacerlo directamente, como hallar la altura
de un globo sobre el nivel del suelo o la altura de un
edificio o de una montaña.
La ley de los senos y la ley de los cosenos tienen
aplicación en casi todas las áreas del conocimiento:
ciencias naturales, astronomía, topografía, etc. En esta
lección aprenderás a aplicar estas leyes a la resolución de
problemas cotidianos.
Identificarás,determinarásyejemplificarástriángulosoblicuángulos,con
interésyconfianza.
Deducirásyexplicarás,conseguridadlaexpresiónquedenotaelteorema
delseno.
Utilizaráselteoremadelseno,alsolucionarejerciciossobretriángulos
oblicuángulos,conseguridadyprecisión.
Resolverás,conactitudpropositivayperseverante,problemasaplicando
elteoremadelseno.
Deducirásyexplicarás,conseguridad,laexpresiónquedenotaelteorema
delcoseno.
Utilizaráselteoremadelcoseno,alsolucionarejerciciossobretriángulos
oblicuángulosconseguridadyprecisión.
Resolverásproblemas,aplicandoelteoremadelcoseno,conactitud
propositivayperseverante.
ab
A Bα=48° β=57°
c = 200 m
γ
CEn un estanque de forma triangular se cultivan
peces para el consumo de la comunidad. Del
estanque se sabe que un lado mide 200 m y
adyacente a él dos ángulos que miden 48o
y 57o
.
¿Cuál será la medida del otro ángulo?
¿Cuáles serián las medidas de los otros dos lados?
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Lección 2

UNIDAD 3
Los métodos trigonométricos para resolver triángulos
rectángulos no funcionan con los triángulos
oblicuángulos. Para trabajar con éstos suelen aplicarse
dos métodos; uno de ellos es la ley de los senos, el otro es
la ley de los cosenos.
Observa la figura
Considera el triángulo de la figura. Eliges uno de los
vértices, en este caso el vértice C.
Trazas una perpendicular al lado opuesto. A partir de los
triángulos rectángulos resultantes se tiene:
sen
h
b
sen
h
a
yα β= =
o bien, h = b sen α y h = a sen β
Debido a que las dos expresiones anteriores son iguales a
h, entonces b sen α = a sen β;
a
sen
b
senα β
=
De manera similar a la anterior puedes obtener:
a
sen
c
senα γ
=
Al combinar todo lo anterior llegaremos a la ley
de los senos. Ésta establece que si ABC es un
triángulo con lados de longitudes a, b y c, y ángulos
opuestos respectivos α , β y γ , entonces:
a
sen
b
sen
c
senα β γ
= =
En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un
ángulo y el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la
razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a
ese ángulo.
Resolver un triángulo significa encontrar sus seis
elementos: tres lados y tres ángulos.
La ley de los senos la aplicarás para resolver un triángulo
cuando se conocen tres de sus elementos. Los casos son
los siguientes:
Caso 1 (LLA): se conocen dos lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos.
Caso 2 (ALA): se conocen dos ángulos y el lado
adyacente a ellos.
Caso 3 (AAL): se conocen dos ángulos y el lado opuesto
a uno de ellos.
La respuesta a la pregunta planteada respecto del
estanque de forma triangular se resuelve calculando el
lado a = BC del triángulo ABC.
Triángulos como éste, que no poseen ángulo recto se
denominan obtusángulos y acutángulos. A éstos, de
forma genérica se les llama triángulos oblicuángulos.
ab
A B
α = 48° β = 57°
c = 200 m
γ
C
ab
C
A Bα β
c
h
γ
Caso 1 (LLA)
Caso 2 (ALA)
Caso 3 (AAL)
L
L
A
A
A
L
L
A A

UNIDAD 3
Ejemplo 1
Resuelve el problema anterior del estanque de forma triangular.
Lados Angulos
a = ? α = 48º
b = ? β = 57º
c = 200 γ = ?
Conoces dos ángulos y el lado adyacente a
ellos. (Caso 2: ALA).La tabla con los datos
iniciales es:
Como la suma de ángulos internos de todo
triángulo es 180°, entonces,
γ = 180º – (48º + 57º) = 75º
Dado que conoces el lado c y los tres ángulos, puedes calcular el lado “a” mediante la ley
de los senos usando la razón cuyos dos términos se conocen.
O sea,
a
sen
c
senα γ
= Ley de los senos
a
sen sen
a
Sustituyendo
48
200
75°
=
°
=
2200 48
75
( )sen
sen
a
Despejando
1
°
°
= 553.87m
Concluyes que la longitud “a” es 153.87 m.
Ejemplo 2
Calcula el lado b del triángulo anterior.
Solución:
Lados Angulos
a = ? α = 48º
b = ? β = 57º
c = 200 γ = 75º
Lados Angulos
a = 153.87 α = 48º
b = ? β = 57º
c = 200 γ = 75º
ab
A B
α = 48° β = 57°
c = 200 m
C
γ
Para calcular b puedes relacionar la razón
b
sen β
con cualquiera de las otras dos, ya
que en ambas conoces los dos términos.

UNIDAD 3
Ejemplo 3
Resuelve el triángulo:
Conoces dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos: Caso 3 (AAL).
Comienzas construyendo tu tabla de datos.
Si se conocen 2 ángulos podemos encontrar el valor γ
γ = 180° – (13° + 65°) = 102º
Como en la razón
a
sen α
conoces ambos términos, vas a relacionarla con las otras
razones.
Es decir,
a
sen
b
sen Bα
= Ley de los senos
35
13 65sen
b
sen°
=
°
Sustituyendo a por 35, α por 13º y β por 65º.
b
sen
sen
=
°
°
=
35 65
13
14101
( )
. Despejando b y sustituyendo valores
Cálculo de c.
a
sen
c
senα γ
= Ley de los senos.
35
13 102sen
c
sen°
=
°
Sustituyendo a por 35, α por 13º y γ por 102º
Lados Angulos
a = 35 α = 13º
b = ? β = 65º
c = ? γ = ?
Es decir, b
sen
c
senβ γ
= Ley de los senos
b
sen sen57
200
75°
=
°
Sustituyendo β por 57º y γ por 75º
b
sen
sen
=
°
°
=
200 57
75
17365
( )
. Despejando b y sustituyendo valores
Luego concluyes que el lado b del triángulo mide 173.65 m
b
Bα = 13° β = 65°
c
C
a = 35γ
A

UNIDAD 3
Lados Angulos
a = 35 α = 13º
b = 141.01 β = 65º
c = 152.19 γ = 102º
En el apartado anterior conociste la ley de los senos y
cuándo aplicarla. Puedes aplicarla en tres casos. En el
caso 1 conoces las medidas de dos lados y del ángulo
opuesto a uno de ellos; se denomina LLA. El caso 2 se
presenta cuando conoces las medidas de los ángulos y
del lado adyacente a ellos se denomina ALA. En el caso
3 conoces las medidas de dos ángulos y un lado opuesto
a uno de ellos; se denomina ALL.
Hay otros dos casos que conducen a triángulos que hay
que resolver.
Caso 4 (LAL) se conocen las medidas de dos lados y el
ángulo entre ellos.
Caso 5 (LLL) se conocen las medidas de los tres lados.
Observa la figura
Resuelvelossiguientestriángulos
Actividad 1
Para resolver los casos 4 y 5 se utiliza la ley de los cosenos
que se enuncia asi:
Luego, si ABC es un triángulo con lados de longitudes a,
b y c y ángulos opuestos α , β, γ , entonces por la ley de
los cosenos se cumple:
b = 141.01
Bα = 13° β = 65°
c = 152.19
102°
C
a = 35
A
A
C
45˚ 28˚
45˚
120 m
B
45˚ 28˚ 50˚
34˚
40 cm
C
BA
c
sen
sen
=
°
°
=
35 102
13
15219
( )
. Despejando c y sustituyendo valores.
Luego, el triángulo resuelto te queda así:
Ley de los cosenos
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α
b2
= a2
+ c2
– 2ac cos β
c2
= a2
+ b2
– 2ab cos γ
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es
igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos menos el doble producto de estos por el
coseno del ángulo que forman.
Observa que hay tres
versiones de la ley de los
cosenos. Cada versión
simplemente replantea
la ley de modo que
se utilicen distintos
elementos del triángulo.
a) b)
c
A
B
Cb
a
γ
β
α

UNIDAD 3
Ejemplo 4
Si b = 14.7, c = 9.3 y α = 46.3°, resolver el triángulo.
Solución:
La tabla de datos es:
Este tipo de problema es el caso 3 (LAL).
Debido a que conoces la medida del ángulo α , primero utilizas la ley de los cosenos
para encontrar la longitud del lado a.
Lados Angulos
a = ? α = 46.3º
b = 14.7 β = ?
c = 9.3 γ = ?
Aplica nuevamente la ley de los cosenos para encontrar la medida del ángulo β.
b a c ac
ac a c b
2 2 2
2 2 2
2
2
= + −
= + −
cos ,
cos ,
cos
β
β
ββ =
+ −a c b
ac
2 2 2
2
cos
. . .
. .
c
( ) ( ) ( )
( )( )
β =
+107 93 147
2 107 93
2 2 2
−
oos
. . .
.
cos
β
β
=
+11449 8649 21609
19902
−
== −
= =
007592201793
94354201 9435
.
. . ºβ
Sabes que α = 46.3º,de modo que
γ = 180º – (46.3º + 94.35º) = 39.35°.Luego la tabla
de datos completa te queda así:
a b c bc2 2 2
2 Ley= + – cos α ddeloscosenos
( ) ( ) ( )= +147 93 2 1472 2
. . – . (( ) ( º) Sust93 463. cos . iituyendolosvaloresdados
= +2609 8649. . ( ) Efectuand– . .27342 06908824 oooperación
= +21609 8649 18890107. . – . Efectuandooperación
= 1136. 77893 Efectuandooperación
a = 11066. Extrayendolaaraízcuadrada
Sustituyendo
los datos
Efectuando
operaciones
Efetuando la inversa
de seno para obtener
el ángulo
Lados Angulos
a = 10.67 α = 46.3º
b = 14.7 β = 94.35º
c = 9.3 γ = 39.35º
b = 14.70
B
46.3=α β
c = 9.30
a
A
γ
C

UNIDAD 3
a = 573 γ b = 347
B A
C
c
a = 573 m; b = 347 m; γ = 106.63º. Éste es un problema
del tipo LAL. Quieres encontrar c. Al aplicar la ley de los
cosenos tienes:
c2
= a2
+ b2
– 2ab cos γ
c2
= (573)2
+ (347)2
– 2(573) (347) cos (106.63°)
c2
= 562,544.93
c = 750
1. Resuelvecadatriángulotomandoencuentaloselementos
dados.
a) a=9.3,b=16.3,γ=42.3º
b) a=19.52,b=63.42,c=56.53
c) α=47.85°,b=29.43,c=36.52
2. Unbarcozarpaalmediodíaysedesplazahaciaelnortea21
km/h.Alas15hcambiadedireccióna37°noreste.¿Aqué
distanciadelpuertoestaráelbarcoalas19h?(Verfigura).
Actividad 2
Resumen
La ley de los senos: a
sen
b
sen
c
senα β γ
= =
Te es útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando conoces:
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Dos ángulos y el lado adyacente a ellos.
Dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.
La ley de los cosenos: a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α te sirve cuando
conoces:
Tres lados.
Dos lados y el ángulo que éstos forman.
Justifica y verifica las igualdades anteriores. Luego, la
distancia entre las torres mide 750 m.
63
84
d
19h
12h
15h 127˚
Ejemplo 5
Se necesita tender una línea de transmisión eléctrica
directamente sobre un pantano. La línea estará
sostenida por dos torres situadas en los puntos A y B,
según la figura. Un topógrafo encuentra que la distancia
de B a C es de 573 m; que la distancia de A a C es de
347 m, y que el ángulo mide 106.63°. ¿Cuál es la
distancia de la torre A a la torre B?
Solución:
b
c
γ
α β
a
d vt
d
d
d
d
=
=( )( )
=
=( )( )
=
1
1
2
2
21 3
63
21 4
km/h h
km
km/h h
884 km

UNIDAD 3
Autocomprobación
37º
30º
25 m
La trigonometría, del griego trígono (triángulo)
y metría (medición), fue creada inicialmente
para resolver triángulos rectángulos, y pronto
aumentó su aplicación y por tanto su desarrollo
como parte de la matemática.
Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol
como la araucaria, se determinan dos ángulos y
se aplica la ley correspondiente. En la ilustración
de la izquierda la altura del árbol puede
calcularse con una combinación apropiada de los
triángulos que se forman y las leyes del seno
y coseno.
1.c. 2.a. 3.a. 4.d. Soluciones

1 Consideraquedosdelosángulosdeuntriánguloson
57°y75°.Elladoopuestoa75°es175cm,¿cuálesel
ladoopuestoa57°?
a) 151.94cm c) 146.76cm
b) 201.55cm d) 157cm
4
Sienuntriánguloconocessustreslados,entoncesse
representaasí:
a) ALA b) LAL c) LLL d) AAL
3
Sidosladosdeuntriánguloformanunángulode35º,
ydichosladosmiden8my10m,respectivamente,
entonceselladoopuestoalángulosecalculacon
laexpresión:
a) 82
+102
+2(8)(10)(cos35°)
b) 82
–102
+2(8)(10)(cos35°)
c) 82
–102
–2(8)(10)(cos35°)
d) 82
+102
–2(8)(10)(cos35°)
Delassiguientes,laecuacióncorrectareferidaal
triánguloABCes:
a) b2
=a2
+c2
–2accosβ
b) c2
=a2
+b2
+2abcosγ
c) a2
=b2
–c2
+2bccos α
d) Todassoncorrectas
ALTURA DE UN ÁRBOL
2
b
C
γ
α β
a
A c B

Tercera Unidad
Motivación
Una forma sería graficarlos a escala en el plano
cartesiano y luego medir dicha distancia. Sin embargo,
el método no daría una medida con mucha precisión.
Ahora bien, si observas la figura, notarás que se ha
formado un triángulo rectángulo.
Determinarásyexplicarás,coninterés,elángulodeinclinacióndeuna
rectaysurelaciónconlapendientedelamisma.
Resolverásproblemasutilizandolafórmuladelapendientedeunarecta,
coninterésyseguridad.
Representarásgráficamenterectasparalelasy/operpendiculares,con
precisión,ordenyaseo.
Deducirásyexplicaráslaexpresiónmatemáticaquedenotaelparalelismo
y/operpendicularidad.
Utilizaráslaexpresiónmatemáticaquedenotaelparalelismoy/
perpendicularidadentredosrectasconprecisiónyconfianzaalresolver
ejercicios.
Deducirás,utilizarásyexplicarás,conseguridadyconfianza,lafórmula
paracalcularladistanciaentredospuntos.
Resolverásproblemasutilizandolafórmulaparacalcularladistanciaentre
dospuntos.
Determinarásylocalizarás,conprecisiónlascoordenadasdelpunto
mediodeunsegmentoderecta.
Resolverásproblemasutilizandolafórmulaparaelpuntomediodeun
segmentoderectaconprecisión.
Deducirás,utilizarásyexplicaráslapendientedeunarectaconseguridad
yconfianza.
¿Cómo encuentras la distancia entre los puntos
A (2,3) y B (6,5)?
Observa la figura.
Para resolver este tipo de situación, en esta lección
estudiarás la forma para encontrar la distancia entre
dos puntos del plano cartesiano.
Elementos de geometría analítica
Lección 3
Distancia entre dos puntos
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos”
A
B
Los catetos miden 6 – 2 = 4 y 5 – 3 = 2, respectivamente.
La distancia d = AB es la hipotenusa del triángulo.
Luego por Pitágoras.
d
d
d
2 2 2
2 2
2
6 2 5 3
6 2 5 3
4 2
= −( ) + −( )
= ( ) +( )
= ( ) +
− −
(( ) = =2
20 447.
y
x
6-2
5-3
A
B

UNIDAD 3
Como este procedimiento lo aplicas a cualquier par de
puntos, entonces la fórmula es:
Para encontrar la distancia entre dos puntos P y Q
a uno de los puntos le llamas (x1
, y1
) y al otro punto
le llamas (x2
, y2
)
Punto de apoyo
Ejemplo 1
Encuentra la distancia entre los puntos P( – 3, 3) y
Q( 5, – 2).
Solución:
La distancia entre dos puntos P1
(x1
, y1
) y P2
(x2
, y2
) es
P P d x x y y1 2 2 1
2
2 1
2
= = ( ) + ( )− −
Puedes ver que los números (x2
– x1
)2
y (y2
– y1
)2
siempre son positivos, ya que están elevados al cuadrado.
También puedes comprobar que PQ QP= , ya que
(x2
– x1
)2
= (x1
– x2
)2
y también (y2
– y1
)2
= (y1
– y2
)2
.
Esto te dice que cuando se emplea la fórmula de la
distancia entre dos puntos puedes tomar como punto
inicial (x1
– y1
) a cualquiera de ellos.
Ejemplo 2
Hallar la distancia entre los puntos (3, – 8) y ( – 6, 4).
Solución:
Como, d x x y y= −( ) + −( )2 1
2
2 1
2
al
sustituir las coordenadas de los puntos, obtienes,
= +( ) + ( ) = + = =3 6 8 4 81 144 225 152 2
− −
a) Graficaenelplanocartesianoeltriángulocuyosvérticesson
lospuntosA(–1,–3),B(6,1)yC(2,–7).
b) Encuentralalongituddecadaladodeltriángulodel
problemaanterior.
Actividad1
Punto medio de un segmento rectilíneo
Este es el triángulo ABC. Los puntos P, Q y M
son los puntos medios de sus lados AB, BC y CA,
respectivamente.
¿Qué nombre reciben los segmentos PC, QA y MB?
d x x y y
PQ d
= ( ) + ( )
= = ( )( )
2 1
2
2 1
2
5 3
− −
− −
22 2
2 2
2
2 3
5 3 5
8 5
+ ( )
= +( ) + ( )
= + ( )
− −
−
− 22
64 25
89 943
= +
= = .
C
P
BA
M Q
y
x
d
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
(x2, y1)
[x2 –x1]
[y2 –y1]
y
x
-3
-2
Q
P
3
5

UNIDAD 3
¿Cómo encuentras el punto medio, Pm
, del segmento de
recta AB?
Observa que las coordenadas del punto A son (1, 2) y las
de B son (5, 6).
¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Pm
?
Puedes ver que Pm
(3, 4). ¿Cómo calculas la abscisa Xm
de
Pm
? ¿Y cómo calculas la ordenada Ym
de Pm
?
Puedes ver que Xm
= 3, es el punto medio de XA
= 1 y
XB
= 5.
Xm =
+
=
1 5
2
3
Además, Ym
= 4, es el punto medio de YA
= 2 y YB
= 6
Ym =
+
=
2 6
2
4
En general, si los puntos A (XA
, YA
) y B (XB
, YB
) son
los extremos del segmento rectilíneo AB, entonces el
punto medio Pm
del segmento AB es Pm
(Xm
, Ym
), donde
X
X X
Y
Y Y
m
A B
m
A B
=
+
=
+
y
2 2
Ejemplo 3
Dados los puntos P(– 3, 4) y Q(2, – 5), encuentra el
punto medio del segmento PQ.
Solución:
XP
= – 3; XQ
= 2
Aplicando las fórmulas.
X
X X
m
P Q
=
+
=
− +
= −
2
3 2
2
1
2
Y
Y Y
m
P Q
=
+
=
+ ( )
= −
2
4 5
2
1
2
−
Luego, Pm − −
1
2
1
2
,




Encuentraelpuntomediodelsegmentocuyospuntos
extremosson:
a) R(–3,4)yS(7,–4)
b) T(5,–2)yU(–4,0)
Actividad 2
A(XA
,YA
)
PM(Xm
,Ym
)
B(XB
,YB
)
y
x
B
A
Pm
y
x
Q
P
-3 2
4
-5
Pm

UNIDAD 3
Rosita dice que la línea recta L1
está más inclinada que
L2
¿Y tú qué opinas?
Para comenzar, diremos que la inclinación de una recta
es la medida del ángulo que forma la recta con el eje
x medido en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj.
Como α es la inclinación de L1
y β es la inclinación de
L2
y α > β, Rosita tiene razón:
L1
está más inclinada que L2
.
Éstas son las inclinaciones de algunas rectas.
Se le llama pendiente de una recta, a la tangente de su
ángulo de inclinación. Es decir:
Pendiente = tangente de θ
Se denota: m = tan θ
Ejemplo 4
Calcular la pendiente de las siguientes rectas
L1
L2
α β
Pendiente de una recta
Inclinación de una recta
y
x
45˚
y
x
135˚
y
x
150˚
y
x30˚
y
x
θ
L
y
x
60˚
y
x
120˚
y
x
30˚

UNIDAD 3
Solución:
Para calcular la pendiente de una recta, solamente
encuentras mediante tu calculadora científica la
tangente de su ángulo de inclinación. Es decir:
a) m = tan 60º = 1.73
b) m = tan 120º = – 1.73
c) m = tan 30º = 0.58
Ejemplo 5
Dibuja dos rectas en las cuales no se cumple el hecho
que “a mayor inclinación, mayor pendiente”.
Solución:
Las respectivas pendientes de las rectas son:
tan 150º = – 0.58; tan 70º = 2.75
En este caso observas que la recta de mayor inclinación,
posee menor pendiente, ya que tiene pendiente negativa.
Ejemplo 6
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos
A( – 2, – 3) y B(3, 1).
m = tan θ
tan
cateto opuesto
cateto adyacente
θ =
Fíjate que el cateto opuesto es la línea punteada vertical.
Es decir: Cateto opuesto = 1 – ( – 3) = 4.
El cateto adyacente es la línea punteada horizontal.
Cateto adyacente = 3 – ( – 2) = 5.
tan .θ = =
4
5
08 Por lo que m = 0.8
En general, si P1
(X1
, Y1
) y P2
(X2
, Y2
) son dos puntos
de una recta, su pendiente m se calcula mediante la
siguiente expresión.
m = tan θ
m
cateto opuesto
cateto adyacente
=
Cateto opuesto = Y2
– Y1
Cateto adyacente X2
– X1
Luego, m
Y Y
X X
= 2 1
2 1
−
−
x
y
x
y
70°
150°
y
x
-2 -3
1
-3θ
5
4
y
x
P1
(x1
, y1
)
P2
(x2
, y2
)
y2
− y1
θ
θ

UNIDAD 3
Ejemplo 7
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos
A( 2, – 5 ) y B( – 4, 7 )?
Solución:
m
Y Y
X X
= = =
( )
tan θ 2 1
2 1
7 5
4 2
−
−
− −
− −
== = −
12
6
2
−
Observa que si restas de B hacia A obtienes el mismo
resultado:
m =
− −
− −( )
= = −
5 7
2 4
12
6
2
−
De los ejemplos anteriores concluyes que toda recta
inclinada a la izquierda, tiene una pendiente negativa. Si
está inclinada hacia la derecha, su pendiente es positiva.
Ejemplo 8
Una recta tiene una pendiente de – 2. ¿Cuál es la
inclinación de esa recta?
Solución:
m = tan θ = – 2, de modo que θ = tan–1
( – 2). θ es la
tangente inversa de – 2. En tu calculadora:
tan –1
( – 2) = – 63.4349º. Para obtener la inclinación es
necesario sumar 180º, ya que ésta debe quedar entre 0º
y 180º: θ = – 63.43º + 180º = 116.57º
Siempre que θ > 90º la pendiente es negativa.
Observa la inclinación de las rectas a la derecha. Puedes
ver que la inclinación de L3
es 0º, mientras que L4
tiene
una inclinación de 90º. Encuentra la pendiente de L3
y L4
.
La pendiente de una recta horizontal es cero y de una
vertical es indefinida (∞).
L3
L4
y
x
y
x
Rectas con pendiente negativa
Rectas con pendiente positiva
y
x
7
2
-5
-4
y
x
θ=180˚-63.43=116.57
-63.43

UNIDAD 3
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Si dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinación,
de modo que las rectas paralelas tienen la misma
pendiente.
1. Calculalapendientedeunarectasi:
a) Suinclinaciónes45º
b) Pasapor(–8,–4)y(5,9)
2. Encuentralainclinacióndelarectadelliteralb) delnumeral
anterior.
3. Demuestragráficamenteyaplicandoelconceptode
pendiente,quelospuntos
A(8,6),B(4,8)yC(2,4)sonlosvérticesdeun
triángulorectángulo.
Actividad 3Si dos rectas son perpendiculares, se cortan formando
un ángulo de 90º, esto significa que sus inclinaciones
deben diferir en 90º.
También significa que sus pendientes tienen signos
diferentes.
Resumen
La distancia entre los puntos A(X1
, Y1
) y B(X2
, Y2
)
es X X Y Y2 1
2
2 1
2
- -( ) + ( )
Se le llama ángulo de inclinación o inclinación
de una recta, al ángulo que, medido en un
sentido contrario al movimiento de las agujas
del reloj, forma la recta con el eje x.
Pendiente de una recta es la tangente del ángulo
de inclinación de ésta: m = tan θ .
Dos rectas son paralelas si tienen la misma
pendiente (m1
= m2
) y son perpendiculares si
la pendiente de una es igual a la inversa de la
pendiente de la otra con signo contrario.
( m1
m2
= – 1 )
En general, si dos rectas son perpendiculares, el
producto de sus pendientes es –1.
Ejemplo 9
Determina la pendiente de la recta que pasa por A( 2, 3)
y B( 7, 5), e investiga si es paralela a la recta que pasa por
C( – 1, 4 ) y D( 4, 6 ).
Solución:
La pendiente de la recta que pasa por A y B es
mAB =
−
−
=
5 3
7 2
2
5
La pendiente de la recta que pasa por C y D es
mCD =
( )
=
6 4
4 1
2
5
−
− −
Como mAB
= mCD
, ambas rectas son paralelas.
Ejemplo 10
Averigua si la recta que determina los puntos P(3, 5) y
Q( – 2, 3) es perpendicular a la recta que pasa por los
puntos D(2, – 1) y F( – 4, 14).
Solución:
mPQ =
−
− −
=
−
−
=
3 5
2 3
2
5
2
5
mDF =
− ( )
− −
=
−
=
14 1
4 2
15
6
5
2
−
−
m
m
DF
PQ
= −
1
las rectas son perpendiculares.
Se cumple que
2
5
5
2
1−



 = −
L1
L2
m1=m2
m1=
L1
L2
m2
1
L1
L2
m1=m2
m1=
L1
L2
m2
1

UNIDAD 3
Autocomprobación
Los griegos eran grandes geómetras. Sin
embargo sus conocimientos de álgebra fueron
limitados. Esto hizo que no pudieran resolver
muchos problemas geométricos. Fue hasta
el año 1600 que Fermat y Descartes unieron
ambas ramas de la matemática: la madura
geometría y la naciente álgebra. A dicha unión se
le llamo geometría analítica o
geometría coordenada.
Uno de los ejes principales de la geometría
analítica lo constituye el sistema de coordenadas
cartesianas, sistema coordenado o
plano cartesiano.

1.d. 2.d. 3.c. 4.d. Soluciones
Lapendientedeunarectaes–2.Lapendientede
otrarectaperpendicularaellaes:
a) 2
b) −
1
2
c) −
2
1
d)
1
2
4
Lapendientedeunarectacuyainclinación
es30º,es:
a) tan30º
b) 0.58
c) 0.87
d) aybsoncorrectas
2
Lainclinacióndeunarectaconpendienteiguala1
es:
a) 30º
b) 60º
c) 45º
d) 90º
3 LadistanciaentrelospuntosA(–3,4)y
B(1,–5)es:
a) 1 3 5 42 2
+( ) +( )− −
b) 1 3 5 42 2
+( ) ( )− − −
c) − − + +3 1 4 52 2
( ) ( )
d) aycsoncorrectas
1
BASE DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tercera Unidad
Motivación
Ahora, dibuja la recta con pendiente
2
3
y que pasa por
el punto P( 4, 3 ).
Puedes ver que la recta L satisface las condiciones
anteriores: pasa por el punto P( 4, 3 ) y su pendiente es
2
3
. ¿Cuántas rectas cumplen estas condiciones?
Puedes ver que en cada una de las tres rectas, tienes:
m
y y
x x
= =2 1
2 1
2
3
-
-
¿Cuántas rectas con pendientes
2
3
existen? Observarás que existen un número infinito de
rectas con m =
2
3
.
Construirás,utilizarásyexplicaráslaecuacióngeneraldeunarecta,
valorandosuutilidad.
Construiráslagráficadeunarectaapartirdecualquieradesusformas,
valorandosuutilidadconseguridad,ordenylimpieza.
Deducirás,aplicarásyexplicaráslafórmulaparacalcularladistanciadeun
puntoaunarectaconconfianza.
Identificarásyseleccionarásconseguridad,loselementosquedefinena
unalínearecta.
Construirás,utilizarásyexplicaráslaecuacióndeunarecta:punto
pendiente,valorandosuutilidad.
Construirás,utilizarásyexplicaráslaecuacióndeunarecta:pendiente
intercepto,valorandosuutilidad.
Construirás,utilizarásyexplicaráslaecuaciónsimétricadeunarecta,
valorandosuutilidad.
Laura trabaja de Chef en un hotel, observa que
en una receta de cocina la temperatura es de 120º
Celsius y quiere convertirla a grados Farenheit ya que
su cocina presenta esta escala.
Los datos que ella ha conseguido son: 0º C equivalen
a 32º F y 100ºC equivalen a 212º F.
Ayudale a Laura a resolver la situación.
La línea recta
Lección 4
L1
y
x
L2
L3 Δ x = 3
Δ y = 2
x2 - x1 = 3
y2 - y1 = 2
Δ y = 2
Δ x = 3
y
x
L
P
4
3

UNIDAD 3
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto
( – 5, 4 ), si su pendiente es 3
5
.
Solución:
Sea el punto Q( – 5, 4 ) que pertenece a la recta; P(x, y)
un punto cualquiera de la misma recta.
Recuerda:
y y
x x
m2 1
2 1
−
−
=
La pendiente de la recta L es:
y
x
−
=
4
5
3
5− −( )
Despejando y – 4:
y – 4=
3
5
(x – ( – 5))
y – 4 =
3
5
(x + 5)
Sean los puntos de una recta L: Q(x1
, y1
), P(x, y) un
punto arbitrario de ella. Su pendiente es:
y y
x x
−
−
1
1
de aquí obtienes la ecuación punto pendiente que se
escribe así: y – y1
= m( x – x1
).
Ejemplo 2
Determina la ecuación punto pendiente de la recta:
1. Que pasa por ( – 3, 4) y m = −
2
5
Solución:
Como y y m x x− = −( )1 es la ecuación
Entonces y x− = − − −( )( )4
2
5
3
sustituyendo ( –3, 4 ) y m = −
2
5
Luego, y x− = − +( )4
2
5
3 es la ecuación de la
línea recta.
2. Que pasa por (2, – 6) y m = – 1
Solución:
y y m x x
y x
y
− = −( )
− −( ) = − −( )
+ = −
1 1
6 1 2
6 xx
y
y x
Sidespejas" "obtienes:
−( )
= − + −
2
2 66
4y x= − −
El ejemplo anterior te muestra que si conoces un punto y
la pendiente de una recta, ésta queda definida.
y
x
Q
L
-5
4
P(x, y)
-10
y
x
2
-6

UNIDAD 3
Ejemplo 3
En cada una de las siguientes rectas, determina un punto
y el valor de su pendiente.
y – 3 = 2 (x – 4)
Solución:
Si y – y1
= m (x – x1
), entonces m = 2 es la pendiente;
( 4, 3 ) es un punto de ella.
y + 3 = – 2 ( x + 5 )
Solución:
m = – 2 es la pendiente y ( – 5, – 3 ) es un punto de
la recta.
a) Copiaycompletaelcuadrosiguiente:
Actividad 1
Ejemplo 4
Determina la ecuación de la recta que pasa por los
puntos A( – 3, 2) y B(4, – 1)
Solución:
Con ambos puntos determinamos su pendiente.
m
y y
x x
=
−
−
=
− −
− −
=
− −2 1
2 1
1 2
4 3
1 2
( ) 44 3
3
7+
= −
Con A: y x− = − +( )2
3
7
3
Ecuación de la recta Punto de
la recta
Pendiente
de m
y x− = +( )5
2
3
4
( –2, 1 ) −
1
2
y + 2 = –( x + 3 )
( 0, 3 ) 1
y – 4 = x
Ahora, ya puedes ayudar a Laura a resolver la situación
presentada al inicio de esta lección.
Con B: y x+ = − −( )1
3
7
4
Si tienes n puntos de una recta, puedes formar n
ecuaciones de ella, todas son equivalentes. Es decir
representan a la misma recta.
¿Cómo demuestras que las ecuaciones anteriores
son equivalentes? Una forma es despejar “y” en cada
ecuación. De esta forma llegas a expresiones iguales para
“y”. ¡Hazlo en tu cuaderno!
Tomando los puntos A(0, 32) y B(100, 212) con los
grados Celsius en el eje x y los Farenheit en el eje y.
Se tiene que:
m
y y
x x
=
−
−
=
−
−
= =2 1
2 1
212 32
100 0
180
100
9
5
Luego: y x
y x
− =
= +
32
9
5
9
5
32
Así, para 120º Celsius y = ( ) + =
9
5
120 32 248
Es decir, 120º Celsius equivalen a 248º Farenheit.
F
C
(0,32)
212
100
(100, 212)
32

UNIDAD 3
Ecuación pendiente intersecto de la
línea recta
1. Encuentralaecuaciónpuntopendientedelarectaque
pasapor:
a) P(2,–3)yQ(–1,–4)
b) R(–1,–4)yS(3,–4)
2. ¿Cómocompruebassiunpuntodeterminadopertenece
aunarectacuyaecuaciónesconocida?Compruebaque
elpunto(1,–7)pertenecealarectay–3=–2(x+4).Para
ello,sustituyeslavariablexpor1,ylavariableypor–7.La
igualdadqueresultedebesercierta.Encasocontrario,el
puntonopertenecealarecta.
y
x
0
-2
3
El valor 3 te da el intersecto de la recta con el eje y.
y x= +
3
2
3
Pendiente Intersecto
en y
El valor de b; es aquél en que la recta corta al eje y se le
llama ordenada en el origen.
Ejemplo 5
Halla la ecuación de la recta si su intersecto en y
u ordenada en el origen es b = 4 y su pendiente es
m = −
3
5
Solución:
Sustituye los valores de m y b en la ecuación y = mx + b.
y x= − +
3
5
4 es la ecuación de la recta.
¿Qué elementos conoces de esta recta? ¿Cuál es su
ecuación punto pendiente?
Observa que dos puntos de la recta son
A( 0, 3 ) y B( – 2, 0). Tienes:
m =
−
− −
=
−
−
=
0 3
2 0
3
2
3
2
Luego, con el punto A:
y x− = −( )3
3
2
0
y x− =3
3
2
Efectuas x – 0 = x
y x= +
3
2
3 Despejas y
Hazlo tú con el punto B.
Observa esta última ecuación. ¿Qué elementos de la
recta contiene?
Observa que
3
2
es la pendiente de la recta.
Actividad2

UNIDAD 3
Ejemplo 6
Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la
recta 2x + y – 5 = 0.
Solución:
Primero despeja “y” de la ecuación dada:
2x + y – 5 = 0
y = – 2x + 5 Ecuación pendiente intersecto
Luego, m = – 2 y b = 5
Ejemplo 7
Encuentra la ecuación pendiente intersecto de la recta
que pasa por (2, – 3) si m =
2
3
Solución:
La ecuación punto pendiente es: y x+ = −( )3
2
3
2
Ahora en tu cuaderno despeja la variable y.
Al hacerlo llegas a la ecuación y x= −
2
3
13
3
1. Escribelaecuaciónpendienteintersectodelalínearectaen
cadacaso.
a) m=–2,b=4
b) m =
1
2
,b=–3
c) m = −
3
4
,b=2
2. Determinaelvalordelapendienteyelintersectoenyen
cadacaso.
a) y=2x–5
b) y x= − +
3
4
2
c) y x= −
1
2
5
Actividad 3
Ecuación general de la línea recta
La siguiente expresión muestra la ecuación punto
pendiente de una recta.
y x− = −( )3
2
5
4 multiplicas por 5 para eliminar
el denominador
5y – 15 = 2(x – 4) multiplicas para eliminar los
paréntesis
5y – 15 = 2x – 8 traspones términos para igualar
a cero
– 2x + 5y – 15 + 8 = 0 reduces términos semejantes
– 2x + 5y – 7 = 0 multiplicas por –1 para que el
primer término sea positivo
2x – 5y + 7 = 0 Ecuación general de la línea
recta.
Esta última ecuación de la línea recta, recibe el nombre
de ecuación general. Puedes ver que: La ecuacioón
general de la línea recta es de la forma Ax + By + C = 0.

UNIDAD 3
Ahora, observa las ecuaciones:
y x− = −( )3
2
5
4 Ecuación punto pendiente.
2x – 5y + 7 = 0 Ecuación general.
Son dos formas de definir la misma recta. Supón ahora
que estamos interesados en determinar el valor de su
pendiente. En la primera de las ecuaciones por simple
inspección hallas que m =
2
5
Para encontrarla en 2x – 5y + 7 = 0, tendremos:
m == −
−
2
5
2
5
Concluyes entonces que en la ecuación general de la
recta Ax + By + C = 0, para determinar la pendiente,
lo haces así:m
A
B
= −
Ejemplo 8
Determina la ecuación general de la recta que pasa por
( – 2, 6) si m =
3
4
Solución:
Encuentras la ecuación punto pendiente.
y x− = +( )6
3
4
2 multiplicas por 4
4y – 24 = 3(x + 2) eliminas paréntesis
4y – 24 = 3x + 6 traspones términos
– 3x + 4y – 24 – 6 = 0 reduces términos semejantes
– 3x + 4y – 30 = 0 multiplicas por – 1
3x – 4y + 30 = 0 Ecuación general de la
línea recta
En la ecuación general de la recta puedes observar que la
pendiente m es igual a −
A
B
, o sea, m = −
−
=
3
4
3
4

UNIDAD 3
Calcula la distancia del punto R(2, 1) a la recta
2x – y + 5 = 0.
Para encontrar la distancia del punto P(r, s) a la recta
Ax + By + C = 0, utilizas la fórmula siguiente:
d
Ar Bs C
A B
=
+ +
+2 2
Solución:
A = 2, B = –1 y C = 5.
Además r = 2 y s = 1, sustituyes estos valores en la fórmula:
d
Ar Bs C
A B
=
+ +
+
=
( ) + −( )( ) +
+ −(2 2 2
2 2 1 1 5
2 1))
= =2
8
5
358.
Grafica en tu cuaderno el punto y la recta y luego mide la distancia entre ellos.
Compara tu respuesta con la anterior.
1. Determinalaecuacióngeneraldelarecta:
a) Sim=–1ypasapor(–2,3) b) Sim=1ysuordenadaenelorigenes–2
2. CalculaladistanciadelpuntoS(–3,2)alarecta3x–4y+2=0
Actividad 4
Resumen
Ecuaciones de la línea recta:
Ecuación punto pendiente y – y1
= m (x – x1
)
Ecuación pendiente intersecto y = mx + b
Ecuación general Ax + By + C = 0
Una línea recta queda definida cuando conoces un punto y su pendiente, o su pendiente y su intersecto con
el eje y (ordenada en el origen). Las cuales puedes pasarlas a la forma
Ax + By + C = 0.
Para calcular la distancia del punto R(r, s) a la recta Ax + By + C = 0 aplicas la fórmula.
d
Ar Bs C
A B
=
+ +
+2 2
Distancia de un punto a una recta
y
x
(r, s)
d

UNIDAD 3
Autocomprobación
El concepto de sistema coordenado que
caracteriza a la geometría analítica fue aplicado
por primera vez en 1637 por el matemático
y filósofo francés René Descartes. Por ello,
la geometría analítica se llama también
geometría cartesiana. Por el papel unificador
de la geometría analítica en diversas ramas
de la matemática, el aporte de Descartes
representa uno de los pilares del desarrollo
de la matemática. En el inicio, las dos ramas
de la matemática que fueron objeto de esta
unificación, fueron el álgebra, por su nivel de
representación abstracta y la
geometría euclídea.
Soluciones

1.c. 2.a. 3.b. 4.d.
Lapendientedelarectay=–2x+5es:
a) 2
b) –5
c) 5
d) –2
4 Elnúmeroderectasquepasanporelpunto
(–3,4)ypendiente2es:
a) 1
b) 4
c) infinito
d) 2
2
Laecuacióndelarectacuyapendientees-1yque
pasapor(3,–4)es:
a) y+4=–1(x+3)
b) y+4=–1(x–3)
c) y–3=–1(x+4)
d) y–4=–1(x+3)
3 Elnúmeroderectasconpendiente-1esiguala:
a) 1
b) 10
c) infinito
d) 0
1
RENÉ DESCARTES
René Descartes

Tercera Unidad
Motivación
La circunferencia pertenece a un conjunto de figuras
llamadas cónicas. Éstas reciben dicho nombre debido
a que resultan al efectuar determinados cortes en el
cono. Por ejemplo, ¿qué figura resulta al hacer un corte
paralelo a la base?
Construirás,conseguridadyesmero,laecuacióngeneraldela
circunferenciautilizandoelcentro,elradioyunpunto.
Resolverásproblemasaplicandoconinteréslaecuaciónordinariay
generaldelacircunferencia.
Identificarásloselementosdeunacircunferencia,coninterésen
suconstrucción.
Construiráslaecuaciónordinariadelacircunferencia,conseguridad.
Determinarás,coninterésyseguridad,laecuaciónordinariadela
circunferenciautilizando,elcentro,elradioyunpunto.
La organización de planta circular en la arquitectura
clásica se encuentra presente en templos, circos y
anfiteatros. Esta predilección por su uso para espacios
públicos que congregan grandes multitudes continúa
debido, entre otros aspectos, a la equisdistancia de
las visuales que se generan al interior de la forma
circular. Sin embargo, hoy día las formas y plantas
circulares se encuentran con frecuencia en todo tipo
de edificaciones tanto de uso privado como público.
¿Cuáles construcciones en tu comunidad presentan
formas circulares?
La circunferencia
Lección 5

UNIDAD 3
Ejemplo 1
¿Cuál es el radio de las siguientes circunferencias?
a) x2
+ y2
= 16 b) x2
+ y2
= 49 c) x2
+ y2
= 25
Solución:
a) Como x2
+ y2
= 16, r2
=16 y r = 4; el radio es 4
b) Como x2
+ y2
= 49, r2
= 49 y r = 7; el radio es 7
c) Como x2
+ y2
= 25, r2
= 25 y r = 5; el radio es 5
Ecuación ordinaria de la circunferencia
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?
¿Cómo es la distancia que va desde el centro de la
circunferencia a cualquiera de sus puntos?
¿Cómo se le llama a esa distancia?
Recordarás que esa distancia es constante y se llama
radio, al cual denotas por r. En este caso, r = 3.
Ecuación canónica de
la circunferencia
Punto de Apoyo
Recuerda que: La distancia entre el punto (x, y) y
(a, b) es: ( ) ( )x a y b− + −2 2
Como OP = r = 3, entonces, al aplicar la fórmula de la
distancia entre dos puntos O(0, 0) y P(x, y), tienes:
( - ) ( - )x y0 0 32 2
+ =
x y2 2
3+ = ya que x – 0 = x; y – 0 = y
x y2 2
2
2
3+( ) = Elevando al cuadrado y efectuando
tienes x2
+ y2
= 9
Esta expresión se llama ecuación canónica de la
circunferencia con r = 3.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro
en el origen y radio igual a cinco? En este caso, ésta es
x2
+ y2
= 52
; o sea, x2
+ y2
= 25.
En general, si una circunferencia de radio r tiene su
centro en O(0, 0), su ecuación se llama canónica, y se
obtiene a partir de la distancia entre dos puntos (0, 0);
(x, y) para lo cual obtienes:
r x y= +( - ) ( - )0 02 2
La distancia es r
r x y= +2 2
Efectuando las restas
r x y2 2 2
= + Elevando al cuadrado
x2
+ y2
= r2
Ecuación Canónica de la
Circunferencia
Observa que en este caso, su centro C (3, 4) no coincide
con el origen O(0, 0).
Como en el caso de la forma canónica de la
circunferencia, vamos a calcular la distancia CP = r,
donde C es su centro y P(x, y) es un punto variable de
ella. Tienes:
( ) ( )x y− −3 4 52 2
+ = CP = r = 5
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 52
Elevado al cuadrado
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 25 Efectuado 52
= 25
0
r=3
x
y
P(x,y)
x
y
3
4
C

UNIDAD 3
Por lo tanto la ecuación de la circunferencia es
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 25
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(1, 2) y radio r = 3
Solución:
( - ) ( - )x y1 2 32 2
+ = CP = r = 3
(x – 1)2
+ (y – 2)2
= 32
Elevando al cuadrado
(x – 1)2
+ (y – 2)2
= 9 Efectuando 32
= 9
En general, en una circunferencia de radio r y centro C ( h, k ),
su ecuación ordinaria es: ( x – h )2
+ (y – k)2
= r2
Ejemplo 3
Dibuja la circunferencia con centro en ( – 2, 4 ) y radio 7 y halla su ecuación.
Solución:
y
x
-10 -8 -6 -4 -2 2 4
10
8
4
2
-2
-4
6
(-2,4)
r=7
(x, y)

UNIDAD 3
Solución:
El radio r de la circunferencia es CP. Luego, por la
fórmula de la distancia entre dos puntos:
r = + +( ) ( )5 1 2 42 2
− −
r = + = =36 36 72 6 2
La ecuación es:
x y−( ) + +( ) = ( )5 2 6 22 2 2
(x – 5)2
+ (y + 2)2
= 72, ya que 6 2 72
2 2
( ) = ( )
La ecuación de la circunferencia es:
(x – 5)2
+ (y + 2)2
= 72
Ejemplo 5
Encuentra la ecuación de la circunferencia tal que uno
de sus diámetros es el segmento que une los puntos
Q(5, – 1) y P(– 3, 7).
Solución:
y
x
-1
5
Q
C
-3
P 7
Como P( – 3, 7 ) y Q( 5, – 1 ) son los extremos de un
diámetro, las coordenadas del centro C, por la fórmula
del punto medio que ya estudiaste, son:
h =
+
=
5 3
2
1
( )−
k =
+
=
7 1
2
3
( )−
Luego, el centro es C( 1, 3 )
El radio es la distancia entre el centro C y uno de los
puntos P o Q. Luego, calculas la distancia CQ = r:
r = + =( ) ( )5 1 1 3 322 2
− − −
La ecuación es ( x – 1 )2
+ ( y – 3 )2
= 32
Nota que en la ecuación (x – h)2
+ (y – k)2
= r 2
las
coordenadas del centro son (h, k): En la ecuación
aparecen con signo contrario.
Debido a que el centro está en ( – 2, 4 ), tienes h = – 2 y
k = 4, y como el radio es 7, entonces r = 7.
Por tanto,
( x – h )2
+ ( y – k )2
= r2
[x –( – 2 )]2
+ ( y – 4 )2
= 72
( x + 2 )2
+ ( y – 4)2
= 49
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro
C( 5, – 2 ) y que pase por el punto ( – 1, 4 ).
y
x
-2
5
4
-1
C
P

UNIDAD 3
1. Dibujalassiguientescircunferenciasconcentroenelorigeny
encuentrasuecuaciónsi:
a) r=1
b) r=2
c) r=3
2. Dibujalassiguientescircunferenciasconcentroyradio
dadosyencuentrasuecuaciónordinaria.
a) C(3,–1),r=2
b) C(–2,2),r=3
c) C(2,6),r=4
3. Encuentralascoordenadasdelcentroyelvalordelradiode
lassiguientescircunferencias:
a) (x–3)2
+(y+4)2
=9
b) (x–7)2
+(y+5)2
=25
c) (x+3)2
+y2
=121
Actividad1
Ecuación general de la circunferencia
Ejemplo 6
Encuentra la ecuación general de la circunferencia
( x – 3 )2
+ ( y + 5 )2
= 7
Solución:
( x – 3 )2
+ ( y + 5 )2
= 7 ecuación ordinaria
x2
– 6x + 9 + y2
+ 10y + 25 = 7 desarrollando
binomios
al cuadrado
x2
– 6x + 9 + y2
+ 10y + 25 – 7 = 0 transponiendo a 7
x2
– 6x + y2
+ 10y + 9 + 25 – 7 = 0 ordenando términos
x2
– 6x + y2
+ 10y + 27 = 0 reduciendo
términos
semejantes
x2
+ y2
– 6x + 10y + 27 = 0
Esta última expresión recibe el nombre de ecuación
general de la circunferencia.
Si desarrollas la forma general de la ecuación ordinaria
de la circunferencia obtienes:
( x – h )2
+ ( y – k )2
= r2
x2
– 2hx + h2
+ y2
– 2ky + k2
= r2
x2
– 2hx + h2
+ y2
– 2ky + k2
– r2
= 0
Debido a que h2
, k2
y r2
son constantes, hacemos
h2
+ k2
– r2
= F.
Si haces que las constantes – 2h = D; – 2k = E, entonces
la ecuación general de la circunferencia se escribe así:
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0.
¿Cuáles son los valores de D, E y F en la ecuación
anterior?

UNIDAD 3
Solución
Para convertir la ecuación a la forma ordinaria, necesitas
completar el trinomio cuadrado perfecto. Primero,
escribes la constante en el miembro derecho y agrupas
los términos que contienen a x; luego, agrupas los que
contienen a y.
Los símbolos O y F te indicarán las constantes que faltan
y que debes determinar para completar el trinomio
cuadrado perfecto.
x2
+ y2
+ 4x – 8y + 4 = 0 ecuación
(x2
+ 4x + O) + (y2
– 8y + F) = – 4 + O + F
agrupando términos en x y términos en y y
transponiendo a 4.
El coeficiente del término x es 4. Si le sacas mitad y
lo elevas al cuadrado, puedes sumar el resultado, 4, a
ambos miembros de la ecuación. De manera semejante,
la mitad de – 8 es – 4, y también sumas ( – 4 )2
= 16 a
ambos miembros de la ecuación. Por lo tanto, ésta se
convierte en:
( x2
+ 4x + 4 ) + ( y2
– 8y + 16 ) = –4 + 4 + 16
Haz completado el trinomio cuadrado perfecto.
( x + 2 )2
+ ( y – 4 )2
= 16 Factorizando trinomios
cuadrado perfectos y reduciendo términos semejantes.
Luego, como 16 = 42
, el radio es 4 y el centro ( –2, 4 )
Ejemplo 8
Escribe la ecuación 4x2
+ 4y2
– 8x – 24y – 9 = 0 en la
forma ordinaria y determina el centro y el radio.
Solución:
De nuevo completas el trinomio cuadrado perfecto.
Primero pasas la constante al miembro derecho y
agrupas los términos en x, y en y.
4x2
– 8x + 4y2
– 24y = 9
Luego, factorizas el 4 de los términos en x, y de los
términos en y.
4( x2
– 2x ) + 4( y2
– 6y ) = 9
Ahora, utilizamos un para indicar las constantes que
faltan. Observa que al miembro derecho de la ecuación
se añadieron 4 para mostrar donde es necesario
escribir las constantes.
4(x2
– 2x + ) + 4( y2
– 6y + ) = 9 + 4 +4
4( x2
– 2x + 1 ) + 4( y2
– 6y + 9 ) = 9 + 4(1) + 4(9)
4( x –1 )2
+ 4( y – 3 )2
= 49
Factorizas los trinomios cuadrados perfectos.
x y−( ) + −( ) =1 3
49
4
2 2
divides entre 4.
El centro es (1, 3) y el radio es r = =
49
4
7
2
Aunque hubiera sido posible empezar dividiendo
entre 4 toda la ecuación esperas hasta el final para no
trabajar con tantas fracciones. El procedimiento anterior
se utilizará también en las elipses e hipérbolas que
estudiarás en las siguientes lecciones.
DeterminalascoordenadasdelcentroCyelradiodelas
siguientescircunferencias.
a) x2
+y2
+4x–6y+4=0
b) x2
+y2
–6x+2y–26=0
c) x2
+y2
–10x+2y+22=0
d) x2
+y2
–x+8y+
61
4
=0
Actividad2
Ejemplo 7
Si x2
+ y2
+ 4x – 8y + 4 = 0, determina la ecuación
ordinaria de la circunferencia y encuentra el centro y
el radio.

UNIDAD 3
Problemas que consideran la tangente de la circunferencia
a) DibujayencuentralaecuacióndelacircunferenciacuyocentroeselpuntoP(–4,3)yquees
tangentealejey.
Actividad 3
Resumen
La forma más simple de la circunferencia es cuando su centro coincide con el
origen O(0,0) del sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, su ecuación
es x2
+ y2
= r2
, la cual se llama canónica. Si el centro de la circunferencia es
C( h, k ) y éste no coincide con el origen, su ecuación es de la forma
( x – h )2
+ (y – k)2
= r2
, y se llama ecuación ordinaria. La ecuación general de
la circunferencia es de la forma x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F son
constantes, no todas diferentes de cero. La ecuación ordinaria puede convertirse
a la ecuación general, y viceversa.
Llamamos tangente de una circunferencia
a la recta que la toca en un sólo punto.
Una propiedad de la tangente es que ésta
es perpendicular al radio en el punto de
tangente, como lo muestra la ilustración de
la derecha.
Ejemplo 9
Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P( – 2, 3 ), si es
tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0.
Solución:
Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, entonces su
longitud está dada por la distancia entre la tangente y el centro, como se aprecia en el
diagrama anterior. Luego:
r
r
=
− + − −
+ −
=
− − −
20 2 21 3 42
20 21
40 63 42
8
2 2
( ) ( )( )
( )
441
145
29
5= =
Entonces, la ecuación de la circunferencia es: x y+( ) + −( ) =2 3 252 2
x
y
3
-2
C(-2,3)
20x −21y−42= 0

UNIDAD 3
Autocomprobación

Latangenteaunacircunferenciaesperpendicular
enelpuntodetangenciaa:
a) Elradio
b) Sucurvatura
c) Sucentro
d) Ningunadelasanteriores
4 Elradiodelacircunferencia
(x–3)2
+(x+5)2
=16es:
a) 16
b) 8
c) 2
d) 4
2
Lascoordenadasdelcentrodelacircunferencia
delnumeralanteriores:
a) (3,5)
b) (3,–5)
c) (–3,5)
d) (4,16)
3 Laecuacióndelacircunferenciaderadio1ycentro
enelorigenes:
a) x2
+y2
=0
b) x+y=1
c) x2
+y2
=1
d) todaslasanteriores
1
Al desarmar el motor de un automóvil o de un
reloj se hallan una gran cantidad de piezas de
forma circular. El conocimiento de la utilidad del
círculo por el hombre primitivo fue un factor
fundamental en el desarrollo de la humanidad.
Además, la naturaleza ofrece infinidad de
ejemplos de circunferencias y círculos. Así, la
sección transversal de la tierra es circular, como
también los tallos de las plantas. Por ejemplo,
la nervadura de las haces fibro leñosos en el
reverso de la hoja circular del nenúfar gigante
del Amazonas es circular y forma una gran
variedad de arcos y ángulos.
Soluciones1.c. 2.d. 3.b. 4.a.
APLICANDO LA CIRCUNFERENCIA

Lección 1
Actividad 1: 1. Debido a que cada distribución posee su propia desviación estándar
3. a) El 68% está entre 500+ 1(10), o sea, entre 490 y 510
b) El 95% está entre 500+ 2(10); o sea, entre 480 y 520
c) casi el 100% está entre 500+ 3(10), o sea, entre 470 y 530
4. a) El 68.27% b) El 95.48% c) Prácticamente el 100%
Actividad 2: a) z = =
1225 1000
100
225
-
. b) z = = −
775 1000
100
225
-
.
Actividad 3: a) Al estandarizar resultan los valores z1
= 0 y z2
= 1.64. El área entre
ellos es 0.4495, valor obtenido mediante la tabla.
b) El área para valores mayores que 1.64 es 0.5000 – 0.4495 = 0.0505.
Lección 2:
Actividad 1: a) Conviene calcular primero el valor del ángulo gamma:
γ = 180º – ( 45º + 28º ) = 107º

a
sen
b
sen
c
sen45 28 107º º º
= =
Luego: a
sen sen45
120
107º º
= a
sen
sen
= =
120 45
107
8873
º
º
.
Similarmente: b
sen
sen
= =
120 28
107
5891
º
º
.
b)
40
50 34
40 34
50sen
c
sen
c
sen
senº º
º
º
= = == 292.

40
50 96
40 96
50sen
c
sen
b
sen
senº º
º
º
= = == 5193.
Actividad 2: 1. a) c 2
= (9.3)2
+ (16.3)2
– 2(9.3)(16.3) cos 42.3º
c 2
= 127.93864 c = 11.31
Para encontrar y puedes utilizar la ley de los senos de aquí obtienes:
b) (19.52)2
= (63.42)2
+ (56.3)2
– 2(63.42) (56.3) cos α. Se despeja
cos α para encontrar el ángulo. Similarmente se procede con β y γ.
2. Cuando el móvil se desvía a 37º con la horizontal, ambas direcciones
forman un ángulo de 90º + 37º = 127º. Luego, d2
= 632
+ 842
– 2(63)
(84) cos 127º , d=131.89
Solucionario

Lección 3
Actividad 1: b) AB = =+ + +( ) ( ) .6 1 1 32 2
806 ;
BC = =+ +( - ) ( ) .6 2 1 72 2
894
,

CA = =+ + +( ) (- )2 1 7 32 2
5
Actividad 2: a) Pm ( 2, 0 ) b) Pm( 0.5, – 1 )
Actividad 3: 1. a) tan 45º = 1 b)
9 4
5 8
13
13
1
+
+
= =
2. tan θ = 1, θ = 45º
3. Se verifica cuando se determina que la pendiente de un lado es 2 y

la de otro es −
1
2
Lección 4
Actividad 2: 1. a) y x+ = −( )3 2
1
3
b) y + 4 = 0
2. Se llega a obtener – 10 = – 10. Lo cual es cierto y el punto
pertenece a L.
Actividad 3: 1. a) y = –2x + 4; 2. b) m by= − =
3
4
2
Actividad 4: 1. a) y + x –1 = 0 b) y –x + 2 = 0
2. d = 3
Lección 5
Actividad 1: 1. a) x2
+ y2
= 1 b) x2
+ y2
= 4 c) x2
+ y2
= 9
2. a) ( x – 3 )2
+ ( y + 1 )2
= 4
b) ( x + 2 )2
+ ( y – 2 )2
= 9
c) ( x – 2 )2
+ ( y – 6 )2
= 16
3. a) ( 3, – 4 ) y 3 b) (7, – 5) y 5 c) (3, 0) y 11.
Actividad 2: a) Se llega a ( x + 2 )2
+ ( y – 3 )2
= 9, por lo cual c( –2, 3 ) y r = 3
b) ( x – 3 )2
+ ( y + 1 )2
= 36, C( 3,–1 ) r = 6
c) ( x – 5 )2
+ ( y +1 )2
= 4, C( 5,–1 ) r = 2
d) ( x – ½ )2
+ ( y + 4 )2
= 1, C( ½, –4 ) r = 1
Actividad 3: Como d = r = 4, la ecuación es ( x + 4 )2
+ ( y – 3 )2
= 16
Solucionario

Proyecto
El mecánico Francisco cobra 96 dólares por un
trabajo que realiza en 2 horas y 135 dólares si termina
en 5 h.
a) Ayúdale a encontrar una ecuación lineal que
describa cuánto debe cobrar Francisco por un
trabajo que realiza en x horas.
Empieza por considerar la información dada como
puntos de una recta. Cada punto lo representas
como un par ordenado de la forma (x, C), donde x
representa el número de horas en que se termina el
trabajo y C la cantidad que cobra el mecánico por
ese trabajo .Con los puntos formados construyes la
ecuación lineal pedida.
b) Ahora utiliza esa ecuación para construir una tabla
que proporcione lo que cobra el mecánico a partir
de 0.5 de hora hasta 6 horas variando de media hora
en media hora.

UNIDAD 3
Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill,
tercera edición, Colombia, 1990
PETERSON, John, Matemáticas Básicas. Editorial CECSA, primera edición,
México, 1998
SPIEGEL, Murray, Estadística. Editorial McGraw-Hill, Serie Schaum,
segunda edición, México, 1996
JOHNSON, Robert, Estadística Elemental. Grupo Editorial Iberoamericana,
quinta edición, México, 1991
LEHMANN, Charles, Geometría Analítica. Editorial Limusa, vigésima
tercera reimpresión, México, 1996
http://mx.geocities.com/francosta11/estadistica/dnormal.html

Mat 11 u3

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